Definicin geomtrica

Vector: Segmento orientado

Elementos

Direccin Sentido Mdulo

Definicin algebraica: Vector en

funcin de sus componentes

kcjbiacba

c

b

a

v

),,(

jbiabab

av

),(

y

z

x

Mdulo de un vector

2

1

a

aa

aaa

a

2

22

1

||

||2

aa

3

2

1

a

a

a

a

aaa

a

2

2

3

22

1

||

||2

aaa

Vector definido por dos puntos

12

12

21yy

xxPP);( 111 yxP );( 222 yxP

12

12

12

21

zz

yy

xx

PPEn el espacio

En el plano

Direccin de un vector en R2

El ngulo medido en radianes que forma

el vector con el semieje positivo de

abscisas.

20

a

bba tan,v Sea

Operaciones con vectores

Adicin

Sustraccin

Multiplicacin por un escalar

Operaciones con vectores en

funcin de sus componentes Adicin:

Sustraccin:

3

2

1

3

2

1

y

b

b

b

b

a

a

a

aDados

33

22

11

:es diferencia vector el ,

ba

ba

ba

s

,

3

2

1

3

2

1

y

b

b

b

b

a

a

a

aDados

33

22

11

:es suma vector el ,

ba

ba

ba

s

Operaciones con vectores en

funcin de sus componentes

Multiplicacin por un escalar:

resulta , 2

1

a

aaDado

2

1

a

aa

ngulos directores y cosenos

directores de un vector

coscos 11

aa

a

a

coscos 22

aa

a

a

coscos 33

aa

a

a

Propiedad

1coscoscos 222

Expresin de un vector en funcin

de sus cosenos directores

cos

cos

cos

aa

Consecuencia: Vector unitario de igual direccin y

sentido que un vector dado

ngulo de dos vectores

Sean u y v dos vectores diferentes de cero.

Entonces el ngulo entre u y v est

definido como el ngulo no negativo ms

pequeo entre las representaciones de u

y v que tienen el origen como punto inicial.

ngulo de dos vectores

uvuvuv

uvuvuv

2

222

cos...2

pero

vu

vu

.

arccos

v

-uv-u

Condicin de paralelismo

Condicin de perpendicularidad

v

u

v

u

v

u

v

u

3

3

2

2

1

1

0... 332211 uvuvuv

Teorema

Sea v un vector diferente de cero. Entonces

para cualquier otro vector u el vector

es ortogonal a v

vv

vuuw

2

Producto escalar

Proyeccin: Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyeccin de u sobre v, est definida por:

La componente de u en la direccin de v es el escalar:

cos..

vuvu

vv

vuuv

2proy

2v

vu

Producto vectorial o producto cruz

Encontrar que resulte perpendicular

a los vectores

z

y

x

x

3

2

1

3

2

1

y

b

b

b

b

a

a

a

a

ba

bbb

aaa

kji

ba

321

321

Mdulo del producto vectorial

sen..

bac

Significado geomtrico del mdulo del producto

vectorial

El mdulo del

producto vectorial ,

es numricamente

igual al rea del

paralelogramo que

tiene por lados a

ba y

ba

b

a

h

Propiedades del Producto Vectorial

abba

bababa ...

cabacba

baba//

Producto Mixto

cos

cbacba

cb

b

ca

Interpretacin Geomtrica

Producto Mixto en funcin de las

componentes de los vectores

321

321

321

ccc

bbb

aaa

cba

Volumen de un paraleleppedo

conocidos cuatro de sus vrtices

ADACABV

1

1

1

1

321

321

321

321

ddd

ccc

bbb

aaa

V