VECTORES

Un vector V, se representa como un segmento dirigido con origen o punto de aplicación en A y extremo o punto terminal en B. Se representa por AB, siendo los extremos A y BLos puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente.Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina

A (origen) B

(extremo)

B (origen)

A (extremo)

AB

BA

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTORLas características de un vector son cuatro:

MÓDULO

DIRECCIÓN

SENTIDO

PUNTO DE APLICACIÓN

MÓDULO

El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo está determinado por un vector unidad u.

3 cm

DIRECCIÓNLa DIRECCIÓN es la recta que lo contiene. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

45º

- 100º = 260º

120º

- 30º = 330º

SENTIDOEl SENTIDO indica hacia dónde va dirigido el vector. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

45º

Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente

Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

PUNTO DE APLICACIÓNEl PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.

Luna Tierra,F

TierraLuna,F

FLuna, Tierra = FTierra, Luna

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

Suma de vectores(método del triángulo)

A B

A

R R = A+ B

B

Suma de vectores(método del paralelogramo)

A B

A

B

A

B

R R = A+ B

Suma de Vectores:

Paralelogramo. Si deseamos sumar dos vectores, una vez dibujados coincidiendo con el origen, por el extremo de cada vector trazamos una paralela al otro. Ambas paralelas se cortan en un punto. El vector cuyo punto de aplicación coincide con el de los vectores sumandos y cuyo extremo es el que termina en el punto de corte de las paralelas es el vector suma

B

A

A B C

Hallar: A + B + C + D

A B C

R

Suma de vectores(método del polígono)

Dados :

D

AB

C

D

= A + B+ C+ D

Suma de Vectores:

Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se desean sumar varios vectores a la vez. En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se coloca el punto de aplicación del tercero y así hasta terminar de dibujar todos los vectores. El vector resultante es el que se obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del último

Suma de Vectores:

Analíticamente, se suman las componentes.A = (0, 5)B = (5, 4)

A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

Resta de Vectores:

La resta se realiza en forma análoga a la suma

Resta de Vectores:

Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí.A = (7, 2)B = (5, 4)

A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

Conmutativaa + b = b + aAsociativa(a + b) + c = a + (b + c)Elemento neutro o vector 0a + 0 = 0 + a = aElemento simétrico u opuesto a'a + a' = a' + a = 0a' = -a

Propiedades de la suma de Vectores:

Producto de Vectores:

El producto escalar de dos vectores no es otro vector sino un número. Se determina multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a componente y sumando los resultados. Por ejemplo:

(-3,2) x (5,1) = ((-3) x5) +(2x1) = -15+2 = -13

Propiedades de la suma de Vectores:

ConmutativaA * b = b * aAsociativa(a + b) * c = a * (b + c)

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

ө

A

Ax

Ay

Sen ө = Ay

A

Cos ө = Ax A

Ay

B = 5 u

A = 3 u

30º50ºAx

Ay

Bx

By

Ax = A Cos 30º Ay = A Sen 30º Bx = -B Cos 50º By = B Sen 50º

= (3 u)(0.86) = 2.58 u= (3 u)(0.5) = 1.5 u= (5 u)(0.64) = - 3.21 u

= (5 u)(0.76) = 3.83 u

∑ Vx = Ax + Bx

∑ Vy = Ay + By

∑ Vx = (2.58 u)+ (-3.21 u)

∑ Vy = (1.5 u) + (3.83 u)

R2 = (∑ Vx)2

+ (∑ Vy)2

R2 = (-0.63)2 + (5.33)2

∑ Vx = - 0.63

∑ Vy = 5.33 u

R2 = 0.39 + 28.4

R = 5.36R2 = 28.79

SUMA DE VECTORES POR COMPONENTES RECTANGULARES

45º 40º30º

7u6u

5u

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

F

N 3.613 3 2F F F 222y

2x

En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos usando coordenadas cartesianas:

y

x1 2 3 4 5 6

54321

(2,3) F

1F

y

x1 2 3 4 5 6

54321

2F

(2,3) F1

(4,1) F2

1.523

FF tg

x

y

)F,F( F yx

xF

yF

(2,0) Fx

(0,3) Fy

56.3º 1.5 arctg

Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:

R

(4,1) (2,3) R

21 FF R

(6,4) R

0.6764 tg 33.7º 0.67 arctg

N 7.252 46F F F 222y

2x