-
Diseo e Implementacin de Controladores Clsicos y en el Espacio
de Estados para el Levitador Magntico MLS
Freddy Lenin Checa Basantes
Director: Ing. Vctor Proao Codirector: Ing. Edwin Aguilar
Departamento de Elctrica y Electrnica, Escuela Politcnica del
Ejercito Av. El progreso S/N, Sangolqu, Ecuador
Resumen. El presente artculo describe el diseo e implementacin
de controladores clsicos y en el espacio de estados para el
Levitador Magntico MLS. Para el diseo de los controladores se
obtuvo el modelo matemtico del levitador magntico mediante los
experimentos de caractersticas estticas, de fuerza electromagntica
e inductancia. Una vez obtenido el modelo matemtico se diseo un
controlador PD y un controlador PID, para el diseo de los mismos se
utilizo la tcnica del lugar geomtrico de las races, el controlador
PD estabilizo el sistema mientras que el controlador PID elimino el
error en estado estable. Para el diseo de los controladores en el
espacio de estados se represento al levitador magntico mediante
ecuaciones de estado. Se diseo e implemento el controlador con
realimentacin completa de estados, con estimador de estados y
estimador de orden reducido. Para la seleccin de los polos de la
ley de control en la realimentacin completa de estados se utilizo
la tcnica del lugar geomtrico de las races simtrico(SRL), mientras
que para la seleccin de los polos del estimador seleccionamos los
polos a 4 veces la distancia de los polos de la ley de control.
Introduccin
La ESPE ha realizado la adquisicin de varios sistemas de control
automtico. El levitador Magntico es uno de estos sistemas, el
levitador magntico es una herramienta para la demostracin del
fenmeno de la levitacin electromagntica. El levitador magntico
viene con sistemas de control implementados como PD, PID y LQ, sin
embargo el proceso de diseo no se encuentra documentado. El diseo
de un sistema de control se realiza a partir del modelo matemtico
de la planta. En el control clsico este modelo constituye una
funcin de transferencia que define la relacin de la salida versus
la entrada. A partir de la funcin de transferencia es factible
aplicar distintos mtodos de anlisis y diseo uno de ellos es el
lugar geomtrico de las races. Con este mtodo se logra obtener un
controlador que satisface
especificaciones de diseo. En el control en el espacio de de
estados, el modelo matemtico se constituye por las ecuaciones de
estado que describen el sistema. Esta formulacin permite enfrentar
problemas de diseo de sistemas de control con mltiple entrada y
mltiple salida. El sistema Levitador Magntico puede ser considerado
como un sistema de mltiples salidas, puesto que se miden la
posicin, velocidad, corriente del electroimn y de entrada nica que
es la seal de control. A partir de la formulacin matricial es
factible aplicar los mtodos de realimentacin completa de estados o
el de estimadores de estados.
1. DESCRIPCIN DEL LEVITADOR MAGNTICO E IDENTIFICACIN DE
PARMETROS
La descripcin del modelo matemtico del
levitador magntico MLS, esta especificado
mediante las siguientes ecuaciones:
Ec. (1.1)
Ec. (1.2)
Ec. (1.3)
exp Ec. (1.4)
-
exp ! Ec. (1.5)
Figura 1.1 Esquema del levitador magntico
Representa la posicin, la velocidad, la corriente de acuerdo a
lo que se indica en la figura 1.1.
" #0, 0.016) " * " #+,-. , 2.38) ki [A], ci [A]que determinan la
caracterstica esttica de la corriente (i) versus la seal de control
(u) FemP1 [H], FemP2 son [m]constantes que determinan la Fem [N]
(fuerza electromagntica) fiP1 [m.s], fiP2 [m] son constantes para
determinar la inductancia u representa la seal de control .
1.1. Sensor
El levitador magntico posee un sensor fotoelctrico que convierte
la posicin medida desde la base del electroimn hasta la esfera en
voltaje, la relacin entre el voltaje y la posicin es no lineal.
Para determinar las caractersticas del sensor se realizan
mediciones a distintas distancias. La curva caracterstica que
relaciona la posicin de la esfera con el voltaje medido por el
sensor se muestra en la
figura 1.2.
Figura 1.2 Grafico Posicin vs, Voltaje
1.2. Obtencin de parmetros de caracterstica esttica ki, ci,
x3min, UMIN.
La caracterstica esttica relaciona la corriente del actuador con
la seal de control aplicada. La seal de control en el sistema
levitador magntico controla el ciclo de trabajo de un generador de
voltaje PWM Para obtener los valores de los parmetros ki, ci,
x3min, UMIN, se construye modelo que se muestra en la figura
1.3.
La seal de control es una seal tipo rampa de amplitud 1 y que
finaliza en 10 s.
La figura 1.4 muestra la relacin entre la corriente y la seal de
control, la curva es lineal excepto en un intervalo al inicio
Figura 1.3 Caracterstica esttica del actuador
-
Figura 1.5 Modelo del actuador en modo dinmico
Figura 1.4 Caractersticas esttica del actuador
Los resultados que se obtienen son:
UMIN 0.0119 x3MIN -0.0127
ki 2.5577
ci -0.0326
Tabla 1.1 Resultados obtenidos
1.3. Obtencin de parmetros de fuerza electromagntica FemP1,
FemP2
En este experimento se examinar el control mnimo necesario para
provocar una fuerza de atraccin sobre la esfera sujeta al soporte
de la estructura, el modelo de simulink para este experimento se
muestra en la figura 1.3. La seal de control es una seal tipo rampa
de amplitud 1 y que finaliza en 10 s.
1.4 Anlisis Control Mnimo
Se realiza el anlisis de los datos y obtenemos los valores de la
corriente necesaria para provocar la fuerza de movimiento sobre la
esfera. FemP1 = 0.02110, FemP2=0.00656.
1.4. Obtencin de parmetros de inductancia fi fiP1, fiP2, ki
En este experimento utilizamos el modelo que se muestra en la
figura 1.5. Para este experimento se analizara las caractersticas
del actuador en modo dinmico. Esto significa que al mover la esfera
generamos una fuerza electromotriz (EMF) la misma que provoca una
disminucin en la corriente de la bobina del electroimn. El objetivo
es determinar los parmetros fiP1, fiP2 en la expresin de la
inductancia . Al realizar el anlisis de los datos y comparando
estos datos con la ecuacin de la ecuacin 1.5 se determinan los
valores de fiP1, fiP2 que producen el mejor ajuste de los datos
medidos con la funcin
-
. La obtencin de estos parmetros se realiza mediante un proceso
de ajuste de curvas. fiP1 = 0.00277, fiP2 =0.09787, ki=-2.4584
El valor ki lo obtenemos al sacar el promedio de los
experimentos de caractersticas esttica y dinmica de esta manera
tenemos que ki = 2.50811.
Parmetros Valores Unidades m 0.0448 [Kg] g 9.81 [m/s2]
Fem 0.9501 [N] FemP1 0.02110 [H] FemP2 0.00656 [m]
fiP1 0.00277 [m.s] fiP2 0.09787 [m] ci -0.0326 [A] ki 2.5081
[A]
X3MIN -0.0127 [A] UMIN 0.0119
Tabla 1.6 Tabla de valores necesarios para el modelo
matemtico
1.5. Modelo continuo lineal
El levitador magntico es un sistema no lineal, que puede ser
aproximado a un modelo lineal alrededor de un punto de equilibrio o
estado estacionario descrito por:
23 #4 4 4) Ec. (1.6)
Definimos las ecuaciones del modelo no lineal como: exp exp
!
El modelo lineal se describe mediante:
5 6 Ec. (1.7) 7 8 Ec. (1.8)
Las matrices A y B se encuentran mediante las siguientes
expresiones:
5 9::::;?3 ?3 ?3?3 ?3 ?3?3 ?3 ?3AB
BBBC Ec. (1.9)
6 9:::::;DE EF?3DE EF?3DE EF?3AB
BBBBC
G H 0 1 0a, 0 a,a, 0 a,J
B L 00bN C #1 0 0)
P, @Q RS TQU P, @Q RS TQU P, V 4 D RS TQWF P, S4 X V S4 Los
valores de 4, 4, 4 corresponden a la posicin, velocidad y corriente
en el punto de operacin. La posicin se escoge en 8 mm con ello la
velocidad de la ecuacin 1.1 es cero. De la ecuacin 1.2 se determina
que la corriente es 0.6802. En la ecuacin 1.3 se encuentra que u =
0.2842
5 L 0 1 01.4961x10 0 28.84460 0 38.2760N
B L 0096.005N C #1 0 0)
-
]^ S_`[email protected]`3Se._`4f 2. TECNOLOGAS DE CONTROL
2.1. Control clsico mediante el lugar de las races
Uno de los mtodos ms simples para el diseo de controladores es
el mtodo denominado del lugar geomtrico de las races (LGR). El
mtodo se basa en graficar la ubicacin de las races de la ecuacin
caracterstica del sistema, variando el factor de ganancia K.
Figura 2.1 Representacin del sistema para el lugar geomtrico de
las races
1 g]^ 0 Ecuacin caracterstica del sistema Ec. (2.1)
La funcin de transferencia para cualquier sistema de control con
realimentacin puede ser escrita en forma de factores como muestra
la siguiente ecuacin:
hi ^ j3bj3k3 lm3Snm3Snm.3Snmp3S?m3S?m.3S?mp Ec. (2.2)
Donde s = Pc1,Pc2,Pcn son los polos en lazo cerrado ya que hacen
infinita a la ecuacin (2.2), de la misma manera Pc1,Pc2,Pcn son los
races de ecuacin caracterstica del sistema ecuacin (2.1),
s=Zc1,Zc2,Zcn son los ceros en lazo cerrado los mismos que
coinciden con los ceros en lazo abierto.
Las races de la ecuacin caracterstica, que son los polos de la
funcin de transferencia en lazo cerrado, determinan la respuesta
transitoria de los sistemas de control, particularmente su
estabilidad.
La ubicacin de las races de la ecuacin caracterstica son
graficados en el plano s (s es el plano complejo) s = j. Es
importante recordar que la parte real es el ndice del trmino
exponencial de la respuesta en el tiempo, y si este es positivo se
trata de un sistema inestable. La parte imaginaria es la frecuencia
natural no amortiguada.
2.1.1. Diseo mediante el lugar geomtrico de las races
Cuando se disea controladores, si se requiere de un ajuste
diferente al de la ganancia, debemos modificar el lugar geomtrico
de las races original insertando un compensador conveniente. Los
compensadores pueden aadir ceros o polos a la funcin de
transferencia en lazo cerrado. A continuacin se muestra la tabla
2.1 que nos indica el tipo de controlador si aadimos ceros y/o
polos al sistema.
Tabla 2.1 Caractersticas de los de los controladores PD, PI,
PID
Controlador PD
Este controlador PD posee la parte proporcional y la parte
derivativa, como se puede observar en tabla anterior para el diseo
de este tipo de controladores debemos adicionar un cero. El
controlador PD es un tipo de controlador de adelanto de fase por lo
tanto mejora la respuesta transitoria del sistema.
]v = g? gw^ = gw^ xxy Ec. (2.3) Controlador PID
Los controladores PID son utilizados en sistemas de control en
los que hay que mejorar tanto la respuesta transitoria como el
error en estado estable. Como se puede observar en la tabla 2.1 el
controlador PID introduce dos ceros ubicados en el lado izquierdo
del plano s y un polo en el origen. Este tipo de controladores
introducen una parte proporcional, parte derivativa y la parte
integral.
8^ = z l3 { | ^ Ec. (2.4) 2.2. Control en el espacio de
estados
Mientras la teora convencional de control se basa en la relacin
de una entrada una salida, o funcin de transferencia, la teora de
control en el espacio de estados se basa en la descripcin de las
ecuaciones de un sistema en trminos de n ecuaciones diferenciales
de primer orden que se combinan en una ecuacin diferencial
vectorial de primer orden. La descripcin en el espacio de estados
simplifica la representacin matemtica de los sistemas de
-
ecuaciones. El incremento en el numero de variables de estado,
de entradas, salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones.
Para la representacin del modelo dinmico en el espacio de estados
se usan tres tipos de variables:
Las variables de entrada Las variables de salida Las variables
de estado
Un sistema en el espacio de estados se representa en forma
matricial mediante:
Ec. (2.5) } 5 6 ~. {R R^P{7 8 ~. {R ^PV{P Normalmente el diseo
de un controlador en el espacio de estados comprende tres pasos
independientes que se detallan a continuacin
Diseo de la ley de control: La ley de control permite asignar la
ubicacin de polos para el sistema en lazo cerrado, los mismos que
corresponden a una respuesta dinmica satisfactoria en trminos de
tiempo de subida, tiempo de establecimiento
Diseo del estimador. Combinacin la ley de control y el
estimador.
En control en el espacio de estados tpicamente se enfrenta dos
problemas: problema de regulacin, problema de seguimiento.
2.2.1. Problema de regulacin
Problema de regulacin con realimentacin esttica completa de
estados
El primer paso para el diseo en el espacio de estados es
encontrar la ley de control como la realimentacin de una combinacin
lineal de las variables de estado.
g #g g gp) Ec. (2.6) Para propsitos de diseo asumimos que todas
las variables de estado son medibles.
Figura 2.2 Sistema para el diseo de la ley de control
5 6g Ec. (2.7) La ecuacin caracterstica del sistema en lazo
cerrado es:
det#^ 5 6g) 0 Ec. (2.8) Si todas las races de la ecuacin
caracterstica se encuentran en el semiplano izquierdo, entonces el
sistema en lazo cerrado es estable.
Para encontrar la matriz de ganancias se puede utilizar la
frmula de Ackerman la misma que simplifica el proceso.
g #0 0 1)2mS5 Ec. (2.9) Donde:
5 5p 5pS pS5 p Pc es la matriz de controlabilidad que se
determina en trminos de A y B como:
2m = #6 56 56 5pS6) Para la ubicacin de los polos del regulador,
se usa la tcnica del regulador cuadrtico lineal ptimo LQR en sus
siglas en ingls.
# )4 { Ec. (2.10) Observar que z no necesariamente es la salida
del sistema (y). La variable z, debe escogerse como un error que se
quiere minimizar en conjunto con la accin de control, y dicho error
se puede calcular como una combinacin lineal de los estados de la
planta.
La tcnica consiste en determinar la ubicacin de las races del
sistema retroalimentado por variables de estado que minimice la
funcin costo .
Donde es un factor de ponderacin a eleccin del diseador,
equilibra el efecto del error con la accin de control u.
-
Kailath (1980) demostr que los polos de lazo cerrado que
minimizan son las races estables de la ecuacin:
1 ]^]^ 0 Ec. (2.11)
Donde ] es la funcin de transferencia en lazo abierto de u a z.
Entonces, para un dado se encuentran la ubicacin deseada de las
races que cumplan con los requerimientos de la respuesta
transitoria, y luego, por ejemplo, con Ackerman se determina el
vector de ganancias de retroalimentacin de estados K.
Cuando en la funcin costo penaliza el uso de energa de la
control se llama control caro en este caso; 0. El control ptimo
mueve a los polos del semiplano derecho hacia sus imgenes en el
semiplano izquierdo. Esto lo realiza para estabilizar el sistema
utilizando el mnimo esfuerzo de control. De la misma manera no hace
ningn esfuerzo por mover los polos ubicados en el semiplano
izquierdo, ya que los mismos se encuentran en la regin estable.
Cuando la funcin costo penaliza el error en la salida z y no hay
limitacin para usar una gran seal de control u se llama control
barato en este caso; . Hay dos grupos de polos en lazo cerrado. El
primer grupo de polos que se encuentran en el semiplano izquierdo
son movidos a la parte superior de los ceros ubicados en el
semiplano izquierdo. El resto son movidos al infinito a travs de
las asntotas del SRL
Problema de regulacin con estimacin de estados
En el diseo de la ley de control asumimos que todos los estados
de las variables de estado estn disponibles en cualquier instante
de tiempo. Hablando de manera general solo un subconjunto de los
estados son medibles y estn disponibles para la realimentacin. Si
el sistema es completamente observable podemos determinar los
estados que no son medibles. Un estimador de estado es una
herramienta que nos permite determinar los estados que no son
medibles a partir de mediciones de las seales de salida y seales de
control. Estos estimadores permiten enviar informacin del valor que
toman dichos estados, adems producen un margen de error pequeo con
relacin al estado real.
Un mtodo para el diseo de estimadores es la construccin del
estimador de orden completo, el mismo que estima todas las
variables de estado.
Para el sistema:
5 6
7 8 El estimador de orden completo esta dado por:
5 6 7 8 Ec. (2.12) Donde es la estimacin del estado actual A, B
son conocidas, L es ganancia proporcional definida como:
#, , ) Ec. (2.13) El objeto de introducir L es eliminar la
diferencia entre el valor real y el valor estimado a travs del
mecanismo de realimentacin.
{R#^. 5 8) 0 Ec. (2.14) El proceso de diseo del estimador se
reduce a encontrar la matriz de ganancias L de manera que las races
de la ecuacin caracterstica Ec. (2.14) pertenezcan al semiplano
izquierdo.
Figura 2.3 Diagrama del estimador
El estimador es un sistema dinmico cuya respuesta depende de la
ubicacin de sus polos.
El estimador de orden reducido reduce el orden del estimador
mediante el nmero de salidas sensadas. Para lo cual dividimos al
vector de estados en dos partes:
Que corresponde a los estados medidos Que corresponde a los
estados estimadas
Si realizamos lo mismo para todo el sistema, la descripcin
completa del sistema estar dada por:
5 55 5
66 Ec. (2.15)
7 #1 0) 5 5 6
5 5 6
Para el diseo de estimadores de orden completo el sistema esta
descrito por:
-
} 5 6 ~. {R R^P{7 8 ~. {R ^PV{P En cambio para el diseo de
estimadores de orden reducido el sistema esta descrito por:
~. 2.16 5 5 6 ~. {R R^P{7 57 6 5 ~. {R ^PV{P
De estos dos sistemas se puede establecer una serie de
equivalencias: 5 5 6 57 6 7 7 57 6 8 5
Por obtener la ecuacin del estimador de orden reducido
reemplazamos estos valores en la ecuacin del estimador de orden
completo. 5 57 6 7 57 6 5
Ec. (2.17)
Realizando las sustituciones con las equivalencias:
5 57 6 5 5 Ec. (2.18)
La ecuacin caracterstica para el estimador es la siguiente:
{R#^. 5 5) Ec. (2.19) Reescribiendo la ecuacin 2.17 tenemos: 5 5
5 57 6 6 7
Ec. (2.20)
El hecho de que se debe tomar la derivada de las medidas en la
ecuacin 2.20 presenta una dificultad prctica. Es conocido que la
diferenciacin amplifica el ruido, porque si y es ruido el uso de 7
es inaceptable. Para sortear esta dificultad definimos el nuevo
estado del controlador como:
m 7 Ec. (2.21)
En trminos de este nuevo estado la implementacin del estimador
de orden reducido esta dado por:
m 5 5 5 57 6 6
Ec. (2.22)
De este modo 7 no aparece directamente. La representacin en
diagrama de bloques del estimador de orden reducido se muestra en
la figura 2.4
aB LBB
aaba LFA L
s
1
abbb LAA
yLx
cx
Lyxb
cxbx
y
u
Figura 2.4 Esquema de estimador de orden reducido
Al igual que en el estimador de orden completo el objetivo de
diseo del estimador de orden reducido se concentra en encontrar la
matriz de ganancias L de modo que los ceros de la ecuacin
caracterstica Ec. (2.19) se ubiquen en el semiplano izquierdo.
Para la seleccin de la ubicacin de los polos del estimador las
reglas son similares que las utilizadas para la seleccin de los
polos de la ley de control. Generalmente los polos del estimador se
eligen entre 2 a 6 veces ms rpidos que los de la ley de control, as
los polos de la ley de control quedan como polos dominantes (polos
ms cercanos al origen en el plano s). 2.2.2. Problema de
seguimiento
Hasta hoy el control esta dado por la ecuacin u -Kx, con el fin
de estudiar la respuesta transitoria para la ubicacin de los polos,
es necesario introducir una seal de referencia al sistema. Una
forma de realizar esta tarea es cambiar la seal de control a:
= g Ec. (2.23)
Figura 2.5 Esquema para introduccin de la seal de referencia
Para corregir un error en estado estable diferente de 0 es
necesario calcular los valores de estado estable y la entrada de
control que provocan
-
una seal de salida con un error en estado estable de 0. Si los
valores deseados son xss y uss la nueva ecuacin de control es:
33 g 33 Ec. (2.24) En estado estable:
0 533 633 Ec. (2.25a) 733 833 33 Ec.(2.25b) Debemos resolver
estos valores para que yss rss para cualquier valor de rss que es
la seal de referencia para esto se realiza la sustitucin.
33 33 33 33 Con esta substitucin podemos escribir las ecuaciones
2.25a y 2.25b de la siguiente manera
0 533 633 1 833 633 Reescribindolas en forma de matriz
tenemos:
5 68 01 Ec. (2.26) Despejando Nx y Nu de la ecuacin 2.23 = 5
68
S 01 Ec. (2.27) Con estos valores tenemos las bases para
introducir la seal de referencia y obtener un error en estado
estable de 0 a una entrada de tipo escaln.
De esta manera tenemos la seal de control como:
= g = g g El coeficiente que se encuentra multiplicando a r lo
podemos simplificar como una constante , de esta manera la ley de
control ser:
= g Ec. (2.28) 3. DISEO E IMPLEMENTACIN DE
CONTROLADORES
3.1. Diseo e implementacin de Controlador PD
Para el diseo de los controladores PD y PID trabajaremos con la
funcin de transferencia del Levitador Magntico.
Figura 3.1 Respuesta Transitoria del sistema
]^ = _`[email protected]`3Se._`4f
Como podemos observar en la figura 3.1 el sistema es totalmente
inestable.
Figura 3.2 Lugar geomtrico de las races del sistema G(s) con
realimentacin
unitaria
En la figura 3.2 se observa que el sistema tiene 3 polos dos de
los cuales se encuentran en el semiplano izquierdo (regin estable)
y uno de ellos en el semiplano derecho. Como se analizo en el
captulo 2 para el diseo de un compensador PD tenemos que aadir un
cero al sistema.
Para el diseo del controlador PD utilizremos una tcnica de
prueba y error, probaremos con ubicaciones diferentes para el cero
que adiciona el controlador PD.
Despus de varias pruebas podemos determinar que una posicin
adecuada para ubicar el cero es en s = -15.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14Respuestra Transitoria del Sistema
Tiempo (sec)
Ampli
tud
-200 -150 -100 -50 0 50 100-150
-100
-50
0
50
100
150Lugar geomtrico de las races
Eje Real
Eje im
agin
ario
-
En el lugar geomtrico de las races de la figura 3.3 al aumentar
la ganancia el polo del eje real se mueve a la izquierda, los polos
restantes toman un valor imaginario cada vez mayor lo que significa
un mayor sobrepico. El diseo busca un compromiso entre estabilidad
y sobrepico.
Con la herramienta SISOTOOL se ubica el cero -15, una vez
realizada esta tarea se puede ajustar la ganancia del lugar
geomtrico de las races hasta tener una respuesta transitoria del
sistema tenga un porcentaje en sobrepico
-
Figura 3.5 Controlador PD Posicin vs Tiempo d = 8mm
3.2. Diseo e implementacin de controlador PID
El controlador PID aade dos ceros y un polo al sistema. Para el
diseo del controlador PID se elabor un programa en Matlab LM_PID,
el mismo que ubica el polo en el origen, y prueba la ubicacin de
los ceros, un punto de partida es la posicin del cero que se obtuvo
en el controlador PD, la ubicacin de este cero la notaremos como a,
este cero lo movemos a distintas posiciones como a/10, a/5, a/2,
a*8/10. Para cada una de las pruebas determinamos la ganancia del
lugar geomtrico de las races. La bsqueda se restringe a obtener un
coeficiente de amortiguamiento 0.5. A su vez el programa nos
permite visualizar la respuesta transitoria del sistema para cada
seleccin de polos. Al final de la ejecucin del programa el mismo
nos entrega los valores Kp, Kd, Ki.
Pseudocdigo programa LM_PID
inicio
nump 2769 demp [38,28 -1496 -5.72e4] a 15 b [a/10 a/5 a/2
a*8/10] num1 conv (nump[1 a]) dibujar Lugar de las races de
(num1,demp) desde i=1; hasta i=4;con incrementos de 1
num2conv(num1,[1 b(i)]) den2 conv([1 0],demp) dibujar LGR de
(num2,den2) zeta 0.5 wn a dibujar zeta,wn seleccionar k(i) g2funcin
de transferencia de f(k(i)*num2,den2)
gt2 feedback(g2,1) dibujar respuesta transitoria de gt2 num
k(i)conv([1 a],[1 b(i)]) kd(i) num(1,1) kp(i) num(1,2) ki(i)
num(1,3) fin
Figura 3.6 Lugar Geomtrico de las races para cada una de las
ubicaciones de los ceros
Figura 3.7 Respuesta transitoria del sistema para cada una de
las ganancias
La figura 3.7 muestra la respuesta transitoria para cada una de
las ubicaciones de los ceros, como podemos observar la curva 4 es
la que tiene menor tiempo de asentamiento y su sobrepico es menor a
las curvas restantes, por lo tanto elegimos los parmetros Kp, Kd,
Ki correspondientes a esta respuesta transitoria.
Kp = 99.4
Kd = 3.7
Ki = 662.6
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 17
7.5
8
8.5
9
9.5
10x 10-3 Control PD
Tiempo (s)
Posi
cin
(m
)
-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4-15
-10
-5
0
5
10
150.5
0.5
15
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y Ax
is
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5Step Response
Time (sec)
Ampli
tude
1
2
3
4
-
Debido a las diferencias que existen entre el modelo matemtico y
el modelo experimental, fue necesario realizar un ajuste de
ganancia proporcional. El modelo de implementacin es el mismo que
el del controlador PD. Kp = 80.
Figura 3.8 Controlador PID Posicin vs Tiempo d = 8mm
3.3. Diseo e implementacin de controlador con realimentacin
completa de estados
Para el diseo del controlador en el espacio de estados se realiz
un programa en Matlab LM_SRL. Como primer paso en el programa
determinamos el modelo lineal del levitador magntico y realizamos
la descripcin del sistema mediante las matrices A,B,C,D.
5 L 0 1 01.4961x10 0 28.84460 0 38.2760N B L 0096.005N C #1 0 0)
Una vez determinado el modelo, construimos el SRL del sistema, esto
lo realizamos con la ecuacin 1 ]^]^ 0, donde ]^ es la funcin de
transferencia el lazo abierto. El programa nos permite elegir la
ubicacin de los polos con un respectivo valor de (factor de
ponderacin del SRL). El valor de = 4.0755e+006 es el que presenta
mejores caracterstica de tiempo de estabilizacin.
Figura 3.9 Respuesta a una entrada escaln del sistema =
4.0755e+006
z L 1.8171 0.9093 1.5016V 0.9093 1.5016VN | 100 Una vez
determinada la ubicacin de los polos mediante la frmula de Ackerman
podemos determinar la matriz de ganancias K.
g PR5, 6, z g #2.2149 0.0236 0.0034) | 10 Pseudocdigo programa
LM_SRL
Inicio
Determinar modelo lineal a,b,c,d [nump,demp]funcin de
transferencia de (a,b,c,d) denp1 denp*[-1 1 -1 1] numggnump*nump
dengg=conv(denp*denp1) dibujar LGR de (numgg,dengg) seleccionar los
polos en el LGR [k,poles]ubicacin de los polos rereal(poles)
imimg(poles) [x,i]ordenar de mayor a menor(re) poles[x+j*im(i)]
pcpoles(1:3) Fa Gb Hc cclH Kackerman(F,G,pc) aclF-G*H NtMatriz
inversa([F G;H 0]) *[0;0;0;1]
0 1 2 3 4 5 6 76
6.5
7
7.5
8
8.5
9x 10-3 Controlador PID
Tiempo (s)
Posi
cin
(m
)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Ampli
tude
-
Figura 3.10 Modelo de implementacin controlador con
realimentacin completa de estados
NuNt(4,1) NfK*Nx+Un bclG*Nf sysclss(acl,bcl,ccl,0) dibujar la
respuesta a una entrada escaln de syscl
fin
Figura 3.11 Controlador con realimentacin completa de estados
Posicin vs. Tiempo
d = 8 mm
3.4. Diseo e implementacin del controlador con estimador de
estados.
Para el diseo del controlador con realimentacin completa de
estados tenemos que determinar el vector de ganancias L, para lo
cual se utiliza el programa LM_SRL_ESTIMADOR. Este programa es un
complemento del programa LM_SRL.
Se utiliza la ubicacin de los polos calculados en la seccin 3.3.
Se tiene que desplazar a los polos de 2 a 6 veces, para que los
polos de la ley de control sean los polos dominantes, en este caso
desplazamos 4 veces los polos, almacenamos los valores en el vector
Pe: 2R = L 1.8239 0.9127 1.5077V 0.9127 1.5077VN | 100 Una vez
determinado el vector pe utilizamos la formula de Ackerman para
encontrar el valor de L.
PR5, 8 , zR L 0.00010.0977 1.1274N | 10`
Pseudocdigo programa LM_SRL_ESTIMADOR
Inicio
Determinar modelo lineal a,b,c,d [nump,demp]funcin de
transferencia de (a,b,c,d) denp1 denp*[-1 1 -1 1] numggnump*nump
dengg=conv(denp*denp1) dibujar LGR de (numgg,dengg) seleccionar los
polos en el LGR [k,poles]ubicacin de los polos rereal(poles)
imimg(poles) [x,i]ordenar de mayor a menor(re) poles[x+j*im(i)]
pcpoles(1:3) Fa
0 0.2 0.4 0.6 0.8 17.5
7.6
7.7
7.8
7.9
8
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5x 10-3Controlador con Realimentacin Completa de estados
Tiempo (s)
Posi
cin
(m
)
-
Figura 3.12 Modelo de implementacin controlador con estimador de
estados
Gb Hc cclH Kackerman(F,G,pc) pe4*pc Ltacker(F',H',pe) LLt' c[1 0
0;0 1 0; 0 0 1]; dzeros(3,2); b[b L] aclF-G*H NtMatriz inversa([F
G;H 0]) *[0;0;0;1] NuNt(4,1) NfK*Nx+Un bclG*Nf
sysclss(acl,bcl,ccl,0) dibujar la respuesta a una entrada escaln de
syscl fin
Figura 3.13 Controlador con estimador de estados Posicin vs.
Tiempo d = 8mm
3.5. Diseo e implementacin de controlador con estimador de orden
reducido
El diseo del controlador con estimador de orden reducido se lo
realiza mediante el programa LM_SRL_ORDEN_REDUCIDO. Para el diseo
del controlador con estimador de orden reducido tomamos
directamente la posicin de la esfera y estimamos la velocidad y la
corriente. El sistema que reducido a:
5 #0) ; 5 #1 0) 5 1.4961x100 5 0 28.84460 38.2760 B #0); B
096.005 Una vez determinado el sistema de orden reducido se utiliza
la ubicacin de los polos que se calculo en la seccin 3.1, de la
misma manera que en el caso de estimador de orden completo
desplazamos los polos 4 veces, y seleccionamos 2 de los mismos,
teniendo el vector pe:
z 3.6529 6.0350V3.6529 6.0350V | 100 Determinada la ubicacin de
los polos procedemos a calcular la matriz de ganancias L:
PR5 , 5 , zR 0.0692 1.6331 | 10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 16
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10x 10-3 Controlador con estimador de estimador de estados
Tiempo (s)
Posi
cin
(m
)
-
Figura 3.15 Modelo de implementacin controlador con estimador de
orden reducido
Pseudocdigo programa LM_SRL_ESTIMADOR
Inicio
Determinar modelo lineal a,b,c,d [nump,demp]funcin de
transferencia de (a,b,c,d) denp1 denp*[-1 1 -1 1] numggnump*nump
dengg=conv(denp*denp1) dibujar LGR de (numgg,dengg) seleccionar los
polos en el LGR [k,poles]ubicacin de los polos rereal(poles)
imimg(poles) [x,i]ordenar de mayor a menor(re) poles[x+j*im(i)]
pcpoles(1:3) Fa Gb Hc cclH Kackerman(F,G,pc) pe4*[pc(2,1),pc(3,1)]
FaaF(1,1) FabF(1,2:3) FbaF(2:3,1) FbbF(2:3,2:3) GaG(1,1) GbG(2:3,1)
Ltacker(Fbb',Fab',pe) LLt' aerFbb-L*Fab ber1(Fbb-L*Fab)*L+Fba-L*Faa
ber2Gb-L*G; ber[ber1 ber2]
cer[1 0;0 1] der[L zeros(2,1)];aclF-G*H aclF-G*K; NtMatriz
inversa([F G;H 0]) *[0;0;0;1] NuNt(4,1) NfK*Nx+Un bclG*Nf
sysclss(acl,bcl,ccl,0) dibujar la respuesta a una entrada escaln de
syscl fin
Figura 3.16 Controlador con estimador de orden reducido Posicin
vs. Tiempo d = 8mm
4. CONCLUSIONES
El dise de controladores por diagramas de bode se ve limitado a
sistemas estables, razn por la cual se escogi el mtodo del lugar
geomtrico de las races
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 26.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10x 10-3 Controlador con estimador de orden reducido
Tiempo (s)
Posi
cin
(m
)
-
con el cual los polos de lazo cerrado pasan al semiplano
izquierdo del plano s con lo que el sistema se estabiliza.
El modelo matemtico obtenido refleja el comportamiento de la
planta, es por esto que los conceptos aplicados en el modelo terico
para la estabilizacin de la planta se cumplieron.
Se dise e implement el controlador proporcional derivativo PD
mediante el mtodo del lugar geomtrico de las races, el mismo que
estabilizo la planta y mantuvo la esfera a una distancia de 7.2 mm
dando un error en estado estable de 10%.
El controlador PID estabiliza la posicin de la esfera alrededor
de 8mm con un sobrepico inicial del 18%, el tiempo de estabilizacin
es mayor al del controlador PD con 0.6 s ya que el controlador PID
estabiliza el sistema despus de 1 s.
Se dise e implement el controlador con realimentacin completa de
estados, la ubicacin de los polos se lo realizo con el SRL, se
observa que la posicin de la esfera tiene un carcter oscilatorio
que se mantiene entre 7.7 y 7.8 mm con un valor medio de 7.5 mm
dando un error en estado estable del 5%.
El controlador con estimador de estados muestra que la posicin
tiene un error en estado estable del 5%
Con el controlador con estimador de orden reducido se observa
que la posicin de la esfera es de 7.5 mm dando un error en estado
estable del 6%.
REFERENCIAS WILLIAMS, Laurence, Linear State-Space
Control Systems, primera edicin, Editorial Wiley, Canada 2007,
464 pginas.
DOMINGUEZ S., Control en el Espacio de Estado, primera edicin,
Editorial Alhambra S. A., Madrid 2002, 291 pginas
POWELL, David, Feedback Control of Dynamic System, cuarta
edicin, Editorial Prentice Hall, New Jersey 2002, 912 pginas
BURNS, Roland, Advanced Control Engineering, primera edicin,
Editorial Butterworth Heinemann, Playmouth UK 2001, 450 pginas
OGATA, Katsuhiko, Ingeniera de Control Moderno, cuarta edicin,
Editorial Prentice Hall, Madrid 2003, 965 pginas.
Biografa de los Autores
Freddy Checa Basantes. Se gradu en colegio Tcnico salesiano Don
Bosco en el 2001. Recibi el ttulo de Ingeniero Electrnico en
Automatizacin y control el 2009 En la Escuela Politcnica del
Ejrcito. Entre los
campos de inters se encuentra el estudio de control en el
espacio de estados, PLCs, Microcontroladores as como sistemas
scada.
e-mail: [email protected]
Ing. Vctor Proao Rosero. Ingeniero en Electrnica y Control de la
Escuela Politcnica Nacional (1986). Es profesor en la Escuela
Politcnica del Ejrcito desde 1989. Sus reas de inters son Sistemas
de Control,
Microcontroladores, Instrumentacin, Control Industrial.
e-mail: [email protected]
