®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn1

V. Corrientes V. Corrientes elelééctricasctricas

4. Conductores lineales: 4. Conductores lineales: medios medios óóhmicoshmicos

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

09/1

0m

ez,

09/1

0

22

V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

Ley de Ohmmedio óhmico: conductividad

Resistencia eléctrica de un tubo de corrienteConductor filiforme

resistencia eléctrica de un hiloDisipación de energía. Ley de Joule

5.5. GeneradoresGeneradores6.6. Coeficientes de conductanciaCoeficientes de conductancia7.7. Circuito equivalenteCircuito equivalente8.8. Corrientes no estacionariasCorrientes no estacionarias

1.1. IntroducciIntroduccióónn2.2. Magnitudes para la corriente elMagnitudes para la corriente elééctricactrica3.3. Leyes de la corriente elLeyes de la corriente elééctricactrica4.4. Conductores lineales: medios Conductores lineales: medios óóhmicoshmicos

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

09/1

0m

ez,

09/1

0

3

Comportamiento lineal de conductorrégimen estacionario en medio conductor:

equilibrio dinámico

modelo lineal de fuerza “disipativa”efecto del medio sobre la corriente

Ley de Ohm: conductividadrelación constitutiva del medio óhmico:

Conductividad eléctrica “σ”sólo depende del medio: σ≠σ(|E|)en medios óhmicos es siempre positiva: σ ≥0medio óhmico inhomogéneo: σ=σ(r)

( )dis( )q d dt± ± ±= ⇒ =E r + F 0 v 0

Ley de Ohm (medio óhmico)

E(r)J(r)

ΔτΔτ ∼∼PPt t ≥≥ tt00

ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

q_

v_(r)Fe

_ Fdis_

q+

v+(r) Fe+Fdis

+

( )( ) ( )q±± ±=v r E rγ ( ) ( )⇒ = σJ r E r

Ω; σ → velocidad arrastre

conductor perfectodieléctrico ideal

0 ⎧⎨⎩

σ → ∞ :σ = :

→

dis ( 0)( ); ±± ± ± >= −F v r γγ

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

09/1

0m

ez,

09/1

0

4

Tubo de corriente (estacionaria)conjunto de líneas de corriente entre dos superficies equipotenciales:

J es tangente a la superficie lateral SLen medio óhmico, J es normal a S1 y S2

ley de conservación de la carga:en el tubo entra y sale la misma intensidad

Resistencia eléctricarelación dif. de potencial−intensidad en tubo τ:

sólo depende de la geometría del tubo y de σ

unidades (en el SI):

Resistencia eléctrica

J(r)= σE(r)

nL ⊥ J

Ω; σ

n1S1: φ(r)=V1

|| J

|| J

0d∂τ

⋅⋅ =∫ J S2 1

2 1S SI dS dS⇒ = ⋅⋅ = − ⋅⋅∫ ∫J n J n

(ohmio)V A = = Ω[ ] [ ] [ ]R V Iτ =

ley de ley de OhmOhm(integral)(integral)

S

dSn|| Jτ

SL

P1

P2

dr

n2

1 2V VRIτ−

=

S2: φ(r)=V2

( )2

1

d

d

P

P

S ⊥

σ=

⋅

⋅∫∫ J

J r

J S

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

09/1

0m

ez,

09/1

0

5

Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndrica

a) en la dirección longitudinal

Ω; σ

long VRIΩ = ( )2 2

Lb aπ

=−σ

ε0; σ=0

z=0

z=L

Jext=0

nlat=uρ

n=uz

S

V

S2:φ(z=L)=V2

S1:φ(z=0)=V1

IJΩ(r)

EΩ(r)

Eext≠0;

JΩ(r)

Ω; σ Ω; σ

EΩ(r)

JΩ ⊥

Z

ba∂τ

K

n2

Jext=0

=V1−V2

( )longR L SΩ Ω= σ n

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

09/1

0m

ez,

09/1

0

6

Ejercicio 5.4: resistencia eléctrica de corona cilíndrica

b)en la dirección transversal

Ω; σ

tran VRIΩ =

( )ln2

b aLπ

=σ

ε0; σ=0

Ω; σ Ω; σ

z=0

z=L

Jext=0S

V =V1−V2

S2:φ(ρ=b)=V2

I

JΩ(r)

EΩ(r)

Eext≠0;

JΩ(r)

EΩ(r)

⊥ JΩ

ba

S1:φ(ρ=a)=V1

n=uρ

nlat=uz Z

Jext=0

long ( )db

aR SΩ ρ= ρ σ∫

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

09/1

0m

ez,

09/1

0

7

( )( ) ( )

lI

S≈J r T r

J(r)

Descripción“hilo” de material óhmico Ωfil:

se identifica con curva C: r=r(l)T(r) vector tangente unitario

Densidad de corrientelíneas de J confinadas en Ωfil ≈ C:

verifica condiciones de contornoen general, no verifica ∇·J=0

sección variable S(l):Resistencia del hilo

el hilo constituye un tubo de corriente

Conductores filiformes

dS=dS T

nL

Ωfil; σ

L δδ→0

T(r)

SL

S→0

Jext=0

nL•[J]SL=0

Ωfil ≈ C

S1φ( )=V1 φ( )=V2S2

II

1 2fil

V VRI−

=0

L dlS

≈σ∫ ( , ctes.) S

LS

σ=σ

( )( ) ( )I S⇒ ≈J r T r0d

SI

→= ⋅∫ J S S≈ J

[ ] [ ][ ][ ]

1 S(siemens)m m

LR S

= = =Ω

σ

l=0 l=L

•T≅0

Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) n) V. Corrientes elV. Corrientes elééctricasctricas

®®G

abri

el C

ano

GG

abri

el C

ano

Góó m

ez,

09/1

0m

ez,

09/1

0

8

Potencia disipada en medio óhmicotrabajo “disipativo” en Δτ~P:

en régimen estacionario: potencia “disipativa” (por unidad de volumen):

potencia disipada (perdida) en región Ω:

Ley de Joulecalor por unidad de tiempo cedido por Ω:

la energía se pierde en forma de calor: efectoJoule

Disipación de energía. Ley de Joule

dis ( )q± ±= −F E r

( )dis disdis n nW dtτ

+ + − − −

Δ+δ ≈ ⋅ ⋅ Δτ+F Fv v

E(r)J(r)

ΔτΔτ ∼∼ PP ρlib(r)= n+q++n− q−, cte.

q_

v_(r)

Fe_

Fdis_

q+

v+(r)Fe

+Fdis

+

Ω; σ

δQ

I

ΩJ(r)=σ E(r)

=|δWdis|

dis dPΩ Ω

= − ⋅ τ∫J E 2 dσΩ

= − τ∫ E 0<

( )disdis

0lim

P

W dtdPd τ τΔ →

δ

Δ=

τ

Qdt

δ

Ω

= 2I RΩ disd PΩ

= ⋅ =τ∫J E

( ) ( )= − ⋅J r E r

φ( )=V2S2φ( )=V1S1

dr

dS