Variación de caudal en válvula de bola

7/23/2019 Variación de caudal en válvula de bola

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Universidad de Santiago de Chile

Facultad de ingeniería

Departamento de Ingeniería Mecánica

Tarea 1: Válvula de bolaDiseño Computarizado

Alumno: Felipe Ligeti

Profesor: Claudio García

Fecha: 20-11-2015



ContenidoIntroducción ........................................................................................................................................ 3

Objetivos ......................................................................................................................................... 3

Desarrollo del trabajo ......................................................................................................................... 4

Componentes de una válvula .......................................................................................................... 4

Fórmula para obtener el área en función del tiempo ..................................................................... 8

Método de programación utilizado ................................................................................................ 9

Resultados ..................................................................................................................................... 10

Variación de área con respecto al tiempo ................................................................................ 10

Grafico de caudal con respecto al tiempo ................................................................................ 11

Modelo logarítmico del caudal.................................................................................................. 11

Grafico variación caudal con respecto al tiempo mediante el método de logaritmo .............. 12Grafico de caudal con respecto al tiempo de los 4 comportamientos ..................................... 13

Conclusión y comentarios personales ............................................................................................... 14

Bibliografía ........................................................................................................................................ 15



IntroducciónEl control automático ha evolucionado rápidamente incluso hasta ciencias de altas

matemáticas. Sin embargo en este trabajo no se pretende desarrollar los aspectos

avanzados de los sistemas de control, sino más bien solo en analizar el funcionamiento

de una válvula de control de bola, que en definición no es más que un aparato mecánico

con el cual se puede iniciar o detener la circulación de fluidos mediante una pieza movibleque abre, cierra u obstruye en forma parcial un orificio. Esta característica hace de las

válvulas uno de los instrumentos de control más esenciales en la industria debido a su

uso.

Objetivos

Los objetivos de este informe se centran en la interpretación de la variación de área y

caudal que presenta una válvula de bola mientras es abierta a una velocidad constante.

Se debe identificar elementos, procesos y supuesto utilizados, haciendo conocimiento de

lo aprendido en la carrera de Ingeniería Civil Mecánica o recurriendo a bibliografías de

diversos autores. Además se requiere obtener rectas que ajusten estas curvas y lograr

obtener un modelo logarítmico que pueda predecir el flujo de caudal de aire a distintos

tiempos. Para ello, se utiliza lenguaje de programación Fortran, con el fin de desarrollar

toda la problemática con una solución computacional.



Desarrollo del trabajo

Las válvulas de bola ofrecen muy buena capacidad de cierre y son prácticas porque para

abrir y cerrar la válvula es tan sencillo como girar la manivela 90°. Se pueden hacer de

paso completo, lo que significa que la apertura de la válvula es del mismo tamaño que elinterior de las tuberías y esto resulta en una muy pequeña caída de presión.

Cabe señalar, sin embargo, que esta válvula es para uso exclusivo en la posición

totalmente abierta ó cerrada. Esta no es adecuada para su uso en una posición de

apertura parcial para ningún propósito, tal como el control de caudal.

La válvula de bola hace uso de un anillo suave conformado en el asiento de la válvula. Si

la válvula se utiliza en posición parcialmente abierta, la presión se aplica a sólo una parte

del asiento de la válvula, lo cual puede causar que el asiento de la válvula se deforme. Si

el asiento de la válvula se deforma, sus propiedades de sellado se vulneran y esta fugará

como consecuencia de ello.

Componentes de una válvula



Cuando se realiza la apertura de la válvula mediante la manipulación de la manivela o

maneta, la variación de flujo de área y caudal no se comporta de forma lineal, por lo

mismo, su interpretación tiene un grado de dificultad mayor. Para comprender el

comportamiento del área de flujo mientras la válvula se abre, se puede recurrir a la

siguiente imagen.

El área achurada de color negro indica la zona de área en donde la válvula se encuentra

cerrada, es decir, para la posición 7 de la imagen, la válvula se encuentra completamente

cerrada impidiendo el paso de aire. Por otro lado, el área de color naranjo indica por

donde el flujo está pasando, por ejemplo, para la posición 1, la válvula está

completamente abierta. Si se observa con atención se logra visualizar que el área

anaranjada se obtiene al momento de realizar la intersección de 2 circunferencias de igual

diámetro, es decir, cada vez que se abre la válvula, una de las 2 circunferencias es

trasladada hacia la derecha una distancia directamente proporcional al tiempo de

apertura, siguiendo la expresión = ∙ , en donde, muestra la distancia desplazada,

la velocidad de apertura de la válvula y t el tiempo de apertura. En efecto, para un tiempo

de = 1 0 segundos, la válvula se habrá movido = 1 0 ∙ 0 . 5 = 5 , correspondiendo al

caso 5 de la imagen, en donde la válvula se encuentra a la mitad de apertura.

Por lo tanto se debe encontrar una forma de obtener dicha área naranja para cada

variación de tiempo.

Para esto es necesaria la utilización de integrales y definir la curva de función de la

sección de un cuarto de circunferencia. Recordar que la ecuación de una circunferencia

no es una función, pues para cada valor de , su imagen corresponde a dos valores en el

eje , por este motivo, se analiza solo un cuarto de ella.

La ecuación de la circunferencia es de la forma

( − ) + ( − ) =

En donde a y b son las distancias desde el centro de la circunferencia hasta los ejes

respectivamente, para = 0 = 0, la circunferencia se posiciona en el origen del plano

cartesiano, es la distancia que recorre en el eje de las abscisas, es la distancia en el

eje de las ordenandas y es el radio de la circunferencia.



La función que represente la curva solo en el primer cuadrante, o sea en

Es la siguiente.

Despejando la incógnita ( − ) + ( − ) = e indicando que la circunferencia se

encuentra en el origen como se aprecia en la imagen, se obtiene

+ =

= √ −

Para encontrar el área achurada de color verde se utilizan integrales, para ello se toma un

rectángulo diferencial de área, paralelo al eje Y como se muestra a continuación.

Se desprende que el diferencial de área es

=

Como se calcula la cuarta parte de la circunferencia, el área será

1

4 = ∫√

−

= 4 ∫ √ −



Para los límites de integración, se recurre a la trigonometría.

Por lo tanto

sin() = → =()

=()

De esta forma los límites de integración son

= → sin() = = 1 → =

2

Reemplazando los nuevos límites de integración y dejando la integral de área solo en

función de

= 4 ∫ √ − () ()

= 4 ∫ √ (1−()) ()

= 4 ∫ √ (1−()) ()

1 − () =(),

= 4 ∫ ()

() = 12 (1+cos(2))



Fórmula para obtener el área en función del tiempo

= 4 ∫ 12 (1+cos(2))

= 4(1

2 + sin(2)4 )

Finalmente se obtiene la expresión para calcular el área a medida que la variable

cambia. Sin embargo, lo que se está calculando no es lo que se necesita en esteproblema, pues solo se considera la siguiente porción anaranjada.

El área que se busca entonces es la suma de la sección roja con la naranja, o que es lo

mismo que calcular el área de un cuarto de circunferencia justo donde los 2 círculos se

intersecan a una distancia . En la figura se aprecia que si la válvula se abre durante 5

segundos, la distancia recorrida es de 2.5 mm y la intersección ocurre en 1.25 mm. Es

por esto que se necesita encontrar de forma general cada intersección de lascircunferencias a medida que el tiempo varía.

Se tiene que

1. + = , circunferencia fija en el origen

2. (−) + = , circunferencia que se traslada solo en el eje X una distancia a.

Se expande la ecuación 2

( − )

+

=

− 2 + + =

Restando 2. y 1., se obtiene

−2++= 0

= 2⁄



Es decir, cada vez que se mueva una distancia determinada, el límite de integración

debe ser la mitad.

ahora seguirá la expresión = ∙ 2⁄ .

Método de programación utilizado

Una recta de ajuste es una línea recta que es la mejor aproximación del conjunto de datos

dado, en este caso de caudal y tiempo. Para encontrarla de una forma precisa, la mejor

manera es utilizando el método de mínimos cuadrados, técnica de análisis

numérico enmarcada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto

de pares ordenados: variable independiente, variable dependiente, se intenta encontrar

la función continua que mejor se aproxime a los datos.

Se debe seguir los siguientes pasos para encontrar la ecuación de la recta.

Calcular la media de los valores de x y la media de los valores de y.

Realizar la suma de los cuadrados de los valores de x.

Realizar la suma de cada valor de x multiplicado por su valor correspondiente y.

Calcular la pendiente de la recta usando la fórmula:

= ∑ − (∑ ∑ )

∑ − (∑ )

Donde n es el número total de datos.

Calcular la intersección de la recta con el eje y, mediante:

= −

Donde , son los promedios de las coordenadas

Finalmente la ecuación de la recta de ajuste es:

= ∙ −

Esta recta indicara el comportamiento que tienen el caudal con respecto al tiempo, con

y=caudal y x=tiempo.

https://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico


https://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/slope.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/slope.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_continua

https://es.wikipedia.org/wiki/Optimizaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica





Teniendo claro los métodos para solucionar el problema, se procede a programar en

Fortran, archivo que se encuentra adjunto a este informe.

Los resultados obtenidos mediante la programación se compilan en una serie de graficas

que ayudan a comprender el fenómeno de la variación de área y caudal de una válvula de

bola.

Resultados

El área de flujo mientras la válvula se abre varia de la siguiente forma

Variación de área con respecto al tiempo

Se observa que el comportamiento no es lineal como se predijo anteriormente. Para un

tiempo de inicio 0, el área de apertura es cero y llega a un máximo en = 78.53 .



A continuación se presenta el grafico de caudal con respecto al tiempo (color rojo) y su

respectiva recta de ajuste (color verde)

Grafico de caudal con respecto al tiempo

Se puede observar que el mejor ajuste de recta cumple de manera exitosa el

comportamiento de la variación de caudal, por lo tanto, el ajuste por mínimos cuadrados

logra su objetivo.

Modelo logarítmico del caudal

El caudal varía dependiendo del tipo de válvula que se esté utilizando, esta característica

se llama caudal inherente de la válvula. Se pueden mencionar las de apertura rápida, las

lineales y las isoporcentuales.

En este caso, la válvula de bola se rige por un comportamiento isoporcentual, en el cual,

la ecuación correspondiente es:

= ∙

Donde

= , = = .

= ∙

Se integra para obtener

∫ = ∫ = = ∙ ∗



Donde “a” y” b “son constantes y “e” es la base de logaritmos neperianos.

Se aplica logaritmo natural a la expresión * y se obtiene

ln() =ln( ) + ∙

Expresión que se rige por un comportamiento de recta si se realiza el siguiente cambio devariable

ln() = → = y = a1 + ∙ , ln() =1=

De esta manera se puede preceder el caudal que varía en un tiempo con un método

logarítmico.

Se realiza la programación de este método y luego se obtiene el mejor ajuste de recta por

mínimos cuadrados.

Grafico variación caudal con respecto al tiempo mediante el método de logaritmo

La recta de en color verde se ajusta razonablemente entre el periodo de tiempo 0 y 14, sin

embargo la variación de caudal en los últimos 5 segundos de apertura es mucho mayor

de lo esperado.



A continuación se grafican los 4 comportamientos de caudal obtenidos por Fortran

Grafico de caudal con respecto al tiempo de los 4 comportamientos

El símbolo azul indica el caudal obtenido sin ajuste ni método de logaritmo, para esa

curva se le adjudica el ajuste en color rosa. Por otro lado, la curva en color rojo muestra

el caudal que se predice por medio del método de logaritmo, y su ajuste correspondiente

es la recta en color verde.



Conclusión y comentarios personales

En un principio es difícil comprender algunos fenómenos que puedan estar inmersos en el

área de la ingeniería mecánica. Comprender como una válvula de bola permite el paso

de un fluido no es trivial, por lo mismo, este trabajo cumple con su objetivo de entender demanera exitosa el comportamiento de la variación de flujo en el tiempo. Por otro lado, la

programación realizada en Fortran es satisfactoria pues se observa en los gráficos que a

pesar de que en algunos casos las curvas se distancias unas de otras, en general

cumplen el mismo patrón.

Como comentario personal puedo señalar que a pesar de que en un comienzo tuve

problemas al realizar los comandos, el esfuerzo y constancia me ayudo mucho a entender

la importancia que puede tener la programación en sí, es más, en las últimas décadas ha

sido crucial para comprender la evolución que ha tenido la sistematización de tareas y el

manejo de la información que hoy en día es tremendamente grande. Es de suma

importancia tener un orden en las actividades a realizar, es fundamental manejar demanera eficiente estas herramientas para resolver diversos problemas que puedan surgir

en el camino de la ingeniería mecánica, pues lo que antes se realizaba en innumerables

trabajos de forma manual y con un alto costo, ahora son ejecutados por un computador

con un ahorro significativo de tiempo, por lo tanto, este trabajo consolida la importancia

que posee la programación para nuestro camino como futuros profesionales.



Bibliografía

Metodos minimos cuadrados [En línea] 2015. [Citado el: 17 de Noviembre de 2015.]

Disponible en: http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/line-of-best-fit.html

Escala logartimica [En línea] 2015. [Citado el: 17 de Noviembre de 2015.] Disponible

en: http://hidrologia.usal.es/Complementos/papeles_log/fundamento_log.pdf

Antonio Creus, Instrumentación Industrial [En línea]. Octava Edición. [Citado el: 17 de

Noviembre de 2015]. Disponible en: http://www.slideshare.net/rockdnl/instrumentacion-

industrial-creus-8th-edition

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