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Ejercicios Resueltos
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Variacion de Parametros
Jesus Ivan Herrera Lopez
28 de octubre de 2015
Ecuacion Diferenciald2y
dx2+ 4
dy
dx+ 5y = e2x secx
El polinomio caracterstico de la ecuacion diferencial es:
P (r) = r2 + 4r + 5 = 0
r =4
(4)2 (4)(1)(5)
2(1)= r = 2 i
Con races reales e imaginarias las soluciones son y1 = e2x cosx y y2 = e2x sinx.
Luego la solucion complementaria sera:
yC = C1e2x cosx + C2e2x sinx
Determinamos la solucion particular para ello determinamos el Wroskiano:
W =
e2x cosx e2x sinx(2e2x cosx e2x sinx) (e2x cosx 2e2x sinx)
W = e4x cos2 x 2e4x sinx cosx + 2e4x sinx cosx + e4x sin2 x
W = e4x(cos2 x + sin2 x
)= W = e4x
Puesto que la solucion particular toma la forma
yP = u1y1 + u2y2
Derivando dos veces con el fin de obtener la expresion de la ecuacion diferencial originaly considerando que: u1y1 + u
2y2 = 0 obtenemos dos ecuaciones, es decir obtenemos un
sistema de ecuaciones de la forma:{u1y1 + u
2y2 = 0
u1y1 + u
2y2 = f(x)
1
El sistema de ecuaciones sera:
{u1e2x cosx + u2e
2x sinx = 0
u1(2e2x cosx e2x sinx) + u2(e2x cosx 2e2x sinx) = e2x secx
La solucion del sistema sera:
u1 =
0 e2x sinxe2x secx (e2x cosx 2e2x sinx)
W= e
2x sinx e2x secxe4x
u1 = tanx = u1 =
tanxdx = Ln [cosx]
u2 =
e2x cosx 0(2e2x cosx e2x sinx) e2x secx
W=e2x cosx e2x secx
e4x
u2 = 1 = u2 =dx = x
Entonces la solucion general de la ecuacion diferencial sera:
y = yC + yP
y = C1e2x cosx + C2e2x sinx + Ln [cosx] e2x cosx + xe2x sinx
2
Ecuacion Diferenciald2y
dx2 2dy
dx+ y = ex sin1 x
El polinomio caracterstico de la ecuacion diferencial es:
P (r) = r2 2r + 1 = 0
P (r) = (r 1)2 = 0 = r = 1Con races reales r = 1 las soluciones son y1 = e
x y y2 = xex.
Luego como la raz es de multiplicidad 2 la solucion complementaria sera:
yC = C1ex + C2xe
x
Determinamos la solucion particular para ello determinamos el Wroskiano:
W =
ex xexex ex(x + 1)
W = xe2x + e2x xe2x
= W = e2xPuesto que la solucion particular toma la forma
yP = u1y1 + u2y2
Derivando dos veces con el fin de obtener la expresion de la ecuacion diferencial originaly considerando que: u1y1 + u
2y2 = 0 obtenemos dos ecuaciones, es decir obtenemos un
sistema de ecuaciones de la forma:{u1y1 + u
2y2 = 0
u1y1 + u
2y2 = f(x)
El sistema de ecuaciones sera:{u1e
x + u2xex = 0
u1ex + u2e
x(x + 1) = ex sin1 x
La solucion del sistema sera:
u1 =
0 xexex sin1 x ex(x + 1)
W= xe
x ex sin1 xe2x
u1 = x sin1 x = u1 =
x sin1 xdx
Esta ultima integral se resuelve por integracion por partes, su resultado sera:
u1 =1
4
[x
1 x2 + (2x2 1) sin1 x]3
u2 =
ex 0ex ex sin1 x
W=ex ex sin1
e2x
u2 = sin1 x = u2 =
sin1 xdx
Esta otra integral se resuelve por integracion por partes, su resultado sera:
u2 =
1 x2 + x sin1 x
Entonces la solucion general de la ecuacion diferencial sera:
y = yC + yP
y = C1ex + C2xe
x +ex
4
[x
1 x2 + (2x2 1) sin1 x]+ xex (1 x2 + x sin1 x)
4
Ecuacion Diferencial
x2d2y
dx2+ x
dy
dx+ 4y = 2xLnx
Dado que y1 = x y y2 = xLnx forman un conjunto fundamental de soluciones para laEDO homogenea asociada.
Decimos entonces que la solucion particular sera:
yP = u1y1 + u2y2
Entonces:
yP = u1x + u2xLnx
yP = u1x + u1 + u2xLnx + u2(1 + Lnx)Consideramos que: u1x + u
2xLnx = 0
Entonces:
yP = u1 + u2(1 + Lnx)
yP = u1 + u2(1 + Lnx) + u2x1Sustituyendo en la EDO
x2yP + xyP + 4yP = 2xLnx
x2[u1 + u
2(1 + Lnx) + u2x
1]+ x [u1 + u2(1 + Lnx)] + 4 [u1x + u2xLnx] = 2xLnx[x2u1 + u
2(x
2 + x2Lnx) + u2x]
+ [xu1 + u2(x + xLnx)] + [4u1x + 4u2xLnx] = 2xLnx
x2u1 + u2(x
2 + x2Lnx) + u2 [x + x + xLnx + 4xLnx] + u1 [x + 4x] = 2xLnx
x2u1 + u2(x
2 + x2Lnx) + u2 [2x + 5xLnx] + 5xu1 = 2xLnx
Decimos que: u2 [2x + 5xLnx]+5xu1 = 0, entonces procedemos a determinar el Wros-kiano, teniendo el siguiente sistema de ecuaciones:{
u1x + u2xLnx = 0
u1x2 + u2(x
2 + x2lnx) = 2xLnx
Que es igual a esto, es decir dividimos entre x y x2{u1 + u
2Lnx = 0
u1 + u2(1 + lnx) = 2x
1Lnx
5
El Wroskiano sera:
W =
1 Lnx1 1 + Lnx
W = 1 + Lnx Lnx
= W = 1
Luego encontramos u1 y u2
u1 =
0 Lnx2x1Lnx 1 + Lnx
W= 2x1Ln2x
u1 = 2
Ln2xdx
x= u1 = 2
3Ln3x
u2 =
1 01 2x1Lnx
W= 2x1Lnx
u2 = 2
Lnxdx
x= u2 = Ln2x
Tomando los valores de u1 y u2 encontramos la solucion particular
yp = u1x + u2xLnx
yp = 23xLn3x + xLn2xLnx
yp = xLn3x[1 2
3
]La solucion particular es:
yp =x
3Ln3x
Como la solucion general es la suma de la particular y la complementaria la respuestasera:
y = C1x + C2xLnx +x
3Ln3x
6