Valor Simple

5/9/2018 Valor Simple - slidepdf.com

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SEMINARIO DE DESARROLLO ECONOMICOSEMINARIO DE DESARROLLO ECONOMICO I

Mtro. Celso GarridoMtro. Celso GarridoFebrero 2003Febrero 2003

IntroducciónMatemáticas Financieras

Ana María Hernández Méndez Ana María Hernández Méndez Alejandro Apolinar Rojas Alejandro Apolinar Rojas



Introducción

FINANZASFINANZAS

Asignación de recursosAsignación de recursos TiempoTiempo

Al poner en práctica sus decisiones financieras, las

personas se sirven del

Sistema Financiero...

Conjunto de mercados e instituciones mediante las

cuales se realizan los contratos financieros y el

intercambio de activos



Contenido de la sesión

-Equivalencia financiera

-Interés simple

Valor presente simple

Valor futuro simple

-Base mixta

-Cálculo del tiempo

-Descuento bancario o comercial

-Diagrama de tiempo valor y de flujo de caja

-Interés compuesto

-Diferencia entre interés simple e

-Tasa de interés nominal, real y efectiva

-Anualidades

-Amortización

1a

sesión



Equivalencia Financiera

El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés

ayudan a desarrollar el concepto de EquivalenciaFinanciera y esto significa que sumas diferentes

de dinero en momentos diferentes de tiempo son

iguales en valor económico.

Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente)

Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un

individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este

incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor

económico o equivalente.



Interés Simple

El interés simple se calcula utilizando sólo el principal,

ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés

anteriores

Interés que se carga al final del período y que no gana interésen el período o períodos subsiguientes

$100 $10 $10$10

Ejemplo: Un capital de 100 pesos al 10% en tres periodos

Tiempo 1 2 30Total

en los 3 periodos$30



Nomenclatura Inglesa

I = interés generado ($)

P = es el capital o principal que

se da o se recibe en préstamo

i = tasa de interés anual (%)n = número de años o períodos, tiempo

F = monto o valor futuro a fin del período

I=interés simple

C=capital o principal

i=tasa (tipo de interés tanto por ciento)

t=tiempo

M=monto

Nomenclatura Española

Denominación de Variables



Los intereses:I=Pin (1)

El monto final del período correspondería al capital inicial más los intereses

F=P+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los interesesgenerados, esto es:

F=P+(Pin)

F=P+Pin (3)Factorizando la expresión anterior:

F=P(1+in) (4)

En estás fórmulas básicas del interés simple (1) y ( 3) se tienen cinco variables que son F, P, I,i y n de las cuales se puede obtener cualquiera de ellas a partir de las tres restantes, así de la

fórmula de interés simple:I=PinP=I/ini= I/Pnn=I/Pn

De la fórmula de monto simple se obtieneF=p(1+in)P=F / (1+in)

i=[(F /P)-1] /nn=[(F /P)-1] /i



El planteamiento de los problemas económicos-financieros se desarrolla en torno a dos conceptosbásicos: capitalización y actualización.

El concepto de capitalización se refiere al estudiodel valor en fecha futura o monto que se obtendrá oen que se convertirán los capitales en fechascolocados en fechas anteriores.

El concepto de actualización se refiere al estudio delvalor en la fecha actual o presente de capitales

Capitalización y Actualización



El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquelcapital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de

vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida:

Valor Presente Simple

F=P(1+in) P= F / (1+in)

I=Pin (1)

El monto final del período correspondería al capital inicial más los intereses

F=P+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más losintereses generados, esto es: F=P+(Pin)

F=P+Pin (3)

Factorizando la expresión anterior:F=P(1+in) (4)

De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simple



E jemplo de Valor presente simple

Un miroempresario desea innovar su equipode trabajo y recurre a una institución

crediticia, que le cobra el 16% de interés

simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá

que pagar $52,600 dentro de 5 meses?

$52,600

0 213 4

5 Meses

Tiempo

¿Valor?



Valor Presente

DATOS

Tasa de interes 16 %

Valor futuro 52600Tiempo 5 meses

P=F/(1+ni)

Sustitución P= 52600/(1+0.16*5/12)

Valor presente 49,312.50$

49,312.50$

49,312.50$$52,600

021

3 45 Meses

Tiempo

¡Esta es la

cantidad que leprestaron!



Valor Futuro Simple

El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fechafutura o monto que se obtendrá o en que se convertiránlos capitales en fechas colocados en fechas anteriores.

F=P+I = P+Pin=P(1+in)

I=Pin (1)

El monto final del período correspondería al capital inicial más losintereses

F=P+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual alcapital inicial más los intereses generados, esto es:

F=P+(Pin)

F=P+Pin (3)Factorizando la expresión anterior:se obtiene la fórmula de monto simple



E jemplo de Valor futuro simple

Una institución crediticia otorga un préstamo de

$ 49 312.50 pesos a una tasa de interés simple de

16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después

de 5 meses?

$ 49 312.50

0 213 4

5 MesesTiempo

¿Valor?



Valor Futuro

DATOS

Tasa de interes 16 %

Valor presente 49312.5Tiempo 5 meses

F=P(1+ni)

Sustitución F= 49312.50*(1+0.16*5/12)

Valor Futuro 52,600.00$

49,312.50$

021

3 45 Me

e

¡

ie ¢ po

$ 52, 600

Monto que pagará

dentro de 5 meses



P=capital o suma prestadat=Tiempo

I= interés o rédito

Se tiene de acuerdo con las leyes de variación proporcional

I=PnK (1)

Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamentede las condiciones contractuales de préstamo. Si las condiciones son del i% anual

(año comercial de 360 días).P= 100 unidades

n=360 días ( año comercial )I=i unidades( i%=i unidades por cada 100 en 360 días)

Mediante la aplicación de la fórmula 1 se tiene:i= 100(360) k

se despeja

k=i /100(360)

Base Mixta



Al reemplazar en la fórmula 1 se tiene:

I= Pin /100(360)

para el año de 365 días, el año real , el mismo desarrollo conduce a:

I=Pin / 100(365)

y para años bisiestos, el año real es de 366 días.

El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días. Elinterés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de 366 , sise trata de año bisiesto.

Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días ; peropar la duración de tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que un año), cuentas losdías efectivos calendario.



E jemplo Base Mixta

¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de

$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de

30 días?

$ 12,500

0 213 4 30 días

Tiempo

¿Intereses+ el principal?



Solución

Datos Fórmula

P= 12500

i= 19.75 anual I=Pin/360

n= 30 días

I= ¿?

Sustitución

I=12500(.1975)(30)/360

I= 205.73

la tasa de

interés setoma en

decimales



E jemplo Base Mixta

¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de

$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de

30 días?

I=$205.73+ P= $12,500

$ 12,500

0105

15 20 30 díasTiempo

Este es montototal al final del

periodo

$12705.73

InteresesCapital o principal



Ejemplo de Base Mixta

INF. FINANCIERA

SALDO PROMEDIO 6036.50

DIAS DEL PERIODO 30

TASA BRUTA % 2.00

TASA ISR % 0.40INTERESES A FAVOR (+) 8.05

I.S.R. RETENIDO (-) 2.01

COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA

SALDO INICIAL 6030DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56

RETIROS/CARGOS (-) 2.01

SALDO FINAL 6044.55



Ejemplo de Base Mixta

INF. FINANCIERA Depositos y abonos

SALDO PROMEDIO 6036.50 Intereses del mes anterior= 6.50DIAS DEL PERIODO 30 Intereses ganados= 10.06

TASA BRUTA % 2.00 Total 16.56

TASA ISR % 0.40

INTERESES A FAVOR (+) 8.05 Rendimiento

I.S.R. RETENIDO (-) 2.01 I= 6036.50*30*0.02/360

I= 10.06

ISR

COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA ISR 6036.50*30*0.004/360

SALDO INICIAL 6030 ISR= 2.01

DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56

RETIROS/CARGOS (-) 2.01

SALDO FINAL 6044.55 Intereses a Favor Intereses - ISR

Saldo Promedio I=10.06-2.01

Saldo inicial 6030 I= 8.05

Intereses anteriores 6.05

SP= 6036.1

I =Pin/360



Descuento SimpleDescuento Simple

Descuento bancario o comercialDescuento bancario o comercial

Se define como el interés simple de una deuda, que se paga por adelantado.Para el banquero, descuento significa interés simple, pagado de antemano.

Los bancos emplean esta clase de descuento porque reporta ventaja.

Si F es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalo de tiempofracción de un año para cubrirla y d, la tasa de interés, el

descuento es:

D=FndPor lo tanto el valor presente de una deuda es:

P=F-Fnd= F(1-nd)

se usa el descuento bancario simple para períodos menores a aun año ya que laaplicación de la fórmula p=f(1-nd) puede ser ruinosa para el deudor, cuando n essuficientemente grande

Donde: Dc= descuento bancario

F=valor nominal del descuento

d=tasa nominal del descuento

n=tiempo

P= valor presente



Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual

y si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio,

los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes

intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta elvalor actual del documento.

D=Fnd

Ejemplo de descuento comercial



Solución

D=Fnd

donde d es el descuento

D= 11500(3/12)(0.20)

D= 575

$ 575 son el descuento que se aplica

Valor nominal 11500

Menos el descuento 575Valor anticipado 10925

Entonces el señor López

recibe $10 925 que es el

valor comercial del

documento hasta la fechaque anticipo el pago; el

descuento de calculó en

base al valor nominal del

pagaré



En el comercio se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por algunarazón, ejemplo promociones especiales de venta, compra al por mayor, pronto pago, etc.

El descuento como la comisiones se expresan al tanto por ciento y en su valor nointerviene el tiempo. Sea i% el descuento concedido sobre la factura de valor $ S,entonces se tiene:

Descuento => D= Si

Descuento comercialDescuento comercial

Descuento en cadena o en serieDescuento en cadena o en serie

Con frecuencia ocurre que dentro de una misma factura se hacen una serie dedescuentos sucesivos independientes entre si.

Valor neto de una factura%

Descuento Valor neto de la factura

S VN1

VN2

VN3

. . . VNn

d1

d2

d3

...dn.

VN1=S(1-i1) VN2=S(1-i1)(1-i2) VN3=S(1-i1)(1-i2)(1-i3)

... VNn=S(1-i1)(1-i2)...(1-in)

D=P(100-d) /100*(100-d /100)*(100-dn /100)



Descuento simple

Si un cliente firma un documento por $ 2500 acuatro meses. Un banco otorga un descuento de8% anual ¿qué cantidad le dará el banco?

Descuento en cadena o en serie

Sobre una factura de $50000 se conceden lossiguientes descuentos:a) por compra al por mayor 8%

b)por promoción especial de ventas 5%c) por despacho sin empaques 6%

Calcular el valor neto a pagar



Solución£ 0.08 Su¤

¥

i¥

ución

n 4 meses 0.33333333

D ¿? D= 1000(0.08)(4/12)

D= 26.6666667

Ej¦ § cicio ̈

D©

¥

o ¤ ó § ul©

P 50000 D=P[(100-d)/100*(100-d''/100)*(100-d´´´/100)...]

D ¿

£ ´ 8%£ ´´ 5% Su¤

¥

i¥

ución

£ ´´´ 6% D=50000[(100-8)/100*(100-5/100)*(100-6/100)]

D=

8NOTA:Como se puede observar

en la sust ituci

n tomamos el porcentaje tal cual sin

convert irlo a decimales, esto sehace porque la fórmula lo

permite y al restar el porcentajey luego dividir entre cien

automat icamente estamosconvirt iendo ese porcentaje endécimales y podemos rea li

ar laoperación.

el va lor neto a pagar es$41078



Tiempo

Valor

presente

21 3 4 5

Valor

futuro

P

0

F

Un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentesen sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene fecha inicial y se cuenta con

un valor futuro, en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene un fecha de vencimientoo final , y un valor antes del vencimiento

Diagramas de Tiempo Valor

Tiempo

Valor

presente

2 1345

Valor

futu

ro

P

0

F



Diagrama de Flujo de Caja

Tiempo21 3

B

4 5 6

0F

7

A,B y C ingresos (+)D,E y F egresos (-)

E

D

-

+

A

Al colocar en un diagrama de tiempo-valor flechas arribapara

los ingresos y flechas hacia abajopara los egresos

C



Interés CompuestoInterés Compuesto

Los intereses generados en un período devengan un interés generado anteriormente.El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y

que devenga interés en el período o períodos subsiguientes

Año Cantidad

acumulada

Interés

pagado

Cantidad acumulada

al final del periodo

1 P Pi P+Pi=P(1+i)

2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i) +P(1+i)1i= P(1+i)

2

3 P(1+i)2

P(1+i)2i P(1+i)

2 +P(1+i)

2i=P(1+i)

3

. . . .

. . . .

n P(1+i)n-1

P(1+i)n-1

i P(1+i)n-1

+P(1+i)n-1

i=P(1+i)n



Comparación entre Interés simple e interés compuestoComparación entre Interés simple e interés compuesto

La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuestoes mediante la elaboración de gráficas correspondientes a una misma tasa

Por e emplo, la tasa del 20% y un capital de $ 1000.Los montos son F= 1000(1+n0.20) para interés simple

y F= 1000(1+0.20)n para el interés compuesto

Función discreta a= valor futuro de $ 1000 al interés del 20%b= Valor futuro de $1000 al interés compuesto del 20%

función continua A línea recta F = 100[1+0.20]

B función exponencial F= 1000(1.2)n

El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráficacorresponde a la de una futura función exponencial. Por su parte , el monto

a interés simple crece en progresión aritmética



Comparación entre Interés simple e Interés compuesto

La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuestoes mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa

1 52 años30

1000

2000 A

B

aa

a

a

a

b

b

b

b

4



Como se observa la suma acumulada al final del período n es:

F=P(I+i)n

Esta fórmula relaciona una cantidad (presente con unacantidad futuro (f )

De esta fórmula se deduce:

P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien:

P=F /(1+i)n

I= (f /P)1/n-1 ó bien I= n

n= log F - log P / log (1+i)

(f /p) - 1



Período de Capitalización

El interés puede ser convertido en capital anual, semestraltrimestral, y mensual así como diario,dicho período es

denominado período de capitalización. Al número de veces que elinterés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de

c

onversión.Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario quepaga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?

Un año = 12 meses /3 meses= 4

4 es el período de capitalización trimestral



Tasa de Interés Nominal,

Efectiva (o real) y Equivalente

Cuando se realiza una operación financiera, se pacta unatasa de interés anual que rige durante el lapso que dure laoperación, ésta es denominada tasa de interés nominal.

Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral ,trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganadaes mayor que si se compone en forma anual. Cuando estosucede, se puede determinar una tasa efectiva deinterés.

Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de

capitalización serán equivalentes si al cabo de un añoproducen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasasanuales de interés con diferentes períodos de capitalizaciónes se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenidopor capitalización es igual al final del año.



Partiendo de la fórmula

F= P(1+in /n)n

la tasa efectiva es el rendimiento anual ie,es el rendimiento anual que se obtendría alfinal del período cuando la tasa nominal i

n se

capitaliza n veces. Para una inversiónunitaria anual se tiene lo siguiente:

1(1+1e)=1(1+in /n)n-1 -->ie=(1+in /n)n-1

despejando in se tiene la tasa nominal porperiodo: in=n[(1+ie)

1 /n-1



Cuando la tasa nominal se capitaliza por m años , seobtienen para un año

se despeja:(1+in /n)m=[(1+in /n)n]m=

F=P(+in /n)nm

in=m[(1+ie)n /m-1



Ejemplo¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de undepósito bancario de $ 1000.00 pactado al 48% de interésanual convertible mensualmente?

F=1000(1+0.04)12

F=1000(1.601032)

F=1601.0322

I=F-PI=1601.0322-1000

i=I /Pi=601.0322 /1000

i=0.6010la tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%



ie=(1+in /n)n-1

ie=(1+0.4 /12)12

-1

ie=(1.601032)-1

ie=.601032

ie=60.10%

el resultado es el mismo que el anterior

Usando la formula directamente se tiene:



Ejemplo de tasa nominal

Hallar la tasa nominal im capitalizable mensualmenteequivalente a la tasa del 8% capitalizable oconvertible semestralmente. Sustituyendo en lafórmula:

in=m[(1+ie)1 /m-1]

in=12[(1+0.0 /2)2 /12-1]in

=12(0.0065)=0.07 696

in=7. 69%



Anualidades Anualidades

Una anualidad es una serie de pagos periódicos

a intervalos de tiempo iguales y generalmente del mismo montolos conceptos básicos para las anualidades son:* La renta* La renta anual* La plazo de la anualidad* El intervalo de pago o período* La tasa de una anualidad

Clasificación

Ciertas Contingentes

Anualidades a plazo fijo y rentas perpetuas

Por fecha de pago:$anualidades vencidas u ordinarias$anualidades anticipadas$ Anualidades diferidas$anualidades perpetuas



Crit erioCrit erio Tipos de anualidad Tipos d e anualidad

a) A) Tiempo

B) Intereses

c) c)Pagos

D) Inicio

CiertasContigentes

Simples

Generales

Vencidas Anticipadas

Inmediatasdiferidas



a) Anualidad cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de

antemano. Por ejemplo: Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fechaque se debe de hacer el primer pago así como la fecha enque se realiza el último.

a) Anualidad contigente: tanto la fecha del primer pago como

la fecha del último pago no se fijan con antelación sino queesta sucede por un hecho fortuito, por ejemplo las rentasvitalicias que se otorgan cuando fallece el conyuge, por loque no se sabe cuando morirá.

b) B)

c) Cuando el periodo de pago coincide con el de lacapitalización de los intereses, por ejemplo el pago de unarenta determinada a una cierta tasa de interés.

A)



Anualidades generales. En esta el periodo de pagono coincide con el periodo de capitalización

C)de acuerdo con los pagosanualidad vencida: los pagos se realizan alperiodo de vencimiento

anualidad anticipada: los pagos se realizan antes dela fecha de vencimiento

0 1 2 3....

0 1 2 3

....



D) Anualidad inmediata:

Es el caso más común y la realización de loscobros o pagos tiene lugar en el periodoinmediatamente siguiente ala formación del trato

Anualidad diferida:

Se pospone la realización de los cobros o pagos.Se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar

con abonos mensuales , el primer pago habráde hacerse por ejemplo seis meses después dehaber adquirido la mercancía.



A=P[i /(1+(1+i)-n]

Valor Presente de una anualidad

Despejando

P= A[1-(1+i)-n /i



AMORTIZACIONES

En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza paradenominar un proceso financiero mediante el cual se

extingue, gradualmente, una deuda por medio depagos periódicos, que pueden ser iguales o

diferentes.En la amortización de una deuda, cadapago o cuota que se entrega sirve para pagar los

intereses y reducir el importe de la duda.



Recomendaciones para elaborar el laboratorio

1. No es lo mismo tasa de interés que interés o intereses, la primera está expresada

en (%) porcentaje y la segunda en el tipo de moneda que se este manejando (pesos, dólares, etc.)

2. La tasa de interés y el tiempo debe de ir expresado en las mismas unidades, por ejemplo si tenemosperiodos semestrales, la tasa de interés debe estar expresada en una tasa de interés semestral.

3. No confundir periodo de capitalización con el término capitalización, porque el primero essólo la frecuencia de conversión y el segundo esta relacionado con el valor futuro.

4. En esta presentación vienen insertadas hojas de cálculo; para que puedan activar la hojassólo den doble click, y se activará, pero esto sólo se puede realizar en Windows 95 , 98,y Mileniun; en Windows XP no se pueden activar.

5. Consultar la siguiente bibliografía:

-Portus, Lincoyan. Matemáticas Financieras. Mc Graw Hill, México. 1998

-Díaz Mata, Matemáticas Financieras. Tercera edición. Edit Mc Graw Hill.

6. Si tienen alguna otra duda por favor dirigirse con los Asistentes.

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