Valores Propios, Vectores Propios y Formas Canonicas

7/21/2019 Valores Propios, Vectores Propios y Formas Canonicas

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CAPITULO 3. VALORES Y VECTORESPROPIOS

CAPITULO 3.

Valores caractersticos,vectores

caractersticos y

formas ca!icas.Supongamos quet: v ves una transformacin lineal. En unagran variedad de aplicaciones, es decir, se buscan un vector y un

escalar tal que

T(v ) = v

CONTENIDO3.". Valores y vectores caracteristicos.

3.#. $atrices seme%ates y &ia'oali(acio

3.3. $atrices sim)tricas y &ia'oali(acio orto'oal.

3.*. +orma ca!ica &e %or&a.

3.. U -to &e vista &iferete/ teorema &e Calyley01amilto.

.1. Valores y vectores caractersticos.

Fuente: !"E#$% !&'E%!. Stanley &. "rossman gina*+A-tes &e Clase Prof. 2ORE VILLA$I4ARr-o &e 5LE6RA LI7EAL II S" "er semestre #8"# Se&eSocorro


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Defnicin 1: Valor y vector caractersticoSeaAuna matri den x n con elementos reales. El n-mero (compleo o real) recibe

el nombre de valor caracter/stico de A si e0iste alg-n vector

diferente de cero V en tal que

A V = V

Se dice que el vector V 1 0 es un vector caracter/stico

de A correspondiente al valor caracteristico .

TEOREMA 1. SeaA una matri den x n

. Entonces

es elvalor caracter/stico deAsi y slo si

P ( ) = det(A2 I ) = 0 (1)

Defnicin 2: Ecuacin y polinomio caracter/sticos !a ecuacin(1) recibe el nombre de ecuacin caractersticadeA adems,

a P ( ) se llama polinomio caractersticodeA.

TEOREMA 2.Sea un valor caracter/stico de la matriA de

n x n y sea E = 3 V :A V = V 4. Entonces E es un

subespacio de Cn

.

Defnicin !: Espacio caracterstico Sea un valor

caracter/stico de A. el subespacio

E

recibe el nombre deespacio caracterstico deAcorrespondiente al valor caracter/stico

.

TEOREMA !. SeaA una matri de n x n y sea 1 , 2 , .. , m

valores propios distintos deA(es decir, i j si i j ) con

vectores propios correspondientes V1 ,V2 , .., Vm . Entonces

Fuente: !"E#$% !&'E%!. Stanley &. "rossman gina*5A-tes &e Clase Prof. 2ORE VILLA$I4ARr-o &e 5LE6RA LI7EAL II S" "er semestre #8"# Se&eSocorro


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V1

,V2

, .., Vm son linealmente independientes. Esto es: los

vectores "ro"ios corres"on#ientes a valores "ro"ios

#istintos son lineal$ente in#e"en#ientes.

TEOREMA %.!os valores propios de una matri triangular son lascomponentes diagonales de la matri.

Defnicin %: Multiplicidad geomtricaSea un valor propio

de la matriA6 entonces la multiplicidad geomtricade es la

dimensin del espacio propio correspondiente a (que es la

nulidad de la matriA2 I

). Esto es,

7ultiplicidad geom8trica de = dim E = V (A2 I )

TEOREMA &.Sea un valor propio deA. entonces

7ultiplicidad geom8trica de 9 multiplicidad algebraica de .

TEOREMA '.SeaA una matri den x n

6 entoncesA tiene

n

vectores propios lienalmente independientes si y slo si lamultiplicidad geom8trica de cada valor propio es igual a su

multiplicidad algebraica. En particular,A tiene n vectores propios

lienalmente independientes si todos los valores propios son distintos(ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es)

!.2. Matrices se$e(antes y

#ia)onali*acion.

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En esta seccin se describe una relacin interesante y -til que sepuede cumplir entre dos matrices.

Defnicin 1: Matrices semejantesSe dice que dos matricesA

y + de n x n son semejantessi e0iste una matri invertible c de

n x n talque

+= C1

A C

TEOREMA 1. Si A y + son matrices semeantes de n x n ,

entonces A y + tienen el mismo polinomio caracter/stico y, por lo

tanto, tienen los mismos valores propios.

Defnicin 2: Matri diagonalia!le


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#orolariosi la matriA de n x n tieneA de n valores propios

diferentes, entoncesAes diagonaliable.

TEOREMA !.Sea vun espacio vectorial de dimensin finita conbases B 1 = 3 V1 ,V2 , .., Vn 4 y B2 = 3 W1 ,W2, .. ,Wn 4. Sea

T: v v una transformacin lineal. Si A T es la representacin

matricial de T con respecto a la base B 1 y si CT es la

representacin matricial de T respecto a la base B2 , entoncesAT y CT son semeantes.

!.!. Matrices si$-tricas y #ia)onali*acion

orto)onal.

En esta seccin se ver que las matrices sim8tricas reales tienenvarias propiedades importantes. En particular, se demuestra que

cualquier matri sim8trica real tiene n vectores propios reales

linealmente independientes y, por lo tanto es diagonaliable. Secomenara demostrando que los valores propios de una matrisim8trica real son reales.

TEOREMA 1.SeaA una matri sim8trica real de n x n 6 entonces

los valores propios deAson reales.

TEOREMA 2.SeaA una matri sim8trica real de n x n . Si 1 y

2 son valores propios diferentes con vectores propios reales

correspondientes V1 y V2 , entonces V1 y V2 son

ortogonales.

TEOREMA !. Sea A una matri sim8trica real de n x n .

EntoncesAtienen

vectores propios reales ortonormales.Fuente: !"E#$% !&'E%!. Stanley &. "rossman gina?@A-tes &e Clase Prof. 2ORE VILLA$I4ARr-o &e 5LE6RA LI7EAL II S" "er semestre #8"# Se&eSocorro


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Defnicin 1: Matri diagonalia!le ortogonalmente Se dice

que una matriA de n x n es diagonalia!le ortogonalmentesi

e0iste una matri ortogonal tal que

Q1

A Q= #

onde #= ( 1 , 2 , .. , n ) y 1 , 2 , .. , n son valores propios deA.

TEOREMA %. SeaA una matri real de n x n . Entonces A es

diagonaliable ortogonalmente si y slo siAes sim8trica.

!.%. /or$a cannica #e (or#an.

Es esta seccin se vera que aunque toda matri no esdiagonaliable (es decir no tiene n vectores propios linealmente

independientes) para analiar bien este caso, se define la matri! como la matri " x " .

! =

0

1 0 0 00 1 0

00

1

0

(000 )

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Matrices de !lo$ues de jordan:

0( ) = I A ! =

1 0 0 0 0

1 0 0

0

1

0

(00 )

Es decir, 0 ( ) es la matri de " x " con el escalar es la

diagonal, unos arriba de la diagonal y ceros en otra parte.

Matri de jordan por ultimo, una matri de jordan # tiene la

forma

# =

B1(1)

0 0 0

B2(2) 0 0

(Br(r) )

onde cada Bj(j) es una matri de bloques de ordan. Entonces

una matri de ordan es una matri que tiene en la diagonal principalmatrices de bloques de ordan y ceros en otra parte.

TEOREMA 1. Sea A una matri real o complea de n x n .

Entonces e"iste una matri C complea invertible de n x n tal

queFuente: !"E#$% !&'E%!. Stanley &. "rossman gina?BA-tes &e Clase Prof. 2ORE VILLA$I4ARr-o &e 5LE6RA LI7EAL II S" "er semestre #8"# Se&eSocorro


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C1

A C = #

onde # es una matri de ordan cuyos elementos en la diagonal

son los valores propios deA. mas aun, la matri de ordan # es

-nica e0cepto por el orden en el que aparecen los bloques deordan.

Defnicin 1. Forma cannica de ordan !a matri # en el

teorema anterior se llama la forma cannica de ordan deA.

TEOREMA 2.Suponga que la matri de B0B tiene un valor propio

de multiplicidad algebraica B y multiplicidad geom8trica . Sea

V1 un vector propio correspondiente a . Entonces e0iste un

vector V2 que satisface la ecuacin

(A2 I ) V2 = V1

Defnicin 2. Vector propio generaliadoSeaAuna matri de

B0B con un solo valor propio que tiene una multiplicidad

geom8trica . Sea V1 un vector propio deA. entonces el vector

V2 definido por (A 2 I ) V2 = V1 se llama vector propio

generaliadodeAcorrespondiente al valor propio .

TEOREMA !. Suponga que A, % V1 y V2 estn definidos

como el teorema anterior y sea C la matri cuyas columnas son

V1 y V2 . Entonces C

1

A C = # , donde # = ( 00 ) esla forma cannica de ordan deA.

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!.&. n "nto #e vista #i3erente:

teore$a #e Calyley45a$ilton.

E0isten mucCos resultados interesantes sobre los valores propiosde una matri. En esta seccin se estudiara uno de ellos. ice quecualquier matri satisface su propia ecuacin caracter/stica

Sea P(6) = xn

A an1xn1

AD A a1x A a0 un polinomio y seaA

una matri cuadrada. Entonces las potencias de % estn definidas y

Se define

P(A) = An

A an1An1

AD A a1A A a0I

S& P ( ) y Q ( ) son polinomios en la variable escalar

cuyos coeficientes de matrices cuadradas y si P ( ) = Q ( )

(A2 I ), entonces P(A) = 0.

eorema de ayley2Gamilton oda matri satisface su propia

ecuacin caracter/stica. Es decir si P ( ) = @ es la ecuacin

caracter/stica deA, entonces P(A) = 0.

En algunas situaciones el teorema de ayley2Gamilton es -til para

calcular la inversa de una matri. Si e0iste A1

y P(A) = 0%

entonces A1

P(A) = 0.ara utiliar esto,

P( ) = n

A an1

n1

AD A a1 A a

0

, entonces

P(A) = An

A an1An1

AD A a1A A a0I = @

H

A1

P(A) = An1

A an1An2

AD A a2A A a1I A a0A1

= @

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%s/

A1

=1

a0

( An1

an1An2

D a2A a1I )

Ibserve que a0 1 0 porque a0 = detA y se supuso que A era

invertible.

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