Sergio Yansen Núñez

Valores extremos locales, crecimiento y concavidad

1. Sea Determine, en caso de existir:0ÐBÑ œ B � )B � ")B ) Þ% $ #

a) intervalo(s) donde la función es estrictamente creciente, estrictamentedecreciente.

b) valor(es) máximo(s) local(es), mínimo(s) local(es) de .0ÐBÑ

2. Sea 0ÐBÑ œ %B &B& %

a) ¿Dónde es estrictamente creciente?0

b) Determine, si existen, valor(es) máximo(s) local(es), mínimo(s) local(es)de .0ÐBÑ

c) ¿Dónde es estrictamente creciente?0 w

d) ¿Dónde la gráfica de es cóncava hacia arriba?0

3. Sea función talque0

0 ÐBÑ œ BÐB "ÑÐB � "Ñ 0 ÐBÑ œ Ð $ B � "ÑÐ $ B "Ñw ww È È

Determine, en caso de existir:

a) Intervalo(s) donde es estrictamente creciente0

b) Intervalo(s) donde es estrictamente creciente0 w

c) ¿Dónde la gráfica de es cóncava hacia abajo?0

4. La siguiente gráfica representa a la función C œ 0 Bwa b

A partir de ella, determine:

a) Los intervalos donde es estrictamente creciente.0 b) Los máximos y los mínimos locales de 0 c) Los intervalos donde la gráfica de es cóncava hacia arriba.0 d) ¿En qué puntos cambia la concavidad de la gráfica de ?0

Sergio Yansen Núñez

Resolución

1.

a) 0ÐBÑ œ B � )B � ")B )% $ #

0 ÐBÑ œ %B � #%B � $'Bw $ #

0 ÐBÑ œ ! Í %B � #%B � $'B œ !w $ #

Í B � 'B � *B œ !$ #

Í BÐB � $Ñ œ !#

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valores críticos: B œ $ ß B œ !

�_ � $ ! �_

0 ÐBÑ � � �

0ÐBÑ

w

à à ß

es estrictamente creciente en 0 Ó!ß �_Ò

es estrictamente decreciente en 0 Ó _ß !Ò

b) De la tabla anterior, se obtiene:

valor máximo local de : no hay0ÐBÑ

valor mínimo local de : 0ÐBÑ 0Ð!Ñ œ ) 2.

a) 0ÐBÑ œ %B &B& %

0 ÐBÑ œ #!B #!Bw % $

0 ÐBÑ œ ! Í #!B #!B œ !w % $

Í B ÐB "Ñ œ !$

Í B œ ! ” B œ " valores críticos: , .B œ ! B œ " �_ ! " �_

0 ÐBÑ � � �

0ÐBÑ

w

ß à ß

es estrictamente creciente en y en 0 Ó _ß !Ò Ó"ß �_Ò

b) De la tabla anterior se obtiene: valor máximo local de : 0ÐBÑ 0Ð!Ñ œ !

valor mínimo local de : 0ÐBÑ 0Ð"Ñ œ "

c) 0 ÐBÑ œ #!B #!Bw % $

0 ÐBÑ œ #!Ð%B $B Ñww $ #

0 ÐBÑ œ ! Í %B $B œ !ww $ #

Sergio Yansen Núñez

Í B Ð%B $Ñ œ !#

Í B œ ! ” B œ $

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valores críticos: , B œ ! B œ $

%

�_ ! �_

0 BÑ � � �

0 ÐBÑ

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w à à ß

es estrictamente creciente en 0 Ó Òw $

%ß �_

d) Ó Ò$

%ß �_

3.

a) 0 ÐBÑ œ BÐB "ÑÐB � "Ñw

0 ÐBÑ œ ! Í B œ ! ” B œ " ” B œ "w

�_ � " ! " �_

0 ÐBÑ � � � �

0ÐBÑ

w

à ß à ß

es estrictamente creciente en ; en 0 Ó "ß !Ò Ó"ß �_Ò

b) 0 ÐBÑ œ Ð $ B � "ÑÐ $ B "Ñww È È

0 ÐBÑ œ ! Í B œ ” B œww " "

$ $È È

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0 BÑ � � �0 ÐBÑ

" "

$ $È Èww

w ß à ß

es estrictamente creciente en ; en 0 Ó ß Ò Ó ß �_Òw �_ " "

$ $È È

c) , Ó Ò" "

$ $È È

4. a) ‘ � ‘ � 'ß # à (ß �_

b) Valor máximo local: 0Ð#Ñ Valores mínimos locales: ; 0Ð 'Ñ 0Ð(Ñ

c) 5‘ � ‘ � ‘ �_ß % à #ß ! à ß �_

d) Ð %ß 0Ð %ÑÑ à Ð #ß 0Ð #ÑÑ à Ð!ß 0Ð!ÑÑ à Ð&ß 0Ð&ÑÑ