Vectores

Elías Irazoqui B.

2. Producto escalar.

Debe quedar claro que a lo largo de esta exposición han de considerarse vectores

del mismo espacio, de modo de poder operar con ellos con toda comodidad.

En lo que sigue se pueden considerar vectores del 2-espacio o de 3-espacio,

además, las nociones que examinamos son válidas para un n-espacio.

Si A= ( y B=( se define el producto escalar como:+ + Ñ , , Ñ"ß # "ß #

A B = † + , + ," " # #

Si A= ( y B= ( su producto escalar es:+ ß + ß + Ñ , ß , ß , Ñ" # $ # $"

A B = † + , + , + ," " # # $ $

La generalización para vectores del n-espacio es entonces la natural a saber:ß

A B † œ + ,!5œ"

5œ8

5 5

Propiedades de este producto.

1. A B B A† œ †

2. Si A, B, C son tres vectores, entonces se cumple:

A (B +C) = A B +A C = (B+C) A† † † †

3. Si es un número, entonces se cumple:B

( A) B A B ) y A ( B) A B B † œ BÐ † † B œ BÐ † Ñ

%Þ † ÁSi A=0 es el vector cero, se tiene que: A A =0; si A 0 entonces ,

A A † !Þ

Ejercicios.

1. Demostrar cada una de las propiedades anteriores.

2. A · A = A , AAceptamos las notación: sin embargo, no tiene sentido en este# $

contexto. Existen dos identidades que se verifican fácilmente, ellas son:

Ð#Þ"Ñ ÐEFÑ œ E #EF F# # #·

· . Ð#Þ#Ñ ÐEFÑ œ E #EF F# # #

Obs.

El producto escalar puede ser cero sin que o lo sean, a modo de ejemploA·B A B

considerare: A = (1,0,-1) y B=( -1,0,1).

Def. A y B A·B=0 Dos vectores se dicen ortogonales o perpendiculares si .

Ejemplos.

Considere los vectores unitarios:

a) E E entonces ellos son ortogonales." #œ Ð"ß !Ñ C œ Ð!ß "Ñß

b) Si ahora E , E y E .Entonces ellos son" # $œ Ð"ß !ß !Ñ œ Ð!ß "ß !Ñ œ Ð!ß !ß "Ñortogonales. Graficamnete esto se ve como:

Notas

1. Es fácil hacer ver que E ·E si i es distinto de j, ¿qué sucede si i=j?3 4œ !

2. Si A =(a entonces A · E = a"ß #ß $ 3 3+ + Ñ

Ejercicios.

1. Determine el valor de A·A para cada una de los puntos dados.

A =( 1, -2) ; A=( 1, 2, 0) ; A= ( -1, 3.-4, 0)

2. Si el punto B asume valores como:

B= (1,3); B= (-3,-5,7) y B=(1,0-2,-4,0) y A los valores del problema anterior

respectivamente, determine para cada caso: A·B.

3. Usando las propiedades del producto escalar verifique en detalle las

identidades:

(1) ÐEFÑ œ E #EF F# # #·

· (2) ÐEFÑ œ E #EF F# # #

4. Determine que parejas de vectores son perpendiculares.

(1) (2,-1,5) y ( -1,1,-1)

(2) y Ð#ß /ß !Ñ Ð/ß #ß !ÑÐ$Ñ Ð "ß !ß "Ñ Ð"ß !ß "Ñy

5. Si A es un vector que es perpendicular a a todo vector X, haga ver que A = 0.

La norma de un vector.

La norma de un vector e define como la raíz cuadrada positiva de · .E E EEn símbolos podemos escribir:

·mEm œ E EÈ

El valor anterior suele llamarse también magnitud de .E

Algunos ejemplos.

1. Supongamos que A= (2, 1), entonces su norma es: È&

Graficamente se tiene:

2. Si ahora A= (1,1,1) entonces su norma es: È$Graficamente:

:

Obs.

1. Si A 0, entonces A 0 .Á m m Á2. Para cualquier vector A, A A .m m œ m m Muestre esto último de manera gráfica.

Def. Si A y B son dos puntos cualesquiera del espacio, la distancia entre ellos se

define como:

d(A,B) = Am F m œ ÐEFÑ † ÐEFÑÈObs.

1. Se puede probar, si mayores problemas, que si x es un número cualquiera

entonces:

x A A m m œ lBl m mLa demostración de este hecho se deja como ejercicio.

2. Un tipo especial de vectores lo constituyen los y, sonvectores unitarios

aquellos que poseeen norma igual a uno. Además, cualquier vector que sea

distinto de cero se puede transformar en unitario, para ello basta dilatarlo en el

valor de su norma.

De algunos ejemplos de vectores unitarios y transforme el vector A= (3,0, 4) en

unitarario.

Dibuje los vectores unitarios canónicos del 2-espacio y del 3-espacio.

3. Considere dos puntos cualesquiera del plano, se puede hacer ver que la

condición es equivalente a que y seanm Fm œ m FmA A E Fperpendiculares. Esto que afirmamos queda de manifiesto más claramente si se

aprecia graficamente, en efecto:

Su desarrollo algebraico es como sigue:

m Fm œ m Fm m Fm œ m FmA A A A Í # #

· · Í E #E F F œ E #E F F# # # #

·Í %E F œ ! ·Í E F œ !

Y esto prueba lo que queríamos.

Teorema General de Pitágoras.

S i A y B son perpendiculares, entonces:

m Fm œ m m mFmA A# # #

Demostración.

Indicación, evalue el término de la izquierda y use la hipótesis.

Nota.

Si A es perpendicular a B y x es un número cualquiera, entonces A también es

perpendicular a xB.

En lo que sigue usamos el concepto de para introducir elperpendicularidad

concepto de proyección.

Sean A y B dos vectores y B 0. Sea P el punto sobre la recta que pasa por OBÁ

tal que PA es perpendicular a OB , como se muestra en la figura→ →

Así es claro que: P = cB , para algún valor de c.→ →

La idea es determinar explícitamente el valor de c en términos de A y B.

La condición PA OB significa que A es B, pero P = cB→ → → → → →

¼ T ¼entonces À

(A cB ) · B = 0Ê - A· B B · B = 0

Ê c A ·A / B ·Bœ

Luego existe un número c tal es a B .→ →E -F ¼

Def. c A ·A / B ·B, La componente de A sobre B es el núemro œ

y la proyección de A sobre B es el vector: = B B→ →P c A ·A / B ·B .œ Ð Ñ

Ejercicio.

Estime la proyección de A= (2,3) sobre B=(2,0). Cambie ahora el valor de B a:

(3,0) , (1,0), (-1, 0) , (-2,0) , y vuelva a estimar la proyección en cada caso ¿qué

observa de ello?

Bibliografía.

Lang, Serge ( 1990) . Cálculo. Addisosn -Wesley Iberoamericana, S. A.