Valores Extremos 2 Condiciones-lagrange

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGEIERIA CALCULO VECTORIAL FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA VALORES EXTREMOS CONDICIONADOS

Rosa Ñique Alvarez 139

METODO DE LAGRANGE CON DOS CONDICIONES Interpretación geométrica

Suponga ahora que queremos hallar los valores máximo y mínimo de f (x, y, z) sujetos a dos condiciones (restricciones) de la forma g (x, y, z) = k y h (x, y, z) = c. Geométricamente, esto significa que estamos buscando los valores extremos de f cuando el punto P(x0, y0, z0), está sobre la curva intersección de las superficies de nivel g (x, y, z) = k y h (x, y, z) = c. Se puede demostrar que si un valor extremo se presenta en P(x0, y0, z0), entonces el vector gradiente ),,( 000 zyxf∇ está en el plano determinado por ),,( 000 zyxg∇ y

. (Suponemos que estos vectores gradientes no son cero ni paralelos.) Por tanto, hay números λ y μ (llamados multiplicadores de Lagrange) tales que

En este caso, el método de Lagrange es buscar valores extremos resolviendo un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas x, y, z, λ y μ.

==+=

+=+=

czyxhkzyxg

hgf

hgfhgf

zzz

yyy

xxx

),,(),,(

µλ

µλµλ

),,( 000 zyxh∇

),,(),,(),,( 000000000 zyxhzyxgzyxf ∇+∇=∇ µλ

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EJEMPLO 5 Calcule el máximo valor de la función f (x, y, z) = x + 2y +3 z en la curva de intersección del plano x – y + z = 1 y el cilindro x2 + y2 = 1. Función objetivo: f (x, y, z) = x + 2 y +3 z Condiciones : x – y + z = 1 Plano x2 + y2 = 1 Cilindro En este ejemplo debemos encontrar un punto P(x, y, z) que pertenezca tanto al plano como a al cilindro donde la función f tome un valor máximo. Usando método de Lagrange

( )

=+

=+−−+∇+−+−∇=++∇

1

11)1()32(

22

22

yxzyx

yxzyxzyx µλ

formamos el siguiente sistema

=+

=+−λ=

µ+λ−=µ+λ=

)5(1

)4(1)3(3)2(22)1(21

22 yx

zyx

yx

De (3) se tiene λ = 3 reemplazando en (1) y (2) obtenemos µ

=µ

−=25,1 yx con

µ ≠ 0. Luego reemplazamos en (5) y tenemos 229

±=µ . Entonces

295,

292

±== yx m , luego con estos dos valores en (4) se obtiene 2971±=z .

Con los resultados anteriores tenemos dos puntos críticos:

( )29/71,29/5,29/21 +−=P y ( )29/71,29/5,29/22 −−=P






Conclusiones: 385,8293)( 1 =+=Pf Valor Máximo

.385,2293)( 2 −=−=Pf

EJEMPLO 6 Sea

22220),,( zyxzyxT +++=

la temperatura en cada punto de la esfera x2 + y2 + z2 = 11. Determine las temperaturas extremas sobre la curva intersección de la esfera con el plano x + y + z =3. Función objetivo Función Temperatura Condiciones x2 + y2 + z2 = 11 Esfera x + y + z =3. Plano

22220),,( zyxzyxT +++=






Solución Usando el método de los multiplicadores de Lagrange

( )

=++=++

−++∇+−++∇=∇

311

)3(11)),,((222

222

zyxzyx

zyxzyxzyxT µλ

Formamos el siguiente sistema

=++=++

µ+λ=µ+λ=µ+λ=

)5(3)4(11

)3(22)2(22)1(22

222

zyxzyx

zzyx

Restando las ecuaciones (1) y (2) se tiene

00)(2 ==↔=− λλ óyxyx Caso 1: x = y pero λ ≠ 0 Las ecuaciones (4) y (5) se reducen a: (6) 2x2 + z2 = 11 (7) 2x + z = 3 Considerando la ecuación (7) se obtiene z = 3 - 2 x, luego reemplazando este valor en (6) tenemos

3323

016311)23(2 222 ±=↔=−−→=−+ xxxxx

Puntos críticos:

+−−=

−++=

3343,

3323,

3323y

3343,

3323,

3323

21 PP

Caso 2: λ = 0 pero µ ≠ 0 Usando las ecuaciones (1) ó (2) se obtiene µ = 2, reemplazando este valor en la ecuación (3) se tiene z = 1. Reemplazando z = 1 las ecuaciones (4) y (5) se reducen a: (8) x2 + y2 = 10 (9) x + y = 2






196

222

=++ zyx

De (9) se obtiene y = 2 – x, luego reemplazando este valor en (8) tenemos

1ó303210)2( 222 −==↔=−−→=−+ xxxxxx Puntos críticos: P3 = (3, -1,1) y P4 = (-1, 3, 1). Conclusiones T (P1) = T (P2) = 91/3 Temperatura máxima T (P3) = T (P4) = 25 Temperatura mínima. EJEMPLO 7 Ubique en el elipsoide el o los puntos más cercanos al plano 3 x + 4 y + 12 z = 288. Solución Sean P = (x, y, z) un punto de elipsoide y Q = (u, v, w) del plano. Función Objetivo d 2 (P, Q) = ( x - u)2 + ( y - v)2 + ( z - w)2 Condiciones Elipsoide 3 u + 4 v + 12 w = 288 Plano Observación: la función objetivo depende de seis variables,

d 2 (P, Q) = d 2 (x, y, z, u, v, w) Método de Lagrange:

=++

=++

−++∇+

−++∇=∇

2881243

196

)2881243(196

)),((

222

222

2

wvu

zyx

wvuzyxQPd βλ

196

222

=++ zyx






Formamos el siguiente sistema

=++

=++

=−−=−−=−−=−

=−

=−

2881243)8(

196

)7(

12)(2)6(4)(2)5(3)(2)4(2)(2)3(

2)(2)2(48

)(2)1(

222

wvu

zyx

wzvyux

zwzyvy

xux

βββλ

λ

λ

de las ecuaciones (1), (2) y (3) se tiene

(9) )0,0,0(),,(;)(96≠

−=

−=

−= zyx

zwz

yvy

xux

λ

usando las ecuaciones (4), (5) y (6) tenemos

(10) 623

)(2 wzvyux −=

−=

−=β

usando los resultados (9) y (10) obtenemos (11) x = 72y, z = 3y (12) w = 3 v reemplazando (11) en (7) se obtiene dos puntos críticos: P1 = ( 9, 1/8, 3/8 ) y P2 = ( -9, -1/8, -3/8 ) en el elipsoide. Para P1 = ( 9, 1/8, 3/8) (13)

43

32285 vu +=

reemplazamos (12) y (13) en (8) y obtenemos:

=

848648321202,

35213618,

408524873

1Q

un punto del plano.

( ) 688,1911 =QPd






Para P2 = ( - 9, - 1/8, - 3/8) (14)

32285

43

−=vu

de (12) y (14) en (8), obtenemos:

−=

352121330,

352107110,

408595217

2Q otro punto del

plano.

( ) 616,2422 =QPd Conclusiones:

( ) 688,1911 =QPd

( ) 616,2422 =QPd Finalmente, P1 es el punto del elipsoide más cerca del plano 3 x + 4 y + 12 z = 288.

196

222

=++ zyx




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