vectores-problemas-100208110134-phpapp02

8/3/2019 vectores-problemas-100208110134-phpapp02

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PROBLEMAS RESUELTOSSUMA DE VECTORES METODO GEOMTRICO

1. Los vectores mostrados en la figuratienen la misma magnitud(10 unidades)

El vector (b+c) + (d+a) - 2c, es de magnitud:

a) 0b) 20c) 10d) 20 2 e) 10 2

Solucin:

Este es un problema de aplicacin del mtodo del polgono. Proceda primeramente aencontrar el vector ( b + c), haga lo mismo con el vector (d + a).

Notar usted observando el grfico, que el vector ( b + c) tiene la misma magnitud del

vector ( d + a), pero direccin contraria, por tanto:(b + c) + (d + a) = 0En consecuencia, el resultado de la operacin (b + c) + (d + a) - 2c = -2c.

Si el vector ctiene 10 unidades de magnitud, entonces el vector2ctendr

20 unidades

Florencio Pinela C.

a

c

d

b

b

c

a

db+c d+a


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2. Si el ngulo con el que un objeto rebota es el mismo con el que incide,

con respecto a un eje perpendicular a la superficie de impacto. Cul de los

siguientes vectores representara mejor al vector V2 - V1?, donde V2 es lavelocidad con que rebota de la superficie II.

II

I

a) b) c) d) cero e)

Solucin: V2

II

I

Para poder realizar la diferencia entre los dos vectores, necesitamos conocer la

magnitud y direccin del vector velocidad con que el objeto rebota de la segunda pared.Tracemos entonces la trayectoria del objeto luego de rebotar de las dos superficies,

como se indica en el grfico superior. Una vez obtenido el vector V2, la velocidad conque rebota de la segunda pared,podemos obtener la diferencia entre ellos.Recordemos que la diferencia de dos vectores es equivalente a la suma de uno de elloscon el negativo del otro

Florencio Pinela C.

V1

V1


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Al realizar la diferencia entre el vector V2 y el vector V1 por el mtodo geomtrico, tenemos:

-V1

La respuesta se aproxima a la alternativa C

3. Los vectores A, B y C se muestran en la figura, cuyas magnitudes son 10unidades, 15 unidades y 20 unidades respectivamente. El vector ABC es:

a) 5 unidades dirigido hacia la derechab) 25 unidades dirigido hacia la izquierdac) 15 unidades dirigido hacia la derechad) 40 unidades dirigido hacia la derechae) 5 unidades dirigido hacia la izquierdaSolucin:

Realicemos la operacin utilizando el mtodo del polgono, unamos el extremo de un

vector con el origen del otro (de acuerdo a la operacin que nos estn pidiendorealizar), el vectorC lo ubicamos ligeramente debajo para que no oculte a los otros

vectores en el diagrama, el vector resultante es el que se dirige desde el origen del

primero al extremo del ltimo

15 10

-B A

-C

20

Sera un vector de 5 unidades dirigido a la izquierda

Florencio Pinela C.

AC B

V + -V =V


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4. Para los vectores mostrados en la figura. Cul de las siguientes alternativas

es la correcta?

a) j + g - c = a + 2eb)

b + f- i =j + h - ac) a + b + c = 2g

d) a + b + d + e = f+ h + ie) b + f+ i = a +j + h

Solucin:

Tomemos una de las alternativas mltiples para ilustrar la aplicacin del mtodo del polgono a este problema, escojamos la alternativa a) j + g - c = a + 2e, podemoscomenzar pasando el vectorc al lado derecho de la igualdad

j + g = a + 2e + cComprobemos grficamente si el vector (j + g) es igual al vector (a + 2e + c)

Como podemos observar en los grficos estos vectores no son iguales, en consecuencia

la alternativa a) no es correcta, a continuacin mostramos el desarrollo de laalternativa verdadera.

c

g

b

ga

Florencio Pinela C.

La alternativa correctaes la C

g(j +g)

j

c

a2e

(a+2e+c)


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PROBLEMAS PROPUESTOSSUMA DE VECTORES METODO GRAFICO

1. Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado en la figura tienen una magnitudde 10 unidades. La resultante de la suma de los cinco vectores es:

a) 10 2 b) 20c) 10d) 5 2 e) 5

2. Para el conjunto de vectores mostrado en la figura, el vector D que equilibra (que alsumarse da una resultante nula) al conjunto de vectores es:

a) 2i4jb) 2i + 4jc) 2i + 4jd) 2i4je) 2i + 2j

3. En el tringulo issceles OAB, los lados OA y OB son iguales, y M es el punto mediodel lado AB. Cul de las siguientes alternativas es correcta?

a) m = a + bb) m = (a + b)c) m = (a - b)d)

a + b + m = 0e) m ( b - a ) = 0

A

BC

4 u

4 u

2 u

A M

B

a m b

O


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4. Para los vectores dados en la figura, la alternativa correcta es:

a) a + e + j = c a b

b) c + h + f = a + b

c) e + j = c + a c d e f

d) b + d -f -j = 0

e) c + h + f = b - a j

5. Los vectores mostrados en la figura estn inscritos en una circunferencia de radio R.

La magnitud de la resultante de la suma de los cinco vectores es:

a) R dimetrob) 2Rc) 3Rd) 4Re) 5R

6. Sean los vectores A y B; el vector A tiene 10 unidades de magnitud. El vector

AB es perpendicular al vector A y tiene 15 unidades de magnitud. La magnitud del vector B es

a) 18.0b) 16.0c) 13.0d) 11.2e) 8.0

h


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PROBLEMAS RESUELTOSSUMA DE VECTORES METODO ANALTICO: LEY DEL

SENO, LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIN

VECTORIAL

1. Dos vectores a y b tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si laresultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el nguloentre los vectores es

a) 75,5b) 70,0c) 65,5d) 60,0e) 55,5Solucin:En este problema disponemos de las magnitudes de los dos vectores componentes y dela resultante de la suma de ellos. Un problema tpico de aplicacin de la ley del coseno.

Recuerde que la ley del coseno relaciona las magnitudes de los vectores componentes y

de la resultante, a s como del ngulo formado entre los vectores componentes.Llamemos c al vector resultante de la suma de los vectores a y b

bac

De la ley del coseno

C2 = a2 + b2 + 2ab cos

representa el ngulo formado entre los dos vectores ay b unidos por su origen.

ab

bac

2)cos(

222

15*10*2

151020)cos(

222

25.0)cos(

= 75,5

Florencio Pinela C.


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a x

z

2. Para el paraleleppedo de la figura, determine el ngulo formado entre los

vectores a y b.

a) 45,0

b) 48,2

c) 50,2d) 53,8

e) 55,2

Solucin:

Apliquemos nuevamente la ley del coseno para encontrar el ngulo entre los vectores.

Aqu necesitamos conocer las magnitudes de los vectores a y by de la resultante de lasuma de ellos. Con los valores de los lados del paraleleppedo obtenemos los vectores ay b en funcin de sus componentes rectangulares, una vez determinados a y b pasamos

a calcular la resultante de la suma de los dos, digamos el vector c; (c = a + b).

a = 6j4k a2 = 62 +42 a = 22 46 = 7,21

b = 5i + 6j b2 = 52 + 62 b = 22 65 = 7,81

Llamamos c al vector (a + b) = 5i + 12j4k c = 222 4125 = 13,60Utilizando la ley del coseno

C2

= a2

+ b2

+ 2ab cos

Despejando el coseno de y reemplazando los mdulos de los vectores a,b y c

Cos = (185-52-61)/112,62

Cos = 0,64

Por tanto es igual a 50,2

Florencio Pinela C.

b

6

4

5

y


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3. Para los vectores mostrados en la figura, el vector que representa la

operacin: a - b/2 es

y

6a) 6 i - 9j + 12 k

b) 3 i + 12j +6 kc) 6i - 9j + 4 kd) 4 i + 8j +12 k b

4x

e) 8 i + 5j + 10 ka

8z

Solucin:Los vectores a y b se encuentran dentro del paraleleppedo, observando el origen y el

extremo de cada uno de ellos podemos determinar sus componentes rectangulares (las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes coordenados), por ejemplo: la

componente sobre el eje y del vector a vale 6 y apunta en direccin negativa (-j).Para determinar las componentes sobre los ejes x y z, proyectemos el vector sobre

el plano x-z, seguidamente podemos observar que la componente sobre el eje x vale 4 y apunta en la direccin +i, y la componente sobre el eje z vale 8 y apunta en ladireccin +k. De esta manera podemos escribir los vectores:

a = 4i6j +8kb = -4i +6j +8k

El vector b/2 lo obtenemos dividiendo cada uno de los mdulos de sus componentespara 2 b/2 = -2i +3j +4k

Por tanto (ab/2) = 4i6j +8k +2i3j4k

ab/2 = 6i9j +4k la respuesta es la c

4. Para el problema anterior, el ngulo formado entre los vectores ay b es

a) 128 b) 84

c) 56

d) 48

e) 38

Florencio Pinela C.


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Solucin:

Tomando los vectores a y b, vamos a aplicar la ley del coseno para determinar elngulo entre estos vectores. Determinemos primeramente la resultante de sumar los

dos vectores.

a = 4i

6j +8k a2

= 116b = -4i +6j +8k b2 = 116

c = (a + b) = 4i6j + 8k -4i +6j +8kc = 0i + 0j + 16k c = 16

c2

= a2

+ b2

+ 2ab cos

Despejando elcos y reemplazando las magnitudes de a, b y cObtenemos cos = (256-116-116)/2*116

cos = 0,103

Por tanto = 84

5. Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula. Lamagnitud y direccin del vector A es.

a) 60,3 u. ; 25,6b) 60,3 u ; 108,2c) 47,7 u ; 205,6d) 50,5 u ; 18,2e) 50,5 u ; 198,2

Solucin:

Utilizando el mtodo de descomposicin vectorial podemos obtener dos ecuaciones,

una para las componentes en x, y la otra para las componentes en y. Obtenidas las

componentes en x y en y del vector, utilizaremos el teorema de Pitgoras para

calcular la magnitud del vectorA, y luego valindonos de una funcin trigonomtricapodemos determinar la direccin del vector.

Si los tres vectores al sumarse dan una resultante nula (R = 0) , esto significa que suscomponentes tambin deben serlo, esto es:

Rx = 0, la suma de todas las componentes en x deben dar ceroRy = 0, la suma de todas las componentes en y deben dar cero.

Rx =Ax + 40 cos50 + 20 cos(-30) = 0

Ry =Ay + 40 sen50 + 20 sen(-30) = 0

y

x

50

30

40 u

20 u

A


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Ax + 25,71+ 17,32= 0 Ax=- 43,03

Ay +30,64 - 10= 0 Ay = - 20,64

representa el ngulo que forma el vector A con el eje positivo de las x.Los ngulos son positivos cuando se miden en sentido antihorario y negativo cuando se

miden en sentido horario.

Es conveniente ubicar estas componentes sobre ejes coordenados para identificar la

direccin del vector.

Utilizando el teorema de Pitgoras determinamos la magnitud del vector A

22AyAxA

2264,2003,43A

A = 47,72

La lnea de accin del vector la determinamos utilizando una funcin trigonomtrica,por ejemplo

Tan =Ay/Ax= - 20,64/-43,03

= Tan-1

(0,479)

= 25,6 Cuidado! La calculadora le da a usted la lnea de accin del vector, la cual puede

coincidir con ladireccin del vector, vea el grafico de los vectores en la parte superior.

Por tanto, la direccin ser

= 180 + 25,6

= 205,6

Florencio Pinela C.

Ax

Ay

A

25,6


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6. Sean los vectores A = 2ij + 3k y B = 4i + 2jk. El ngulo que formael vector A+B con el eje positivo de las x es

a) 16,2b) 20,4c) 23,5d) 26,2e) 32,5Solucin:Observando los vectores nos podemos dar cuenta que estamos en presencia de vectores

en tres dimensiones, en consecuencia podemos utilizar los cosenos directores para

determinar la direccin del vector con cada uno de los ejes coordenados. Para utilizarlos cosenos directores debemos conocer las componentes ortogonales del vector, y por

su puesto su magnitud. Como solamente nos piden determinar el ngulo que forma el

vector A+Bcon el eje de las x, necesitamos conocer solamente la componente en xdel vector C, esto esCx

Determinemos primero el vector A +B, llamemos Ca este vectorC = A + B = 6i +j + 2k C = 4136 = 6,4

Cx = 6, Cy = 1, Cz = 2

Recordando la definicin de los cosenos directores, el ngulo que forma el vector Ccon el eje positivo de las x es

C

Cx)cos(

cos( ) = 6/6,4

Por tanto el ngulo es 20,4

7. Con referencia al paraleleppedo de la figura, el valor de la fuerza

resultante, esto es F1+ F2 es:

a) 73i + 62,9j - 100.5k (N)b) 123i + 63.5j - 15.5k (N)c) 123i + 63.5j - 100.5k (N)d) 73i + 63.5j - 15.5k (N)e) 73i - 63.5j - 100.5k (N)

F2 = 2F1 = 100 N

Florencio Pinela C.

F2

F1

8

10

5

y (m)

x (m)

z (m)


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Solucin:Tenga cuidado con la magnitud de los vectores y las dimensiones del paraleleppedo,

las dimensiones del paraleleppedo en este problema sirven para indicar la direccin de

los vectores. El problema slo nos da la magnitud de los vectores fuerza, para podersumarlos tenemos que expresarlos en forma vectorial, esto es:

F1 = F1 cos i + F1 cos j + F1 cos kDonde: cos , cos y cos , los cosenos directores, los podemos determinar del grfico

de arriba

22 85

0)cos( 0

2285

5)cos( 0,53

22 85

8)cos( - 0,85

F1 = 50(0) i + 50(0,53)j + 50(-0,85)kF1 = 26,5j42,5k

, , y representan los ngulos que forman cada uno de los vectores con los ejes x,

y y z

F2 = F2 cos i + F2 cos j + F2 cos k

222 8510

10)cos( 0,73

2228510

5)cos( 0,36

222 8510

8)cos( - 0,58

F2 = 100(0,73) i + 100(0,364) j + 100(-0,58) kF2 = 73 i + 36,4j58 k

Por tanto F1+ F2 = 73 i +62,9j100,5k; alternativa a

Florencio Pinela C.


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8. Dos cuerdas A y B halan una caja como se indica en la figura. La cuerda

A ejerce una fuerza de (18,13 i + 8,45 j ) Newtons. Determine el valor del

ngulo , de tal forma que la resultante de la suma de las tensiones de las

dos cuerdas se encuentre en la direccin del eje x +, y tenga un mdulo

de 40 Newtonsa) 10b) 15 Ac) 21d) 42e) 69 x

B

Solucin:De acuerdo a la informacin del problema, el vector A es igual a:

A = 18,13 i + 8,45j

AyAx

jiA 45,813,18

Si la resultante de la suma de los dos vectores se encuentra en la direccin x estosignifica que la componenteAy debe tener la misma magnitud que la componenteBy, y

direcciones contrarias, es decir que:By = 8,45 N

Tomando la informacin de que la resultante apunta en direccin x

Ax + Bx = 40SiendoAx = 18,13 N

Esto significa que:

Bx = 21,87 N

Conociendo las componentes ortogonales del vector B, podemos expresarloB = 21,87i + 8,45j

Observando el grfico del problema, el ngulo es:

Tan = By/Bx

= tan-1

(8,45/21,87)

= 21,1


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PROBLEMAS PROPUESTOSSUMA DE VECTORES METODO ANALTICO: LEY DEL

SENO, LEY DEL COSENO Y DESCOMPOSICIN

VECTORIAL

1. La magnitud y direccin de un vector, que sumado a los vectores indicados en lafigura dan una resultante nula es

20 u

a) 22,4 u ; 63.4

b) 30,0 u ; 63.4 10 u

c) 22,4 u ; - 93.4

d) 30,0 u ; 93.4

e) 22,4 u ; - 86.6

2. El vector mostrado en la figura tiene una magnitud de 20 unidades. El ngulo queforma el vector con el ejey es:

a) 30,0

b) 60,0

c) 72,5

d) 41,1

e) 35,2

3. Para los vectores a, b, y c indicados en el plano x-y-z. La magnitud del vector

y

a) 4b) 6 bc) 8d) 10 ae) 12 c

x

4

z 6

3060x

y

8

6

x

y

z

a + bc, es

5


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y

x

c=20

a=10 x

y

b=15

4. Un avin desarrolla una velocidad mxima de 800 Km/h en ausencia de viento.Las velocidades del viento y del avin se encuentran en el plano x-y. Determine

la velocidad resultante de un avin cuando el viento sopla a 200 Km/h y a 250 dedireccin, para cuando el avin se mueve en la direccin indicada.

Magnitud (Km/h) Direccin

a) 755 -14.4b) 755 -22.8

c) 888 14.4

d) 888 -22.8e) 755 10.5

5. Determine la magnitud del vector que al sumarse a los vectores a y b de la figuradan como resultado una resultante nula.

a) 15.1 ub) 18.0 uc) 19.0 ud) 23.1 ue) 25.2 u

6. Para los vectores mostrados en la figura determine la magnitud y direccin delvector R, donde: R = 2 abc/2

Magnitud Direccin

a) 36.6 36b) 36.6 216

c) 23.8 64.3

d) 29.7 183

e) 28.2 215

40


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7. Determine el vector que al sumarse a los vectores a y b den una resultante nula.a) i10j + 3kb) 2i5j + 6kc) 5j + 6kd)

10j3ke) 10j + 3k

8. Para los vectores del problema anterior determine el ngulo formado entre los vectores

a yb

a) 55b) 62c) 72d) 82e) 90

9. Los tres vectores mostrados en la figura representan las fuerzas que actan sobre un

cuerpo, la fuerza resultante, es decir, la suma de todas las fuerzas tendr como magnitud

ya) 38 N. 5

b) 42 N. 40N 50N

c) 48 N. 1

d) 55 N. -4 -1 1 3 x

e) 60 N. 20N

y

b a5

x3

z 7


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10. Los vectores mostrados en la figura al sumarse dan una resultante nula, los valores de

a y son ( es el ngulo con respecto al eje x+)

a) 20.0 ; 230

b) 20.1 ; -79

c) 15.8 ; 210

d) 18.7 ; -68

e) 38.8 ; -71

y30

20

40 60

X

a


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PROBLEMAS RESUELTOSPRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO VECTORIAL

1. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i, el valor de a para que la magnitud de B sea iguala tres veces la magnitud de AxB es:

a) 3b) 1/3c) 6d) 1/6e) no puede determinarseSolucin:

La magnitud del vector B es 6. determinemos la magnitud del vector AxB

i j k

AxB = 2 0 = i (0)j (0) + k (-6 ) = -6 k6 0 0

La magnitud del vector AxB es 6 .

Por tanto, el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitud

de AxB, es6 = 3 (6 )

= 1/3

2. Para que los vectores: a = 6 i3j + 6 k y b = i2j + 3 k sean ortogonales,debe tomar el valor de

a) 4b) 4c) 6d) 6e) 8Solucin:

De acuerdo a la definicin de producto escalar, si dos vectores son ortogonales su producto

escalar es cero.

Como los vectores vienen dados en funcin de sus componentes ortogonales, es ms prctico

utilizar la operacin:a b = axbx + ayby + az bz

ax = 6; ay = -3; az = 6

bx = ; by = -2; bz = 3

a b = 6 + 6 +18 = 0

= -4 Florencio Pinela C.


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3. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyeccin del vector asobre el vector b es.

a) 4.6b) 3.2c) 2.8d) 2.2e) 1.2Solucin:

Por definicin, geomtricamente, el producto escalar representa el rea de un rectngulo quetiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores, y el otro lado la proyeccin del

segundo vector sobre el primero.

a b

ab

ab = proyeccin del vector a sobre el vector b

a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz

ab =b

bababa zzyyxx

ab =36254

)6)(3()5)(2()2)(5(

ab =06,8

18

ab = 2,2

4. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ngulo formado entre los vectores A y B esy

a) 90,0b) 86,4c) 80,4 Bd) 76,4e) 70,4

5 x

A

Florencio Pinela C.


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Solucin:

En este problema podemos hacer uso de la definicin de producto escalar. Conocemos el

mdulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del grfico.

A B = ABcos = AxBx + AyBy + AzBz

De acuerdo al grfico, Ay = 0, Bz = 0

Por lo tanto ABcos = AxBx

Donde Ax = 5 y Bx = 5

Cos =)15)(10(

)5)(5(

= cos-1(0,16666)

= 80,4

5. Los vectores A, B y C se dirigen desde el origen de un sistema de coordenadasrectangulares a los puntos (2, 3, 5), (4, -5, -6) y (-2, 6, -3) respectivamente. Elresultado de la operacin (A - B) C es:

a) 4i + 48j - 33k b) 19 c) 10 d) 9 e) 5Solucin:

Con las coordenadas del punto del extremo de cada vector, los vectores A, B y C losexpresamos como:

A = 2i + 3j + 5kB = 4i5j6kC = -2i + 6j3k

Realizamos la operacin(AB):AB = - 2i + 8j + 11k

Luego multiplicamos escalarmente este resultado con el vectorC.

(A - B) C = (- 2i + 8j + 11k) (-2i + 6j3k)

(A - B) C= 4 + 4833

(A - B) C = 19Florencio Pinela C.


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6. Dado los vectores A= 2i + aj y B= 6i, el valor de a para que la magnitud de B sea iguala tres veces la magnitud de AxB es:

f) 3g) 1/3h) 6i) 1/6j) no puede determinarseSolucin:

La magnitud del vector B es 6. determinemos la magnitud del vector AxB

i j kAxB = 2 0 = i(0)j(0) + k(-6 ) = -6 k

6 0 0

La magnitud del vector AxB es 6 .

Por tanto, el valor de para que la magnitud de B sea igual a tres veces la magnitudde AxB, es

6 = 3(6 )

= 1/3

7. Para que los vectores: a = 6 i3j + 6 k y b = i2j + 3 k sean ortogonales,debe tomar el valor de

f) 4g) 4h) 6i) 6j) 8Solucin:

De acuerdo a la definicin de producto escalar, si dos vectores son ortogonales su producto

escalar es cero.

Como los vectores vienen dados en funcin de sus componentes ortogonales, es ms prctico

utilizar la operacin:

a b = axbx + ayby + az bz

ax = 6; ay = -3; az = 6

bx = ; by = -2; bz = 3a b = 6 + 6 +18 = 0

= -4 Florencio Pinela C.8. Sean lo vectores: a = 5i - 2j + 3k y b = 2i + 5j + 6k. La proyeccin del vector a

sobre el vector b es.

f) 4.6


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g) 3.2h) 2.8i) 2.2j) 1.2Solucin:

Por definicin, geomtricamente, el producto escalar representa el rea de un rectngulo quetiene por uno de sus lados la magnitud de uno de los vectores, y el otro lado la proyeccin del

segundo vector sobre el primero.

a b

ab

ab = proyeccin del vector a sobre el vector b

a b = ab cos = ab b = axbx + ayby + az bz

ab =b

bababa zzyyxx

ab =36254

)6)(3()5)(2()2)(5(

ab =06,8

18

ab = 2,2

9. Conociendo que |A| = 10 u y |B| = 15 u, el ngulo formado entre los vectores A y B esy

f) 90,0g) 86,4h) 80,4 Bi) 76,4j) 70,4

5 x

A

Florencio Pinela C.

Solucin:

En este problema podemos hacer uso de la definicin de producto escalar. Conocemos el

mdulo de los vectores y sus componentes las podemos obtener del grfico.


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A B = ABcos = AxBx + AyBy + AzBz

De acuerdo al grfico, Ay = 0, Bz = 0

Por lo tanto ABcos = AxBx

Donde Ax = 5 y Bx = 5

Cos =)15)(10(

)5)(5(

= cos-1(0,16666)

= 80,4

7. El trabajo se define como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.

Determine el trabajo que realiza una fuerza F = 10i + 20j + 30k (N) al actuar sobre uncuerpo haciendo que ste se mueva desde un punto de coordenadas (2,10,-5) m hasta elpunto (-2,5,8) m.

a) 250 N.mb) 330 N.mc) 450 N.md) 500 N.me) 550 N.mSolucin:

El cuerpo se mueve desde el punto A(2, 10, -5), hasta el punto B(-2,5,8).Representemos cada uno de estos puntos por los vectores:

A = 2i + 10j5kB= -2i + 5j + 8k

Al ir del punto A al punto B habr experimentado un desplazamiento AB = BA, esto

es:AB= (-2i + 5j + 8k)(2i + 10j5k)

AB = -4i5j + 13k

En consecuencia el trabajo debe ser:

F AB= (10 i + 20j +30k) (-4i5j + 13k)

Trabajo = -40 - 100 + 390 = 250 N


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8. Para el grfico mostrado, evale el producto vectorial entre el vector F de 50 unidadesde magnitud y el vector posicin r.

a) -125 2 ib) 150 2 i + 125 2 jc) 275 2 kd) 125 2 ke) 150 2 i

Solucin:

Podramos pensar en utilizar |Fxr| = F r sen ,pero recordemos que esta expresin espara el mdulo del vector|Fxr|.

Expresemos los vectores F y r en funcin de sus coordenadas rectangulares.Observe que el plano en el que estn graficados los vectores, los ejes representan

unidades de longitud, el vector r se representa en su real magnitud,mientras que parael vector F las coordenadas sirven para su direccin.

F = Fcos i + Fsen j ; representa la direccin del vector F

r = rx i + ry j

F = 50 cos45 i + 50sen45 j = 25 2 i + 25 2jr = -5i + 6j

i j k

Fxr = 25 2 25 2 0 = [6(25 2 ) + 5(25 2 )]k

-5 6 0

Fxr = 275 2 k

Florencio Pinela C.

6

2

y

-5 1 5

rF

m

m


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9. Sean los vectores a = ( 6i + 8k ) y b = ( 2j - 5/8 k ), el resultado de la operacin:2 ( a b ) a, es

a) 0b)

-100c) 20

d) 60 i80 ke) No se puede realizar la operacin.Solucin:

( a b ) es un nmero, que al multiplicarlo por adebe dar un vector, de las alternativas, slo una da la posibilidad a que el resultado sea un vector. De todas manerasresolvamos el problema.

( a b ) = 6(0) + 0(2) + 8(-5/8) = -52( a b )a = 2(-5)( 6i + 8k)

2( a b )a = - 60 i80 k

Florencio Pinela C.


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PROBLEMAS PROPUESTOSPRODUCTO ESCALAR Y PRODUCTO

VECTORIAL

1. Dado los vectores A=2i + 3j + k y B=3j + 4k, la proyeccin del vector A sobreel vector B es:

a) 0b) 1c) 13/5d) 14 e) 5/13

2. Considere la lnea que une los puntos extremos de los vectores A= 2ijk, B=-i +3jk. Cul de las siguientes alternativas es verdadera?

a) La lnea es paralela al plano YZb) La lnea es perpendicular al plano YZc) La longitud de la lnea es 10d) La lnea es paralela al plano XYe) Ninguna de las anteriores

3. Sean las rectas AB y AC las que se cruzan en el punto A de coordenadas (4,-5,6),y los puntos B y C de coordenadas (2,3,5) y (5,4,2) respectivamente.Cul de las

siguientes alternativas representara un vector perpendicular al plano formado porlas rectas?.

a) 23 i9j26 kb) 9 i14j + 8 kc) 9 i23j + 26 kd) 23 i9j + 26 ke) 9 i + 14j8 k

4. Sobre un cuerpo de masa M actan tres fuerzas: F1 = 2i -10j + 8k (N) , F2 = 10i +2j -

3k (N) y F3 . Si el cuerpo se mueve con velocidad constante, el valor de F3 es:

a) 12i-8j+5k N

b)2i+10j-8k N

c)12i+8j-5k N

d)10i-2j-3k N

e) Imposible que se mueva con velocidad constante


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z

yp2

p1

4

8

z

x

y

5. Una partcula se desplaza desde el punto p1 de coordenadas (3,-2,1)m, al punto p2 de

coordenadas (10,8,7)m. Si en el punto p1 la partcula tena una velocidad de V = 2i + 4jm/s. El ngulo que forma la velocidad en el punto p1 y el desplazamiento de la partculaes:

a) 27,4

b) 34,1

c) 56,8

d) 65,2

e) 71,4

6. Para el sistema de coordenadas mostrado en la figura, determine la magnitud de laproyeccin del vector 8i5j + 7k sobre la recta l, la cual se encuentra en el plano x-z.

a) 4.6b) 6.1c) 8.1d) 10.3e) 15.1

7. Una partcula describe la trayectoria mostrada en la figura. El desplazamiento de la

partcula entre los puntos p1 y p2 de coordenadas (2,-3,5) y (5,6,-4) respectivamente es:a) 3i + 9j9kb) 3i9j + 9kc) 3i3j + kd) 3i + 9jke) 3i + 3j9k

l

x


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8. Dos vectores A y B vienen expresados por: A = 3i + 4j + k ; B = 4i - 5j + 8k. Esverdad que A y B:

a) Son paralelos y apuntan en la misma direccin.b) Son paralelos y apuntan en direcciones contrarias.c)

Forman un ngulo de 45 entre s.d) Son perpendiculares.

e) Todas las alternativas anteriores son falsas.

9. Encontrar el valor de x para que los vectores A (5, 1, -2) y B (2, x, 6) seanperpendiculares.

a) 8b)

6c) 4

d) 2e) 0

10.Sean tres vectores:A = 3i + 2j - kB = i -j + 2kC =j + k

Si M = A- B y N = C x A, el ngulo formado entre los vectores M y N es

a) 60,5b) 41,2c) 51,2d) 68,5e) 72,1

11.El vector de mdulo 6 y que es perpendicular al plano formado por los vectoresA = 2 i +j -2 k y B = - 3 i -j + k es

a) 3/ 26 i + 4/ 26 j + 1/ 26 k

b) 18 / 26 i + 24/ 26 j + 6/ 26 k

c) -2/ 2 i + 8/ 2 j + 2/ 2 k

d) -6/ 2 i + 24/ 2 j + 6/ 2 k

e) 1/ 2 i + 2/ 2 j + 3/ 2 k


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12.Sean los vectores a, b, c, d y e, evale la siguiente operacin

( a + c + d + e ) . b

a) 500 e =10 c =30b) 799c) 890 30 b=50d) 1299 a =10e) 23

d = 20

13.Sean los vectores a = 2 ij + 2 k y b = 2 i 3 j k, evale la siguienteoperacin:

(ab ) a

a) 4b) 4c) 6d) 8e) -814. Sean los vectores A = 3 ij + 2 k y B = -2 i2j4 k, el vector unitario perpendicular alplano formado por los vectores A y B es

a) 0 i + 8/ 128 j - 8/ 128 kb) 8/ 192 i + 8/ 192 j - 8/ 192 kc) 1/ 186 i - 11/ 186 j - 8/ 186 kd) 8/ 192 i - 8/ 192 j + 8/ 192 ke) 8/ 384 i + 16/ 384 j - 8/ 384 k

15.Cul de las siguientes alternativas representa un vector perpendicular al planosombreado de la figura. y

6

a) 24i + 20j + 30kb) 5i + 6j + 8kc) 12i10j + 15k 5 xd) 12i10j15ke) 24i + 20j+ 15k 4


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16.Dados los vectores A, B y C siendo m un escalar, cul proposicin no se

cumple?

a) A B = B Ab) AB BAc) m(A x B) = (mA) x Bd) A x B = B x Ae) Todas se cumplen.

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vectores-problemas-100208110134-phpapp02