Varietats Lineals Colors

r P

Q

u��

x

y

z

P

Q

u��

v��

Π

x

y

z

{ }·3

r Q PQ uα= ∈ =��

�

Varietats lineals a l’espai Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

I Definicions

I.1 Recta

Donats un punt 3P ∈� i un vector no nul

3Vu ∈

�� s’anomena recta que conté el

punt P (o que passa pel punt P ) i té

la direcció del vector u (o vector

director u ) el conjunt:

Equival a dir que PQ i u són linealment

dependents (és a dir { } 1, =uPQrang ). Una recta també s’anomena varietat lineal de dimensió 1.

Qualsevol vector no nul que tingui la mateixa direcció que u també és vector director de la recta. I.2 Pla

Donats un punt 3P ∈� i dos vectors no

nuls u i v de V3 linealment indepen-

dents, s’anomena pla que conté el punt P (o que passa pel punt P ) i té la

direcció dels vectors u i v (o vectors

directors u i v ) el conjunt:

{ }· ·3

Q PQ u vα βΠ = ∈ = +��

�

Equival a dir que PQ , u i v són linealment dependents (és a dir

{ } 2,, =vuPQrang ). Un pla també s’anomena varietat lineal de dimensió 2. Qualsevol parella de vectors no nuls linealment independents que siguin combinació

lineal de u i v també són vectors directors del pla.

Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 2

II Equacions d’una varietat lineal

II.1 Equacions d’un pla

Sigui Π el pla que passa per ( )321

,, pppP = i té vectors directors ( )321 ,, uuuu = i

( )321

,, vvvv = . Equació vectorial: ( , , )x y z P u vα β= + +

�� α ∈� , β ∈�

En forma analítica:

( , , )x y z = ( )1 2 3, , ·p p p α+ ( )1 2 3

, ,u u u ( )1 2 3· , ,v v vβ+ α ∈� , β ∈�

Equacions paramètriques: 1 1 1

2 2 2

3 3 3

x p u v

y p u v

z p u v

α β

α β

α β

= + +

= + + = + +

Equació general ( o implícita o cartesiana): 1 1 1

2 2 2

3 3 3

0

x p u v

y p u v

z p u v

−

− =

−

(*)

Desenvolupant el determinant s’obté una igualtat de la forma:

0Ax By Cz D+ + + =

El vector ( , , )n A B C=

�� té la mateixa

direcció que el producte vectorial dels

vectors directors: ( )·n k u v= ∧��

.

Per tant, és ortogonal als vectors directors; s’anomena vector normal associat al pla o vector característic del pla. Pas d’una equació a una altra

De paramètriques a general: Només cal desenvolupar la igualtat (*)

anterior.

De general a paramètriques: Cal resoldre l’equació aïllant-ne les variables.

u��

v��

Π

( , , )n A B C=��


Exemple: 12 2 6

3 2 6 12 03

24 2

3y z

x y z x

x

y

z

α β

α

β

+ −− + − = ⇔

= + −

=⇔

=

=

És un pla que passa per (4, 0, 0)P = i té vectors directors:

( )2 / 3, 1, 0) , ( 2, 0, 1)u v= = −��

II.2 Equacions d’una recta

Sigui r la recta que passa per ( )321

,, pppP = i té vector director ( )321 ,, uuuu =

Equació vectorial: ( , , )x y z P uα α= + ∈

��

En forma analítica: ( , , )x y z = ( )1 2 3, , ·p p p α+ ( )1 2 3

, ,u u u α ∈�

Equacions paramètriques: 1 1

2 2

3 3

x p u

y p u

z p u

α

α

α

= +

= + = +

Equacions contínues: 31 2

1 2 3

z px p y p

u u u

−− −= = (sempre que els denominadors no

siguin nuls).

Equacions implícites: 1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

A x B y C z D

A x B y C z D

+ + + =

+ + + = (suposant que el sistema sigui

compatible indeterminat). Els punts de la recta són les solucions del sistema, és a dir

els punts en què es tallen els plans representats per les dues equacions.

Observació: El vector ( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , ,u A B C A B C= ∧

�� és vector director de la recta.

Pas d’una equació a una altra De contínues a implícites: Només cal separar les dues igualtats i formar un sistema.

Exemple: 432

3+=

−=

−z

yx

3 2 9

3

3( 3) 22 3

3( 4)4

3

0

3 12 0

x y

x y

y y z

x

y zz

y

−= − − = −

⇒ ⇔ ⇔ = − +

− − + =

+ ++

==

−

D’implícites a paramètriques: Cal resoldre el sistema format per les dues equacions.


Exemple:

1

1 0 1 0

5 27 0 6 2 28 0 28 6

2

x y z

x y z x y z y

x y z y z yz

α

= + −− − + = − − + = =

⇔ ⇔ ⇔ − − − + = − − + = − + =

−

13 2

14 3

x

y

z

α

α

α

= −

=

−

⇔ =

En forma contínua: 13 14

2 3

x zy

− −= =

− −

III Paral·lelisme i incidència de varietats lineals � Es diu que dues rectes r i s són paral·leles si els seus vectors directors són

linealment dependents (és a dir si el conjunt format pels dos vectors té rang 1). El vector director de l’una també ho és de l’altra. Es representa: r s�

� Es diu que dos plans Π i 'Π són paral·lels si els vectors directors d’un són combinació lineal dels vectors directors de l’altre (és a dir si el conjunt format pels quatre vectors té rang 2). Els vectors directors de l’un també ho són de l’altre. Es representa: 'Π Π

� Es diu que una recta r és paral·lela a un pla Π si el vector director de la recta és combinació lineal dels vectors directors del pla. (és a dir si el conjunt format pels tres vectors té rang 2). Es representa: r Π

� Es diu que dues varietats lineals són incidents si tenen punts en comú. Si tots els punt d’una són de l’altra i viceversa es diuen coincidents (en aquest cas són paral·leles). Els punts comuns a totes dues formen la intersecció de les dues varietats.

� Si una recta és paral·lela i incident a un pla es diu que està continguda en el pla.

IV Rectes i plans especials

IV.1 Plans

Paral·lel al pla YZ

Equació: x k= Vector normal: (1, 0, 0)n =

��

Paral·lel al pla XZ

Equació: y k= Vector normal: (0, 1, 0)n =

��

Paral·lel al pla XY

Equació: z k=

Vector normal: (0, 0, 1)n =

��

x

y

z

k

x

y

z

k

x

y

z

k k

O O O


IV.2 Rectes

Paral·lel a l’eix OX

Equació: 0By Cz D+ + = Vector normal: (0, , )n B C=

��

Paral·lel a l’eix OY

Equació: 0Ax Cz D+ + = Vector normal: ( , 0, )n A C=

��

Paral·lel a l’eix OZ

Equació: 0Ax By D+ + =

Vector normal: ( , , 0)n A B=

��

x

y

z

x

y

z

x

y

z

O O

O

Paral·lela a l’eix OZ

Equacions: x a

y b

=

=

Vector director:

(0, 0, 1)u =��

Paral·lela a l’eix OY

Equacions: x a

z c

=

=

Vector director:

(0, 1, 0)u =��

Paral·lela a l’eix OX

Equacions: y b

z c

=

=

Vector director:

(1, 0, 0)u =��

x

y

z

a

b

x

y

z

a

c

x

y

z

b

c

O

O O


V Posició relativa de varietats lineals

V.1 Dos plans

Sigui 1Π el pla que passa per P i té vectors directors

1u i 1v , i

2Π el pla que passa

per Q i té vectors directors 2u i

2v . Suposem que les equacions generals respectives són: 0: 11111 =+++Π DzCyBxA i 0: 22222 =+++Π DzCyBxA Considerem les matrius de coeficients i l’ampliada del sistema format per les dues

equacions:

=

222

111

CBA

CBAM i

=

2

1

222

111'

D

D

CBA

CBAM

P

Q

1 2Π = Π

1u��

1v��

2u��

2v��

Plans coincidents

{ } 2,,, 2211 =vuvurang i { } 2,, 11 =PQvurang

és a dir: ( )1 1det , , 0u v PQ =��

' 1rang M rang M= =

(Coeficients proporcionals. Sist. comp. indet. biparamètric)

Plans paral·lels diferents

{ } 2,,, 2211 =vuvurang i

{ } 3,, 11 =PQvurang

és a dir: ( ) 0,,det 11 ≠PQvu

1 , ' 2rang M rang M= =

(Sist. incompatible)

P

Q

1u��

1v��

2u��

2v��

1Π

2Π

1 2 1 2iΠ Π Π ≠ Π�


V.2 Recta i pla

Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i Π el pla que passa pel

punt Q i té vectors directors v i w .

Suposem que

=+++

=+++

0

0:

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxAr i 0:

3333=+++Π DzCyBxA

Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres

equacions:

=

333

222

111

CBA

CBA

CBA

M i

=

3333

2

1

222

111

'

DCBA

D

D

CBA

CBA

M

Plans secants

{ } 3,,, 2211 =vuvurang

' 2rang M rang M= =

(Sist. comp. indet. uniperamètric: es tallen en una

recta)

1Π

2Π

1u��

1v��

2v��

2u��

Q

P

1 2Π Π ≠ ∅∩

P

Q u��

v��

w��

r

Π

Recta continguda en el pla

{ } { } 2,,,, == wvPQrangwvurang

és a dir: ( ) ( ) 0,,det,,det == wvPQwvu

' 2rang M rang M= =

(Sist. comp. indet. uniparamètric) r ⊂ Π

P u��

v��

w��

Q

r

Π

Recta exterior i paral·lela al pla

{ } 2,, =wvurang i

{ } 3,, =wvPQrang

és a dir: ( ) 0,,det =wvu i

( ) 0,,det ≠wvPQ

2 ' 3irang M rang M= =

(Sist. incompatible) r i rΠ Π = ∅� ∩


V.3 Dues rectes

Sigui r la recta que passa pel punt P i té vector director u i s la recta que passa per

Q i té vector director v .

Suposem que

=+++

=+++

0

0:

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxAr i

=+++

=+++

0

0:

4444

3333

DzCyBxA

DzCyBxAs

Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les quatre

equacions:

=

444

333

222

111

CBA

CBA

CBA

CBA

M i

=

4444

3333

2222

1111

'

DCBA

DCBA

DCBA

DCBA

M

P

u��

v��

w��

r

Π

Recta i pla secants

{ } 3,, =wvurang

és a dir: ( ) 0,,det ≠wvu

' 3rang M rang M= =

(Sist. comp. det.: es tallen en un punt) r Π ≠ ∅∩

Rectes coincidents

{ } 1,, =PQvurang

' 2rang M rang M= =

(Sist. comp. indet. uniparamètric)

r = s

P

Q

u��

v��

Rectes paral·leles diferents

{ } 1, =vurang

{ } 2, =PQurang

2, ' 3rang M rang M= =


r

s P

Q

u��

v��

r s i r s = ∅� ∩

Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 9 V.4 Tres plans

Considerem el plans: 0: 11111 =+++Π DzCyBxA 0: 22222 =+++Π DzCyBxA 0:

33333=+++Π DzCyBxA

Considerem les matrius de coeficients i ampliada del sistema format per les tres

equacions:

=

333

222

111

CBA

CBA

CBA

M

=

3

2

1

333

222

111

'

D

D

D

CBA

CBA

CBA

M

i les matrius:

=

2222

1111

1DCBA

DCBAN

=

3333

1111

2DCBA

DCBAN

=

3333

2222

3DCBA

DCBAN

=

222

111

1CBA

CBAH

=

333

111

2CBA

CBAH

=

333

222

3CBA

CBAH

1 2 3Π = Π = Π

Rectes secants

{ } 2, =vurang i { } 2,, =PQvurang

' 3rang M rang M= =

(Sist. comp. det.: es tallen en un punt) Els vectors directors de les rectes són vectors directors del pla que les conté.

r

s

P

Q

u��

v��

r � s i r s ≠ ∅∩

Rectes que es creuen

{ } 3,, =PQvurang

és a dir: ( ) 0,,det ≠PQvu

3, ' 4rang M rang M= =


r

s

P

Q

u��

v��

r s i r s = ∅� ∩

Plans coincidents

' 1rang M rang M= = (Sist. comp. indet. biparamètric)


1 2Π = Π

3Π

Dos plans coincidents i un altre paral·lel i diferent

1 ' 2rang M i rang M= =

11rang N =


3Π

2Π

1Π

Tres plans paral·lels i diferents


1 2 32rang N rang N rang N= = =


1 2Π = Π

3Π Dos plans coincidents i l’altre

secant

' 2rang M rang M= =

11rang N =

(Sistema comp. indet. uniparamètric: es tallen en una recta)

3Π

2Π

1Π

Tres plans secants amb una recta en comú

' 2rang M rang M= =

1 2 32rang N rang N rang N= = =

(Sist. comp. indet. uniparamètric)

3Π

2Π

1Π

Dos plans paral·lels diferents i l’altre secant a tots dos


11rang H =



VI Exemples de discussió de posició relativa de rectes i plans de l'espai

1. Posició relativa dels plans 1: 2 3 4 5 0x y zΠ + + − = i

2: 4 8 0x ay z bΠ + + + = segons

els valors de a i b .

Siguin

=

84

432

aM i

−=

baM

84

5432'

a) Òbviament, si 6≠a serà 2'== MrangMrang i el sistema format per les dues

equacions serà compatible indeterminat uniparamètric: els plans seran secants i es tallaran en una recta.

b) Si 6=a i 10−≠b serà 1=Mrang i 2'=Mrang i el sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.

c) Si 6=a i 10−=b serà 1'== MrangMrang i el sistema serà compatible

indeterminat biparamètric: els plans seran paral·lels coincidents.

2. Posició relativa del pla : ( 1) 3a x y zΠ + + + = i la recta 2 4

:2 2

x y azr

x ay z a

+ + =

+ + = segons

els valors de a .

Siguin

+

=

21

21

111

a

a

a

M i

+

=

aa

a

a

M

221

421

3111

'

3Π

2Π 1

Π

Plans secants per parelles sense punts en comú


1 2 32rang H rang H rang H= = =

(Sist. incompatible: es tallen dos a dos en tres rectes paral·leles)

3Π

2Π

1Π

Plans secants amb un únic punt en comú

' 3rang M rang M= =

(Sist. compat. Determinat)


)2)(3(623 −+−=+−−= aaaaaaM s'anul·la per a 3,2,0 −=== aaa

a) Si 3,2,0 −≠≠≠ aaa serà 3'== MrangMrang i el sistema format per les tres

equacions serà compatible determinat: la recta i el pla seran secants i es tallaran en un punt.

b) Si 0=a serà

=

201

021

111

M ,

=

0201

4021

3111

'M i 3',2 == MrangMrang (es pot

comprovar esglaonant les matrius o per menors). El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.

c) Si 2=a serà

=

221

221

113

M ,

=

4221

4221

3113

'M . En aquest cas les equacions

implícites de r no defineixen cap recta (representen dos plans coincidents).

d) Si 3−=a serà

−

−

−

=

231

321

112

M ,

−−

−

−

=

6231

4321

3112

'M

i 3',2 == MrangMrang El sistema serà incompatible: la recta serà paral·lela i exterior al pla.

3. Posició relativa de les rectes 2 1

:2

x zr

y z

− =

− = i

1:

2 2

x y zs

x y z a

+ + =

− + = segons els valors

de a .

Siguin

−

−

−

=

221

111

110

201

M i

−

−

−

=

a

M

221

1111

2110

1201

'

164' += aM s'anul·la si 4−=a .

a) Si 4−≠a serà 3=Mrang i 4'=Mrang i el sistema format per les quatre equacions

serà incompatible: les dues rectes es creuaran.

b) Si 4a = − serà

−

−

−

=

221

111

110

201

M ,

−−

−

−

=

4221

1111

2110

1201

'M i 3'== MrangMrang

El sistema serà compatible determinat: les dues rectes seran secants i es tallaran

en un punt.


4. Posició relativa dels tres plans: 1: 2x ky z kΠ + + = + ,

2: 2( 1)x y kz kΠ + + = − + i

3: kx y z kΠ + + = segons els valors de k .

Siguin

=

11

11

11

k

k

k

M i

+−

+

=

kk

kk

kk

M

11

)1(211

211

'

23

3 +−= kkM . Aplicant la regla de Ruffini comprovem que s'anul·la per a 1=k i

2−=k

a) Si 1≠k i 2−≠k serà 3'== MrangMrang i el sistema format per les tres equacions serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú.

b) Si 1=k serà

=

111

111

111

M ,

−=

1111

4111

3111

'M i 2',1 == MrangMrang . El

sistema serà incompatible: els plans seran paral·lels i diferents.

c) Si 2−=k serà

−

−

−

=

112

211

121

M ,

−−

−

−

=

2112

2211

0121

'M

i 2'== MrangMrang .

El sistema és compatible indeterminat uniparamàtric: els tres plans són secants i es tallen en una recta.

5. Posició relativa segons els valors de k dels plans 1: 4 0kx y zΠ + + − = ,

2: 1 0x y zΠ + + + = i

3: 1 0x ky zΠ − + − = .

Siguin

−

=

11

111

11

k

k

M i

−−

−

=

111

1111

411

'

k

k

M

12 −= kM s'anul·la per a 1=k i 1−=k

a) Si 1≠k i 1−≠k serà 3'== MrangMrang i el sistema format per les tres equacions

serà compatible determinat: els tres plans seran secants amb un punt comú.

b) Si 1=k serà

−

=

111

111

111

M ,

−−

−

=

1111

1111

4111


sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que


r

1111

111=

rang i 2

1111

4111=

−rang , els plans

1Π i 2Π seran paral·lels

diferents i 3

Π els tallarà.

c) Si 1−=k serà

−

=

111

111

111

M ,

−

−−

=

1111

1111

4111


sistema serà incompatible i els tres plans no tindran punts en comú. Com que

1111

111=

rang i 2

1111

1111=

−rang , els plans

2Π i 3

Π seran paral·lels

diferents i 1Π els tallarà.

Observació: Per a calcular la intersecció de dues varietats lineals es resol el sistema format per les seves equacions generals (plans) i implícites (rectes).

Cas particular (mètode alternatiu) Per a calcular la intersecció d’una recta donada en forma paramètrica:

+=

+=

+=

33

22

11

:

upz

upy

upx

r

α

α

α

i un pla donat en forma general: 0=+++ DCzByAx es pot

resoldre l’equació:

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0A p u B p u C p u Dα α α+ + + + + + =

i el valor de α calculat se substitueix a les equacions paramètriques de la recta. El punt ),,( zyx obtingut així és la intersecció de la recta i el pla.

VII Feix de plans

Donada la recta 1 1 1 1

2 2 2 2

0:

0

A x B y C z Dr

A x B y C z D

+ + + =

+ + + =

(equacions implícites), s’anomena feix de plans determinat per r (o pels plans que la defineixen) el conjunt de tots els plans que contenen r . La recta es diu eix del feix. L’equació del feix és:

( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 20A x B y C z D A x B y C z Dα β+ + + + + + + =

Donant valors a α i β s’obtenen les equacions dels plans del feix.


VIII Perpendicularitat de varietats lineals

VIII.1 Rectes perpendiculars

Es diu que les rectes :( , , )r x y z P uα= +��

i

:( , , )s x y z Q vβ= +��

són perpendiculars si els

seus vectors directors són ortogonals: · 0u v =��

Poden ser secants o creuar-se. Es denota: r s⊥

VIII.2 Recta i pla perpendiculars

Es diu que la recta uPzyxr α+=),,(: i el pla 0: =+++Π DCzByAx són perpendiculars si el

vector director de la recta és vector normal al pla. Es denota: r ⊥ Π

Observació: Si una recta és perpendicular a un pla, també ho serà a totes les rectes contingudes en el pla.

VIII.3 Plans perpendiculars Es diu que els plans 0: 11111 =+++Π DzCyBxA i

0: 22222 =+++Π DzCyBxA són perpendiculars si els vectors normals respectius són ortogonals:

1 2· 0n n =

��

Es denota:

1 2Π ⊥ Π

r

s

u��

v��

r s⊥

r

u��

Π

r ⊥ Π

1 2Π ⊥Π

1Π

2Π

( )1 1 1, ,A B C

( )2 2 2, ,A B C


IX Condicions de paral·lelisme i de perpendicularitat

Considerem les rectes r , de vector director ),,(321

uuuu = i s , de vector director

),,( 321 vvvv = i els plans 0: 11111 =+++Π DzCyBxA i 0: 22222 =+++Π DzCyBxA

Paral·lels Perpendiculars

r i s

u��

i v��

lin. dep., és a dir:

u k v=��

u v⊥��

és a dir:

· 0u v =��

1 1 2 2 3 30u v u v u v+ + =

r i 1

Π

( )1 1 1, ,u A B C⊥

�� és a dir:

1 2 30Au Bu C u+ + =

u��

i ( )1 1 1, ,A B C lin. dep.:

u��

( )1 1 1· , ,k A B C=

1Π i

2Π

( )1 1 1

, ,A B C i ( )2 2 2, ,A B C

lin. dep., és a dir: ( )1 1 1

, ,A B C ( )2 2 2· , ,k A B C=

( )1 1 1

, ,A B C ( )2 2 2, ,A B C⊥ ,

és a dir:

1 2 1 2 1 20A A B B C C+ + =

X Projeccions ortogonals

� S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre el pla Π la intersecció 'P del pla amb la recta r perpendicular a Π que passa per P (Fig. 1)

� S’anomena projecció ortogonal del punt P sobre la recta r la intersecció 'P

de la recta amb el pla Π perpendicular a r que passa per P (Fig. 2) � S’anomena projecció ortogonal de la recta r sobre el pla Π la recta s ,

intersecció del pla amb el pla 'Π perpendicular a Π que conté r (Fig. 3)

P

'P

Π

r

P’ Π

P

r

r

s

Π

'Π

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3


r

s

v��

u��

v��

v��

α

1Π

2Π

1n��

2n��

α

·cos , 0

2·

u v

u v

πα α= ≤ ≤

��

��

XI Angles entre varietats lineals

XI.1 Angle entre dues rectes Donades les rectes r i s de vectors

directors respectius u i v , s’anomena angle entre r i s el nombre α que compleix: Les rectes poden ser secants o creuar-se.

0

2

r s

r s

α

πα

⇔ =

⊥ ⇔ =

XI.2 Angle entre una recta i un pla

Donada la recta r , de vector director u i el

pla Π , de vector normal n , s’anomena angle

entre r i Π el nombre α que compleix:

0

2

r

r

α

πα

Π ⇔ =

⊥ Π ⇔ =

XI.3 Angle entre dos plans

Donats els plans 1Π i

2Π de vectors

normals respectius 1n i

2n , s’anomena angle entre

1Π i 2Π el nombre α que

compleix:

1 2

1 2

·cos , 0

2·

n n

n n

πα α= ≤ ≤

��

��

r

n��

Π

u��

α

·sin , 0

2·

u n

u n

πα α= ≤ ≤

��

��


P

Q

d(P, Q)

P

'P

Π

( , )d P Π

1 2

1 2

0

2

α

πα

Π Π ⇔ =

Π ⊥ Π ⇔ =

XII Distàncies entre varietats lineals

XII.1 Distància entre dos punts

La distància entre els punts ( )321

,, pppP = i ( )321

,, qqqQ = és el nombre:

En general es definex la distància entre dues varietats lineals com la mínima distància que hi ha entre els punts d’una i els punts de l’altra.

XII.2 Distància d’un punt a un pla

La distància del punt ( )321

,, pppP = al pla 0: =+++Π DCzByAx és la que hi ha entre el punt P

i la seva projecció ortogonal 'P sobre el pla.

( , ) 0P d P∈Π ⇔ Π =

XII.3 Distància d’un punt a una recta La distància del punt P a la recta

uQzyxr α+=),,(: és la que hi ha entre el punt P i la seva projecció ortogonal 'P sobre la recta.

( , ) 0P r d P r∈ ⇔ =

( ) ( ) ( )2 2 2

1 1 2 2 3 3( , )d P Q PQ q p q p q p= = − + − + −

��

1 2 3

2 2 2( , )

A p B p C p Dd P

A B C

+ + +Π =

+ +

( , )P Q u

d P ru

∧=

��

��u��

P

Q

P’

r

d (P, r)


Π

'Π

P

'P

( , )d r s

Q

r

s

Π

'Π

P

'P

( ), 'd Π Π

XII.4 Distància entre dos plans La distància entre els plans paral· lels

0: =+++Π DCzByAx i 0':' =+++Π DCzByAx

és la que hi ha entre un punt qualsevol de Π i 'Π

Per a aplicar aquesta fórmula cal que les equacions dels plans tinguin els mateixos coeficients , iA B C

XII.5 Distància entre dues rectes � Si les rectes r i s són secants, la distància entre elles és 0),( =srd . � Si les rectes són paral·leles, la distància entre elles és la que hi ha entre un punt qualsevol d’una i l’altra. � Si r i s es creuen, la distància ente elles és la que hi ha entre el pla Π que conté r i és paral· lel a s i el pla

'Π que conté s i és paral·lel a r .

Si uPzyxr α+=),,(: i : ( , , )s x y z Q vβ= +��

i no són paral·leles (vectors directors linealment independents) la distància és: En aquest cas, la distància entre les rectes és la que hi ha entre els punts d’intersecció de cada una amb la recta perpendicular i secant a totes dues. XII.6 Distància d’una recta a un pla

� Si la recta i el pla són secants o la recta està continguda en el pla, la distància és 0. � Si la recta és paral· lela al pla, la distància serà la que hi ha entre un punt qualsevol de la recta i el pla.

2 2 2

'( , ' )

D Dd

A B C

−Π Π =

+ +

( )det , ,( , )

PQ u vd r s

u v=

∧

��

��

P r

Π P’


: 0Ax By Cz DΠ + + + =

XIII Alguns exemples de determinació de rectes i plans

XIII.1 Nocions prèvies

A) Intersecció de dues rectes

♦ Si les rectes estan donades de forma implícita, cal resoldre el sistema format per les quatre equacions.

♦ Si les rectes estan donades de forma paramètrica (o vectorial) s'igualen yx, i z i es

calculen els paràmetres resolent el sistema:

+=

+=

+=

33

22

11

:

upz

upy

upx

r

α

α

α

+=

+=

+=

33

22

11

:

vqz

vqy

vqx

s

β

β

β

+=+

+=+

+=+

3333

2222

1111

vqup

vqup

vqup

βα

βα

βα

B) Intersecció d'una recta i un pla

♦ Si la recta està en forma implícita i el pla en forma general, es resol el sistema format per les tres equacions.

♦ Si la recta està donada en forma paramètrica (o vectorial) i el pla en forma general, se substitueixen les expressions de yx, i z de l'equació de la recta en l'equació del pla i es calcula el paràmetre:

+=

+=

+=

33

22

11

:

upz

upy

upx

r

α

α

α

C) Intersecció de dos plans

Les equacions generals dels dos plans ja són les equacions implícites de la recta intersecció (sempre que no siguin paral·lels).

D) Càlcul del vector director d'una recta donada de forma implícita

Sigui

=+++

=+++

0

0:

2222

1111

DzCyBxA

DzCyBxAr Un vector director pot ser:

( ) ( )1 1 1 2 2 2, , , ,u A B C A B C= ∧

��

1 1 2 2 3 3( ) ( ) ( ) 0A p u B p u C p u Dα α α+ + + + + + =

Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 21 També es pot resoldre el sistema format per les dues equacions (que és compatible indeterminat uniparamètric). La solució ens dóna l'expressió paramètrica de la recta i, per tant, un vector director.

Exemple:

5 3

2 3 5 2

2 3 5 2 3 5 3 53 5:

4 2 4 11 5 3 1111

y zx

x y z

x y z x y z zzr yy

x y z y z

zz αα

− +=+ − =

+ − = + − = − + − +⇔ ⇔ ⇔ = ⇔=

− + = − + = = =

32 2

11 11

3 5

11 11

x

y

z

α

α

α

= −

⇔ = − +

=

Vector director: 2 5

, , 111 11

u

= −

� o bé: ( 2, 5, 11)v = −

�

Noteu que 3 1 1 2 2 3

(2, 3, 1) (1, 4, 2) , , (2, 5, 11)4 2 2 1 1 4

− − − ∧ − = = − −

− − n’és també

vector director

XIII.2 Determinació de rectes

1 Recta r que passa per dos punts P i Q

El vector PQ és vector director de la recta. Si ),,(

321pppP = i ),,(

321qqqQ = , l'equació vectorial de la

recta r és:

1 2 3 1 1 2 2 3 3( , , ) ( , , ) ( , , )x y z p p p q p q p q pα= + − − −

i la contínua: 31 2

1 1 2 2 3 3

z px p y p

q p q p q p

−− −= =

− − − (sempre que els denominadors no siguin

nuls.)

2 Recta s que passa pel punt P i és paral·lela a la recta r

� Si u és vector director de la recta r , l'equació

vectorial de la recta és: ( , , )x y z P uα= +��

.

� Si ),,(321

pppP = i r està donada en forma implícita:

=+++

=+++

0''''

0:

DzCyBxA

DCzByAxr

P

Q

r

P

Q

u��

u��

r

s

Varietats lineals de l’espai. Segon de batxillerat – Josep M. Lluch_______________________________ 22 les equacions de la recta seran:

1 2 3

1 2 3

( ) ( ) ( ) 0:

'( ) '( ) '( ) 0

A x p B y p C z ps

A x p B y p C z p

− + − + − =

− + − + − =

També es pot considerar com a vector director de la recta s el vector:

( , , ) ( ', ', ')v A B C A B C= ∧��

3 Recta r que passa per un punt P i és perpendicular a un pla Π

Si ),,(321

pppP = i 0: =+++Π DCzByAx ,

el vector ),,( CBAu = (normal al pla) és vector director de la recta r i la seva equació vectorial és: ( , , ) ( , , )x y z P A B Cα= +

i la contínua: 31 2z px p y p

A B C

−− −= =

(sempre que els denominadors no siguin nuls)

4 Recta r que passa pel punt P i és paral·lela als plans Π i 'Π

♦ Si els plans són paral·lels, hi ha una infinitat de rectes possibles; només cal prendre com a vector director qualsevol vector ortogonal al vector normal a Π (o a 'Π ).

♦ Si les equacions dels plans són:

0: =+++Π DCzByAx 0'''':' =+++Π DzCyBxA

i no són paral·lels, aquestes representen una

recta s en forma implícita; la recta r és paral·lela a s i es calcula com a l'apartat XIII.2-2.

P

( , , )u A B C=��

r Π

P

r

Π

'Π


5 Recta r que passa pel punt P i és perpendicular a dues rectes s i t

♦ Si s i t són paral·leles, hi ha una infinitat de solu-cions possibles; només cal prendre com a vector direc-tor de r qualsevol vector ortogonal al vector director de s (o de t ).

♦ Si s i t no són paral·leles i tenen vectors directors res-

pectius v i w , el vector

u v w= ∧��

és vector director de la recta r i la seva equació vectorial serà:

( , , )x y z P uα= +�

6 Recta r que talla perpendicularment dues rectes s i t

♦ Si s i t són paral·leles hi ha una infinitat de rectes possi-bles.

♦ Si s passa pel punt P i té

vector director v ; i t passa pel punt Q i té vector direc-

tor w (i s i t no són paral-leles), es calcula el vector

wvu ∧= (ortogonal a tots dos). La recta r serà la intersecció del pla Π que passa per P i té vectors

directors v i u i el pla 'Π que passa per Q i té vectors

directors w i u .

P

Q

Q'

r

s

t

v��

w��

u v w= ∧��

u v w= ∧��

P

s

r

t

v��

w��


7 Recta r que passa pel punt P i talla dues rectes que es creuen s i t

És la intersecció del pla Π que conté P i la recta s amb el pla 'Π que conté P i la recta t . Vegeu a l'apartat XIII.3-6 com es calculen aquests plans.

XIII.3 Determinació de plans

1 Pla Π que passa per tres punts ,P Q i R

♦ Si els tres punts estan alineats, hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.)

♦ Si els tres punts no estan alineats, els vectors

PQ i PR són vectors directors del pla Π . Si ),,(

321pppP = , ),,(

321qqqQ = i ),,(

321rrrR = ,

l'equació general del pla serà:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

3 3 3 3 3

0

x p q p r p

y p q p r p

z p q p r p

− − −

− − − =

− − −

P

Q

R

Π

t

s

P

s

r

Π

'Π

P


2 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla 'Π

♦ Si el pla 'Π té vectors directors u i

v l'equació vectorial del pla Π és:

( , , )x y z P u vα β= + +��

♦ Si ),,(

321pppP = i l'equació del

pla 'Π és 0=+++ DCzByAx , l'e-quació del pla Π serà:

1 2 3( ) ( ) ( ) 0A x p B y p C z p− + − + − =

3 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel a dues rectes r i s

♦ Si r i s són paral·leles hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.)

♦ Si r i s no són paral·leles i tenen vectors directors

respectius u i v , l'equa-ció vectorial del pla serà:

( , , )x y z P u vα β= + +��

4 Pla Π que conté el punt P i és paral·lel al pla determinat per dues rectes paral· leles r i s

♦ Si sr = , hi ha una infinitat de plans possibles (tot un feix.)

♦ Si r passa per Q i té vector

director u , i s passa per R i té

vector director v (i sr ≠ ), els

vectors QR i u (o QR i v ) són vectors directors del pla, i la seva equació vectorial és:

v��

u��

v��

u��

P

Q

Π

'Π

( , , )n A B C=��

( , , )n A B C=��

P

Q Q'

r

s

u��

u��

v��

v��

Π

P

Q

R

r

s

Π

u��

u��

QR��

v��


( , , )x y z P u QRα β= + +��

5 Pla Π que conté el punt P i és perpendicular a la recta r

♦ Si ),,(321

pppP = i la recta r té vector

director ),,( cbau = , aquest vector serà nor-mal al pla i l'equació general de Π serà:

1 2 3( ) ( ) ( ) 0a x p b y p c z p− + − + − =

♦ Si la recta r ve donada de forma implícita:

=+++

=+++

0''''

0:

DzCyBxA

DCzByAxr els vectors

( , , )u A B C=��

i ( ', ', ')v A B C=��

seran

vectors directors del pla Π .

6 Pla Π que conté el punt P i la recta r

♦ Si el punt P pertany a la recta r hi ha una

infinitat de plans possibles (tot un feix.)

♦ Si r passa per Q i té vector director u (i

P no pertany a r ), els vectors u i PQ són vectors directors del pla i la seva equació vectorial serà:

( , , )x y z P u PQα β= + +��

♦ Si la recta ve donada de forma implícita:

=+++

=+++

0''''

0:

DzCyBxA

DCzByAxr el pla buscat

serà del feix que té per eix la recta r :

( ) '( ' ' ' ') 0k Ax By Cz D k A x B y C z D+ + + + + + + =

i es calcula substituint yx , i z per les coordenades de P i calculant k i 'k .

P Q

r

Π

u��

Q u��

r

P

Π


7 Pla que conté una recta r i és paral·lel a una altra recta s

♦ Si les rectes són paral·leles hi ha una infinitat de solucions (tot el feix de plans que té per eix la recta r ).

♦ Si les dues rectes no són paral·leles, els seus vectors

directors respectius, u i v són vectors directors el pla. Si P és un punt de la recta r , l'equació del pla serà:

( , , )x y z P u vα β= + +� �

Si ),,( 321 pppP = i ( , , )u v A B C∧ =� �

, l'equació del pla serà:

1 2 3( ) ( ) ( ) 0A x p B y p C z p− + − + − =

8 Pla que conté el punt P i és perpendicular als plans 1

Π i 2

Π

♦ Si els plans són paral·lels hi ha una infinitat de solucions.

♦ Suposem que els plans no són paral·lels i que les seves equa-cions són:

0: 11111 =+++Π DzCyBxA

0: 22222 =+++Π DzCyBxA

Si ),,( 321 pppP = i

1 1 1 2 2 2( , , ) ( , , ) ( , , )A B C A B C A B C∧ =

l'equació del pla serà:

1 2 3( ) ( ) ( ) 0A x p B y p C z p− + − + − =

P

Q s

r u��

v��

v��

Π

2Π

r

P

1Π


9 Pla que està a una distància d del pla Π

Si 0: =+++Π DCzByAx , el pla buscat tindrà per

equació: ' 0Ax By Cz D+ + + = on 'D es calcula

re-solent l'equació:

2 2 2

'D Dd

A B C

−=

+ +

Hi haurà dues solucions

Simètric d'un punt P respecte d'un pla Π

Suposem que 0: =+++Π DCzByAx . 1) Es busca la recta que passa per P i és

perpendicular a Π : : ( , , ) ( , , )r x y z P A B Cα= +

2) Es calcula la intersecció de la recta amb el

pla: Q r= Π∩

3) El simètric serà el punt ' 2P P PQ= +��

Simètric d'un punt P respecte d'una recta r

Suposem que

( ) ( )1 2 3 1 2 3: ( , , ) , , , ,r x y z p p p k u u u= + .

1) Es busca el pla que passa per ( )1 2 3

, ,P p p p=

i és perpendicular a r :

( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3: 0u x p u x p u x pΠ − + − + − =

2) Es calcula la intersecció de la recta amb el pla: Q r= Π∩

3) El simètric serà el punt ' 2P P PQ= +��

d

1Π

Π

d

2Π

Q

r P

P'

Π

P

Q

P'

Π

r

Documents

Varietats Lineals Colors