VECTORES...2019/02/01 · Universidad Nacional Aut onoma de Honduras En el Valle de Sula UNAH-VS Departamento de F sica Experimento No.1 LF-100 B.M etodo del Pol gono Si la cantida

Universidad Nacional Autonoma de HondurasEn el Valle de SulaUNAH-VSDepartamento de Fısica

Experimento No.1LF-100

VECTORES

OBJETIVOS

1. Diferenciar entre cantidades vectoriales y escalares.

2. Conocer los diferentes metodos para la adicion de vectores.

3. Calcular un vector resultante usando varios metodos vectoriales.

4. Calcular el producto punto y producto cruz de varios vectores.

APARATOS Y MATERIALES

regla

transportador

papel milimetrado

calculadora

mesa de fuerzas

masas colgantes

MARCO TEORICO

DEFINICION DE UN VECTOR

En fısica nos encontramos con cantidades que para estar completamente determinadas es ne-cesario conocer su magnitud expresada en alguna unidad conveniente. Cantidas que solo sonrepresentadas por un valor numerico y unidad son llamados escalares.Ejemplos: tiempo(s); masa(kg); temperatura(C◦)

Otras magnitudes fısicas requieren, ademas que se anada una direccion a su magnitud. Estascantidades reciben el nombre de vectores. Entonces decimos que un vector, es una cantidadfısica que tiene propiedades numericas y direccionales.Ejemplos: velocidad, aceleracion, fuerza, etc.

REPRESENTACION GRAFICA DE VECTORES

Graficamente, los vectores se representan por segmentos de lıneas dirigidas que tienen lamisma direccion que el vector y una longitud proporcional a su magnitud, como se muestraen la Fig. 1.

1



−→v =8m/s

35◦

Figura 1: Vector de velocidad

En lo escrito, un vector lo denotaremos por medio de una letra con una flecha sobre ella: ~v.La magnitud del vector la podemos indicar |~v| o simplemente v.

MULTIPLICACION DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Sea ~V un vector y m un escalar. El vector m~V lo definiremos de la siguiente manera:

1. La magnitud de m~V sera |m~V| = |m||~V| = |m|V

2. Si m > 0 y ~V 6= 0, entonces la direccion de m~V sera la misma que la del vector ~V.

3. Si m < 0 y ~V 6= 0, la direccion de m~V sera opuesta a la de ~V.

ADICION DE VECTORES: METODOS GRAFICOS

A.Metodo del Triangulo

Este metodo se aplicara al tener la suma de 2 vectores, por ejemplo, ~A y ~B. La suma de ellossera un vector distinto a los dos, ~C = ~A + ~B. Geometricamente se define como en la Figura2: dibujamos el vector ~A conservando la direccion; el inicio del vector ~B lo colacamos al finaldel vector ~A conservando su direccion; el vector resultante ~C sera el que va del inicio delvector ~A al final del ~B.

~A

~B

~A

~B

~C=~A

+~B

Figura 2: Metodo del Triangulo

2



B.Metodo del Polıgono

Si la cantida de vectores a sumar es mayor a dos, el tercer vector se iniciarıa al final del segundo,siempre conservando su direccion y magnitud, y ası sucesivamente hasta haber dibujado todoslos vectores sumandos. El vector resultante sera el que va desde el inicio del primer vectorhasta el final del ultimo vector, como se muestra en la figura 3. En general, seguimos el mismoprocedimiento del metodo anterior, siempre sumando los vectores ”punta con cola”.

~A

~B

~C~D

~ E=~ A

+~ B

+~ C

+~ D

Figura 3: Metodo del poligono con tres vectores

C.Metodo del Paralelogramo

Este es otro metodo grafico para la suma de 2 vectores. Consiste en colocar juntos los puntosiniciales de los vectores sumandos y cosntruir un paralelogramo proyectando lıneas paralelasa los vectores. El vector resultante sera la diagonal del paralelogramo que se forma, como semuestra en la figura 4.

~R = ~A + ~B~A

~B

Figura 4: Metodo del paralelogramo. La diagonal del paralelogramo representa la resultantede los vectores A y B.

DIFERENCIA DE VECTORES

Si usamos los mismo vectores de la figura 1, ~A y ~B, pero ahora los restamos de la forma:~A − ~B que es misma suma de ~A + (−~B). Vemos que el vector ~B es afectado por un signonegativo. Graficamente esto representa un cambio de 180◦ en la direccion del vector, pero sumagnitud permanece igual. La resta vectorial se ilustra en la figura 5.

3



~A ~-B~D= ~A− ~B

~B

Figura 5: Metodo del Triangulo

ADICION DE VECTORES: METODO ANALITICO

A.Componentes de un Vector

Los componentes rectangulares de un vector son las proyecciones de dicho vector en la direcciondel eje horizontal y eje vertical,entonces el vector se expresa como la suma de dos vectoresmutuamente perpendiculares. (Figura 6)

x

y

−→V

−→Vx

−→Vy

θ

Figura 6: Componentes rectangulares

Donde~V = ~Vx + ~Vy

Vx = V cosθVy = V senθ

El modulo o magnitud de un vector se puede expresar en funcion de sus componentes rectan-gulares. A partir del Teorema de Pitagoras el modulo del vector sera:

|−→V| =

√V 2x + V 2

y

Y la direccion del vector la encontramos de la siguiente manera:

θ = tan−1(VyVx

)

4



EJEMPLOMetodo de ComponentesEncontrar el vector resultante ~F de la suma de ~F1 y ~F2.

−x x

y

−y

~F1

θ1

~F2

θ2

~F1 = 108N, 37◦

~F2 = 85N, 60◦

~F = ~F1 + ~F2

1. El primer paso para calcular el vector resultante sera el calculo de los componente de cadavector, aplicando nuestros conocimientos de trignometrıa.

F1x = F1cosθF1y = F1senθ

F1x = (108N)cos37◦ = 86.25NF1y = (108N)sen37◦ = 64.99N

F2x = F2cosθF2y = F2senθ

F2x = (85N)cos60◦ = (−)42.5NF2y = (85N)sen60◦ = (−)73.61N

*Como el vector ~F2 esta en el III cuadrante, sus componentes en x y y seran negativos. Al hacer el calculocon el angulo respecto al eje x negativo, obtenemos valores positivos por lo que debemos aplicar signosnegativos a nuestras respuestas. Otra opcion es usar el angulo de referencia desde el eje x postivo. Paraeste caso es 60◦ + 180◦ = 240◦.Es de importacia que nuestros componentes tengan los signos correctos, ya que el siguiente paso seracalcular una suma de componentes. Sino es ası, estaremos acarreando un error hasta nuestra respuesta final.

2.Calculamos sumatorias de componentes en x y y.∑Fx = F1x + F2x∑Fy = F1y + F2y

∑Fx = 86.25N + (−42.5) = 43.75N∑Fy = 64.99N + (−73.61) = −8.62N

*Si tuvieramos mas vectores para sumar, agregamos los componentes de ese vector a las sumas igualmente.

3.Usando el Teorema de Pitagoras, anteriormente descrito, calculamos la magnitud del vectorresultante.

|~F| =√

(∑Fx)2 + (

∑Fy)2 |~F| =

√(43.75)2 + (−8.62)2 = 44.61N

5



4. Para completar la definicion de un vector, que debe tener magnitud y direccion, calculamosel angulo.

θ = tan−1(Fy

Fx

)θ = tan−1

(−8.62

43.75

)= −11.15◦

5. Respuesta Final

~F = 44.61N∠− 11.15◦

*Si resolvemos el ejercicio usando metodos graficos y la escala adecuada, obtendremosvalores muy cercanos al obtenido con el metodo de los componentes.*El signo que resulte en los vectores de las sumas de los componentes, en este caso,∑

Fx = 43.75 y∑

Fy = −8.62, nos indican que el vector resultante esta localizado en elcuadrante donde +x y −y, osea en el cuarto cuadrante.

NOTACION VECTORIAL

Otra forma de representar vectores es con los vectores unitarios. Comunmente, los nombramoscomo i, j y k. Ellos son paralelos a los ejes x, y y z, respectivamente, como se muestra en lafigura.

x

y

z

~v~vvzk

vxi

vy j

i

k

j

El vector ~v entonces puede serrepresentado por medio de losvectores unitarios que denotan ladireccion de sus componentes de lasiguiente manera:

~v = vxi + vy j + vzk

Para la adicion de vectores usando esta notacion solo se suman los componentes que van enla misma direccion.Por ejemplo, si tenemos los vectores

~A = Axi + Ay j + Azk~B = Bxi + By j + Bzk

La adicion de los vectores ~A y ~B podemos escribirla:~A + ~B = (Axi + Ay j + Azk) + (Bxi + By j + Bzk)

= (Ax + Bx)i + (Ay + By )j + (Az + Bz)k

6



PRODUCTO PUNTO O PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar o producto punto de dos vectores ~A y ~B es un escalar que esta dado por:

~A · ~B = AB cos θ

donde θ es el angulo entre ~A y ~B, y 0 ≤ θ ≥ π

La condicion de perpendicularidad , θ =π

2se expresa: ~A · ~B = 0

Propiedades del Producto Escalar

1. ~A · ~B = ~B · ~A........................Ley Conmutativa

2. ~A · (~B + ~C) = ~A · ~B + ~A · ~C.........Ley Distributiva

3. (m~A) · ~B = ~A · (m~B) = m(~A · ~B) donde m es un escalar cualquiera.

4. ~A · ~A = A2

Los productos escalares entre los vectores unitarios i, j y k son:

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = j · k = i · k = 0

Ejemplo

~A = 3i− 5j + 2k~B = −12i + j− 8k

~A · ~B = (3)(−12)(i · i) + (−5)(1)(j · j) + (2)(−8)(k · k)

~A · ~B = −36− 5− 16

~A · ~B = −57

*Con este resultado comprobamos que al hacer el producto punto de dos vectores obtenemos unescalar.

7



PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ

El productor vectorial o cruz de dos vectores ~A y ~B, llamado a veces producto externo de dosvectores es otro vector dado por :

~A× ~B = AB sen θ u

donde θ es el angulo entre ~A y ~B, 0 ≤ θ ≥ π y u es un vector unitario, tal que u ⊥ ~A , u ⊥ ~B.

La magnitud del producto vectorial esta dada por:|~A× ~B| = ABsenθ

Propiedades del Producto Cruz

1. ~A× ~B = −~B× ~A .......Ley Anticonmutativa

2. ~A× (~B + ~C) = ~A× ~B + ~A× ~C....... Ley Distributiva

3. (m~A)× ~B = ~A× (m~B) = m(~A× ~B)

4. ~A× ~A = 0

5. i× j = k, j× k = i, k× i = j

Expresando los vectores por medio de los vectores unitarios i, j y k en las direcciones de x, yy z, entonces el producto vectorial se expresa de la siguiente manera:

~A× ~B = (AyBz −AzBy )i + (AzBx −AxBz )j + (AxBy −AyBx)k

En forma mas compacta, podemos calcular el producto cruz de dos vectores mediante el desa-rrollo del determinante de una matriz 3 x 3.

~A× ~B =

i j kAx Ay Az

Bx By Bz

=

[Ay Az

By Bz

]i−[Ax Az

Bx Bz

]j +

[Ax Ay

Bx By

]k

EjemploCalcule el producto vectorial de los vectores ~C = (2, 0,−1) y ~D = (5, 3,−2).

Los vectores se pueden escribir como~C = 2i− k~D = 5i + 3j− 2kEl producto cruz de ellos entonces es:

~C× ~D =

i j k2 0 −15 3 −2

=

[0 −13 −2

]i−[2 −15 −2

]j +

[2 05 3

]k

8



= i[(0)(−2)− (3)(−1)]− j[(−2)(2)− (−1)(5)] + k[(2)(3)− (5)(0)]

=3i− j + 6k

*Con este resultado comprobamos que al hacer el producto cruz de dos vectores obtenemos otrovector.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

Como experimento de esta practica se analizaran las fuerzas concurrentes. Una fuerza es unacantidad vectorial, es decir, tiene magnitud y direccion. Un sistema de fuerzas que pasa atraves de un mismo punto se conoce como ”sistema de fuerzas concurrentes”. Dicho sistemapuede ser reemplazado por una sola fuerza a traves del mismo punto, la cual tendra el mismoefecto que el sistema de fuerzas. Esta fuerza se conoce como la resultante del sistema. Asımismo, un sistema de fuerzas concurrentes puede ser balanceado exactamente por una solafuerza llamada equilibrante. Su linea de accion pasa tambien por el punto de concurrencia.

Resultante~A

~BEquilibrante

Figura 7: Sistema de fuerzas concurrentes

Fuerzas Concurrentes

1. Colgar en los hilos de la mesa dos masas de valores diferentes y ajustarlos a anguloselegidos arbitrariamente. Como se muestra en la figura 8.

Figura 8: Mesa de fuerzas con dos masas colgantes.

9



2. Sin mover las masas colocadas en el inciso uno, agregar una masa colgante en la tercerapolea y ajustar el angulo de esta de modo que el anillo quede centrado en el pin comose muestra en la figura 9.

Figura 9: Mesa de fuerzas equilibrada.

3. Anotar en la tabla 1 los valores de las tres fuerzas con sus angulos correspondientes.

F1(N)

F2(N)

E(N)

θ1(◦)

θ2(◦)

θE(◦)

Tabla 1

10



CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS

1. Usando una escala adecuada, transportador y regla representar en el plano cartesianolos vectores de la tabla 1.

2. Haciendo uso de los vectores ~F1 y ~F2 de la tabla 1, encontrar la magnitud y el angulodel vector equilibrante usando:

a. El metodo del triangulo

b. El metodo del paralelogramo

c. El metodo de las componentes

3. Considere los vectores:~A = 15∠40◦

~B = 20∠195◦

~C = 10∠− 10◦

a. Usando el metodo grafico calcular ~R = ~A− ~B + ~C.

b. Utilizando el metodo analıtico calcular ~R = ~A− ~B + ~C.

c. Expresar los vectores ~A, ~B, ~C utilizando los vectores unitarios.

d. Calcular ( ~A · ~B) · ~Ce. Calcular ( ~A× ~B)× ~C

11

Documents

VECTORES...2019/02/01 · Universidad Nacional Aut onoma de Honduras En el Valle de Sula UNAH-VS Departamento de F sica Experimento No.1 LF-100 B.M etodo del Pol gono Si la cantida