VALIDACIÓN DEL MÉTODO DE DISEÑO PLÁSTICO BASADO … · diseño se efectuaron ANRT con el método paso a paso de aceleración constante de Newmark (ACN) ... tradicional método

Salas D., Luis Diego; Gutiérrez, Jorge 1

VALIDACIÓN DEL MÉTODO DE DISEÑO PLÁSTICO BASADO EN DESPLAZAMIENTOS MEDIANTE ANÁLISIS NO-LINEAL DE

RESPUESTA EN EL TIEMPO

Luis Diego Salas D.1, Jorge Gutiérrez2

RESUMEN El método de Diseño Plástico Basado en Desplazamientos (DPBD) (Gutiérrez y Alpízar, 2004), es una alternativa explícita de diseño sísmico apropiada para incorporar objetivos de desempeño, en la que la capacidad requerida de los elementos es un resultado del proceso. Está basado en procedimientos no-lineales estáticos y conceptos del diseño plástico y presenta una complejidad intermedia entre el Análisis por Espectros de Respuesta (que constituye la práctica actual) y el laborioso análisis no-lineal de respuesta en el tiempo (ANRT). El objetivo de este trabajo es validar el DPBD mediante ANRT, utilizando Edificios de Cortante (Shear Buildings) con comportamiento elasto-plástico. También se investiga la precisión de métodos más refinados de análisis como el Análisis de Capacidad Espectral (ACE) y el Análisis Modal tipo Pushover (Modal Pushover Análisis, MPA).

Se diseñaron, utilizando el método de DPBD, un total de 96 Edificios de Cortante de 5 y 10 pisos, con 2 distintas distribuciones de rigidez, 6 ductilidades asignadas y 4 registros sísmicos reales. Para verificar el diseño se efectuaron ANRT con el método paso a paso de aceleración constante de Newmark (ACN) para Edificios Cortantes de varios grados de libertad. Los parámetros supuestos en el diseño se compararon con los resultados de estos análisis, los cuales se consideran resultados exactos. También se compararon con resultados obtenidos mediante ACE, según lo define el artículo 7.7 del Código Sísmico de Costa Rica 2002 (CSCR-2002), utilizando la forma del primer modo y otras cinco formas de desplazamiento y con el método MPA. Para ilustrar los resultados se presenta en forma detallada un caso particular junto con un estudio estadístico de la media y dispersión del sesgo en la predicción de desplazamientos, derivas y cortantes para los 96 edificios considerados.

El estudio muestra que aunque el DPBD aplicado a edificios de cortante regulares con comportamiento elasto-plástico produce diseños seguros para la mayoría de los pisos, puede ser inseguro en la estimación de los verdaderos desplazamientos y cortantes de los primeros pisos y las derivas de los primeros y últimos pisos. El riesgo de subestimar estos parámetros se incrementa con la altura y con la ductilidad. El Análisis Modal tipo Pushover siempre resulta igual o más seguro que el Análisis de Capacidad Espectral utilizando la forma del primer modo. Los otros patrones de deformación empleados para el Análisis de Capacidad Espectral presentan sesgos mayores.

1 Ingeniero de Diseño, Productos de Concreto S.A. Graduado del Programa de Posgrado en Ingeniería Civil del Sistema de Estudios de Posgrado de la Universidad de Costa Rica.

2 Profesor Catedrático del Programa de Posgrado en Ingeniería Civil y de la Escuela de Ingeniería Civil de la Universidad de Costa Rica. Director del Laboratorio Nacional de Materiales y Modelos Estructurales, LANAMME.

VIII Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2005


ABSTRACT The Displacement-Based Plastic Design (DBPD) method (Gutiérrez and Alpízar, 2004) is an explicit alternative for seismic design, suitable for performance based design and based upon static nonlinear procedures and simple plastic theory. Its degree of complexity is intermediate between the usual Response Spectra Analysis (RSA) and the time consuming Response History Analysis (RHA). The purpose of this paper is to validate the DBPD by means of RHA of shear buildings with elasto-plastic behavior. Other nonlinear static analysis methods such as the Spectrum Capacity Method (SCM) and Modal Pushover Analysis (MPA) are also investigated.

A total of 96 shear buildings were designed with DBPD. The buildings were 5 and 10 stories height with 2 different stiffness distributions and 6 assigned ductility values; each model was designed for 4 real accelerograms. A RHA using Newmark’s constant acceleration method was performed to verify each design. The design parameters were compared with the exact RHA results and with the results of the Spectrum Capacity Method presented in article 7.7 of the Costa Rican Seismic Code-2002. In addition to the shape of the 1st mode prescribed by the Code, four pushover deformation shapes were used, as well as the MPA. For illustrative purposes, a particular case is explained in detail. To study all 96 cases, a statistical analysis of the results for story drifts, displacements and shears is presented.

The results indicate that even if DBPD applied to shear buildings with elasto-plastic behavior produces safe designs for most of the stories, it may underestimate the real displacements and shears of the lower stories and the drift of the lower and higher stories. The possibility of underestimating these variables increases with building height and ductility. MPA is always as safe or safer than SCM with the 1st mode shape, as prescribed by the Code. The other shapes used in the pushover analyses presented larger bias.

INTRODUCCIÓN Los métodos de análisis y diseño sísmico de la mayoría de los códigos vigentes están basados en el tradicional método simplificado de diseño por fuerzas. Los edificios se diseñan para fuerzas estáticas equivalentes que son reducidas en función de valores estimados de ductilidad y sobre-resistencia. Estos valores se definen con base en la regularidad de la estructura, sus materiales, sistemas resistentes, nivel de redundancia y ductilidad local de sus componentes. Este enfoque tiene limitaciones para su aplicación en la Ingeniería Sísmica Basada en Desempeño (ISBD) porque, aunque estima de manera aproximada los desplazamientos inelásticos absolutos y relativos de la estructura, no permite conocer las deformaciones internas de sus elementos y componentes, haciendo imposible estimar su desempeño (FEMA-356, Bravo, 2002; Ramírez, 2002). El método de Diseño Plástico Basado en Desplazamientos (DPBD), desarrollado por el segundo autor (2004), es una alternativa explícita de diseño sísmico en la que la capacidad requerida de los elementos es un resultado del proceso. Está basado en procedimientos no-lineales estáticos y conceptos del diseño plástico y presenta una complejidad intermedia entre el Análisis por Espectros de Respuesta (que constituye la práctica actual) y el laborioso ANRT. Constituye una metodología de diseño apropiada para incorporar conceptos de diseño por desempeño a través de la verificación de ciertos objetivos de desempeño o estados límite permitidos.

El objetivo de este trabajo es validar el DPBD mediante el análisis no-lineal de respuesta en el tiempo, utilizando Edificios de Cortante (Shear Buildings) con comportamiento elasto-plástico. También se investiga la precisión de métodos más refinados de análisis como el Análisis de Capacidad Espectral y el Análisis Modal tipo Pushover (Modal Pushover Analysis). Información más extensa y detallada respecto a esta investigación y su sustento teórico puede consultarse en Salas (2005).

ESTRATEGIA METODOLÓGICA Se diseñaron, utilizando el método de DPBD, un total de 96 Edificios de Cortante definidos a partir de la permutación de las siguientes variables: VIII Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2005


• 2 distintas alturas: 5 y 10 pisos • 2 distintas distribuciones de rigidez: rigidez constante en la altura y rigidez tal que produzca un

primer modo lineal • 6 ductilidades globales asignadas: 1, 1.5, 2, 3, 4 y 6; los valores utilizados por el CSCR-2002. • 4 registros sísmicos reales (ver cuadro No. 1).

Cuadro No. 1. Registros sísmicos utilizados Sismo Estación Fecha Componente amax(g) Magnitud Distancia

epicentral (km) San Fernando Pacoima 09/02/1971 164° 1.171 MS=6.4 7

Northridge Sylmar 17/01/1994 360° 0.843 Mw=6.7 15 Kobe Takatori 17/01/1995 N-S 0.611 Mw=6.9 11

Imperial Valley El Centro 18/05/1940 N-S 0.319 MS=6.3 12

El espectro para el diseño de cada edificio es el espectro de respuesta de ductilidad constante cada sismo, calculado para sistemas de un grado de libertad (1 g.d.l.) con comportamiento elasto-plástico bilineal y para las seis ductilidades globales asignadas (1, 1.5, 2, 3, 4 y 6). La razón de amortiguamiento fue siempre 5% y la rigidez secundaria de los sistemas se supuso igual a un 10% de su rigidez inicial elástica.

El edificio de cortante típico diseñado y la relación fuerza-desplazamiento de los pisos se muestra en la figura No. 1. Para todos los casos se definieron las siguientes constantes: deriva objetivo θd = 1.6% (limitación normal para los desplazamientos de edificios de marcos según el CSCR-2002, tabla 7.2), altura de piso ho = 3.5 m, masa por piso m0 = 100 Ton-s2/m y razones de amortiguamiento del 5% para todos los modos de oscilación de la estructura elástica inicial.

δy δu

V u

V y

k ini

α k ini

Figura No. 1. Edificio de Cortante típico y relación fuerza-desplazamiento de los pisos (α = 0.10)

Para verificar los diseños se efectuaron análisis no-lineales de respuesta en el tiempo (ANRT) con el método paso a paso de Aceleración Constante de Newmark (ACN) (Newmark, 1959) para Edificios Cortantes de varios grados de libertad con comportamiento elasto-plástico bilineal. Se seleccionó el método de ACN porque es incondicionalmente estable (Chopra, 2001). La rigidez y capacidad de los pisos empleadas para los análisis fueron las que se obtuvieron como resultado del DPBD de cada edificio. Los parámetros supuestos en el diseño se compararon con los resultados de estos análisis, los cuales se consideran resultados exactos.

El diseño y el análisis exacto de cada edificio también se comparó con resultados obtenidos mediante Análisis de Capacidad Espectral (ACE), según lo define el artículo 7.7 del CSCR-2002. El ACE se realizó para los siguientes patrones de deformación: VIII Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2005


• La forma del primer modo de oscilación • Formas de desplazamiento del tipo mostrado en la ecuación 1, con β = 0, 0.5, 1 y 2:

β

ψ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

N

ii h

h (1)

• La forma generada por una distribución de fuerzas según un primer modo triangular y una carga concentrada en el último nivel (∆+P)

También se compararon los resultados con los que produce el método de Análisis Modal tipo Pushover, propuesto recientemente (Chopra y Goel, 2002). Para ilustrar los resultados se presenta en forma detallada un caso particular junto con un estudio estadístico de la media y dispersión del sesgo en la predicción de desplazamientos, derivas y cortantes para los 96 edificios considerados.

EJEMPLO ILUSTRATIVO Se presenta el proceso completo de diseño y validación de uno de los edificios. Se trata de un edificio de 10 pisos, con distribución de rigidez constante en la altura y ductilidad global asignada de 3. Se diseña para el sismo de Northridge (Sylmar). La altura de los pisos es de 3.5 m, la masa de los pisos es de 100 Ton-s2/m y la deriva objetivo es de 1.6%.

Paso 1. DPBD

El procedimiento es descrito detalladamente por Gutiérrez y Alpízar (2004) Para un edificio con distribución de rigidez constante pero con magnitud desconocida el modo de oscilación fundamental puede obtenerse directamente al resolver el problema de vectores y valores propios, mientras que el período fundamental quedará expresado en función de la rigidez por piso. Para el edificio del ejemplo dicho modo de oscilación se presenta en la figura 2a.

Primer modo

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40Forma (cm)

Niv

el

Figura No.2. a) Modo fundamental de oscilación, b) Curva de Capacidad Obtenida

Si este modo se escala hasta obtener la deriva objetivo en algún piso, se obtiene un desplazamiento del techo igual a 37.5 cm. Con la forma del primer modo y el factor de participación modal se convierte el desplazamiento del techo al desplazamiento del sistema equivalente de 1 g.d.l. (Sdi, obj = 29.6 cm). Si este se divide entre la ductilidad global asignada (3) se obtiene el desplazamiento espectral de cedencia Sdy,dem = 9.85 cm. El desplazamiento espectral de cedencia se grafica en combinación con el espectro Sa-Sdy de



ductilidad constante para el sismo de Northridge consistente con el diseño (µ = 3, ξ = 5%, α = 0.10) y se determina la seudoaceleración demandada de cedencia Say,dem = 2.18 m/s2 (figura 2b).

El período resultante de la estructura diseñada por desplazamientos es de 1.34 s, mayor que el período de referencia usual 0.1N = 1.0 s. La rigidez k inicial de los pisos se obtiene a partir del período y permite ensamblar la matriz de rigidez elástica del edificio de cortante.

Cuadro No. 2. Resultados detallados del diseño

Nivel Forma Rigidez Fuerza Capacidad Desplaz. Desplaz. Derivas Desplaz. Desplaz. Cortante Deriva finalmodal requerida aplicada a cortante de fluencia de fluencia de fluencia últimos últimos último demandada

φ k ini f y V y relativo δ y absoluto u y θ y relativos δ u absolutos u u V u θ u

(por nivel) (por nivel) (fluencia) (por nivel) (por nivel) (por nivel) (por nivel) (por nivel) (demandado) (por nivel)adim (Ton/m) (Ton) (Ton) (cm) (cm) (%) (cm) (cm) (Ton) (%)

1 0.149 99112.7 41.3 1850.1 1.867 1.87 0.53 5.600 5.60 2220.1 1.602 0.296 99112.7 81.7 1808.7 1.825 3.69 0.52 5.475 11.07 2170.5 1.563 0.435 99112.7 120.3 1727.0 1.742 5.43 0.50 5.227 16.30 2072.4 1.494 0.565 99112.7 156.2 1606.7 1.621 7.06 0.46 4.863 21.17 1928.0 1.395 0.682 99112.7 188.6 1450.5 1.463 8.52 0.42 4.390 25.56 1740.6 1.256 0.784 99112.7 216.8 1261.9 1.273 9.79 0.36 3.820 29.38 1514.3 1.097 0.868 99112.7 240.1 1045.1 1.054 10.85 0.30 3.163 32.54 1254.1 0.908 0.933 99112.7 258.1 805.0 0.812 11.66 0.23 2.437 34.98 966.0 0.709 0.978 99112.7 270.3 546.8 0.552 12.21 0.16 1.655 36.63 656.2 0.4710 1.000 99112.7 276.5 276.5 0.279 12.49 0.08 0.837 37.47 331.8 0.24

RESULTADOS PARA EL PUNTO DE FLUENCIA RESULTADOS ÚLTIMOS

A partir de la seudoaceleración demandada de cedencia Sdy,dem y la forma del primer modo se determinan las fuerzas de diseño por piso, que se presentan en la cuarta columna del cuadro No. 2. En la misma tabla se presentan los resultados detallados para el punto de cedencia (cortantes Vy, desplazamientos relativos δy, desplazamientos absolutos uy, y derivas de fluencia θy). También se indican los resultados últimos (Vu, δu, uu, θu). Se verifica que el desplazamiento máximo del techo es igual a 37.5 cm y que esto coincide con una deriva de 1.6% en al menos uno de los pisos (1er piso en este caso) Los resultados para el punto de cedencia caracterizan completamente las relaciones fuerza-desplazamiento de los pisos (para emplearlas en el ACE y el ANRT) mientras que los resultados últimos constituyen las capacidades máximas de los pisos para efectos de comparaciones posteriores.

Paso 2: ACE y MPA

El edificio con las características de rigidez y capacidad por piso descritas en la tabla 2 es sometido a ACE para varios patrones de fuerza (Procedimiento según FEMA-356 y CSCR-2002). La figura No. 3 presenta los patrones de deformación empleados: (hi/hN)0, (hi/hN)½, (hi/hN)1 y (hi/hN)2 y P+∆..

Figura No. 3. Patrones de deformación empleados para los ACE del edificio del ejemplo



La figura No. 4 resume los resultados generales de los ACE para los cinco patrones de fuerza. En todos los casos la demanda de ductilidad µdem es cercana a 3. Los cortantes, las derivas y los desplazamientos en el punto de desempeño se presentan más adelante, cuando se comparen los ACE con el ANRT.

Análisis de Capacidad Espectral (Northridge) Triángulo+P

0.0

0.3

0.5

0.8

1.0

1.3

1.5

1.8

2.0

2.3

2.5

2.8

3.0

3.3

3.5

3.8

4.0

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

Sd y (m)

Sa (

m/

s2) Curva de Capacidad

Idealización

Espectro ductilidad 4


Pto Desempeño

Curva de Diseño

Análisis de Capacidad Espectral (Northridge) (h/H)^0

0.0

0.3

0.5

0.8

1.0

1.3

1.5

1.8

2.0

2.3

2.5

2.8

3.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Sd y (m)

Sa (

m/


Idealización



Pto Desempeño

Curva de Diseño

Análisis de Capacidad Espectral (Northridge) (h/H)^0.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35

Sd y (m)

Sa (

m/


Idealización



Pto Desempeño

Curva de Diseño


0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Sd y (m)

Sa (

m/


Idealización



Pto Desempeño

Curva de Diseño


0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Sd y (m)

Sa (

m/


Idealización



Pto Desempeño

Curva de Diseño

Análisis Pushover Pushover Pushover Pushover Pushovervrs (Triángulo+P) (h/H)̂ 0 (h/H)̂ 0.5 (h/H)̂ 1 (h/H)̂ 2

DatoµGA 3.040 2.920 3.113 2.984 2.766

Vu base 1950.0 2682.7 2361.2 2119.2 1853.7δtecho 37.97 36.47 38.88 37.27 34.55

Figura No. 4. Resultados generales de los ACE para distintos patrones de fuerza

Los resultados del MPA se construyen a partir de ACE con patrones de deformación iguales a los primeros modos de oscilación de la estructura. Los cortantes, desplazamientos y derivas que se presentan en el punto de desempeño de cada uno de estos 5 ACE son combinados entre sí empleando la regla de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS). En el caso de la combinación de los cortantes se siguen además las recomendaciones de Chopra y Goel (2005) Los cortantes, desplazamientos y derivas combinados del MPA se presentan más adelante, cuando se comparen con los valores teóricos “exactos” del ANRT.



Paso 3: ANRT y comparación

Las relaciones fuerza-desplazamiento de todos los pisos y las matrices de rigidez inicial KG y masa MG de dimensiones 10x10 se construyen a partir de las características de la estructura presentadas en la figura No.1 y en el cuadro No. 2. La matriz de amortiguamiento CG se construye a partir de la superposición de matrices de amortiguamiento modal de manera que se produzca un coeficiente de amortiguamiento del 5% para todos los modos elásticos (Chopra, 2001). El registro de aceleraciones está dado por el acelerograma de Northridge (Sylmar) consistente con el diseño. Las condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad son iguales a cero. La respuesta se calcula con el método ACN y se presenta en la figura No. 5 en términos de los desplazamientos del techo. El desplazamiento máximo del techo ocurre en t = 3.86 s y es igual a 33.57 cm, un 12% menor al desplazamiento obtenido durante el diseño.

Historia de desplazamientos para el nivel 1033.57

-35-28-21-14-707

14212835

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2

t (s)

Desp

lazam

ien

to

0

u

(cm

)

Figura No. 5. Historia de desplazamientos del techo para el edificio del ejemplo

En la figura No. 6 se presenta la historia de histéresis para el primer piso. En la figura No. 7 se muestran las historias de desplazamientos relativos de piso para los 5 pisos que exceden el límite de deformación δu del piso en algún instante. Los otros pisos presentan incursiones en el rango inelástico, pero no exceden el límite de deformación del piso en ningún instante. Las incursiones en el rango inelástico se resaltan en negrita en la figura No. 7.

Historia V-d para el nivel 1

-2600.0

-2080.0

-1560.0

-1040.0

-520.0

0.0

520.0

1040.0

1560.0

2080.0

2600.0

-10. 0

-8.0 -6.0 -4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

δ (cm)

V (Ton)

Figura No. 6. Historia de histéresis para el 1er piso del edificio No. 2



Desplazamientos relativos para el nivel 10

-2.01

-4-3.2-2.4-1.6-0.8

00.81.62.43.2

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2

t (s)

Desp

lazam

ien

to δ

(cm

)0


-1.88

-4-3.2-2.4-1.6-0.8

00.81.62.43.2

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2

t (s)

Desp

lazam

ien

to δ

(cm

)

0


-5.67

-10-8-6-4-202468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2

t (s)

Desp

lazam

ien

to δ

(cm

)

0


6.80

-10-8-6-4-202468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2

t (s)

Desp

lazam

ien

to δ

(cm

)

0


8.58

-10-8-6-4-202468

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2

t (s)

Desp

lazam

ien

to δ

(cm

)

0

Figura No. 7. Historia de desplazamientos relativos de los pisos que exceden δu



Los desplazamientos relativos máximos y los cortantes máximos ocurren en instantes distintos para cada piso. Por ejemplo, el desplazamiento relativo máximo y el cortante máximo del 10mo piso ocurren en t = 4.569 s mientras que el desplazamiento relativo máximo y el cortante máximo del 1er piso ocurren en t = 3.78 s.

En la figura No. 7 se observa que el 1er piso excede el desplazamiento relativo de diseño δu en ambas direcciones durante las dos primeras incursiones en el rango inelástico. La primera incursión en el rango inelástico es la que produce el desplazamiento de piso máximo. La segunda incursión, sin embargo, es más prolongada pues lleva al piso desde el desplazamiento “positivo” máximo (8.58 cm) hasta el desplazamiento “negativo” máximo (-6.81 cm). Estos puntos son los puntos máximo y mínimo que se observan en la figura No. 6 en las esquinas superior derecha e inferior izquierda respectivamente. Este mismo patrón se repite al menos para los pisos 2 y 3.

A continuación se compara la respuesta máxima en el tiempo del ANRT en términos de desplazamientos, derivas y cortantes con los desplazamientos, derivas y cortantes obtenidos para el DPBD, los ACE según los 5 patrones de fuerza y el MPA. Las respuestas pico del ANRT se consideran como los valores teóricos “exactos”.

Desplazamientos

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0

Desplazamiento (cm)

Pis

o

DPBD

(P+D)

(h/H) 0̂

(h/H) 0̂.5

(h/H) 1̂

(h/H) 2̂

MPA

ANRT

Derivas de piso

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 1.0 2.0 3.0

Deriva (%)

Pis

o

DPBD

(P+D)

(h/H) 0̂

(h/H) 0̂.5

(h/H) 1̂

(h/H) 2̂

MPA

ANRT

Cortantes máximos

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.0 500.0 1000.0 1500.0 2000.0 2500.0 3000.0

Cortante (Ton)

Pis

o

DPBD

(P+D)

(h/H)^0

(h/H)^0.5

(h/H)^1

(h/H)^2

MPA

ANRT

Figura No. 8. Comparación de a) desplazamientos, b) derivas y c) cortantes para el edificio.

Como se observa en la figura No.8a los patrones de deformación (hi/hN)0 y (hi/hN)½ sobrestiman los desplazamientos del ANRT en los niveles medios hasta en un 28%; mientras que las formas (hi/hN)2 y P+∆ subestiman los desplazamientos teóricos hasta en un 78% (primer piso). El DPBD y el MPA producen patrones de deformación similares al teórico. Tienden a subestimar los desplazamientos de los primeros pisos (hasta 35% en el primer piso) pero sobrestiman los desplazamientos de los pisos superiores (hasta un 13% en el techo). El DPBD y el MPA producen desplazamientos muy similares y VIII Seminario de Ingeniería Estructural y Sísmica San José, Costa Rica – Septiembre 2005


son casi equivalentes entre sí. La forma (hi/hN)1 subestima en mayor grado que el DPBD y el MPA los desplazamientos los primeros pisos (47% en el primer nivel) pero produce valores más cercanos a los del ANRT para los últimos cuatro pisos.

Para el DPBD en el primer piso se desarrolla la deriva de diseño (1.6%) Como se puede ver en la figura No. 8b, tanto el DPBD como el MPA subestiman la deriva de los tres primeros pisos hasta en un 35%. En los cuatro pisos siguientes el DPBD y el MPA sobrestiman la deriva hasta en un 48%. En los últimos pisos el DPBD subestima la deriva y el MPA la predice mejor. El MPA es el método que predice mejor la deriva del último piso (la subestima en un 10%) Las formas (hi/hN)0 y (hi/hN)½ predicen relativamente bien las derivas de los primeros pisos pero son muy inseguras para estimar las derivas de los últimos dos pisos. Las formas (hi/hN)2 y P+∆ son muy conservadoras para la estimación de la deriva de los últimos pisos y subestiman hasta en un 88% las derivas de los primeros pisos. La forma (hi/hN)1 es un peor predictor que el DPBD pues subestima más que este las derivas de los primeros pisos y sobrestima más que el diseño las derivas de los pisos medios. Aún así es el método del tipo (hi/hN)β que más asemeja los resultados del diseño. La envolvente de todos los patrones da una estimación segura de las derivas de todos los pisos, pero genera derivas extremadamente conservadoras para los primeros y últimos pisos.

La figura No. 8c compara los cortantes obtenidos para el edificio en estudio según los distintos métodos. Los patrones de deformación (hi/hN)0 y (hi/hN)½ predicen relativamente bien los cortantes de los primeros dos pisos y subestiman los cortantes de los últimos dos pisos hasta en un 40%. Las formas (hi/hN)2 y P+∆ subestiman los cortantes de los primeros pisos hasta en un 26%, pero sobrestiman los cortantes de los pisos medios hasta en un 40%. El DPBD subestima el cortante de los primeros pisos hasta en un 12% y el cortante del último piso en un 26%, pero predice adecuadamente los cortantes del resto del edificio. El MPA subestima el cortante de los primeros pisos hasta en un 11% pero su precisión mejora gradualmente conforme se avanza en altura. Es mejor predictor de los cortantes de los últimos pisos que el DPBD. La forma (hi/hN)1 es un peor predictor que el DPBD pues subestima más que este los cortantes de los primeros pisos y sobrestima más que el diseño las derivas de los pisos medios.

COMPARACIÓN ESTADÍSTICA DE LOS RESULTADOS 83 edificios pasaron por todo el proceso de DPBD, ACE, MPA y ANRT. Se calcularon las distribuciones de cortantes, derivas y desplazamientos para cada diseño, cada Análisis de Capacidad Espectral, para el Análisis Modal tipo Pushover y los valores máximos para el Análisis No-Lineal de Respuesta en el Tiempo. Se realizó una comparación estadística de los resultados para lo que se agruparon todos los edificios de la misma altura diseñados para la misma ductilidad, independientemente del sismo de diseño, su distribución de rigidez o capacidad. Este tipo de comparación no es estrictamente válida desde el punto de vista estadístico porque existen tres variables involucradas (sismo, tipo de rigidez y capacidad). A pesar de este hecho, la media y la dispersión permiten encontrar tendencias aproximadas conforme se incrementa la ductilidad o la altura. En todo caso, las dispersión de los resultados es bastante baja, usualmente inferior al 10%.

El valor pico teórico o “exacto” de la demanda o respuesta en términos de cortante, desplazamiento o deriva se calcula a partir del ANRT y se denota como rANRT. Para cada método aproximado (DPBD, ACE o MPA) se calcula la razón entre la respuesta pico del método rAPROX y la respuesta pico del ANRT:

ANRT

APROX

rr

r =*

Un método aproximado estará invariablemente sesgado en el sentido de que la media de la razón r* difiere de uno. Si la razón r* es mayor que 1 el método sobrestima la demanda y si es menor que 1, subestima la demanda.



A continuación se presentan los valores de la media definida como la media geométrica de los 6 a 8 valores observados de las razones r* para cada análisis, piso y tipo de respuesta agrupados por ductilidad global asignada y altura. También se presenta la medida de dispersión de los 6 a 8 valores observados de r*, definida como la desviación estándar de los logaritmos de los valores observados:

x̂

δ̂

( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=∑

=

n

xx

n

ii

1ln

expˆ ( ) ( )[ ]

1

ˆlnlnˆ 1

2

−

−=

∑=

n

xxn

ii

δ (2a y 2b)

Para valores pequeños (0.3 o menos) la medida de dispersión de la ecuación 2b es cercana al coeficiente de variación. Por simplicidad esta medida será llamada “dispersión” de este punto en adelante. Las ecuaciones 2a y 2b son estimativos lógicos de la media y dispersión, particularmente si los datos han sido muestreados a partir de distribuciones log-normales. Esta es una distribución apropiada para la respuesta pico de estructuras sometidas a sismos (Newmark y Hall, 1982; Shome y Cornell, 1999)

La ductilidad bajo la cual se agrupan los edificios es la ductilidad global asignada para el DPBD. Por lo tanto es factible y de esperar que edificios diseñados para ductilidad unitaria sí ingresen en el rango inelástico durante el ANRT, debido a la influencia de los modos superiores. De cualquier modo, la µGA es una medida indirecta de la severidad y cantidad de incursiones en el rango inelástico que experimenta la estructura durante el ANRT.

Resultados estadísticos en términos de desplazamientos

Las figuras No. 9 y No. 10 muestran la media del sesgo en los desplazamientos u* para los edificios de 5 y 10 pisos respectivamente. Los edificios han sido agrupados por ductilidad.

En las figuras se observan las siguientes tendencias:

En los edificios de 5 y 10 pisos, diseñados para ductilidades asignadas de 1 y 1.5, el DPBD y el MPA proporcionan los mejores estimados del desplazamiento del techo. El error máximo de la media es del 2% y la dispersión de los datos es sumamente baja (0.6%). Ambos métodos son precisos en la estimación de los desplazamientos máximos de la mitad superior del edificio, pero no estiman adecuadamente los desplazamientos de los primeros pisos. La precisión es consistentemente menor conforme más abajo se encuentre el piso. Para edificios con µGA de 1 el DPBD subestima el desplazamiento del primero piso en un 14%, mientras que el MPA lo subestima en un 11%. Para edificios con µGA de 1.5 el DPBD y el MPA subestiman el desplazamiento del primero piso en un 30%. En ningún caso la dispersión de los datos es mayor a 2.75%

En los edificios de 5 y 10 pisos, diseñados con µGA de 2 a 6, el DPBD y el MPA son conservadores en la estimación de los desplazamientos máximos del tercio superior del edificio y son inseguros en la estimación de desplazamientos de los dos tercios inferiores. El desplazamiento del primer piso es subestimado en un 35% en los edificios de 5 pisos y hasta en un 40% en los edificios de 10 pisos. El desplazamiento del techo es sobrestimado en un 3% en los edificios con µGA de 2 y en un 7% a 12% en los edificios con µGA entre 3 y 6, independientemente de la altura. Aunque hay una tendencia al incremento de la imprecisión con la ductilidad, esta no es pronunciada. En ningún caso la dispersión de los datos es mayor a 5.7%

El ACE basado en el patrón de deformación (hi/hN)1 consistentemente produce estimaciones de los desplazamientos menores que las del DPBD, por lo tanto es más inseguro que el DPBD para determinar los desplazamientos de los primeros pisos.



Para ductilidades asignadas bajas (µGA entre 1 y 2) los ACE basados en los patrones de deformación (hi/hN)0 y (hi/hN)½ son muy conservadores para la estimación de los desplazamientos de todos los pisos. Para ductilidades asignadas altas (µGA entre 3 y 6) ofrecen la mejor estimación de los desplazamientos de los primeros pisos en los edificios. La máxima dispersión de los datos es del 11% y es mayor en los primeros pisos y para ductilidades bajas.

Media del sesgo en los desplazamientos u*para los edificios de 5 niveles con µ GA = 1

1

2

3

4

5

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6u* (adim)

Pis

o

Diseño

Triángulo+P

(h/H) 0̂

(h/H) 0̂.5

(h/H) 1̂

(h/H) 2̂

MPA

Media del sesgo en los desplazamientos u*para los edificios de 5 niveles con µ GA = 1.5

1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o

Figura No. 9. Media del sesgo en los desplazamientos para los edificios de 5 niveles, según ductilidad




1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0u* (adim)

Pis

o

Diseño

Triángulo+P

(h/H)^0

(h/H)^0.5

(h/H)^1

(h/H)^2

MPA

Media del sesgo en los desplazamientos u*para los edificios de 10 niveles con µ GA = 1.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8u* (adim)

Pis

o

Figura No. 10. Media del sesgo los desplazamientos para los edificios de 10 niveles, según ductilidad

Los ACE basados en los patrones de deformación (hi/hN)2 y P+∆ son altamente inseguros para la estimación de los desplazamientos en todos los pisos, para todas las ductilidades y todas las alturas. Llegan a subestimar los desplazamientos del primer piso hasta en un 80%. La dispersión de los datos es la más alta que se presenta para la variable desplazamiento: hasta de un 5.28% en los edificios de 5 pisos y hasta de un 12.5% en los edificios de 10 pisos, particularmente en los primeros pisos.



Resultados estadísticos en términos de derivas de piso

El daño en los sistemas y componentes estructurales y no estructurales depende directamente de la deriva de los pisos. Con frecuencia paredes no estructurales inadecuadamente separadas de la estructura han trabajado durante sismos severos, lo que ha ocasionado desde la falla de la pared hasta un comportamiento inesperado de la estructura como un todo.

Media del sesgo en las derivas θ *para los edificios de 5 niveles con µ GA = 1

1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8θ * (adim)

Pis

o

Diseño

Triángulo+P

(h/H) 0̂

(h/H) 0̂.5

(h/H) 1̂

(h/H) 2̂

MPA

Media del sesgo en las derivas θ *para los edificios de 5 niveles con µ GA = 1.5

1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8θ * (adim)

Pis

o

Figura No. 11. Media del sesgo en las derivas para los edificios de 5 niveles, según ductilidad




1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0θ * (adim)

Pis

o

Diseño

Triángulo+P

(h/H) 0̂

(h/H) 0̂.5

(h/H) 1̂

(h/H) 2̂

MPA

Media del sesgo en las derivas θ *para los edificios de 10 niveles con µ GA = 1.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0θ * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0θ * (adim)

Pis

o

Figura No. 12. Media del sesgo en las derivas para los edificios de 10 niveles, según ductilidad

El CSCR-2002 y otros códigos relacionan directamente el nivel de ductilidad local de los componentes estructurales con la deriva que son capaces de acomodar sin disminución sensible de su capacidad de carga. Esta capacidad de deriva inherente a los sistemas estructurales debe contrastarse con una estimación segura de la demanda máxima de ductilidad.

Las figuras No. 11 y No. 12 muestran la media del sesgo en las derivas θ* para los edificios de 5 y 10 pisos respectivamente. Los edificios han sido agrupados por ductilidad.




En los edificios de 5 y 10 pisos, diseñados para ductilidad asignada de 1, el DPBD subestima las derivas del primer piso en un 14%, mientras que el MPA lo subestima en un 11%. Claramente la respuesta teórica sí produce incursiones en el rango inelástico para dicho piso. En los pisos medios ambos métodos producen estimaciones seguras y precisas de las derivas, mientras que en el tercio superior de los edificios el DPBD subestima las derivas hasta en un 26% para los edificios de 5 pisos y hasta en un 44% para los edificios de 10 pisos. El MPA subestima las derivas del tercio superior de los edificios hasta en un 7% en los edificios de 5 pisos y hasta en un 25% en los edificios de 10 pisos, por lo que es más preciso que el DPBD. La dispersión de los datos no es mayor al 11% para el DPBD ni mayor al 5 % para el MPA. Estos valores máximos de dispersión se dan en los últimos pisos, por lo que se puede decir que el MPA no sólo produce derivas más precisas para el último piso sino que además son más confiables.

En los edificios diseñados con ductilidades de 1.5 a 6 el DPBD y el MPA subestiman las derivas de los primeros pisos hasta en un 35% a 40%. Las derivas de los pisos medios son sobrestimadas hasta en un 40% en los edificios de 5 pisos y hasta en un 60% en los edificios de 10 pisos. Conforme mayores son la ductilidad asignada y especialmente la altura, mayores son las tendencias a subestimar o sobrestimar la demanda en las zonas definidas. Las derivas de los últimos pisos progresan desde ser inseguras hasta en un 35% para las ductilidades más bajas hasta ser conservadoras en un 50% para las ductilidades más altas. En estos pisos el MPA siempre produce derivas más altas que el DPBD que no necesariamente están menos sesgadas. La dispersión de los datos no es mayor al 5.7% para el MPA pero llega a ser del 19% en los últimos pisos para el DPBD.

El ACE basado en el patrón de deformación (hi/hN)1 tiende a subestimar las derivas de los pisos inferiores más de lo que lo hace el DPBD, produce derivas similares a los del DPBD en los pisos medios y presenta derivas similares a las que produce el MPA en los pisos superiores. Es un patrón de fuerzas que arroja resultados más sesgados que los del DPBD y el MPA. El ACE basado en el patrón de deformación (hi/hN)0 es muy inseguro para estimar las derivas de los pisos medios y últimos para todas las alturas y ductilidades. Como máximo, llega a subestimar la deriva del primer piso en un 10% para edificios de 10 pisos y ductilidad 6. Este efecto es más pronunciado en los edificios de más altura. Las dispersiones llegan a ser del 12% en el primer piso para ductilidades bajas y del 20% en el último piso. En el resto de los pisos las dispersiones son menores.

Conforme aumenta la ductilidad, los resultados del ACE basado en el patrón de deformación (hi/hN)½ progresan de sobrestimar la deriva del primer piso en un 25% a subestimarla en un 23%. En general es uno de los patrones que más subestima la deriva del último piso.

Los ACE basados en los patrones de deformación (hi/hN)2 y P+∆ presentan un sesgo muy alto en la estimación de las derivas en todos los pisos, para todas las ductilidades y todas las alturas.

Resultados estadísticos en términos de cortantes

Las figuras No. 13 y No. 14 muestran la media del sesgo en los cortantes V* para los edificios de 5 y 10 pisos respectivamente. En general la dispersión del sesgo para los cortantes es muy baja, nunca mayor al 2%. Los edificios han sido agrupados por ductilidad.


En los edificios de 5 y 10 pisos, diseñados para ductilidades asignadas de 1 y 1.5, el DPBD y el MPA proporcionan las mejores estimaciones de los cortantes en el edificio. El DPBD subestima ligeramente el cortante en la base y el cortante en el techo, mientras que el MPA subestima únicamente el cortante en la base.

En los edificios de 5 y 10 pisos, diseñados para ductilidades asignadas de 2 a 6, el DPBD y el MPA proporcionan las mejores estimaciones de los cortantes en los pisos medios y altos. La estimación del cortante del último piso es mejor en el caso del MPA. Conforme aumenta la ductilidad la estimación del cortante de los pisos medios y altos pisos se hace más conservadora. Ambos métodos subestiman el



cortante en la base desde un 5% para ductilidades y alturas bajas hasta un 20% para ductilidades altas y alturas mayores.

Media del sesgo en los cortantes V *para los edificios de 5 niveles con µ GA = 1

1

2

3

4

5

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6V * (adim)

Pis

o

Diseño

Triángulo+P

(h/H) 0̂

(h/H) 0̂.5

(h/H) 1̂

(h/H) 2̂

MPA

Media del sesgo en los cortantes V*para los edificios de 5 niveles con µ GA = 1.5

1

2

3

4

5

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6V* (adim)

Pis

oMedia del sesgo en los cortantes V*

para los edificios de 5 niveles con µ GA = 2

1

2

3

4

5

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6V * (adim)

Pis

o

Media del sesgo en los cortantes V*para los edificios de 5 niveles con µ GA = 3

1

2

3

4

5

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6V* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6V* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6V* (adim)

Pis

o

Figura No. 13. Media del sesgo en los cortantes para los edificios de 5 niveles, según ductilidad




1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8V* (adim)

Pis

o

Diseño

Triángulo+P

(h/H)^0

(h/H)^0.5

(h/H)^1

(h/H)^2

MPA

Media del sesgo en los cortantes V*para los edificios de 10 niveles con µ GA = 1.5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8V * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8V* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8V * (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8V* (adim)

Pis

o


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8V* (adim)

Pis

o

Figura No.14. Media del sesgo en los cortantes para los edificios de 10 niveles, según ductilidad

Los ACE basados en los patrones de deformación (hi/hN)2 y P+∆ son muy inseguros para estimar los cortantes de los primeros pisos. Los ACE basados en los patrones de deformación (hi/hN)0 y (hi/hN)½ subestiman los cortantes de los últimos pisos. El patrón (hi/hN)1 subestima los cortantes de la base en mayor medida de lo que lo hace el DPBD.



CONCLUSIONES Aunque el DPBD aplicado a edificios de cortante regulares con comportamiento elastoplástico produce diseños seguros para la mayoría de los pisos, puede ser inseguro en lo que respecta a la estimación de los desplazamientos y cortantes de los primeros pisos y en la predicción de las derivas de los primeros y últimos pisos. El riesgo de subestimar estos parámetros se incrementa con la altura y con la ductilidad.

El ACE para la forma del primer modo de oscilación presenta las mismas características que el DPBD porque en edificios de cortante es en esencia un proceso de análisis inverso al diseño. Por lo tanto puede ser inseguro en lo que respecta a la estimación de los desplazamientos y cortantes de los primeros pisos y las derivas de los primeros y últimos pisos. Las derivas reales serán de un 30% a un 40% mayores en los primeros y últimos pisos. Provee una buena estimación del desplazamiento del techo para estructuras de hasta 10 pisos y subestima el cortante en la base desde un 5% para ductilidades y alturas bajas hasta un 20% para ductilidades altas y alturas mayores.

El MPA siempre es igual o más seguro que el ACE para la forma del primer modo. El MPA ofrece una estimación de las derivas de los últimos pisos y de los cortantes de los primeros y últimos pisos consistentemente más segura que el DPBD. Puede subestimar la demanda, pero en igual o menor proporción que el DPBD.

El ACE basado en los patrones de deformación (hi/hN)β en general arrojan resultados más sesgados que los del DPBD y el MPA. Pueden ser extremadamente inseguros o muy conservadores.

RECOMENDACIONES Se recomienda que el Análisis Modal tipo Pushover sea empleado como técnica de verificación del DPBD, debido a que produce estimaciones de las demandas tan seguras o más seguras que las del Análisis de Capacidad Espectral para la forma del primer modo. Como los resultados aquí presentados son consistentes con la evidencia encontrada en otros estudios realizados por Chopra y Goel (2001, 2005) también se recomienda que sea evaluada su inclusión como un método alterno de análisis en una futura revisión de la sección 7.7 del CSCR-2002

En el caso del DPBD la deriva de los pisos es un dato del diseño y no un resultado de un análisis. Como el DPBD subestima la deriva de los primeros y últimos pisos, para cumplir con los requisitos de los códigos los edificios se pueden diseñar por desplazamientos (DPBD) para una fracción de la deriva máxima permitida. En este estudio se concluye que los edificios de 5 pisos deben diseñarse para un 70% de la deriva máxima permitida y los edificios de 10 pisos para un 60% de la deriva máxima permitida. Se recomienda que este resultado sea corroborado en otros estudios para estructuras más realistas que el edificio de cortante.

REFERENCIAS 1. Applied Technology Council (ATC). (1996). ATC-40: The Seismic Evaluation and Retrofit of

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