1

MODELOS VAR Y VAR ESTRUCTURAL

Los modelos económicos tratan de describir teorías económicas basados en

las interrelaciones existentes entre ciertas variables macoeconómicas.

Tales interrelaciones suguieren ciertos comportamientos regulares del pasado

que afectan a las observaciones presentes*. Sin embargo, dado que el pasado

no determina completamente el presente, se genera una parte no explicada, la

cual está asociada a un conjunto de:

“shocks” estocásticos

Los cuales juegan un papel importante en relación a las diferentes

teorías macroeconómicas

*Véase, M. Hatanaka, Time-Series based Econometrics Unit Roots and Cointegration,

Advanced Text in Econometrics, 1996.1

En algunas ocasiones, las formas funcionales que gobiernan el conjunto de

interrelaciones no son determinadas de manera específica por la teoría económica

La econometría adopta al modelo lineal de ecuaciones simultáneas (1)

como método de aproximación

tttt XXX εβββ +++= −− L22110

[ ][ ] Ω=

='

0

tt

t

t

E

E

iid

εε

ε

ε

siendo ttX ε,procesos estocásticos vectoriales de orden k:

observable y no observable.

las matrices de coeficientes: L,, 10 ββ reflejan los postulados de las diferentes

teorías económicas sobre las interrelaciones de las variables bajo estudio.

(1)

2

La econometría estructural, especialmente la modelación (1), tuvo un gran auge entre

1950 – 1960. Bajo este esquema, el trabajo teórico se concentró en el desarrollo de

métodos de estimación que tuviesen en cuenta el sesgo de simultaneidad:

El cual resulta de la correlación entre:

los términos de error y algunas variables explicativas

El trabajo práctico giró en torno a la construcción de grandes y complicados modelos

económicos que consideraban un gran número de variables endógenas bajo el enfoque

de la Comisión Cowles1.

1/ Charemza y Deadman, 1997, New Directions in Econometric Practice.

Sims 1980 muestra como para lograr la fase de identificación en la aplicación del

modelo de ecuaciones simultáneas se requiere de un conjunto de restricciones

lineales o de exclusión no necesariamente soportadas por la teoría económica.

3

Es de mencionar, que tales restricciones presuponen causalidades unidireccionales

y definen como equivalentes a los conceptos de causalidad y exogeneidad. Una de

las mayores objeciones al modelo de ecuaciones simultáneas se desprende de la

famosa crítica de Lucas. Es decir, no hay razón para pensar que la estructura de las

relaciones económicas permanece invariante ante intervenciones de política.

Sims sugiere como modelo alternativo el modelo VAR definido como:

tttt eXAXAX +++= −− L2211

[ ] 0=t

t

eE

iide

el cual se considera como un modelo de series de tiempo de forma reducida,

donde no se considera de manera explícita las relaciones contemporáneas entre

las variables bajo análisis dado que todas tienen carácter endógeno..

(2)

El interés inicial sobre la modelación VAR surge de la incapacidad de los

economistas para reconocer la verdadera estructura de la economía4

En este modelo se evita el problema del manejo de restricciones teóricas para la

identificación. Por consiguiente, este modelo se convierte en la antítesis de la

modelación bajo ecuaciones simultáneas donde el soporte es dado por una teoría

económica particular.

Como lo presentan Darnell y Evans1, el trabajo de Sims sobre modelación VAR

se desarrolla en un momento caracterizado por:

(1) pronósticos inadecuados de los modelos macroeconómicos, basados en ecuaciones

simultáneas, siguiendo la tradición de la comisión Cowles. Hechos que Amisano y

Giannini2 asocian con: (i) el colapso del Sistema Bretton Woods y (ii) los “shocks”

petroleros.

(2) Gran desarrollo de los modelos de series de tiempo.

5

1/ Véase, Darnell y Evans (1990), The Limits of Econometrics.

2/ Véase, Amisano y Giannini (1997), Topics in Structural VAR Econometrics.

3/ Véase, Plosser y Schwert (1978)

Algunas críticas a la Modelación VAR

Darnell y Evans (1990)

(1) La exigencia de un comportamiento estacionario en las variables puede

conducir a transformaciones que de acuerdo a Plosser y Schwert puden llevar

a resultados erróneos

(2) gran sensibilidad de los modelos ante la inclusión de nuevas variables al

conjunto inicial de información.

(3) el efecto de la selección de la longitud del rezago sobre el desempeño del

pronóstico

(4) la falta de sentido económico en el proceso de ortogonalización de las

innovaciones

(5) la reordenación del sistema, mediante el esquema de triangulación inferior,

llevada a cabo con el fin de aislar los efectos de las diferentes políticas o “shocks”

aleatorios, presenta problemas de interpretación, ya que por una parte, en la

concepción general del modelo VAR no se hace referencia alguna a ecuaciones de

tipo estructural, sin embargo, en el análisis de impulso respuesta éste parece ser un

sistema de forma reducida derivado de uno estructural.

6

La conexión entre el sistema de ecuaciones simultáneas y el modelo VAR estándar

se tiene algebraicamente, puesto que el modelo (2) puede obtenerse a partir de (1)

premultiplicando por B0, así:

tt Be

BBA

BBA

ε10

2

1

02

1

1

01

−

−

−

=

=

=

M

En la práctica, la estimación del sistema se lleva a cabo a través del VAR estándar (2).

Si la matriz B0 fuese conocida tanto los parámetros del modelo estructural (1) como

como los “shocks” estructurales podrían ser determinados.tε

(3)

(6) Las funciones de impulso-respuesta y de descomposición de varianza que

ilustran las características dinámicas del modelo empírico son obtenidas a través

de una técnica mecánica que se entendió como no relacionada con la teoría

económica. Sin embargo, ésta implica una estructura económica particular que

en la mayoría de las ocasiones es difícil de reconciliar con la teoría económica.

Conexión entre el VAR Estándar y los Sistemas de Ecuaciones Simultáneos

7

Las diferentes críticas a la modelación VAR conduce al desarrollo del enfoque VAR

estructural. Técnica que permite al investigador el uso de la teoría económica para

transformar el modelo VAR de forma reducida en un sistema de ecuaciones estructurales

(1) Los parámetros son estimados imponiendo restricciones estructurales

contemporáneas o de largo plazo.

(2) El impulso-respuesta y la descomposición de varianza pueden ser interpretados

estructuralmente.

Una alternativa de VAR Estructural es el desarrollado por Shapiro y Watson (1988),

y Blanchard y Quah (1989), donde se utilizan restricciones de largo plazo para

identificar la estructura económica de la forma reducida. Tales modelos tienen

características de largo plazo que son consistentes con restricciones teóricas usadas

para la identificación de los parámetros.

8

SISTEMA DE ECUACIONES SIMULTANEAS O SISTEMA PRIMITIVO

En algunas ocasiones las formas funcionales que gobiernan el conjunto de

interrelaciones no son determinadas de manera específica por la teoría

económica.

La econometría adopta al modelo lineal de ecuaciones simultáneas

(1)

[ ][ ]

singularNo

0

0

'

B

E

E

iid

tt

t

t

Ω=

=

εε

ε

ε

tttt YBYBYB ε+++= −− L22110

9

VAR ESTANDAR

Modelo de forma reducida donde no se tiene como propósito explicar la

relación contemporánea entre las variables del sistema.

Y W Y Y Vt t p t p t= + + + +− −Θ Θ1 1 . . .

Θi

i M i

M i M M i

=

θ θ

θ θ

11 1

1

, ,

, ,

....

.

.

.

.

.

.....

Vector ruido blanco

E V t

E V t V t

E V t V s s t

[ ]

[ ' ]

[ ' ]

=

=∑

= ∀ ≠

0

0

ν

W yp v, , , ... ,Θ Θ Θ1 2 ∑[ ]',,11,1,1 ,,,,,,, pmMpmmMmmm w θθθθ LLL=Θ

(2)

10

Modelo Estructural y Modelo de Forma Reducida

Sistema bivariado:

z

ttttt

y

ttttt

zyybbz

yyzbby

εγγ

εγγ

+++−=

+++−=

−−

−−

1221212120

2121111210

Estacionarias

Perturbaciones ruido blanco

No correlacionadas entre si

Sistema que incorpora feedback.

Si tiene un efecto contemporáneo indirecto

sobre . Igualmente, tiene un efecto

contemporáneo indirecto sobre

y

tb ε⇒≠ 021

tzz

tb ε⇒≠ 012

ty

Shocks estructurales

En forma matricial:

1

1

12

21

10

20

11 12

21 22

1

1

b

b

y

z

b

b

y

z

t

t

t

t

y

z

t

t

=

+

+

−

−

γ γγ γ

εε

Ω =

σσ

y

z

2

2

0

0

VAR estructural o primitivo

B Xt 0Γ Γ1 Xt-1 += + εt

Tal sistema no puede ser estimado ya que está correlacionado con y

tεy con

tzty

z

tε 11

A través de manejo algebráico matricial se tiene:

B B X B B X Bt t t

− − −−

−= + +1 1

0

1

1 1

1Γ Γ ε

El VAR estándar: X A A X et t t= + +−0 1 1

y

z

a

a

a a

a a

y

z

e

e

t

t

t

t

t

t

=

+

+

−

−

10

20

11 12

21 22

1

1

1

2

VAR estándar

−

−

−=−

1

1

1

1

21

12

2112

1

b

b

bbB

eb

b bt

t ty z

1

12

12 211=

−

−

ε ε

2112

21

21 bb

be tt

t

yz

−

−=

εε

X B B X Bt t t= + +− −−

−1

0

1

1 1

1Γ Γ ε

===

−−z

t

y

t

tt

t

tBBe

e

e

εε

ε 11

2

1

12

Propiedades estadísticas de e et t1 2y

[ ] [ ]E e E et t1 20 0= =,

( ) ( )VAR e

b

b bt

y z

1

2

12

2 2

12 21

2

1=

+

−

σ σ ( ) ( )VAR e

b

b bt

z y

2

2

21

2 2

12 21

2

1=

+

−

σ σ,

[ ] [ ]E e e E e et t t t1 1 2 21 1

0 0− −

= =,

[ ] ( )( )

E e eb b

b bt t

y z

1 2

21

2

12

2

12 21

2

10=

− +

−≠

σ σ

Se define su matriz de VAR-COV:( ) ( )( ) ( )=

∑

VAR COV

COV VAR

e e e

e e e

t t t

t t t

e e

1 1 2

2 1 21 2

13

Sistema Primitivo o de

Ecuaciones simultáneas

VAR estándar

A B B

A B B

e Bt t

1 0

1

1

2 0

1

2

0

1

=

=

=

−

−

−

M

ε

Relaciones contemporáneas implícitas en la

estructura de la matriz de varianza-covarianza

¿ Es la forma primitiva identificable dadas las estimaciones OLS del modelo

VAR estándar ?

La respuesta es NO a menos de que se impongan restricciones adecuadas

al sistema primitivo. La explicación se ve claramente al comparar el número

de parámetros del VAR estructural con el número de parámetros del estándar.

14

VAR estándar :

( ) ( ) ( ) a a a a a a e e e et t t t10 20 11 12 21 22 1 2 1 2, , , , , , var , var ,cov 9 parámetros

VAR estructural o primitivo:

b b b b y z10 20 12 21 11 12 21 22

2 2, , , , , , , , ,γ γ γ γ σ σ 10 parámetros

No es posible la

identificación

VAR Estructural

Véase, W Enders, (1995), Applied Econometric Time Series, Wiley. 15

Métodos para llevar a cabo la identificación:

Sistema recursivo Sims (1980):

Si sobre el sistema primitivo (1) se supone que b21=0 ⇒ =−

−Bb

1 121

0 1

VAR estructural :

y

z

b b b

b

b b y

z

bt

t

t

t

y z

z

t t

t

=

−

+

− −

+

−

−

−

10 12 20

20

11 12 21 12 12 22

21 22

1

1

12γ γ γ γγ γ

ε εε

La estimación OLS del sistema conduce a los parámetros estimados del

siguiente VAR estándar:

y

z

a

a

a a

a a

y

z

e

e

t

t

t

t

t

t

=

+

+

−

−

10

20

11 12

21 22

1

1

1

2

De esta forma se tiene:

a b b b

a b

1 0 1 0 1 2 2 0

1 1 1 1 1 2 2 1

= −

= −γ γ16

a b

a b

a

a

1 2 1 2 1 2 2 2

2 0 2 0

2 1 2 1

2 2 2 2

= −

=

=

=

γ γ

γγ

Dado que:

e b

e

t t t

t t

y z

z

1 12

2

= −

=

ε ε

ε

( )( )( )

var

var

cov

e b

e

e e b

t

t

t t

y z

z

z

1

2

12

2 2

2

2

1 2 12

2

= +

=

= −

σ σ

σ

σ

Se tienen 9 parámetros tanto en el

VAR estructural como en el VAR

estándar. Por consiguiente, los

parámetros estructurales pueden

ser recuperados al igual que los

“shocks” estructurales:

ε εy zt t,

Bajo este esquema de restricción los dos “shocks” estructurales afectan a yt

en tanto que zt tan solo es afectada por εzt17

Representación MA*

Véase, H Lutkepohl, (1993), Introduction to Multiple Time Series Analysis, Springer-Verlag

Todo VAR(P) tiene una representación MA.

X A A X A X et t p t p t= + + + +− −0 1 1 L ,

e∑ Representación VAR

X et i t ii

= + −=

∞

∑µ Φ0

Representación MA

( )( )

µ = − − −

= =

−

=−∑

I A A A

I A

p

i jj

min p i

i j

1

1

0

01

L

Φ Φ Φ;

,

( )A L X A et t= +0 donde ( ) ( )A L I A Ap= − − −1 L

18

En general se puede llevar a cabo la siguiente tranformación, la cual evita tener

correlación contemporánea entre los residuales del VAR:

Dado que e∑ es definida positiva ∃ P no singular / P e∑ p’ = I

X P Pet i t ii

= + −−

=

∞

∑µ Φ 1

0

X C wt i t ii

= + −=

∞

∑µ0

[ ]E w w It t

' =

Análisis de Impulso - Respuesta:

M

011

000

wCX

wCX

=

=

donde:w w0 0

0

1

1

0=

=

o

19

Para el ejemplo ya analizado:

y

z

a

a

a a

a a

y

z

e

e

t

t

t

t

t

t

=

+

+

−

−

10

20

11 12

21 22

1

1

1

2

y

z

a a

a a

e

e

t

t

y

z i

i

t i

t i

=

+

=

∞

∑ −

−

µµ

11 12

21 220

1

2

pero dado que:e

e b b

b

b

t

t

t

t

y

z

1

2 12 21

12

21

1

1

1

1

= −

−

−

εε

y

z b b

a a

a a

b

b

t

t

y

z i

i

y

z

t i

t i

=

+ −

−

−

=

∞

∑ −

−

µµ

εε

1

1

1

112 21

11 12

21 220

12

21

20

C

Ab

b

b bi

i

=

−

−

−

1

1

1

12

21

12 21

si definimos

se tiene:

( ) ( )( ) ( )

y

z

c i c i

c i c i

t

t

y

z i

y

z

t i

t i

=

+

=

∞

∑ −

−

µµ

εε

11 12

21 220

Xt = µ + ( )C ii

t i=

∞

−∑0

ε

Los ( )C i son utilizados para generar los efectos de ε yty εzt

sobre los “path” de

yt y zt .

21

22

23

24

( ) tt KeyLKA =

( )',0~ KKKe ett Σ=Σ= εε

Una selección adecuada de producirá una matriz de covarianza diagonal K

Representación MA: Asociada a shocks estructurales

2211

11

−−

−−

++=

+++=

ttt

tptptt

eee

eyAyAy

φφ

L AR

MA

L+++= −− 22110 tttty εθεθεθ

tptpititt yAyAyAKy ε+++++= −−−**

1

*

1 LLii KAA =:*donde

donde1: −= Kjj φθ

•Representan la respuesta del sistema ante

Shocks estructurales

•Si una forma estructural es identificada, el

Impulso-Respuesta será único

Modelo A: Lutkepohl

: Amisano y Giannini

25

[ ] [ ]'''

tttt

tt

EKeKeE

Ke

εε

ε

=

=

εΣ=Σ 'KK e

Para resolver de forma única para elementos de se necesitan ecuaciones

εΣ Matriz diagonal

'KK eΣ ( )2

1−nnElementos por encima de la diagonal iguales a cero

Ecuaciones independientes

2n K2n

Son necesarios restricciones adicionales sobre ( )2

1+nnK

Los elementos sobre la diagonal de 1 K

( )n

nn−

+2

1Restricciones adicionales sobre

( )2

1−nnK

26

=

1

01

001

21

21

L

OMM

L

L

nn kk

kK

El impulso-Respuesta está identificado

Cadena Causal de Wold

No necesariamente triangular Los ceros o restricciones pueden aparecer en

cualquier parte de la matriz

•Si se tiene exacta identificación de los shocks I-R estará identificado

•Un mayor número de restricciones pueden ser impuestas Test de compatibilidad

•Si es triangular inferior el impulso resultante es el mismo que el obtenido a través

de la descomposición de choleski

Kjθ

•Las restricciones sobre deben ser adecuadas. K

( ) KK dKvecR =

+→ 2 X )1(2

1nnnRK

Matriz de selección

+→ 1 X )1(2

1nndK Vector fijo

Sujetas a: 1'1 −− Σ=Σ KKe ε

Sistema *

27

Proposición 9.1 Lutkepohl:

Condición necesaria y suficiente para alcanzar identificación local

Dada una matriz diagonal definida positiva y una matriz no singular.

Se tiene que para una matriz simétrica y definida positiva y una matriz

y un vector fijo el sistema * tiene una única solución para y los

elementos de la diagonal si y solo si

( )nn x εΣ ( )nnK x

( )nne x Σ ( )2 x nrRK

( )1 x ndK K

εΣ

( ) ( )( )1

2

1

0

0

2

rango 2

111

++=

⊗⊗Σ− −−+−+

nnn

C

R

DKKDKD

K

KKeK

σ

Donde es una matriz de duplicación ( )

+→ 12

1 x 2 nnnDK

( ) : '-1'

KKKK DDDD =+

( ) ( )

+−→ 12

1 x 1

2

1 nnnnCσ

Matriz de selección de los elementos de por

debajo de la diagonal principal

( )εΣvech

Demostración basada en Rothenberg (1971)

•La solución global única se obtiene si los elementos de la diagonal son restringuidos a 1

28

: Amisano y Giannini

Modelo B: Lutkepohl

29

Proposición 9.2 Lutkepohl:

Sea matriz no singular. Se tiene que para una matriz simétrica y definida positiva

y una matriz el sistema ** tiene una única solución local si y solo si:

( )nnC x →

( )nne x →Σ ( )2 x nrRC →

Las restricciones para la identificación ( ) Cc dCvecR =

Sistema **: sujeto a eCC Σ='

( ) 22rango n

R

ICD

C

nK =

⊗+

( ) Cc dCvecR =

Restricciones adicionales sobre( )2

1−nn

30

31

Proposición 9.3 Lutkepohl:

Sean matrices no singulares . Entonces para una matriz simétrica y definida

positiva , el sistema de ecuaciones (*) tiene una solución única si y solo si:

BA y nnx

eΣ

(*)

( ) ( )2

111

2

0

0

22

rango n

R

R

ABADAD

C

K

KeK

=

⊗⊗Σ− −−+−+

32

Son sobre la identificación y la estimación FIML de los parámetros de los modelos

K, C, y AB se basa en el análisis de funciones de verosimilitud.eΣ

•En general

( )ΣΣ−Σ−= − ˆ2

ln2

1trTT

clFunción de verosimilitud dondeT

VV 'ˆˆˆ =Σ

Concentrada con respecto a Π

Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics,

J. Magnus and H. Neudecker, Wiley, 1999. 33

34

35

36

37

38

Ejemplo: Modelo AB

Sean

real Dinero:

interés de Tasa :

Producto :

t

t

t

m

i

q

:te Residuales del VAR de forma reducida ( )',, m

t

i

t

q

t eee

Modelo de Pagan (1995)

m

t

m

t

LM

t

m

t

q

t

i

t

IS

t

i

t

q

t

be

beaeae

beae

ε

ε

ε

33

222321

1112

=

+−−=

+−= Curva IS

Curva inversa LM

Regla de oferta monetaria

( ) ( )3'

,0~,, Im

t

LM

t

IS

tt εεεε =

tt

b

b

b

eaa

a

ε

=

33

22

11

2321

12

00

00

00

100

1

01

39

Conjunto de restricciones en forma implícita:

( )

+

=

=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

000

100

000

000

000

010

000

001

000

1

0

0

1

0

1

23

12

21

23

12

21

a

a

a

a

a

a

AvecK

( )

=

=

33

22

11

33

22

11

100

000

000

000

010

000

000

000

001

0

0

0

0

0

0

b

b

b

b

b

b

BvecC

Son necesarias restricciones( )12

12 2 +− nnn

3=n 12

40

Conjunto de restricciones en forma explícita:

=

0

0

0

0

0

0

010000000

001000010

000100000

000001000

000000100

000000010

33

23

13

32

22

12

31

21

11

b

b

b

b

b

b

b

b

b

=

1

0

0

1

0

1

010000000

001000010

000100000

000010000

000000100

000000001

33

23

13

32

22

12

31

21

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

41

Hamilton:

42

43

44

45

46

La condición de rango se cumple si el número de columnas de la matriz J

son linealmente independientes.

( )

=Ω

2

2

2

0

0

0

0

0

0

w

s

d

vec

σ

σ

σ

=Ω

100

000

000

000

010

000

000

000

001

S

=Ω2

2

2

w

s

d

σσσ

γ

=Ω

0

0

0

0

0

0

0

0

0

s

1xnd

dnxn2

Donde

( )[ ] [ ][ ]Ω−−+−+ ⊗⊗Σ−= SBBDSBDJ nBn

1

0

1

0

1

02

( ) ( )Σ=Σ vecvechDn

( ) '1'

nnnn DDDD−+ =

4047

Modelo C

Sea matriz invertibleC ( )nnx

tt Ce ε=

donde ( )( ) ntt

t

IE

E

=

='

0

εε

ε

Dado el modelo VAR ( ) tt eyLA =

Generado por una combinación lineal de perturbaciones

ortonormales.

tt Ce ε=

[ ] [ ]''' CCEeeE tttt εε=e

en

CC

CCI

Σ=

Σ='

'

( ) [ ] ( )Σ−−=−ˆ

2log

2

1'2CCtr

TC

TcCl

'CCe =Σ

( ) 1'1'1 1 −−− −

==Σ CCCCe

Función de verosimilitud

4148

Amisano y Giannini

La condición eCC Σ=' Impone un conjunto de restricciones no lineales sobre

el espacio de parámetros

Con el propósito de ganar identificación, se supone que los parámetros contenidos en la

matriz C satisface el siguiente conjunto de restricciones no lineales, independientes y no

contradictorias:

dCvecR = sSCvec += γ

2xnr

Rango fila completo

1xr ln x2

Rango columna completo

rnl −= 2

1xn 2[ ]dRs

RS

=

= 0

lrx

1xr

Estimación F.I.M.L.

sSCvec += γ Utilizando la regla de la cadena se encuentra el vector score

del vector de elementos libres de γ

( ) ( )SCvecff '' =γ

4249

Condiciones necesarias y suficientes para identificación local

Dada la matriz de información ( ) ( ) ( )[ ]( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( )[ ]SCvecISI

SCvecfCvecf

ffEI

TT

T

'

''

'

S

=⇒

=

=

γ

γγγ

Utilizando dicha matriz de información y el vector Score se puede implementar

el algoritmo score para encontrar un estimador F.I.M.L. de γ( )γTI ( )γf

( )[ ] ( )nnTnn fI γγγγ 1

1

−+ += γ~

C~

sSCvec += γ~~

( ) ( ) [ ] lSCvecff 1x

'' 0==γ

4350

Condiciones de primer orden para la maximización de la función de verosimiliitud respecto a γ

En fila

( ) ( ) [ ] x1

' 0 lCvecfSf ==γ En columna

50

Condición de orden ( )2

1−nn restricciones Necesaria pero no sufuciente

Condición de rango

Si suponemos que la matriz es invertible, el verdadero vector es localmente

Identificado si y solo si:

• el sistema con la matriz evaluada en tiene

una única solución admisible en

C ( )*Cvec

( ) [ ]0~ =⊗ xDCIR n ( ) nDCIR~⊗ *C

[ ] 0=x

•La matriz evaluada en tiene rango columna ( ) nDCIR~⊗ *C

( )2

1−nn

Permiten alcanzar un modelo identificado o sobre-identificado

validación de las restricciones ( ) ( )( )Σ−Σ= ~ˆ2 LLLR ~ ( )m2χTest

( ) completo columna rango 2/1x :~ 2 −nnnDn

( ) libres elementos de vector 2/1x: −nnx

→m Número de restricciones de sobre identificación

51

W. Enders, 1995. Applied Econometric Time Series, Wiley.

Xy

zt

t

tt

t

t

=

=

∆ε

εε1

2

Esta metodología investiga los efectos dinámicos de perturbaciones o “shocks”

de naturaleza dicótoma sobre un sistema bivariado estacionario bajo el supuesto

de que:

el “shock” t1ε no tiene efecto de largo plazo sobre el nivel de la variable yt

en tanto que el “shock” t2ε si afecta tal nivel en el largo plazo.

Así, se parte del siguiente sistema bivariado estacionario:

El primer paso consiste en estimar un modelo VAR estándar adecuado sobre el

sistema bivariado

X A X A X et t P t p t= + + +− −1 1 L

Σe matriz de varianza-covarianza

METOLOGIA DE BLANCHARD Y QUAH (1989):

RESTRICCIONES DE LARGO PLAZO

52

Caso Triangular

Dado que el sistema es estacionario, bajo el teorema de descomposición de Wold , se tiene

la siguiente representación VMA:

X e e et t t t= + + +− −Φ Φ Φ0 1 1 2 2 L Φ0 2= Idonde

Igualmente, el sistema puede ser planteado a través de “shocks” estructurales :

X C C Ct t t t= + + +− −0 1 1 2 2ε ε ε L

∆ y

z

c c

c c

c c

c c

t

t

t

t

t

t

=

+

+

−

−

11

0

12

0

21

0

22

0

1

2

11

1

12

1

21

1

22

1

1 1

2 1

εε

εε

L

c k

k11

0

0=

∞

∑ = ⇒ ε1t no tiene efectos sobre el nivel de yt

ck

11es el efecto de ε1t sobre ∆yt

k períodos adelante

53

de tal forma que se puede presentar a través de las siguientes ecuaciones:

∆y c ct

k

kt k

k

kt k= +

=

∞

−=

∞

−∑ ∑11 12

01

02ε ε

z c ct

k

kt k

k

kt k= +

=

∞

−=

∞

−∑ ∑210

1 220

2ε ε

donde las perturbaciones ε1t y ε 2 tson independientes y ruido blanco

Ω =

1 0

0 1

54

De las ecuaciones anteriores se tiene:

( ) ( )Φ L e C Lt t= ε

Suponiendo que Co es no singular puede ser reescrita como sigue:

( ) ( )Φ L e C L C Ct t= −0

1

0ε

de donde se deriva:

( ) ( )Φ L C L C= −0

1

e Ct t= 0 ε

55

Es decir:

e

e

c c

c c

t

t

t

t

1

2

11

0

12

0

21

0

22

0

1

2

=

εε

De donde se generan las siguientes 3 ecuaciones:

Matriz C

del Modelo C

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

Var e

Var

Cov

1t = +

= +

= +

c c

e c c

e e c c c c

t

t t

11

02

12

02

2 21

02

22

02

1 2 11

0

21

0

12

0

22

0

La restricción adicional se deriva del hecho de que ε1t no tiene efectos de largo plazo sobre

yt, es decir que:

c k

t kk

11 10

0ε −=

∞

=∑

56

( ) ( )( ) ( )

+

∆

=

∆

−

−

t

t

t

t

t

t

e

e

z

y

LALA

LALA

z

y

2

1

1

1

2221

1211 ( ) ttt eLXLAX +=

( )[ ] tt eXLLAI =−

( )[ ] tt eLLAIX1−−=

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

−

−=

−

−=

∆

∑∑∑∑

++

++

t

t

kk

kk

t

t

t

t

e

e

LkaLka

LkaLka

D

e

e

LLALLA

LLALLA

Dz

y

2

1

1

11

1

21

1

12

1

22

2

1

1121

1222

1

11

1

11

D :determinante

57

( ) ( )[ ] ( )[ ] t

k

t

k

t eLkaeLkaD

y 2

1

121

1

2211 ∑∑ ++ +−=∆

Así:

( )[ ] ( )[ ] 01 1

0

21

1

121

0

11

1

22 =+− ∑∑ ++t

k

t

k cLkacLka εε

t1ε No tiene efectos de largo plazo sobre ty

( )[ ] ( )[ ] 01 0

21

1

12

0

11

1

22 =+− ∑∑ ++ cLkacLka kk

Cuarta restricción:

58

La solución del sistema de ecuaciones no lineales conformado permite

determinar 4 posibles soluciones para Co.

La selección específica de Co se deriva del análisis de impulso-respuesta.

Una vez determinada Co se pueden construir las matrices Ci i=1,2,... y

recuperarsen los “shocks” estructurales.

Análisis de impulso respuesta

Descomposición de varianza

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

Var e

Var

Cov

1t = +

= +

= +

c c

e c c

e e c c c c

t

t t

11

02

12

02

2 21

02

22

02

1 2 11

0

21

0

12

0

22

0

( )[ ] ( )[ ] 01 0

21

1

12

0

11

1

22 =+− ∑∑ ++ cLkacLka kk

Sistema no lineal 4 ecuaciones

y 4 incógnitas

59

Blanchard y Quah (1989)* investigan los efectos dinámicos de largo plazo de “shocks”

de oferta y de demanda en un sistema bivariado:

*Blanchard, O and D, Quah, (1989) “The Dynamics Effects of Aggregate Demand and Supply Disturbances”,

American Economic Review 79.

Sistema Estacionario

=

t

t

d

s

t εε

ε

Shocks estructurales

( )[ ] 2

'

110

IE

LZ

tt

tttt

=

Γ=+Γ+Γ= −

εε

εεε L

Representacion MA asociada al modelo estructural:

∆=

t

t

tX

XZ

2

1 PIB

Tasa de desempleo

No tiene efectos de largo plazo

sobre el producto real

60

[ ] ∑

∑

=

+Φ==

−

ett

p

ititit

eeE

eZZ

'

1Representación VAR estándar

Estacionario

Representación VMA ( ) ttttt eLCeCeCeZ =+++= −− L2211

Teorema de Descomposición de Wold

( ) ( ) tt LeLC εΓ=

Relación entre los shocks estructurales y las innovaciones de la forma reducida:

61

tte ε0Γ=

( ) ( ) 1

0

−ΓΓ= LLC

( ) ( )( ) ( )11

11

1

0

0

Γ=Γ

Γ=Γ−

C

C

Relación entre la matriz de efectos de largo plazo de los residuales de la forma

reducida y la matriz equivalente de los shocks estructurales:

Matriz de varianza-covarianza de la forma reducida:

'

00ΓΓ=∑e

Sistema de 3 ecuaciones y 4 incógnitas62

La identificación de 0Γ

requiere de la imposición de una restricción adicional

La descomposición de Blanchard-Quah consiste en la imposición de

restricciones sobre la matriz de efectos de largo plazo de los shocks

estructurales ( )1Γ

( ) ( )'11 CCF eΣ=

( ) ( ) 1131−Φ−−Φ−= PIC L

( ) ( )'11 ΓΓ=F

Restricciones de neutralidad de largo plazo

63

donde ( ) ∑∞

=

Γ=Γ0

1j

j

ΓΓ

ΓΓ=Γ

22,21,

12,11,

jj

jj

j

Por consiguiente puede ser definido como:( )1Γ

( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ΓΓ

ΓΓ=Γ

−∞→

−∞→

−∞→

−∞→

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∑∑

∑∑

kt

tk

kt

tk

kt

tk

kt

tk

j

j

j

j

j

j

j

j

Xlim

Xlim

Xlim

Xlim

,2,1

,2,1

0

22,

0

21,

0

12,

0

11,

22

11

1

εε

εε

La restricción de neutralidad de largo plazo 01

,2

=∂∂

⇒−

∞→kt

tk

Xlim

ε

64

( )1ΓPuede ser estimada mediante

la descomposición de Choleski

Triangular inferior

Por consiguiente es de la forma:( )1Γ

( )

ΓΓ

Γ=Γ

∑∑

∑∞

=

∞

=

∞

=

0

22,

0

21,

0

11, 0

1

j

j

j

j

j

j

65

Caso no triangular

Recent behavior of output, unemployment, wages and prices in Colombia: what went wrong?

L. E. Arango, A.M. Iregui y L.F. Melo

66

67

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79