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Prof. Rosa N. Llanos Vargas

VECTORES EN Rn

Magnitudes físicas

Existen magnitudes físicas que quedan perfectamente definidas mediante un número expresado

en sus unidades correspondientes. Ejemplos de este tipo de magnitud son: la masa m, volumen

V, temperatura T, longitud de onda , potencial eléctrico V, etc. A estas magnitudes se les

denomina magnitudes escalares. Sin embargo, para describir adecuadamente ciertos sistemas

físicos, deberemos hacer uso de otro tipo de magnitudes para las que, además de un escalar

(número), hace falta indicar la dirección y el sentido. Se llaman magnitudes vectoriales o

vectores. Por ejemplo, la velocidad v

(o v), la fuerza F, campo magnético B, etc. Vamos a

ocuparnos de definir estas últimas y recordar las operaciones básicas que pueden llevarse a cabo

con ellas.

Definición de vector en Rn

El conjunto de n-uplas de números reales , n 1 , se representa por Rn ; es decir

Rn = { (1 2, ,..., ) / , i = 1 , 2, ..., n n ix x x x R }

Los elementos de Rn se llaman VECTORES .Al vector ( a1, a 2, …, a n ) lo denotaremos

por a , y el número real ai se llama i-ésima componente del vector a .

Notación. Los vectores se denotarán con letras minúsculas con un flecha arriba tales

como , . Los puntos se denotarán con letras mayúsculas tales como , , .

En el contexto de los vectores, los números reales serán llamados escalares y se

denotarán con letras minúsculas cursivas tales como , .

En Rn definimos una relación de igualdad y dos operaciones .

Igualdad de vectores. Si a = (a1, a2, …, a n ) y b = (b1, b2, …, b n ) son vectores en Rn

entonces

a = b a i = b i , para cada i = 1, 2,…, n

Adición de vectores. Es la operación que hace corresponder a cada par de vectores su suma .

Suma de vectores . Si a = ( a1, a2, …, an ) y b = ( b1, b2, …, b n ) son vectores en Rn

entonces

a + b = ( a1+ b1, a2 + b2, …, a n + b n)

Multiplicación de un vector por un escalar. Si es un número real y a = (a1, a2, …, an )

es un vector en Rn , entonces

a = ( a1, a2, …, an )

Propiedades.

1. n n , R se cumple que + R .a b a b

2

2. n , R , = + .a b a b b a

3. n , , R , ( + ) = ( ) +a b c a b c a b c

4. n n! 0 R tal que R ,se cumple + 0 = .a a a

El elemento 0 de R n , llamado vector cero, está dado por 0 = ( 0, 0, …, 0 )

5. n n , ! (- ) R , tal que + (- ) = 0 a R a a a

El vector - a ,llamado opuesto de a , es - a = ( -1) a

6. n n R , , R .a a R

7. n R , , ( + ) = + .a a a a R

8. n , R , , ( + ) = + .a b a b a b R

9. n R , , , ( ) = ( ) .a a a R

10. n R , 1 = .a a a

Demostraremos solo una de las propiedades, la número 8, las demás se dejan para el

lector.

( a + b ) = [(a1, a2, …, an ) +( b1, b2, …, b n )]

= [ ( a1+ b1, a2 +b2 , …, a n +b n ) ]

= [ (a1+ b1 ), ( a2+ b2 )…, ( a n+ b n )] = ( a1+ b1, a2 + b2 ,…, a n+ b n )

= ( a1, a2 ,…, a n ) + ( b1, b2 ,…, b n )

= a + b

( a + b ) = a + b

Definición. El conjunto Rn con la relación de igualdad y las operaciones de adición y

multiplicación de vectores por un escalar, se llama espacio vectorial real n- dimensional. La

expresión espacio vectorial Rn es referirá al espacio (Rn , + , R , . ) con las operaciones

definidas anteriormente. Si n = 1 , 2 , 3 tenemos los espacios R , R ² y R3 , respectivamente.

Sustracción de vectores . La sustracción de vectores puede ser definida en términos de la

adición de la siguiente manera.

Definición . Dados los vectores a y b de Rn ,

a – b = a + ( - b )

Es decir a – b = ( a1 - b1, a2 - b2 , …, a n - b n )

Definición . Dados los vectores a 1, a 2, …, a k de R n y si 1, 2, …, k son escalares, el

vector

1 a 1 + 2 a 2 +…+ k a k

Se llama combinación lineal de los vectores a i con coeficientes i

Propiedades básicas

1. n , 0 R se cumple .0 0. R

2.n R , 0 , se cumple 0 = 0.a a R

3

3. = 0 = 0 ó = 0 .a a

REPRESENTACIÓN GEOMETRICA DE VECTORES EN R ² Y R 3

Los vectores en R ² Y R 3 son casos particulares d los vectores en Rn . Estos vectores

pueden representarse geométricamente en el plano o en el espacio de la siguiente

manera :

a) Como un punto. Para representar en el plano el vector a = (a , b), graficamos en el

plano el punto P de coordenadas (a , b )

Figura 1. Punto (a,b)

Análogamente, para representar al vector a = ( a , b , c ) de R 3 graficamos en el espacio

tridimensional al punto P con coordenadas ( a , b , c ) de la siguiente manera :

Utilizando tres rectas perpendiculares entre sí que se corten en un punto llamado origen , a las

tres rectas les llamamos eje de abscisas ( X ), eje de ordenadas ( Y ) y eje de cotas ( Z ).

El punto P se obtiene graficando sobre el plano XY el punto de coordenadas ( a , b ,0 )

y desde él medimos perpendicularmente al plano XY la distancia c , hacia arriba si c es

positivo o hacia abajo si c es negativo.

Figura 2. Punto (a,b,c)

b) Como un radio vector. Toda vez que en las aplicaciones físicas, los vectores se

corresponden con las magnitudes vectoriales que se caracterizan por tener intensidad , dirección

y sentido., es por ello que representaremos a los vectores como flechas o segmentos dirigidos

con su extremo inicial en el origen de coordenadas y su extremo final en un punto del plano del

plano o del espacio con coordenadas las componentes del vector.

4

.

Figura3. P (a,b)

Figura4. P ( a,b,c)

En esta representación el segmento dirigido OP se llama radio vector de a

c) Como una flecha o segmento dirigido. Debido a la naturaleza de las magnitudes

vectoriales, para representar a un vector como un segmento dirigido, podemos considerar como

extremo inicial a cualquier punto M y extremo final a otro punto N del plano o del espacio

Figura 5. a = N – M

En esta representación el segmento dirigido MN se llama vector libre a

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INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA SUMA EN R2

Sean los vectores

A = ( , )x yA A , B = ( ,x yB B ) , entonces ,x x y yR A B A B A B . El vector R

se llama resultante.

Figura 6.

Regla del paralelogramo La suma y diferencia de dos vectores puede representarse de la

siguiente manera

Figura 7

Paralelismo de Vectores

Definición . Sean a y b dos vectores no nulos en Rn , decimos que a es paralelo a

b , si existe un único número real tal que b = a .

Nota. El vector cero es paralelo a todos los vectores , puesto que 0 0 ; na a R

Definición. Sean a y b dos vectores no nulos en Rn , si a es paralelo a b ,decimos que

1. Tienen sentido iguales si b = a , donde > 0

2. Tienen sentidos opuestos si b = a , donde < 0

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Producto interno, ( escalar o punto )

Definición . Dados los vectores a = (a1, a2, …, a n ) y b = ( b1, b2, …, b n ) no nulos en

Rn , el producto interno o escalar de a y b , denotado por a b , es el número real

a b = i i

1

a bn

i

= a1 b1 + a 2 b2 +,…, + a n b n .

En particular si a = (a1, a2 ) y b = ( b1, b2 ) , entonces a b = a1 b1 +a2 b2

Y si a = (a1, a2 , a 3 ) y b = ( b1, b2, b 3 ) entonces a b = a1 b1 +a 2 b2 + a 3 b 3 .

Propiedades del producto escalar

Teorema . Para a , b y c vectores en Rn , y para todo número real , se cumple:

1. a b = b a

2. ( a b ) = ( a ) b = a ( b )

3. a ( b + c ) = a b + a c

4. a a 0 , a a = 0 si y solo si a = 0

Demostración de 2. se demostrará solo la primera parte

( a b ) = ( a1 b1 +a 2 b2 + a 3 b 3)

= a1 b1 + a 2 b2 + a 3 b 3

= ( a1 ) b1 + ( a 2 )b2 + ( a 3 )b 3

= ( a1 , a 2 , a 3 ) ( b1 , b2 , b 3) = ( a ) b

( a b ) = ( a ) b

Norma ( módulo , longitud o magnitud ) de un vector .

Definición. La norma ( o módulo, longitud o magnitud ) de un vector a = (a1, a2, …, a n ) en

Rn , es el número real no negativo , representado por a , tal que

i i

1

a an

i

a a a

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En particular si a = (a1, a2 ) , entonces a = 2 2

1 2a +a

Y si a = (a1, a2 , a 3 ) entonces a = 2 2 2

1 2 3a +a a

Propiedades de la norma.

Teorema . Para a , b y c vectores en Rn , y para todo número real , se cumple:

1. 0 , 0 0a a a

2. a a

3. Desigualdad de Cauchy- Schwarz : a b a b

4.Desigualdad triangular : a b a b

Nota . La desigualdad triangular corresponde al teorema geométrico: La longitud de un lado de

un triángulo no degenerado es menor que la suma de los otros dos lados .

Vector unitario .

Definición :

1. Un vector cuya norma es igual a la unidad se llama vector unitario

2. El versor de un vector es el vector unitario que tiene la misma dirección y sentido que

el vector .

Teorema . Si a es un vector en Rn , su versor es el vector Ua

a

a

Ortogonalidad de vectores

Si a y b son dos vectores no nulos en Rn . Por la desigualdad de Cauchy- Schwarz se tiene:

2

1 1 , de donde, - 1 a b a b

a b a b

. Por consiguiente existe un único ángulo

0 , tal que cos( ) = a b

a b

Definición. El ángulo que forman los vectores no nulos a y b en Rn , es el número real

0 , , tal que cos( ) = a b

a b

.

8

Definición. Sean los vectores no nulos a y b en Rn , decimos que a es ortogonal a b si el

ángulo que forman es 90º

De acuerdo con la definición de ángulo entre dos vectores, se tiene:

a es ortogonal a b a b = 0

Como a b = b a , resulta evidente afirmar que a s ortogonal a b implica que b es

ortogonal a a . Por esta razón se usa con frecuencia la expresión mutuamente ortogonales.

El vector nulo tiene la propiedad de ser ortogonal a todo los vectores.

Proyección ortogonal y componentes

Definición. Sean los vectores a y b en Rn , b es no nulo . La proyección ortogonal de a

sobre b , es el vector

2

Prb

a boy a b

b

Observación:

1. Prb

oy a es paralela a b .

2. a - Prb

oy a es ortogonal a b .

Definición. El número a b

b

se llama componente de a en la dirección de b y se denota por

bComp a , es decir

b

a bComp a

b

En consecuencia, la relación entre la proyección y la componente es la siguiente :

Prb b b

oy a Comp a U

Observación:

1. Si b

Comp a > 0, entonces Prb

oy a tiene el mismo sentido que b

2. si b

Comp a < 0, entonces Prb

oy a y b tienen sentidos opuestos

3. b

Comp a = 0 ,entonces a y b son ortogonales

Producto vectorial y producto mixto en R3

Definición. Dados los vectores a = (a1, a2 , a 3 ) y b = (b1, b2 , b 3 ) , el producto vectorial de

a y b es el vector a x b , definido por

a x b = (a2 b3 - a 3 b2 , a3 b 1 - a1 b3 , a 1b2 - a2 b1 )

Interpretación geométrica a x b es perpendicular a ambos vectores a y b

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Proposición

1. a x b es ortogonal tanto al vector a como al vector b

2. a x b = - b x a

3. ( )a x b = ( a x b )

4. a x ( b + c )= a x b + a x c

( a + b ) x c = a x c + b x c

5. 22 2 2

a x b a b a b

6. ( ) , donde es el ángulo que forman los vectores a x b a b sen a y b

Demostración de 6.

Por 5)

Donde

, entonces

=

=

Luego

10

Proposición Los vectores a y b son paralelos si, y solo si a x b = 0

Proposición Para a , b y c vectores en el espacio , se cumple

a x ( b x c ) = ( c . a ) b - ( b . a ) c

Corolario Si a , b y c son vectores en el espacio , tales que a b y a c

entonces a x b c

Definición Dados los vectores a , b y c , el producto mixto de a , b y c en ese

orden, es el número real denotado [ a b c ] = ( a x b ) c

Proposición

1. a = (a1, a2 , a 3 ) , b = (b1, b2 , b 3 ) y c = (c1, c2 , c 3 ) , entonces

1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a a

b b b

c c c

a b c Det

2. [ a b c ] = [ b c a ] = [ c a b ]

3. ( )a bxc = ( ) ( )axb c cxa b

El número [ a b c ] representa el volumen del paralelepípedo determinado por los

vectores a , b y c .

Vectores unitarios de la base canónica . Son los vectores

(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) ,i j k

Todo vector puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores dados

Si a = (a1, a2 , a 3 ) es un vector en el espacio , entonces

a = a1 i +a2 j + a 3 k

Ejemplo. El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios

Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte.

Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Solución

Hacemos un diagrama:

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Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando

unitarios, tenemos

R=A+B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota y cuya dirección puede

determinarse calculando el ángulo .

A = 20 km j, (apunta hacia el Norte). B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j )

B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj

Luego,

R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i

La magnitud se obtiene de

2 = (37.5km)2 + (30.3km)2 = 48.2 km

La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo .

En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5,

tg = 30.3/37.5 = arctg(30.3/37.5) = 38.9º.