V A L O R A B S O L U T O

Definición de Valor Absoluto.

El valor absoluto de un número cualquiera A se define como la

distancia del numero en cuestión a un origen previamente establecido y

se representa como A . En este sentido, se dice que la magnitud de un

número, siendo una distancia NO tiene signo, es decir, NO tiene

dirección. Es lo que se llama un escalar. Dado que un número

cualquiera puede ser representado sobre la recta numérica, su valor

absoluto nos indica la posición relativa del número con respecto a un

origen arbitrario situado en el cero. Para calcular la magnitud de un

número cualquiera se emplea la siguiente definición matemática:

A = A SI A ≥0

A = -A SI A < 0

Por ejemplo:

Si A = 8, entonces 8 = 8

Y si A = -8, entonces -8 = - (-8) = 8

Propiedades del Valor Absoluto.

El Valor Absoluto tiene una serie de propiedades asociadas con la suma,

la multiplicación y sus operaciones inversas. Esta serie de propiedades

son muy útiles al momento de trabajar con desigualdades. Entre otras

tenemos las siguientes:

1.- a b = a b

2.- a / b = a / b

3.- a + b ≤ a + b →desigualdad del triangulo

4.- a – b ≥ a - b

Desigualdades que i m plican Valor Absoluto.

Por otro lado, en ocasiones es necesario indicar algún número comprendido dentro

de un intervalo dado mediante la notación de valor absoluto. Para estos casos

tenemos las siguientes propiedades.

1.- La notación A ≤a significa que A cumple con: -a ≤A ≤a

2.- La notación A ≥a significa que A cumple con: A ≤ -a ó A ≥ a

3.- La notación A a significa que A cumple con: -a A a

4.- La notación A a significa que A cumple con: -a A ó A a

Ejemplo.-

Indique utilizando la notación de valor absoluto el intervalo que satisface que:

x ≥20

Note que se trata del caso No. 2. Entonces y de acuerdo con lo indicado, el

intervalo que satisface es aquel que contienen los números que satisfacen que:

x ≤ - 20 ó que x ≥20

La notación mediante operaciones de conjunto queda dada por: ( -∞, -20 ) ∪( 20,

∞)

Representación Gráfica de la Solución.

Cualquier x por este lado

Cualquier “x” por este

cumple que x≥20 lado cumple que x≥20

5 0 15

-20 20

1.3.4.- Valor Absoluto Co m puesto.- En cualquier caso, la definición que hemos

dado para determinar el intervalo solución de un valor absoluto es aplicable

independientemente de

que este contenido dentro de las barras. Lo que halla dentro de las barras

recibirá el tratamiento indicado, por ejemplo, sea el problema:

Determine el intervalo de valores que acepta “ x ” tal que satisfaga que:

2x - 1

4

Para encontrar los valores pedidos, quitamos las barras usando la regla

contenida en el renglón No. 3 quedando la desigualdad dada por:

-4 (2x – 1) 4

Enseguida agrupamos las constantes de un solo lado, pasando a la izquierda y a la

derecha el “ -1 “ según las reglas del álgebra, es decir, pasa como “ 1 “

-4 + 1 2x 4 + 1

Después hacemos las operaciones indicadas y luego despejamos el coeficiente de la

“ x “, que en este caso es el “ 2 “, observando otra vez las reglas del álgebra, es

decir, pasa a la izquierda y a la derecha dividiendo al número correspondiente.

-3/2 x

5/2

Y este es el intervalo solución: Todas las “x” menores de –3/2 o mayores que 5/2

satisfacen el valor absoluto del ejercicio.

La representación gráfica de tal intervalo es la que se muestra enseguida.

-4 -3/2 0 5/2 4

En notación de conjuntos la solución queda dada de la siguiente

manera: ( -∞, - 3/2 ) ∪( 5/2,

∞)