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fisica
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18 Fsica Unidad 2 Vectores 2 ___________________________________________________________________________________________________________
2. VECTORES (PARTE 2)
2.3 Vector de posicin
En geometra analtica se define la posicin de un punto mediante las coordenadas. En un espacio vectorial, de una a tres dimensiones, la posicin se define mediante un vector de posicin que se caracteriza por tener su inicio en el origen del sistema de coordenadas y su punta determina la posicin en cuestin; por ejemplo, con un sistema con origen 30 m al Este de la puerta de entrada al Tecnolgico, la Figura v 2.7 muestra los vectores de
posicin y , que ubican a las aulas F y Q respectivamente.
Si observa la Figura v 2.2 y tiene presente que el sistema de referencia de la figura v 2.7 tiene el origen 30 m al Este de la entrada al Tecnolgico, Podras determinar las componentes de los
vectores de posicin y ?
Las respuestas son:
( ) ( ) _ _ _ _ _ (2.10)
( ) ( ) _ _ _ _ _ (2.11)
Al usar vectores de posicin, no se deben confundir componente con coordenada, aunque son similares, su notacin y operatividad es diferente.
2.4 Suma de vectores
La suma de dos vectores se realiza sumando sus componentes, respectivamente, como enseguida se muestra:
Sean los vectores
y
Su suma es
( ) ( )
Regresemos al sistema de referencia de la Figura v
2.7 y observemos los vectores y en la Figura v 2.8.
Al sumarlos
( ) ( ( ))
( ) ( ) _ _ _ (2.12)
Al comparar la suma (2.12) con el vector (2.11) observamos que
Fsica Unidad 2 Vectores 2 19 ___________________________________________________________________________________________________________
_ _ _ _ _ (2.13)
Conforme a la Figura v 2.8, podemos afirmar que cuando, geomtricamente, un vector se coloca enseguida de otro, el vector que cierra el tringulo de cola con cola a punta con punta es la suma de los dos primeros. Los ngulos internos del tringulo, las magnitudes del vector suma y de los sumandos, se relacionan mediante expresiones trigonomtricas que se denominan Ley de senos y Ley de cosenos; al final de esta seccin se mencionan.
Con (2.13) se hace explcito el vector desplazamiento (cambio de posicin),
Pueden usarse subndices numricos, 1 salida o inicio y 2 llegada o fin, entonces
_ _ _ _ _ (2.14),
De esta forma, el vector cambio de posicin es igual al vector de posicin de llegada menos el vector de posicin de salida.
cos sen
tan
cos
sin
sin
sin
2.5 Multiplicacin de un vector por un escalar
Si se tiene el vector
Al multiplicarse, dicho vector, por el escalar , lo que se hace es multiplicar cada una de sus componentes por el escalr; es decir,
20 Fsica Unidad 2 Vectores 2 ___________________________________________________________________________________________________________
Por ejemplo, si al vector lo multiplicamos por resulta
Ver la Figura v 2.11.
El vector y el vector son paralelos. Si el escalar
tuviese signo negativo, el vector tendra signo opuesto al del vector .
Si el escalar es la magnitud de cierto vector y se conoce
un vector unitario cuya direccin coincide con la de es e
cierto vector, entonces se puede determinar ese vector:
_ _ _ _ _ _ (2.15)
es un vector unitario en direccin del vector y
es la magnitud del vector .
2.6 Producto escalar
Hay cantidades fsicas que requieren el uso de la
operacin vectorial llamada producto escalar o
producto punto. Este producto consiste en un
producto de dos vectores que da como resultado
una cantidad escalar.
El producto escalar entre dos vectores
se define como
cos _ _ _ _ _ _ _ (2.16)
En esta expresin (2.16), y son las magnitudes
de los vectores y es el ngulo comprendido entre
y (Figura v 2.12).
Fsica Unidad 2 Vectores 2 21 ___________________________________________________________________________________________________________
El producto escalar entre dos vectores unitarios,
considerando que el ngulo que forman es de 90,
0 o 180 (Figura v 2.13) y aplicando (2.14), resulta
ser:
( ) ( )
( )
El producto escalar entre los vectores
tambin se puede determinar con
( ) ( )
_ _ _ _ (2.17)
Analizando las expresiones anteriores se deduce
que, el producto escalar de vectores paralelos es
positivo si los vectores tienen igual sentido y
negativo en el caso de que tengan sentidos
opuestos.
2.7 Igualdad de vectores
Cuando se presenta una ecuacin vectorial en la que la suma de algunos vectores es igual a la suma de otros (incluso podran estar implicadas otras operaciones), como
_ _ _ _ (2.18) se puede reducir a una ecuacin cuyos miembros tengan un vector cada uno:
o bien,
_ _ _ (2.19)
Si definimos que dos vectores son iguales, si y slo s, sus componentes son iguales, respectivamente; entonces, una ecuacin vectorial se reduce a tres ecuaciones escalares:
Con estas tres expresiones se resuelve (2.18)