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Álgebra lineal
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Presentaciones basadas principalmente en Arce,C, Castillo,W yGonzalez, J. (2004) Algebra lineal. Tercera edicion. UCR. SanPedro. Otras fuentes seran mencionadas cuando corresponda. Engeneral el autor no clama que el contenido del documento seaoriginal, sino solamente su presentacion. Se permite el uso de estedocumento, siempre y cuando no sea por fines de lucro y se cite lafuente.
DefinicionSea A una matriz de orden n. Decimos que un numero real λ es unvalor propio de A si existe un vector columna x, no nulo, de Rn, talque Ax = λx. El vector x se llama vector propio de A asociado a λ.
Tambien se usan los nombres valor caracterıstico y autovalor, yvector caracterıstico y autovector para dicho valor y vector, resp..Todas las matrices, como siempre, tienen entradas reales.
Ejemplo
(1, 1, 1)t es un vector propio de
2 7 11 −1 103 3 4
asociado al valor
propio 10.
Ejemplo
(1,−1, 1)t es un vector propio de
1 0 −10 1 11 1 0
asociado al
valor propio 0.
Ejemplo
(0, 1, 0)t es un vector propio de
1 0 −10 1 11 0 0
asociado al valor
propio 1.
NotaCualquier multiplo de un vector propio es un vector propio.
DefinicionSea λ un valor propio de A, el conjunto Vλ = {x |Ax = λx} sellama subespacio propio o espacio caracterıstico de A asociado a λ.Y la dimension de Vλ se denomina multiplicidad geometrica de λ.
TeoremaSi λ1, λ2, . . . , λk son k valores propios de A, diferentes entre sı yasociados resp. a los vectores propios v1, v2, . . . , vk son linealmenteindependientes.
Procedimiento para encontrar valores propios de una matriz A:
Teoremaλ es un valor propio de A ⇐⇒ det (A-λI)=0
Ejemplo
Encuentre los autovalores de
5 6 −6−3 −4 60 0 2
.
Ejercicio
Encuentre los autovalores de
5 6 −60 −4 60 0 2
, 5 6 −6−3 −4 60 0 1
, la matriz nula de orden 3 y la identidad de
orden 3.
Procedimiento para encontrar vectores propios de una matriz A:
Teoremav es un vector propio de A asociado a λ si (A-λI)v=0
Este procedimiento nos permite encontrar tambien el subespaciocorrespondiente.
Ejemplo
Encuentre los autovectores de
5 6 −6−3 −4 60 0 2
, los subespacios
correspondientes y su dimension.
Ejercicio
Encuentre los autovectores y los subespacios correspondientes de 5 6 −60 −4 60 0 2
,
5 6 −6−3 −4 60 0 1
, la matriz nula de orden 3
y la identidad de orden 3.
DefinicionSea A una matriz de orden n. El polinomio caracterıstico de A, PA,es el polinomio de grado n:
PA(λ) = |A− λI |.
Al factorizarlo en factores irreducible en R llegamos eventualmentea la forma
PA(λ) = (λ− λ1)n1(λ− λ2)n2 . . . (λ− λr )nr Q(λ),
y decimos que ni es la multiplicidad algebraica del autovalor λi .
Ejemplo
Para
3 6 −6−3 −6 60 0 0
, encuentre sus autovalores y
autovectores, y las correspondientes multiplicidades.
Ejercicio
Encuentre las dos multiplicidades de cada autovalor de 5 6 −60 −4 60 0 2
,
5 6 −6−3 −4 60 0 1
, la matriz nula de orden 3
y la identidad de orden 3.
DefinicionUna matriz A es diagonalizable si existen una matriz C invertible yuna matriz D diagonal tales que
C−1AC = D.
TeoremaSi A es una matriz de orden n,A es diagonalizable ⇐⇒ A tiene n autovectores l.i..En tal caso, la D de la definicion anterior corresponde a una matrizdonde los autovalores de A viven en la diagonal, y C corresponde auna matriz donde los autovectores, l.i., correspondientes viven enlas columnas (o sea, la primera columna de C es un autovector delautovalor que vaya en la primera columna de D y ası se sigue).
Ejercicio
Diagonalice, si se puede,
5 6 −60 −4 60 0 2
,
5 6 −6−3 −4 60 0 1
,
la matriz nula de orden 3 y la identidad de orden 3.
TeoremaSea A una matriz de orden n cuyo polinomio caracterıstico sepuede factorizar como:
PA(λ) = |A− λI | = (λ− λ1)n1(λ− λ2)n2 · · · (λ− λr )nr
donde∑r
i=1 ni = n, todos los λi son autovalores distintos, y seanVλi
los espacios propios correspondientes. Son equivalentes:
1. A es diagonalizable.
2. ∃B = {v1, . . . , vn}, una base de autovectores para Rn.
3. Para todo autovalor, sus multiplicidades algebraica ygeometrica son iguales.
4.∑r
i=1dim(Vλi)=n.
5. Todo vector x ∈ Rn se puede escribir de forma unica en laforma x =
∑ri=1 xi , xi ∈ Vλi
.
CorolarioSi una matriz de orden n tiene n valores propios distintos, esdiagonalizable.
Ejemplo
Deduzca que
5 6 90 −4 60 0 2
es diagonalizable.
Ejercicio
Determine si se pueden diagonalizar, usando solamente el corolario
anterior,
5 6 −6 00 −4 6 50 0 2 10 0 −1 −1
,
0 0 −70 0 00 0 0
, y la identidad
de orden 3.
DefinicionUna matriz A de orden n es ortogonalmente diagonalizable siexisten una matriz C ortogonal y una matriz D diagonal tales que
C tAC = D.
Teorema
1. Si A es simetrica, su polinomio caracterıstico solo tiene raıcesreales.
2. Si A es simetrica y tengo dos autovectores asociados a valoresdistintos, aquellos son ortogonales.
3. A es simetrica si y solo si A es ortogonalmente diagonalizable.
Cuando diagonalizo ortogonalmente, la unica diferencia es que losautovectores que elija para ser columnas de C deben formar unabase ortonormal.
Ejemplo
Diagonalice ortogonalmente, si se puede, la matriz
1 2 02 1 00 0 −1
Ejercicio
Diagonalice ortogonalmente, si se puede,
5 0 00 1 30 3 1
, 1 1 11 1 11 1 1
, la matriz nula de orden 3 y la identidad de orden 3.