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Vectores 1) Vectores en 𝑹𝟐

• Vector fijo en el plano • Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido,

origen y extremo) • Vectores equipolentes • Vector libres • Propiedad fundamental de los vectores libres • Definición de vectores • Operaciones ( gráficas) de vectores libres.

Vectores 2)Coordenadas y base

• Combinación lineal • Vectores linealmente dependiente • Bases. Bases canónica

3) Sistema de referencia Euclídeo • Vector de posición • Coordenadas de un vector fijo y libre • Operaciones analíticas de vectores • Módulo y argumento • Punto medio de un segmento. • Puntos alineados.

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Vectores 4) Producto escalar

• Producto escalar

• Propiedades

• Expresión analítica del producto escalar

• Interpretación geométrica

• Ángulo de dos vectores

1) Vectores en 𝑅2 • Vector fijo en el plano

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• Elementos de un vector fijo ( módulo, dirección, sentido, origen y extremo)

Ejercicio: relaciona los vectores fijos siguientes. Fíjate en dirección, sentido y módulo

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• Vectores equipolentes

• Vector libres

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• Propiedad fundamental de los vectores libres

• Definición de vectores

• Vector nulo o vector cero se refiere a un vector que posee módulo (o extensión) nulo. Se representa como 0 .

• Vector unitario tienen de módulo la unidad.

Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un vector se divide éste por su módulo.

• Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si sus direcciones son perpendiculares ( forman 90°); es decir si su producto escalar es cero.

• Dos vectores son opuestos , si tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

• Vectores concurrentes tienen el mismo origen.

• Dos vectores son ortonormales si: Son ortogonales (Su producto escalar es cero.) y si los dos vectores son unitarios.

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• Operaciones ( gráficas) de vectores libres.

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2) Coordenadas y base • Combinación lineal

El vector 𝑎 se dice que es combinación lineal (C.L.) de los vectores 𝑢, 𝑣 si existe dos números reales 𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan

𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣

𝑎 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑣

• Vectores linealmente dependiente

Los vectores 𝑎 , 𝑢 , 𝑣 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe entre ellos una combinación lineal; es decir, si existe dos números reales 𝛼 , 𝛽 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣

𝑎 = 2𝑢 + 4𝑣

𝑎 , 𝑢 , 𝑣 son L.D

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SÍ

Indica una combinación lineal entre ellos

¿Son linealmente dependientes los vectores de la figura?

𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢

¿Existe otra combinación lineal entre ellos?

SÍ 𝑤 − 2𝑢 = 3𝑣

𝑤 − 2𝑢

3= 𝑣

𝑣 = 1

3𝑤 −

2

3𝑢

𝑤 = 3𝑣 + 2𝑢

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) si existe un números reales 𝛼 𝜖 𝑅 que cumplan 𝑎 = 𝛼 ∙ 𝑢

𝒂

𝒃

𝒄

= 𝟐 ∙ 𝒂

= −𝟏

𝟐∙ 𝒂

𝒂 𝒚 𝒃 (L.D.)

𝒂 𝒚 𝒄 (L.D.)

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente dependiente (L.D.) tiene la misma dirección

Dos vectores 𝑎 , 𝑢 se dice que son linealmente independiente (L.I.) NO tiene la misma dirección

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Dados dos vectores libres 𝑢, 𝑣 con diferente dirección; es decir (L.I.), cualquier otro vector 𝑤 se puede expresar como combinación lineal (C.L) de ellos;

𝑏 = 𝑢 + 𝑣

• Bases.

En este caso, se dice que B= 𝑢, 𝑣 es una base y que 𝛼 , 𝛽 son las coordenadas de 𝑤 respecto a la base B

B= 𝑣 , 𝑢 es una base

𝒃

Indica una combinación lineal

del vector 𝒃 con respecto a la base B= 𝑢, 𝑣

Indica una las coordenadas del

vector 𝒃 respecto a la base B= 𝑢, 𝑣

𝑏 = (1 , 1)

𝑊 = 𝛼 ∙ 𝑢 + 𝛽 ∙ 𝑣

𝒄

𝑐 = −3𝑢 + 𝑣 𝑐 = (−3 , 1)

?

Las coordenadas del vector 𝐵𝐶 respecto a la base B= 𝑢, 𝑣 es 𝐵𝐶=(3,-3)

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Prueba corta 1) Expresa los vectores 𝐴𝐵 y 𝐶𝐷 en función de 𝑢 y 𝑣

2)

Si los vectores que forman la base tienen direcciones perpendiculares se dice que es una base ortogonal, y si además sus módulos son unitarios, la base es ortonormal

La base canónoca está formada por los vectores 𝑖 , 𝑗

• Base canónica

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Combinación lineal del vector 𝒂 con respecto a la base canónica B= 𝑖 , 𝑗

𝑎 = 4𝑖 + 3𝑗

Las coordenadas del vector 𝒂 respecto a la base canónica B= 𝑖 , 𝑗

𝑎 = (4 , 3)

Todos los vectores equipolentes tiene las mismas coordenadas respecto a la base canónica, es decir, todos los representantes de una mismo vector libre tiene las mismas coordenadas

𝑢 y 𝑣 son equipolentes

Las coordenadas respecto a la base canónica son 𝑢 = 𝑣 = 2 , 3 Su combinación lineal respecto la base canónica es 𝑢 = 𝑣 = 2𝑖 + 3𝑗

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Suma de vectores dados sus coordenadas

Como combinación lineal

Producto de un número real por un vectores dados sus coordenadas

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Módulo de un vectores dados sus coordenadas

Utilizando el teorema de pitágotas

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑢 2

𝑢 = 𝑥2 + 𝑦2

Argumento de un vectores dados sus coordenadas

Se llama argumento de un vector, al ángulo que formado dicho vector con la parte positiva del eje X

𝛼 = arg (𝑢) = 𝑎𝑐𝑡𝑔𝑦

𝑥

El ángulo correspondiente al vector se debe elegir teniendo en cuenta el cuadrante al que pertenece el vector

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Halla las coordenadas de otro vector con la misma dirección y sentido que 𝑢 pero con módulo 1 unidad

𝑤 =2

13,−3

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3) Sistema de referencia Euclídeo • Vector de posición

• Coordenadas de un vector fijo y libre respecto al sistema de referencia Euclídeo

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1º) Actividad en clase. Demostración

2º) Actividad en clase. Encontrar de forma razonada los puntos M1 y M2 puntos que dividen tren partes iguales un segmento