V A R I A C I O N E S D E L A P E S A N T E Z ( 1 )

I N F L U J O DE LA. L U N A Y DEL S O L SOBRE LA PesAHrez

HONORATO DE CASTRO ( 2 )

C o n p r o p ó s i t o s de inves t i gac ión teór ico-práct íca , se hicieron te-cien t e m e n te (del 10 al 2 4 de M a y o del a ñ o a c t u a l ) , determinaciones g r a v i m é t r i c a s en d i s t i n t o s p u n t o s d e l a R e p ú b l i c a Niexícana. ( C a c a -l i lao , V e r . , J a l t i p a n , V e r . y M u ñ a , Y u c . ) con in terva los de 15 m i ­n u t o s al m i s m o t i e m p o q u e se e f e c t u a b a n o b s e r v a c i o n e s s e m e j a n t e s en o tros l u g a r e s de l m u n d o .

P a r a c o m p a r a r los ¡resultados p r á c t i c o s c o n los t eór icos , se d e b e ­ría c o m e n z a r por ca l cu lar los e f e c t o s que en la p>esantez se p r o d u c e n p o r la í icc ión g r a v i f ica de los c u e r p o s ce le s tes , p r i n c i p a l m n t e p o r la L u n a V el S o l , q u e s o n los c u e r p o s q u e e j ercen m a y o r i n f l u j o .

AA tratar de c a l c u l a r e s ta a c c i ó n treórica, se a d v i r t i ó q u e a l g u -l ios t ex tos e s p e c i a l i z a d o s en G e o f í s i c a c a l c u l a n el i n f l u j o t a n s ó l o para A m o m e n t o d e l p a s o de l as tro por el m e r i d i a n o y c o n s i d e r a n a d e m á s c o m o c o n s t a n t e la para la je d e l as tro .

P a r e c e p o r e l l o o p o r t u n o real izar el e s t u d i o t eór ico e l e m e n t a l que se p u b l i c a a c o n t i n u a c i ó n , e n el c u a l se h a p r e s c i n d i d o de l a c o m ­p l i cac ión que d a n al p r o b l e m a las f u n c i o n e s e s fér icas para e l c á l c u l o de l e f e c t o de m a r e a . E s t e e s t u d i o e s c o m ú n p a r a el S o l y la L u n a s in m á s que c a m b i a r los e l e m e n t o s p e r t i n e n t e s . P o r e l l o t r a t a m o s d e la L u n a en pr imer lugar , t e n i e n d o p r e s e n t e q u e e n el r e s u l t a d o f ina l h a ­brá que c o m p o n e r los e f e c t o s l u n a r e s c o n los so lares , c o m o h a b r í a q u e c o m p o n e r l o s c o n los p r o d u c i d o s p o r o t r o s c u e r p o s ce les tes si ruvieran i n t e n s i d a d aprec iable para n u e s t r o s m é t o d o s d e obervac ión-

C o n s i d e r a n d o que este a r t í c u l o h a d e t e n e r a l g u n o s l ec tores que

( 1 ) O r i g i n a l r e c i b i d o e l 7 d e d i c i e m b r e d e 1 9 4 9 . ( 2 ) G e o f í s i c o d e P e t r ó l e o s M e x i c a n o s y A n t i g u o C a t e d r á t i c o d e ""AstroinoinEia

e s f é r i c a " y ' ' C o s m o g r a f i a i y F í s i c a d e l G l o b o " d e l a U n i v - e r s i < d a d d e M a ­d r i d , E s p a ñ a .

MEXICANA DE GEÓLOGOS PETROLEROS 1 6 3

HONORATO DE CASTRO

1 6 4 BOLETÍN DE LA ASOCIACIÓN

• I O están especializaidos en cuestiones astronómicas, se utilizará en su exposición todo aquel lo que sirva para aclarar conceptos a los no especial izados. D e la lectura de estos Conceptos aclaratorios podrá {..rescindir seguramente la mayoría de los lectores.

ACCIÓN GRAVÍFICA DE LA L U N A SOBRE LA UNIDAD DE MASA SITUADA EN O , EN EL MOMENTO T DE UNA

OBSERVACIÓN GRAVIMETRICA.

S i fuese inalterable la posición de la Luna con relación al pun­to en que se encuentra un observador, sería también inalterable con la sucesión, de los t iempos el inf lujo que nuestro satélite ejercería sc­bre la pesantez porque no cambiaría ni la masa de la Luna , ni la distancia al observador, e lementos únicos Con posible variación que intervienen en la expresión mathematica de la ley de N e w t o n .

M a s como la posición relativa de la Luna, con relación al obser­vador, cambia con el t iempo, cambiará también el inf lujo lunar y serán di ferentes por esta razón los valores de la pesantez determina­dos en un m i s m o lugar de la superficie terrestre en momentos dife­rentes de tiemrro. T a n sólo serán iguales los valores observados de la pesantez cuando , por causa de la periodicidad de los movimientos de la L u n a y del observador, sean idénticas lar. posiciones relativas d e la una y del otro.

D e b e m o s además tener en cuenta otra causa de variación del in­f lujo lunar sobre la pesantez observada en un cierto p u n t o de la su­perficie terrestre. Si en el f enómeno no existiesen más inf lujos que el lunar, la pesantez observada sería la resultante de tres fuerzas, a saber: la acción atractiva terrestre que se ejerce en el sentido de la verti­cal del lugar, , la fuerza centr í fuga que produce el mov imiento de rota­ción de la Tierra y por último^ el inf lujo lunar que se ejerce en di­rección de la recta que une al observador con el centro de la Luna . La resultante de estas tres fuerzas depende no sólo de sus respectivas intensidades sino que también de sus direcsiones relativas, es decir, de los ángu los que en cada m o m e n t o fcírman las direcciones e n que las fuerzas se ejercen.

D e todo ello resulta que, para estudiar las variaciones del inf lujo

VARIACIONES DE I.A PESANTEZ

lunar scbre la p e s a n t e z , d e b e m o s tener en c u e n t a las var iac iones de d i s tanc ia de l o b s e r v a d o r al saté l i te p e r t u r b a d o r y la var iac ión de la d irecc ión , p r o d u c i d a s una y otra por los m o v i m i e n t o s de la L u n a y del observador .

L o s m o v i m i e n t o s que i n f l u y e n en las var iac iones de l i n f l u j o lu­nar s o n : a) el m o v i m i e n t o del o b s e r v a d o r p r o d u c i d o por la rotac ión terrestre que real iza u n a r e v e o l u c i ó n c o m p l e t a en u n d ia s idéreo i g u a l a 2 3 h. 5 6 m. 4 .091 s. de t i e m p o m e d i o , s i e n d o su v e l o c i d a d a n g u l a r

= 0 . 0 0 0 0 7 2 9 2 1 u n i d a d e s c e g e s i m a l e s . 8 6 1 6 4 . 0 9 1

b) el m o v i m i e n t o de t ras lac ión de la L u n a e n t o r n o de la T i e r r a q u e real iza en u n m e s s idéreo ( 2 7 d í a s , 7 hs . 4 3 m i n s . 11 .47 segs . de t i em­p o so lar m e d i o ) . c) E l m o v i m i e n t o de tras lac ión de la T i e r r a e n t o r n o de l S o l , descri ­b i e n d o su órb i ta en u n a ñ o sidt^reo o sea en 3 6 5 d ías , 4 hrs . 9 m i n s . 2 9 segs . de t i e m p o so lar m e d i o .

S i p r e t e n d i é r a m o s e s t u d i a r el p r o b l e m a en t o d a su a m p l i t u d , de­b e r í a m o s partir d e l c o n o c i m i e n t o de t o d o s los e l e m e n t o s que d e t e r m i n a n las p o s i c i o n e s de las órbi tas a n t e d i c h a s así c c m o las c o n d i c i o n e s en q u e se real izan sobre las órbi tas respect ivas los m o v i m i e n t o s de trasla­ción de la T i e r a y die la L u n a . P e r o n o precisa repetir u n t rabajo y a rea l i zado por los a s t r ó n o m o s que p u b l i c a n en los a n u a r i o s a s t r o n ó ­m i c o s e l e m e n t o s su f i c i entes para d e t e r m i n a r los v a l e r e s que en cada n?omento c o r r e s p o n d e n a las var iables de nuestroi p r o b l e m a .

E l m o v i m i e n t o de tras lac ión de la L u n a e n t o r n o de la T i e r r a prckduce, por n o ser c ircular la órbi ta lunar , u n a var iac ión e n la d i s tan­cia que separa los centros de n u e s t r o p l a n e t a y n u e s t r o saté l i te . Re­s u l t a m u y senc i l lo c a l c u l a r esa d i s t a n c i a para u n m o m e n t o cua lqu iera por m e d i o de la para laje d i u r n a l u n a r qtie p u b l i c a n a n u a r i o s de los observa tor io s tales c o m o por e j e m p l o " T h e A m e r i c a n E p h e m e r i d e s a n d N a u t i c a l A l m a n a c " de ^OC^ashington, U . S . A . L o s va lores que publ i ­c a n los re fer idos anuar ios c o r r e s p o n d e n a la para la je h o r i z o n t a l e c u a ­torial y se d a n en sus tablas va lores para in terva los de 12 horas y las var iac iones que p e r m i t e n , por in terpo lac ión , ha l lar la que c o r r e s p o n d e

MEXICANA DE GEÓLOGOS PETROLEROS 1 6 5

HONORATO DE CASTRO

a u n m o m e n t o cualquiera . P a r a el a ñ o a c t u a l de 1949 se publican estos va lores e n la c o l u m n a 5 / a . de las p á g i n a s 147 a 162 del precita­d o anuar io .

M a s c o m o e n las f ó r m u l a s que v a m o s a d e d u c i r n o interviene la paralaje horizotal , porque ,por lo genera l , n o es tará la Luna en el Irorizonte c u a n d o se realice una observac ión , será prec i so pasar de la paralaje ecitatorial que d a n los anuar ios a la paralaje en altura que co­rresponde al m o m e n t o en que se pract ica la o b s e r v a c i ó n .

Este p a s o es i n m e d i a t o y se d e d u c e de las d e f i n i c i o n e s de una y otra p.aralaje. L a paralaje 'diurna hor i zonta l de la L u n a es el ángulo bajo el c u a l se v é e l radio terrestre c o r r e s p o n d i e n t e al observador des­de el c en tro de la L u n a c u a n d o este saté l i te se e n c u e n t r a en el hori­zonte . La paralaje e n a l tura es e l m i s m o á n g u l o c u a n d o la Luna al­canzó sobre el hor izonte u n a c ierta a l tura . E n la F ig . 1/a. , en donde C representa el centro de la T i e r r a , L i el c e n t r o d e la L u n a cuando se cncuntra en el hor izonte del observador O , y L 2 el m i s m o centro lu­nar c u a n d o se encuientra a u n a d i s tanc ia cen i ta l z , la paralaje hori­zonta l será TT y será p la para la je e n a l tura .

p es:

166

C F i g . r I a re lac ión que en laza las para la je s h o r i z o n t a l e s y en altura

BOLETÍN DE LA ASOCIACIÓN

V A R I A C I O N E S D E L A P E S A N T E Z

donde z' e s l a d i s r a n c i a c e n i t a l c e n t r a l d e l a s t r o e n el m o m e n t o d e l a . i b s i T v a c i ó n , á n g u l o cjue d e t e r m i n a r e m o s m á s a d e l a n t e .

S e d e d u c e l a f ò r m u l a ( 1 ) c o n s i d e r a n d o l o s t r i á n g u l o s L ' O C y L 2 O C d e l a F i g . 1 / a . E l p r i m e r o die l o s t r i á n g u l o s n o s d á :

s e n

s e l s e g u n d o

r s e n p

s e n z

C5 decir q u e

s e n p s e n Í T s e n z .

A v i r t u d d e l a p e q u e n e z d e las p a r a l a j e s d e p y se p u e d e e s -cribn-

p = n "ien : Í

pero s i e n d o z = z p t e n d r e m o s

p ^ ~ ( í;cn z CCS p -A- e o s z s e n p )

que se r e d u c e , .1 v i r t u d d e la p e q u e n e z d e p a

p = (sen z - 4 - p e o s z ) V de a q u í

1 — e o s z ' 2 sen^ ^ - z , r '

p = V = — — '• TT ~ ~ crot ' 2 z ^ s e n z 2 s e n z e o s Vz z

C o n s i d e r e m o s a h o r a q u e e n la F i g . 2 /a . s e a L l a p o s i c i ó n d e la Luna en el m o m e n t o d e l a o b s e r v a c i ó n ; C* e l c e n t r o d e la T i e r r a ; P P ' ti eje e n torno- d e l c u a l g i r a ; O e l p u n t o d e l a s u p e r f i c i e t e r r e s t r e en que se h a c e u n a d e t e r m i n a c i ó n g r a v i m e t r i c a c u a n d o u n re lo j d e t i e m ­po so lar m e d i o m a r c a la h o r a T .

MEXICANA DI: G E Ó L O G O S PETROLEROS 1 6 7

HONORATO DE CASTRO

La acción gravíl'ica de la L u n a sobre la un idad de masa s i tuada en O será, segt'm la ley de N e w t o n :

m g' ( O L )

d o n d e son:

G la constante de gravitación universal de valor

G = 6 6 7 3 . 1 0 - ' '

m la masa de la L u n a , 81 menor que la masa M de la T ierra , tenien­do por tanto un valor

m M 81

1 81 X . 6 . 1 X 1 0 " gr.

La distancia O L del centro de la L u n a al p u n t o de observación, se deduce del t r iángulo rect i l íneo O C L que nos permite escribir

1 6 8

O L = O C + L C — 2 O C X C L eos z'

= ( L C — O C ) ^ + 4 L C . O C sen^ i/. (2)

BOLETÍN DE LA ASOCIACIÓN

VARIACIONES DE LA PESANTEZ

eos z ren 9 3 sen I ros (p eos S cos t ( 3 )

s ien d o t —- 6» œ d o n d e ce es la ascenc ión ree ta de la L una en e 1 m o m e n t o de observac ión , que p o d e m o s deduc ir 'de las tab las de la L u n a y 0 es igua l a la hora s idérea e n e l m o m e n t o de observac ión .

E l va lor de L C que f i g u r a e n la (2 ) se p u e d e obtener en f u n c i ó n del radio ecuator ia l terrestre (a ) y d e la para la je hor i zonta l e c u a t o ­rial en el m o m e n t o de observac ión que nos d a n las tab las de la f. una . La f ó r m u l a correspond iente es:

C L sen j t

( 4 )

f ó r m u l a que sv. d e d u c e i n m e d i a t a m e n t e de la inspecc ión d e la F i g . 3 / a .

g- 3

MEXICANA DE GEÓLOGOS PETROLEROS 1 6 9

El valor a n g u l a r del á n g u l o z' es i g u a l al de l l a d o C O del tr ián­g u l o e s fér ico O l P c u y o s e l e m e n t o s son

PO = 90 — cp

P l = 90 — S_

s i endo la l a t i tud g e o g r á f i c a de O; S la dec l inac ión de la L u n a en e!, m o m e n t o de la observac ión , y t el á n g u l o horar io de la L u n a en el l u g a r y en el m o m e n t o de la observac ión .

Entre es tos e l e m e n t o s existe la re lac ión:

HONORATO DE CASTRO

X sec (5) d o n d e la abscisa x tiene el va lor

X = a eos u

es tando enlazada la la t i tud reducida u con la geográf ica fp por la f ó r m u l a

tg u = tg 9? ( 6 )

y la latitudl geoconcénrrica l' lo está por la expresión:

b^ tg 1' tg <P ( 7 )

donde (a) y (b) son los semiejes mayor y menor del el ipsoide terres­tre. Estas relaciones se deducen inmediatamente cons iderando la Fig . 4 / a . donde la l ínea A P B es la sección que en la superficie terrestre produce el meridiano del observador, y la A M B es el c írculo director de la sección el íptica A P B .

B 0 / N m

F i g 4 Q

• A

1 7 0 BOLETÍN DE LA ASOCIACIÓN

El valor de C O de la fórmula (2) se puede obtener en func ión de la lat i tud geocéntr ica 1* y de la abcisa x por la f ó r m u l a

VARIACIONES DE LA PESANTEZ

F i g . 5 * »

L a direcc ión O M será la de la vert ical de l lugar de observac ión . L a ide OlSí es la de la v isual d ir ig ida a la L u n a e n el m o m e n t o de

observac ión .

E l á n g u l o N O M será la d i s tanc ia ceni ta l de la L u n a vista des­de el lugair O en el m o m e n t o de la observac ión . P o r la F ig . 1 /a . o 2 / a . se ve que

z = z' + p ( 8 )

d o n d e (p) es la paralaje en a l tura de la L u n a . O e l t r i á n g u l o O M P (F ig . 2 / a . ) , se d e d u c e :

O P ' = O M " 4 O N ' — 2 0 M . O N cos z ( 9 )

L a acció:i g r a v í f i c a lunar gi c u y o va lor se puede• ca lcular por la f ó r m u l a (2 ) y las re lac ionadas con el la , ( 7 ) , ( 6 ) , (5 ) , (4 ) y ( 3 ) , se ejerce en la d irecc ión y s en t ido d e la n o r m a l al geo ide .

L a resu l tante de es tas d o s acc iones será igua l en m a g n i t u d y di­recc ión a la d i a g o n a l del p a r a l e l o g r a m o c o n s t r u i d o sobre sus intensi­d a d e s . P a r a ca lcu lar los e l e m e n t o s que de f inen la resutante , p u e d e suponerse que en la F i g . 5 / a . representan:

MEXICANA DE GEÓLOGOS PETROLERO3 1 7 1

HONORATO DE CASTRO

y de aquí

sen 9^ = m sen M eos f> eos t m eos M

t g M = tg <p sec t

sen m —

sen M

eos z = m eos ( M - S )

La dirección O P (F ig . 5 / a . ) es dis t inta de la dirección O M . E l l o quiere decir que la acción de la L u n a n o só lo cambia la in tens idad de la pesantez s ino que cambia también la dirección. E l á n g u l o d ~ P O M será la desviac ión de la vertical qtie se p u e d e determinar cons iderando el tr iángt i lo P O M del cual se d e d u c e

O P ' - f O M ' — O N ' eos d = ( 1 1 )

2 O M . O P

E n el desarrol lo qtie antecede , n o se ut i l izaron m á s aproximacio-

1 7 2 BOLETÍN DE LA ASOCIACIÓN

que dá el va lor d e ia resul tante O P e n f u n c i ó n de los valores de los" c o m p o n e n t e s (g.^, y g ) y á n g u l o z d e f i n i d o por la f ó r m u l a (8 ) .

N o sería preciso calcular el valor de z p o r la referida f ó r m u l a (8) si al hacer la observac ión se hubiera m e d i d o la d is tancia cenital

de la u n a y s e . l a hubiera correg ido de refracción. P e r o si n o se hu­biera prac t i cado tal m e d i d a , c o m o sucederá en ocas iones en que no es pos ible pract icarla ,por encontrarse ocul ta la L u n a por un m a n t o de nubes , o por estar ba jo el hor izonte , entonces será preciso uti l izar la f ó r m u l a (8 ) .

F i g u r a n en e l la los va lores d e z' y p. E l pr imero se habrá d e d u ­c ido p r e v i a m e n t e de la f ó r m u l a (3 ) y el de la paralaje en al tura p . se ob tendrá por las f ó r m u l a s (1 ) y ( 3 ) .

E l va lor de z' de la f ó r m u l a (3) se puede' preparar para el cá lcu­lo l o g a r í t m i c o h a c i e n d o

VARIACIONES DE LA PESANTEZ

F i g 6 ^

MEXICANA DE GEÓLOGOS PETROLEROS 173

nes que las resu l tantes de s u b s t i t u i t los senos por los arcos de las pa­ralaje hor i zonta l y de a l tura ( f ó r m u l a ( 1 ) - S e c o m p r e n d e que cst^ s u b s t i t u c i ó n n o in troduce en el p r o b l e m a errores aprec iab les p o r c u a n ­to el v a l o r de la para la je hor i zonta l , que osci la para el S o l a l r e d e d o r de 8 , n o pasa para la L u n a de 61 30 , y e! valor de la para la je en a l tura es s iempre m e n o r q u e el de la para la je hor i zonta l .

E l g r u p o de f ó r m u l a s o b t e n i d a s permi te , por c o n s e c u e n c i a , cal­cu lar , para cua lqu iera de los m o m e n t o s en q u e se d e t e r m i n e el va lor e x p e r i m e n t a l de la pesantez , los e f e c t o s p r o d u c i d o s , en i n t e n s i d a d y d irecc ión , p o r i n f l u j o s de la L u n a y de l S o l . E l c a l c i l o resul ta labo­rioso pero dará re su l tados de g r a n prec i s ión;

Se p u e d e n obtener f ó r m u l a s m á s senc i l las , que fac i l i tarán el cá lcu-lo^ o p e r a n d o de m a n e r a s e m e j a n t e a la s e g u i d a por E . D u b o i s en su ' C o u r s d A s t r o n o m i e " . P a r í s . — B e r t r a n d . P á g s . 7 7 4 y s i gu i en te s .

S i se s u p o n e que el p l a n o del d i b u j o de la F i g . 6 / a . es el deter­m i n a d o por la pos i c ión de l o b s e r v a d o r O y por los centros С y L de la X i e r r a y la L u n a en el m o m e n t o en que se d e t e r m i n ó la p e s a n t e z ; y si se representan por R' la d i s tanc ia C L , por r la С О , y por R la L O , y fuesen c o n o c i d o s tales va lores , se p u e d e n d e t e r m i n a r las acc iones que opera, la L u n a sobre la u n i d a d de m a s a s i t u a d a en el c en tro de la T i e r r a С y la que ejerce sobre la m i s m a u n i d a d s i t u a d a en O.

HONORATO DE CASTRO

1 7 4 BOLETÍN DE LA ASOCIACIÓN

Hstas acciones son:

F r = G „ = ^ ( 1 2 )

C o n relación a los ejes rectangulares L x y L y , las coordenadas del p u n t o O son:

X = L B „ y = O B

L a fuerza F ^, que se ejerce en la dirección O L , se puede des­

componer e n dos X , Y paralelas a los ejes y sus valores serán

X = F' eos <o „ Y = F sen a>

pero c o m o

X = R ' eos <»> „ y = R sen o>

X = _ - .„ Y = - — ( n )

Pero además ,

X = R — r eos z' „ y = r sen z

con lo cual las ( 1 3 ) toman la forma, habida cuenta de ( 1 2 ) , de

X = - . G ^ 8 ( R - r eos z')

Y = G r sen z m

Se puede expresar R ' en func ión de R mediante el t r iángulo C O L que d á :

R " = R ' + r' — 2Rr eos z' y de aquí

= ( R ' + r' - 2 R C O S Z ' ) ' ^ ( 1 5 )

VARIACIONES DE LA PESANTEZ

R e p r e s e n t a d o el valor ( 1 5 ) por <t> t e n d r e m o s :

^ = { (r)

que desarro l lado en serie p o r la f ó r m u l a d e M c L a u r i n d á :

4> <í»a -(—

y para (-?).• * ( 9 )

r " o * o ^

D e r i v a n d o la expres ión ( 1 5 ) sa le

( d * 3 eos z'

dr y -

E l va lor de este t é r m i n o es m u y p e q u e ñ o a ú n p a r a el v a l o r m á ­x i m o de eos z y los t é r m i n o s que s i g u e n al s e g u n d o e n el desarro l lo de M a c L a u r i n serán desprec iables , por lo cua l se p u e d e escribir, sin error sens ib le ,

1 1 3 r eos z' R- = ~ R ^ + R ^ ( 1 ^ )

P u e s t o el va lor ( 1 6 ) en los ( 1 4 ) , los va lores de las componentes; X é Y t o m a r á n la f o r m a :

, 1 3r eos z' X = G m ( R — r eos z ) ( j ^ . , )

Y = G m r sen z + )

MEXICANA DE GEÓLOGOS PETROLEROS 1 7 5

HONORATO DE CASTRO

V r- í : 2mr eos z' X = G ^ ^ )

mr sen z R

(17)

P o r la forma de la primera de las ( 1 7 ) , se vé que la componen­te X es la resultante de dos fuerzas, de las cuales la primera es idén­tica a la acción que la L u n a ejerce sobre la un idad de masa s i tuada en el centro de la Tierra . Esta fuerza n o varía por causa dej movi­miento de rotación de la Tierra .

Resulta en def ini t iva que la unidad de masa s i tuada en O se en­cuentra somet ida a la acción de las dos fuerzas s iguientes:

2 G m r eos • - T en la dirección i- i R '

V /

G m r nen z , ,. . , 1 1 j Tj según una dirección perpendicular .

Si se proyectan estas fuerzas en dirección, de la vertical en O y de una horizontal , se tendrá:

Para la fuerza paralela al eje x:

2 G m r eos z' , 2 G m r Ccj "Í eos z ,, sen z

y para la otra:

G m r sen z' , G m r sen z' —= ^ .1 sen z „ eos z

1 7 6 BOLETÍN DE LA ASOCI.ACIÓN

C o m o la cuarta potencia de la distancia T ierra-Luna es m u y gran­de, se puede prescinder de los términos que la contienen, en el deno­minador , con lo cual tendremos para valores aproximados de las com­p o n e n t e s X é Y :

VARIACIONES DE LA PESANTEZ

y c o m o resu l tante tota l en la d irecc ión de la vert ical , se t e n d r á :

m r G (3 cos 'x—1) = F v ( 1 8 )

y para resu l tante hor izonta l

3 mr sen 2z' — G = Fh 2 R''

La fuerza que hace variar la pesantez es la F v la cual es n u l a para los m o m e n t o s en que el va lor de z' a n u l e el t é r m i n o

-, 2 / 1 3 eos z —I

que corresponde a va lores

eos z \ 3

El valor d e z' está e n l a z a d o c o n . la l a t i tud del lugar O, con dec l inac ión de la Luna. 8 y con el horario por la expres ión ( 3 ) .

eos z' = sen <P :n S - \ - eos <P :os 8 eos t

c u a n d o la acc ión F , , i j i ^ se? n u l a deberá ser:

1 -1 — sen qo sen 8 -f- eos 9=" eos 8 eos t

\ / 3 u sea

1 eos t = пес *P :ec S C-í- sen 93 -en S ) ( 1 9 )

\ 3

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HONORATO DE CASTRO

1 7 8 BOLETÍN DE LA ASOCIACIÓN

Es te va lor del horario t permite conocer la hora sidèrea local O que corresponde al m o m e n t o en que es m í n i m a la acc ión de la Luna por la f ó r m u l a . •

(9 = t — oc

Las observaciones real izadas en M é x i c o es tán acordes con la teo-rí.-i y acusan una di ferencia , entre dos valores m á x i m o y m í n i m o ob­servados en t m a estac ión, que es del orden de 0.45 mi l iga les . La \ ' a -riación m á x i m a observada en u n só lo día es del orden de 0.3 mi l ig .

D e el lo se deduce que n o deben preocuparse de las atracciones l imar y solar, quienes para sus prob lemas les sea suf ic iente la aprecia­ción ind icada; pero deberán tenerla en cuenta y calcular las corres­pond iente s correcciones quienes neces i ten de m a y o r precisióni.

( C o n t i n u a r á )