1. Introducción

En ocasiones es necesario incrementar la capacidad a flexión de una viga de concreto reforzado debido a un cambio de uso de la estructura, daños estructurales, optimización de la geometría de la sección, etc. Un modo de aumentar la capacidad a flexión de una viga, consiste en adherir en su cara externa a tracción una lámina FRP mediante resina epóxica. Anteriormente se usaban láminas de acero adheridas química o mecánicamente a la viga, pero problemas prácticos de construcción, grandes espesores de la lámina, estética, oxidación, etc., han hecho que esta técnica caiga en desuso y que las láminas de FRP tomen cada día más

fuerza debido a su fácil implementación en obra, alta resistencia mecánica, libre de corrosión, baja densidad, espesores pequeños, etc.

El conocimiento de la distribución de los esfuerzos en el sistema de conexión (resina) entre los elementos estructurales (viga-lámina de FRP) es de gran importancia para el diseñador debido a que se quiere evitar que dichos esfuerzos superen los límites de diseño y, de este modo, garantizar el buen comportamiento del sistema. La distribución de los esfuerzos de adherencia en la interface dependen de la rigidez de los elementos que lo componen, de la geometría y rigidez de la conexión, de las condiciones de apoyo, de las cargas aplicadas y de la longitud de la unión, lo que hace necesario para el diseño un conocimiento detallado de todas las variables involucradas en el problema y su efecto sobre el sistema. Debido a la naturaleza del problema, encontrar la distribución de

Vector 9 (2014) 59 - 67ISSN 1909 - 7891

Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono

Mauricio Areiza Hurtadoa*, Carlos Alberto Riveros Jerezb*, Carlos Vega Posadac*

a Estudiante de Doctorado, Universidad Nacional de Colombia sede Medellín. b Profesor Asociado, Escuela Ambiental, Universidad de Antioquia. Medellín, Colombia.

c Profesor, Escuela Ambiental, Universidad de Antioquia. Medellín, Colombia.

Recibido: 10/06/2015. Aprobado: 21/07/2015.

* Autor de correspondencia.E-mail: mauricio_areiza@yahoo.es (M. Areiza)E-mail: carlos.riveros@udea.edu.co (C. Riveros)E-mail: carlosa.vega@udea.edu.co (C. Vega)

ResumenSe presenta una formulación para el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono adherida en su cara inferior. En la formulación se considera la deformación por flexión de los elementos estructurales constituyentes y una carga transversal distribuida de cualquier forma. Como caso particular de análisis, se ha supuesto que sobre la viga actúa una carga distribuida que se comporta como un polinomio de orden 2, que puede ser utilizado para simular diferentes tipos de carga distribuidas, tales como: uniforme, triangular, trapezoidal y parabólica. Se presentan dos ejemplos, donde se analiza el comportamiento de una viga sometida a carga transversal uniforme y triangular.

Palabras clave: análisis de esfuerzos, viga compuesta, viga repotenciada, fibra de carbono, FRP.

Analysis of a beam reinforced with a carbon fiber sheetAbstractThis paper presents a methodology to analyze a beam strengthened with a fiber reinforced polymer (FRP) strip attached to the bot-tom. The expressions developed include the flexural deformation of the structural elements and any type or combination of transverse load. For the analysis presented herein, it is assumed that the beam is subjected to a transverse load that fit a second-order polynomial curve, including uniformly distributed transverse load, trapezoidal and parabolic loads. Two examples have been discussed, where the behavior of a beam subjected to uniform and triangular transverse load is analyzed.

Key words: stress analysis, composite beam, reinforced beam, carbon fiber sheet, FRP

Cómo citar este artículo:Areiza M., Riveros C.A., Vega C. (2014). Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono. Revista Vector, 9: 59-67. DOI:

Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67

[ 60 ]

los esfuerzos de adherencia en la interface se vuelve bastante complejo, ya que involucra la solución de un sistema de ecuaciones diferenciales en dos variables y la aplicación de una gran cantidad de condiciones de borde (Cosenza y Pecce, 2001; Yang et al., 2009; Su y Gao, 2014).

En la actualidad se disponen de diferentes metodologías para encontrar la distribución de esfuerzos de adherencia, tales como: elementos finitos (Iancu, 2005; Reza et al., 2009; Yang et al., 2013), métodos numéricos (Zhao et al., 2014), métodos semiempíricos y métodos experimentales. Algunos de ellos son de gran complejidad y difícil implementación, otros son tan simplificados que conducen a soluciones de poca fiabilidad en la práctica al no involucrar variables importantes en su desarrollo. En este documento se trata la solución al problema de adherencia de una manera clásica, es decir, aplicando las tres leyes básicas de estática, leyes constitutivas y compatibilidad de deformaciones.

Cosenza y Pecce (2001) presentan un modelo estructural clásico para el análisis de sistemas compuestos tales como: muros de cortante, vigas repotenciadas con FRP y vigas mixtas de acero hormigón. El modelo tiene en cuenta los esfuerzos de adherencia tanto normal como cortante. Sin embargo, el modelo es limitado a carga transversal uniforme distribuida, además omite la deformación por cortante de sus elementos principales y la solución presentada es válida para ciertos tipos de apoyo o condiciones de borde.

Yang et al. (2009) presentaron un modelo para el análisis de vigas reforzadas con FRP basado en métodos de energía haciendo una descomposición en series de Fourier de los esfuerzos de adherencia. Este método requiere la suma de hasta 3500 términos para lograr curvas “suaves” de esfuerzos.

Zhang y Wang (2012) presentaron un modelo que

incluye efectos viscoelásticos en el adhesivo, ellos demostraron que los efectos viscoelásticos hacen que se reduzcan los esfuerzos de adherencia, sin embargo esta reducción solo se presenta en una pequeña zona cerca de los extremos de la lámina, el modelo solo admite carga transversal uniforme.

Reza y Al-Emrani (2012) presentan un modelo simplificado para el cálculo de los esfuerzos de adherencia en una viga de concreto repotenciada con FRP. Este modelo no tiene en cuenta la interacción entre el esfuerzo normal y cortante.

En el trabajo actual se presenta un modelo para el análisis de una viga de concreto simplemente apoyada repotenciada con una lámina de FRP en su cara inferior. El modelo tiene la capacidad de modelar diferentes tipos de carga transversal distribuida, tal como: uniforme, triangular, trapezoidal, parabólico, etc.; interacción entre el esfuerzo normal y cortante, y puede ser utilizado para la determinación de los esfuerzos de adherencia, deflexiones, rotaciones, fuerzas axiales, cortantes, momentos, etc., en cualquier sección del elemento.

2. Modelo estructural

La Figura 1 muestra dos elementos estructurales prismáticos (i=1,2), con módulo de elasticidad Ei, área Ai, momento de inercia Ii. Los elementos estructurales están unidos por una interface que posee una rigidez uniformemente distribuida kv y kh, vertical y horizontal respectivamente, que se extiende a lo largo de toda su longitud. En general, los dos elementos estructurales pueden estar hechos de diferentes materiales, pero ambos son elástico-lineales, homogéneos e isotrópicos (Cosenza y Pecce, 2001; Areiza-Hurtado, 2005; Liu et al., 2014). En forma general, los elementos 1 y 2 están sometidos a cargas distribuidas transversales de cualquier forma qi.

X,u

Y,y

P2

M V2 2

1M1V

P1

2VP2

M2

V1 M

P1

1

00

0

0 0

0

LL

L

L

L

L

(1)

(2)

q (x)1

q (x)2

x=0 x=L

Figura 1. Sistema compuesto por dos elementos estructurales prismáticos.

Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono

[ 61 ]

3. Derivación de las ecuaciones

A continuación se muestra la deducción de las ecuaciones gobernantes del sistema basándonos en tres leyes básicas del análisis estructural: equilibrio, compatibilidad de deformaciones y leyes constitutivas de los materiales. Se supone que las deformaciones son pequeñas, secciones planas permanecen planas y la convención de signos de Timoshenko. La derivación

de las ecuaciones incluye la deformación debida al momento flector y la fuerza cortante.

3.1. Equilibrio traslacional y rotacional

La Figura 2 muestra el elemento diferencial del sistema compuesto, se ha dibujado como un sólido libre cada uno de los componentes de sistema, mostrando las fuerzas que actúan sobre cada uno de ellos.

(2)

(1)

X,u

PY,y

2

M

V

2

2

bb

bb

bb

1M

1V

b

P1

b

2 2V +dVq2

2dc 2

N.A.P +dP2

M +dM2 2

2

V +dVc1

d1

1

N.A.

q 1

M +dM

P +dP

1

1

1

1 1

dxFigura 2. Elemento diferencial. Diagrama de cuerpo libre.

Las ecuaciones de equilibrio rotacional y traslacional de los elementos 1 y 2 se muestran a continuación:

3.2. Compatibilidad de deformaciones y leyes constitutivas de los materiales

Como es mostrado por Timoshenko y Gere (1961, p. 134), la tangente de la línea central en cualquier punto x a lo largo de un elemento consiste de dos componentes θ( bdy dx= causada por el momento flector) y γ(

sdy dx= usada por la fuerza transversal), es:

b sdy dx dy dx dy dx= + , s i despreciamos la deformación por cortante, tenemos:

1 ,1II II

by y= (4-a)

2 ,2II II

by y= (4-a)

La deformación en la fibra inferior del elemento 1 y la deformación en la fibra superior del elemento 2 son causadas por la acción de la carga axial y del momento flector sobre los elementos y viene dada por las ecuaciones (5):

1 1 11,

1 1( ) ( )IB

P M cuEA EI

= + (5-a)

2 2 22,

2 2( ) ( )IT

P M duEA EI

= (5-b)

Los subíndices b y s en la ecuación hacen referencia a flexión (bending) y cortante (shear) respectivamente

Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67

[ 62 ]

y los subíndices B y T en la ecuación (5) hacen referencia a la fibra inferior (Botton) y superior (Top) del elemento, respectivamente.

La deformación por flexión y por cortante se relaciona con el momento flector según las ecuaciones (6), de la siguiente manera:

1

,11( )

IIb

MyEI

= (6-a)

2,2

2( )IIb

MyEI

= (6-b)

Se supone que el sistema de conexión entre los elementos 1 y 2 se comporta de manera elástico-lineal y que obedece las siguientes leyes:

1, 2,( )h B Tk u u= (7-a)

1 2( )vk y y= (7-b)

Donde: kh y kv son las rigideces horizontal y vertical del sistema de conexión, respectivamente; 1, 2,,B Tu u son los desplazamientos en dirección X del elemento 1 en la fibra inferior y del elemento 2 en la fibra superior, respectivamente, y 1 2,y y son los desplazamientos en dirección Y del elemento 1 y 2, respectivamente.

Reemplazando en (4) la ecuación (6):

( )

11

1

II MyEI

= (8-a)

( )2

22

II MyEI

= (8-b)

Reemplazando la ecuación (5) en la primera derivada de (7-a) y derivando sucesivamente tenemos:

1 1 1 2 2 2

1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )I

hP M c P M dkEA EI EA EI

= + + +

(9-a)

2 1 1 2 2

1 2( ) ( )II

hcV d VkEI EI

= + (9-b)

2 1 1 2 2

1 2( ) ( )III I

h hc q d qck kEI EI

= +

(9-c)

Reemplazando la ecuación (8) en la segunda derivada de la ecuación (7-b) y derivando consecutivamente y reemplazando tenemos:

( ) ( )2 1

2 1

IIvM MkEI EI

=

(10-a)

( ) ( )2 1

2 1

IIIv v

V Vck kEI EI

+ = (10-b)

( ) ( )4 1 2

1 2

4IV Iv v

q qck kEI EI

+ + =

(10-c)

Donde:

4

1 2

1 14( ) ( )vk b EI EI

= + 1 2

1 2( ) ( )c dc bEI EI

=

222 21

1 1 2 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )h

c dbkEA EI EA EI

= + + +

Sustituyendo σ de la ecuación (9-c) en (10-c), integrando una vez, haciendo algunas simplificaciones algebraicas, se encuentra la ecuación diferencial (11) en función de la variable τ:

2 4 4 2 1 2 1 1 2 2( )

2121

( )4 4 (1 )( ) ( ) ( ) ( )

III IIIVI IV II h v

x hk k b c d c q d qj T kEI EI EI EI

++ = + (11)

Donde:

2

4 24h vk k cj = ( )( ) 0 1 2

0

x

xT V q q dx= +y ,

la cortante total en x.

La ecuación (11) es la ecuación gobernante del problema, es una ecuación diferencial de sexto orden de coeficientes constantes no homogénea, la cual admite cargas externas distribuidas de cualquier forma, esta ecuación fue presentada por Cosenza y Pecce (2001) incluyendo una carga transversal uniforme distribuida.

La solución de la ecuación diferencial (11) se compone de dos partes: 1) la parte homogénea (τh) y la parte no homogénea (τp) que depende de la naturaleza de la carga aplicada, la solución a la ecuación diferencial será:

Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono

[ 63 ]

h p= + (12)

Donde:

6

1exp( )h i i

iC m x

=

=

Los valores de im son las raíces del polinomio característico proveniente de la ecuación diferencial (11), tal como se muestra en (13):

6 2 4 4 2 4 24 4 (1 ) 0m m m j+ = (13)

Para hallar la solución particular τp, supondremos que 2

1 0 1 2( )q x a a x a x= + + y 2 ( ) 0q x = , es decir, nuestro elemento estará sometido a una carga transversal que describe un polinomio de segundo orden que se aplica sobre la viga de concreto.

Se puede demostrar que la solución particular,τp está dada por:

4 2 4 31

21004 8

2 3px xV a x a x a= + + + + + (14)

Donde:

1 21

1 2

( )( ) ( )h vk k b c dEI EI

+= 4 24 (1 )j=y

Al reemplazar la ecuación (12) en (9-c) podemos encontrar el esfuerzo normal σ(x) como combinación lineal de las constantes de integración como se muestra en la ecuación (15):

( )6

222 1 1

1 1

1 exp( )( )

III Ii i i i p p h

ih

c qC m m m x kIEkc =

= + + (15)

4. Condiciones de borde

La Figura 3 presenta un diagrama de la viga repotenciada. Observe que la lámina de FRP no cubre toda la longitud de la viga y es por ello que nuestro análisis se aplica a la zona de la viga que está reforzada por la lámina, luego el sistema de coordenadas comienza en el extremo izquierdo de la zona reforzada. En forma general, cada elemento (viga de concreto, lámina de FRP; i=1,2) en la zona reforzada está sometido simultáneamente en cada uno de sus extremos (j=0, L) a una fuerza axial j

iP , una fuerza cortante j

iV y un momento flector jiM .

(1)

(2)XY

Lr1

Lr

q1

Figura 3. Viga repotenciada con una lámina de fibra de carbono.

Las condiciones de borde que se presentan a continuación, necesarias para encontrar las constantes de integración, introducen una limitación en el modelo propuesto: es necesario conocer las reacciones en los extremos del sistema viga-lámina de FRP. Lo anterior implica que se pueden analizar estructuras estáticamente determinadas directamente (como aquellas presentadas en los ejemplos de este trabajo) o determinar previamente dichas reacciones por medio de algún método de análisis estructural cuando la viga haga parte de un sistema más complejo, tales como pórticos o estructuras estáticamente indeterminadas.

En 0X =0

1 0P = ; 01 0V V= ; 0

1 0M M=0

2 0P = ; 02 0V = ; 0

2 0M =

En X L=

1 0LP = ; 1 0LV V= � ; 1 0

LM M=

2 0LP = ; 2 0LV = ; 2 0LM =

Combinando las ecuaciones (9-c) y (10-a) y utilizando (12) se obtiene:

( )22 2 1 1 1

2 1 1

)()()()(( ) ( ) ( )

IIIIIVIIIVpphvh

M M c qx x ck k k x xEI EI EI

= (16)

Evaluando las condiciones de borde para en X=0 y X=L en las ecuaciones (9-a), (9-b) y (16) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

( ) 10

1

0( )

I hc k MEI

= (17-a)

( ) ( )20 0 0II = (17-b)

( )1 120

11

0(0) (0)

( ) ( )

IIV III h v

h

c qck k M kEI EI

= (17-c)

Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67

[ 64 ]

( ) 10

1( )I hc kL M

EI= (17-d)

( ) ( )2 10

1( )II hc kL L V

EI= (17-e)

( )1 120

11

( ) ( )( ) ( )

IIV III h v

h

c q Lck kL L M kEI EI

= (17-f)

Reemplazando la ecuación (12) en las ecuaciones (17) se forma un conjunto de 6 ecuaciones con 6 incógnitas:

( )6

10

1 1

0( )

Ihpii

i

c kC m MEI=

= (18-a)

( ) ( ) ( )( )6

222

10 0II

i i p piC m

=

=

(18-b)

{ } ( ) ( )6

1 1 23250

1 11

0(0) (0)

( ) ( )

IIV IIIh v

pphiiii

c qck kC m m M kEI EI=

= (18-c)

( ) ( )6

10

1 1

exp( )

Ihpiii

i

c kCm m L M LEI=

= (18-d)

( ) ( ) ( ) ( )( )6

222 10

1 1

exp( )

IIhppiii

i

c kC m m L V L LEI=

= (18-e)

{ } ( ) ( ) ( )6

1 1 23250

1 11

)()(pxe( ) ( )

IIV IIIh v

pphiiiii

c q Lck kC m m m L M k L LEI EI=

= (18-f)

Las ecuaciones (18) se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera:

[ ]{ } { }A c b= , donde [ ]A

es la matriz de coeficientes, { }b es el vector de cargas externas y { }c es el vector que contiene las constantes de integración. La solución para (18) se expresa en forma matricial de la siguiente manera:

{ } [ ] { }1c A b= (19)

Introduciendo la ecuación (19) en las ecuaciones (12) y (15) se puede obtener una expresión para los esfuerzos de adherencia cortante y normal, respectivamente.

5. Ejemplos numéricos y verificación

Para verificar las ecuaciones propuestas y su utilización, se proponen los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: Viga repotenciada con una lámina de fibra de carbono sometida a una carga uniforme

El siguiente ejemplo fue discutido por Cosenza y Pecce (2001), consiste en una viga de concreto repotenciada con una lámina de fibra de carbono. (Ver Figura 4).

(1)

(2)XY

Lr1

Lr

q1

Figura 4. Viga repotenciada con una lámina de fibra de carbono sometida a carga uniforme.

La viga de concreto tiene una longitud L1=2.4m, con módulo E1=30000MPa, de ancho 100mm y alto 150mm. La lámina de fibra de carbono se adhiere sobre todo el ancho de la viga y se corta a una distancia r=300mm. El módulo de la lámina es E2=230000MPa y espesor t2=3mm. El adhesivo utilizado tiene espesor ta=2mm, módulo de elasticidad Ea=1500MPa y módulo de

cortante Ga=580MPa. Según (Cosenza y Pecce, 2001), la rigidez normal y cortante de la conexión están dadas por: h a ak G t= y v a ak E t= , donde ta es el espesor del adhesivo.

En este caso q1=q, consiste en carga uniformemente distribuida sobre toda la luz del elemento.

Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono

[ 65 ]

Luego:

10 2

LV q r= (20-a)

( )0 1 / 2M q L r x= (20-b)

La Figura 5a muestra la distribución de esfuerzo normal y de esfuerzo cortante en toda la longitud de la lámina para r=300, en la Figura 5b se muestran los esfuerzos de adherencia para valores de r=100, 300, 500. Se observa una buena correlación con los resultados presentados en (Cosenza y Pecce, 2001).

X/L0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

t b/q

s b/q0

10

20

30

-30

-20

-10

1

Modelo propuesto

Modelo de Cosenza

X/L0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

t b/q

s b/q0

-10

-20

-30

-40

-50

10100300500

100300500

1

a) b)

Figura 5. Esfuerzo normal y cortante: a) Para valores de r=300. b) Para r=100, 300 y 500.

En las figuras 5a y 5b se observa que los esfuerzos máximos se encuentran en los extremos de la lámina de carbono, estos esfuerzos deben ser controlados para evitar la delaminación de la lámina de carbono, la cual comenzará por los bordes de la lámina. Se observa, además, que el esfuerzo cortante es antisimétrico respecto a un eje que pasa por el centro de luz y que no es lineal como lo predice el modelo de Zurawski (Beer y Johnston, 1993) de esfuerzos cortantes para una carga uniforme. En la Figura 5b se observa que los esfuerzos de adherencia máximos aumentan a medida que disminuye la longitud de adherencia L1, razón por la cual el tipo de falla por delaminación es una falla progresiva.

En la Figura 5a se observa que en el modelo de Cosenza y Pecce los esfuerzos cortantes no son simétricos respecto al eje vertical que pasa por el centro de la luz de la viga, lo que parece contradictorio debido a la simetría del problema respecto a cargas impuestas y geometría en general, luego: 1, 2,( 2) ( ) 0h B TL k u u� = � = . El autor cree que es un error en la figura presentada por Cosenza y Pecce, pues según las condiciones de borde impuestas en su documento, Cosenza y Pecce tuvieron dicha condición

en cuenta. Se observa, además, que los esfuerzos normales son bastante similares.

Ejemplo 2: Viga repotenciada con una lámina de fibra de carbono sometida a una carga triangular.

Considere la viga de concreto repotenciada con una lámina de fibra de carbono presentada en el ejemplo anterior. Suponga que la viga está sometida a una carga transversal trapezoidal a lo largo de toda su luz. (Ver Figura 6).

En este caso 21 0 1 2( )q x a a x a x= + + , consiste

en carga distribuida triangular sobre toda la luz del elemento. Observe que el eje X comienza en el extremo izquierdo de la lámina de FRP.

Luego:

00

1

q raL

= ; 01

1

qaL

= ; 2 0a =

20 1 0

016 2

q L q rVL

= � y 3

0 1 00

16 6q L r q rM

L= �

Mauricio Areiza Hurtado, Carlos Alberto Riveros Jerez, Carlos Vega Posada / Vector 9 (2014) 59-67

[ 66 ]

(1)

(2)XY

Lr1

Lr

q0

Figura 6. Viga repotenciada sometida a una carga triangular.

La Figura 6 muestra la distribución de esfuerzo normal y de esfuerzo cortante en toda la longitud de la lámina, se observa que el punto de corte entre el esfuerzo cortante es cero y se ha corrido a la derecha del centro de la viga, condición marcada por la asimetría de la carga:

X/L0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

5

0

10

15

-5

-10

-15

t b/q

s b/q

1

Figura 7. Esfuerzos de adherencia.

6. Conclusiones

Se ha presentado una formulación para el análisis de vigas repotenciadas con FRP. El modelo presentado tiene en cuenta la rigidez a flexión y una carga transversal de cualquier forma, y considera la interacción entre el esfuerzo normal y cortante en la zona de adherencia de unión.

La ecuación gobernante del sistema consiste en una ecuación diferencial de sexto orden de coeficientes constantes no homogéneo. Para hallar la solución de dicha ecuación diferencial se requiere encontrar 6

constantes de integración aplicando 12 condiciones de borde (fuerzas axiales, cortantes y momentos flectores). La solución al problema finalmente es expresada como un sistema de ecuaciones lineales de dimensión 6x6.

Para verificar la formulación desarrollada se realizaron dos ejemplos. El primer ejemplo de una viga sometida a carga transversal distribuida uniforme, muestra una concentración de esfuerzos normales y cortantes en la zona ubicada cerca de los extremos de la viga. Se observa que debido a la simetría del problema, el esfuerzo normal resulta ser simétrico mientras que el cortante es antisimétrico para cargas uniformes. El incremento en los esfuerzos de adherencia en la zona de unión puede explicar la importancia que cobra el tipo de falla por delaminación en el diseño de este tipo de elementos. Se observa un incremento en los valores máximos de los esfuerzos de adherencia a medida que se disminuye la longitud de adherencia. En el segundo ejemplo se estudió el caso de carga transversal distribuida trapezoidal. Se observa que la pérdida de la simetría en la carga externa provoca un “desplazamiento” horizontal en las curvas de esfuerzos. El punto de esfuerzo cortante cero se encuentra ubicado en X=0.6 L1 aproximadamente.

Referencias

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Iancu F. (2005). Three-Dimensional Investigation of Thick Single-Lap Bolted Joints. Experimental Mechanics, 45(4): 351-58. Disponible en: http://exm.sagepub.com/cgi/doi/10.1177/0014485105056089 [Visitada abril de 2013].

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Sobre el análisis de una viga reforzada con una lámina de fibra de carbono

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Notación

Los siguientes símbolos son utilizados en este trabajo:

A = Área de la sección transversal.b = ancho.c = parámetro mecánico.ci, di = distancia al centro de.E = módulo de Young.G = módulo de cortante.h = altura.Ii = inercia de la sección transformada.i = grado de interacción.kh = rigidez horizontal de la conexión.kv = rigidez vertical de la conexión.L = longitud.M = momento flector.N = fuerza axial.V= fuerza cortante.t = espesor.u = desplazamiento a lo largo del eje x.w = desplazamiento a lo largo del eje z.αβγδη= parámetros mecánicos.σ= esfuerzo normal.τ= esfuerzo cortante.