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LGEBRA Y GEOMETRA ANALTICA VECTORES EN R

2 Y R

3

Ing. Griselda Ballerini

2006

Segmentos orientados:

Dados dos puntos A y B, si uno es extremo y el otro origen, stos determinan un segmento

de recta dirigido que escribiremos, por ejemplo AB origen extremo

y representaremos con

B

A

Este segmento orientado recibe el nombre de vector AB.

Elementos de un vector:

direccin: dada por la recta sobre la que est aplicado.

sentido: dado por la cabeza de flecha que indica su extremo.

mdulo: medida del segmento, notacin | AB|

Definicin geomtrica de vector:

Se llama vector al conjunto de todos los segmentos orientados que conservan el mismo

mdulo, sentido y direccin que el dado por el segmento dirigido AB. Se los nombra con

letras minsculas de la forma u, v, w, etc.

B

A

u

Estos segmentos equivalentes al dado por AB representan al mismo vector, el que puede

trasladarse libremente en el plano o el espacio conservando los elementos del AB.

Trabajaremos siempre con vectores libres.

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Vector nulo:

Es aquel que tiene mdulo cero. Su representacin es un punto. Simbologa o

Operaciones con vectores:

Suma grfica

Fijada una unidad de medida (escala) y los vectores que se desean sumar, se elige un

origen arbitrario en el que se aplica el origen del primer vector, en el extremo de ste se

aplica el origen del segundo y as sucesivamente hasta completar la suma propuesta.

El vector suma es el que tiene como origen el origen del primer vector y como extremo el

extremo del ltimo.

v

1

escala u

v

u u+ v

o

Propiedades

1) u + v = v + u

2) u + v + w = (u + v) + w = u + (v + w)

3) u o / u + o = u 4) u - u / u + (-u) = o opuesto

De acuerdo a la propiedad 4, la diferencia entre vectores es la suma del primero ms el

opuesto del segundo.

Producto de un real por un vector

Dado u no nulo y real distinto de 0, se define as a otro vector que notaremos u que verifica:

direccin u = direccin de u sentido u igual al sentido de u si > 0 opuesto al sentido de u si < 0 mdulo u = | | | u | ( lo que se lee: valor absoluto de por el mdulo de u ).

3

Versor

Vector de mdulo unitario. Su notacin es uo, si el vector que lo origina se llama u.

Sistema cartesiano de referencia:

Para representar vectores en R1 (la recta), R

2 ( el plano) y R

3 ( el espacio) elegiremos un

sistema cartesiano con uno, dos o tres ejes respectivamente, mutuamente perpendiculares,

para el caso del plano y el espacio, en los cuales se fijarn como unidades de medida

versores ( vectores de mdulo 1), que llamaremos i , j y k orientados segn los semiejes

positivos respectivos.

R1 i x

o

Sistema coordenado { o , i }

i = ( 1)

y

j

i x

R2

Sistema coordenado { o , i , j }

i = ( 1,0)

j = ( 0,1)

R 3

z

k

i j y

x Sistema coordenado { o , i , j , k }

i = (1,0,0)

j = (0,1,0)

k = (0,0,1)

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Vector posicin

Todo vector que tenga su origen en el origen de coordenadas recibe el nombre de vector

posicin. Sus componentes coinciden con las coordenadas del punto extremo.

Sea A(xA , yA ) un punto del plano, formemos el vector OA tomando como origen el origen

de coordenadas.

y

A(xA , yA )

yA

j i x

xA

Recordando la suma grfica de vectores y el producto de un vector por un real tenemos:

* la coordenada xA de A, determina sobre el eje x un vector que podemos obtener

multiplicando xA veces el versor i y que escribimos como xA . i

* la coordenada yA de A, determina sobre el eje y un vector que podemos obtener

multiplicando yA veces el versor j y que escribimos como yA . j

entonces OA = xA i + yA j llamada notacin vectorial de OA

Como los versores de la base son fijos, OA queda determinado por el par ordenado de

reales ( xA , yA ) que corresponden a las coordenadas del punto extremo A.

Entonces OA = ( xA , yA )

componentes escalares

Con igual razonamiento si A (xA , yA , zA ) tenemos que

OA = xA i + yA j + zA k = ( xA , yA , zA )

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Componentes de un vector dado por dos puntos

Sea A (xA ,yA ) y B (xB ,yB ) dos puntos distintos de R 2

. Estos forman con el origen dos

vectores posicin: OA = (xA ,yA )

OB = (xB ,yB )

y A(xA ,yA )

j B(xB ,yB )

i x

En esta situacin queremos conocer las componentes de AB.

Por suma grfica de vectores OA + AB = OB AB = OB - OA

entonces AB = (xB ,yB ) - (xA ,yA )

En el espacio resulta

Observacin:

Las componentes de un vector dado por dos puntos se obtienen restando a las coordenadas

del punto extremo las correspondientes del punto origen.

Ejemplo:

A(2,-1,3) B(-2,5,-7)

AB = [-2-2, 5-(-1), -7-3] = (-4,6,-10)

BA = [2-(-2), -1-5, 3-(-7)] = (4,-6,10)

Versores de un vector

Propiedad: Dado un vector u , no nulo, existen dos versores de u, uno de igual sentido y

otro de sentido opuesto al de u, que notaremos u0 y -u0 respectivamente, tales que

uu

u0

AB = [ (xB - xA ) , (yB - yA )]

A B = [ (xB - xA ) , (yB - yA ) , (zB - zA ) ]

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Sea u perteneciente al espacio, u = (u1,u2,u3)

Si u no nulo | u | > 0 1

uu. es otro vector de igual sentido que u (1)

tenemos que probar que este nuevo vector tiene mdulo unitario. Calculamos

11

uu

u

u. (2)

de (1) y (2) uu

u0 adems como u = (u1,u2,u3) tenemos que u

u

u

u

u

u

u01 2 3

, , ,

donde u

ui

son cada una de las componentes del versor.

Luego - u0 , el versor opuesto ser

u

u

u

u

u

u

u01 2 3

, ,

Suma analtica de vectores:

Dados los vectores u = u1 i + u2 j + u3 k y v = v1 i + v2 j + v3 k queremos encontrar el vector suma de ambos en forma analtica:

u + v = (u1 i + u2 j + u3 k) + (v1 i + v2 j + v3 k) agrupando componentes se tiene:

u + v = ( u1 + v1) i + ( u2 + v2 ) j + ( u3 + v3 ) k

Por lo tanto para sumar vectores en forma analtica se suman las componentes homlogas.

Si los vectores son dados por sus componentes escalares:

u + v = ( u1 + v1 , u2 + v2 , u3 + v3 )

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Ejemplo:

Dados u = (3,-5,9) y v = -4 i + 7 j - 6 k hallar el vector suma (u + v) y el vector

diferencia ( u - v )

u + v = ( 3,-5,9) + ( -4,7,-6) = (-1,2,3)

u - v = ( 3,-5,9) - ( -4,7,-6) = ( 7,2,15)

Producto de un real por un vector en forma analtica:

Dado u = u1 i + u2 j + u3 k y el real a con a 0 el producto entre a y u es:

a u = a ( u1 i + u2 j + u3 k ) = a u1 i + a u2 j + a u3 k

Para multiplicar en forma analtica un real por un vector se multiplica el real por cada

una de las componentes del vector

Si el vector est dado por sus componentes escalares:

a u = a ( u1, u2, u3 ) = ( a u1, a u2, a u3 )

Ejemplo:

Dado a = -6 y u = ( 8,-3,6 ), obtener las componentes de: a u

a u = -6 (8,-3,6 ) = ( -48,18,-36)

Producto escalar

Definicin: Dados dos vectores en cualquier dimensin, u y v se llama producto escalar

al NMERO que se obtiene de multiplicar el mdulo del primero por el mdulo del

segundo por el coseno del ngulo que forman los vectores dados. Usaremos el punto (.)

para indicar este producto: u . v

Matemticamente:

Se prueba que si u =(u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3) entonces se obtiene la expresin del

producto escalar por componentes.

u . v = | u | | v | cos(u,v)

u . v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3

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ngulo entre dos vectores: Es el ngulo convexo por ellos determinado. Notacin: ( u , v )

u

u

v

v

Propiedades del producto escalar

1- u . v = v . u

2- u . v = ( u . v )

3- ( u + v ) . w = u . w + v . w

4- Si u es no nulo entonces u . u > 0 Demostracin en R

3.

Sea u =(u1,u2,u3) entonces u . u = |u| |u| cos(u,u) = |u| 2 cos(0) = |u|

2 > 0 (1)

1

y adems u . u = u1 u1 + u2 u2 + u3 u3 = u12 + u2

2 + u3

2 (2)

de (1) y (2) |u| 2 = u1

2 + u2

2 + u3

2

Con esta expresin encontramos la forma de clculo del mdulo de un vector.

u u u u 1 2 32 2 2

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5- u . v u = o v = o Demostracin:

Si u o y v o , u . v = |u| |v| cos(u,v) = 0 > 0

> 0

Para veificar la igualdad, debe ser cos(u,v) = 0 (u,v) = /2 u v

La condicin necesaria y suficiente de perpendicularidad entre vectores es que sea nulo su

producto escalar.

6- Dos vectores son paralelos si forman un ngulo de 0 , entonces si u // v existe un real y no nulo tal que se verifique la condicin de paralelismo:

Proyeccin de un vector sobre otro

Dado u y v no paralelos y no nulos, siempre pueden llevarse a un origen comn y obtener

alguna de las siguientes situaciones:

( A ) ( B ) ( C )

u u u

v0

v0 u v u v0 v 0 u v

Por el extremo de u , en todos los casos se puede trazar una perpendicular a la recta de

accin de v , para obtener en la misma otro vector llamado vector proyeccin de u / v,

que notaremos u. Si consideramos el versor de v de igual sentido que v, ( v0) , podemos escribir:

u = v

u = u v0 (*)

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u recibe el nombre de proyeccin de u / v y es el nmero por el que hay que multiplicar al versor v0 para obtener u. De los grficos y de la ltima expresin:

u > 0 (u,v) < /2 (A)

u < 0 (u,v) > /2 (B)

u = 0 (u,v) = /2 (C) Por otra parte, de grficos resulta que en todos los casos:

Recordando la definicin de producto escalar: u . v = |v| |u| cos(u,v)

u

entonces u . v = |v| u

Reemplazando (**) en (*) tenemos:

u = ( u . v ) v0 pero v0 = v entonces: |v| |v|

Cosenos directores de un vector

Son los cosenos de los ngulos que el vector forma con cada uno de los versores de la base.

Dado u en R 3 llamaremos :

1 = cos( u , i ) --> primer coseno director de u

2 = cos( u , j ) --> segundo coseno director de u

3 = cos( u , k ) --> tercer coseno director de u

u = |u| cos(u,v)

u = u . v (**) |v|

u = ( u . v ) v |v|

2

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Si el vector pertenece a R 2

solamente tendremos dos cosenos directores

Propiedades de la proyeccin

1- Las componentes de un vector son las proyecciones del mismo sobre cada uno de los

ejes coordenados

Demostracin en R2

y Sea u = (u1,u2) u2 u1 = proyeccin u / i = | u | cos( u , i ) = | u | 1 u u2 = proyeccin u / j = | u | cos( u , j ) = | u | 2 j

x

i u1

Si u = (u1,u2,u3) ser u1 = | u | 1

u2 = | u | 2

u3 = | u | 3

2- Los cosenos directores de un vector son las componentes del versor que tiene igual

sentido que el vector dado.

Demostracin en R 3

Dado u = (u1,u2,u3), de la propiedad anterior podemos escribir:

u = ( | u | 1 , | u | 2 , | u | 3 ) = | u | ( 1 , 2 , 3 )

pero u0 = u u0 = | u | ( 1 , 2 , 3 ) u0 = ( 1 , 2 , 3 ) |u| | u |

Propiedad de los cosenos directores

Si u0 = ( 1 , 2 , 3 ) y | u0 | = 1 entonces deber ser:

Si esta propiedad no se verifica, entonces, el vector no existe.

1 2 + 2

2 + 3

2 = 1

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Ejemplo:

Probar si existe un vector de mdulo igual a 5 que forme con los ejes coordenados ngulos

de /6 , /3 y 2 /3 respectivamente.

Sea u = ( u1,u2,u3 ) el vector cuyas componentes queremos hallar.

Por lo visto anteriormente ser: u1 = | u | 1 = 5 cos( /6) = 5 3 /2 u2 = | u | 2 = 5 cos( /3) = 5/2 u3 = | u | 3 = 5 cos(2 /3) = -5/2

De acuerdo a estos resultados tendramos un cierto vector u= (5 3 /2, 5/2, -5/2) pero, se verifica la propiedad de los cosenos directores?

1 2

+ 2 2

+ 3 2

= 3/4 + 1/4 + 1/4 1 entonces tal vector no existe.

Problema para ejercitar conceptos

Dados u = (2,-1,3) y v = (1,-1,1) hallar:

a) u . v

b) w perpendicular a u

c) (u,v)

d) | u | y | v |

e) cosenos directores de u y v

f) vector proyeccin de u / v

g) proyeccin de v / u

Producto vectorial

Definicin: Dados dos vectores u y v , en R 3 , se define como producto vectorial entre u

y v producto cruz entre u y v , que notaremos: u v a otro VECTOR que verifica:

direccin de u v: perpendicular al plano determinado por u y v.

sentido de u v: depende de la orientacin de la terna u , v , u v. u v u v v u

u v

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La orientacin de la terna ( u, v, u v) es opuesta a la ( v, u, v u) luego, los

vectores u v y v u sern opuestos.

mdulo de u v: | u v | = | u | | v | sen(u , v) Propiedades

1- u v v u el producto vectorial no es conmutativo.

2- u v = - ( v u )

3- u v = ( u v )

4- u v = o u = o v = o Demostracin

Si u o y v o entonces | u v | = | u | | v | sen(u , v) = 0 > 0 > 0

para verificar la igualdad deber ser sen(u , v) = 0 ( u , v ) = 0 ( u , v ) = u // v

Clculo del vector producto vectorial

Dado u = (u1,u2,u3) y v = (v1,v2,v3) se prueba que el vector producto vectorial u v es:

u v u v u v u v u v u v u v 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1, ,

lo que equivale en forma prctica a colocar los vectores por sus componentes formando

dos filas y obtener las componentes del vector producto vectorial efectuando para cada

componente la diferencia de los siguientes productos:

u1 u2 u3

v1 v2 v3

Para la primera componente del vector producto vectorial se tapa la primera columna del esquema anterior y se resuelve la diferencia del producto cruzado

u1 u2 u3 u2v3 - u3v2

v1 v2 v3

De aqu la condicin necesaria y suficiente de paralelismo de dos vectores en el espacio es

que | u v | = 0 u v = o.

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Para la segunda, se tapa la segunda columna del esquema, se resuelve la diferencia del

producto cruzado y se coloca como resultado el opuesto del obtenido

u1 .... u3 - ( u1v3 - u3v1 )

v1 .... v3

Para la tercera se tapa la tercera columna y se procede como en la primera.

u1 u2 u3 u1v2 - u2v1

v1 v2 v3

Observacin:

Esta mecnica de trabajo tiene que ver con la teora de determinantes, tema que

oportunamente se desarrollar.

Ejemplo:

Hallar u v y v u siendo u = (2,-1,3) y v = (-4,7,-1)

Procediendo de la forma indicada tenemos

u v = [ ( ( -1).(-1) - 3.7) , - ( 2.(-1) - 3.(-4) ) , 2.7 - (-1).(-4) ] = ( -20 , -10 , 10 )

El producto vectorial v u = (20,10,-10)

Interpretacin geomtrica del mdulo del producto vectorial

El mdulo del vector producto vectorial es numricamente igual al rea del paralelogramo

que tiene por aristas los vectores dados.

Demostracin:

Sea u y v dos vectores no paralelos de R 3.

u

h

v

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Si pensamos que u y v determinan un paralelogramo tenemos:

rea paralelogramo = b . h (1)

pero b = | v | y h = | u | sen(u , v), entonces sustituyendo en (1) por sus iguales:

rea paralelogramo = | v | | u | sen(u , v) = | u v | Ejemplo:

Calcular el rea del paralelogramo que tiene por diagonales los vectores

u = (-1,2,3) y v = (2,1,-1)

Grficamente

a v u

b Por suma grfica de vectores

a + b = u (1)

-a + b = v

2 b = u + v b = u + v 2

b = (-1,2,3) + (2,1,-1) = (1/2,3/2,1)

2

en (1) a = u - b = (-1,2,3) - (1/2,3/2,1) = (-3/2,1/2,2)

rea paralelogramo = | a b | = | ( -5/2,5/2,-5/2) | = 5 3 /2

Producto mixto o triple producto escalar

Dado tres vectores en R 3 , u , v , w se llama as al NMERO que se obtiene de multiplicar

escalarmente uno de los vectores por el vector producto vectorial de los otros dos.

Notacin: u . ( v w )

Recordar: en este producto primero debe efectuarse el producto vectorial y luego el

escalar, de otra forma se pretendera efectuar el producto vectorial entre un nmero y un

vector.

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Ejemplo:

Hallar el producto mixto entre los vectores u = ( 3,-2,7), v = ( 2,4,-1) y w = ( 1,5,2)

Planteamos u . ( v w ) Efectuamos el producto vectorial v w de la forma ya aprendida 2 4 -1

1 5 2 v w = ( 13,-5,6 ) luego el producto escalar (3,-2,7) . (13,-5,6) = 39 + 10 + 42 = 91

Propiedades

1- u . ( v w ) = ( u v ) . w Esta propiedad indica que mientras se mantenga el orden de los vectores pueden

intercambiarse los productos.

2- El valor absoluto del producto mixto de tres vectores no nulos es numricamente igual al

volumen del paraleleppedo que tiene por aristas los vectores dados.

Demostracin

u v

w

h

v

u

volumen paraleleppedo = superficie de la base . altura (**)

sup. base = | u v |

altura (h) = | proyeccin de w / (u v) | (*)

Recordando producto escalar: w . (u v) = | u v | | w | cos(u v , w)

proyeccin w/(u v)

entonces en (*) hw u v

u v

. ( )

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reemplazando en (**) por sus iguales:

volumen paraleleppedo = u vw u v

u vw u v

. . (

( ))

3- Si los tres vectores son coplanares entonces su producto mixto es 0.

Ejemplo:

Sabiendo que los puntos A(1,2,-1), B(2,-1,3), C(0,1,-2) y D(2,0,3) determinan un tetraedro,

a) calcular su volumen

b) calcular la altura correspondiente al vrtice D.

La condicin necesaria y suficiente de coplanaridad de tres vectores es la nulidad de su

producto mixto: u . ( v w ) = 0