Vectores u 7

Unidad 7. Vectores 1

Pgina 171

REFLEXIONA Y RESUELVE

Multiplica vectores por nmeros

Copia en un papel cuadriculado los cuatro vectores siguientes:

Representa:

a) 2 b) 5 c)

Expresa el vector como producto de uno de los vectores , o por unnmero.

Designa los vectores anteriores mediante pares de nmeros. Por ejemplo: (2, 3)

Repite con pares de nmeros las operaciones que has efectuado anteriormente.

8d = 2,5

8b =

8b

8a (2, 3)8b(2, 2)8c (3, 0)8d (5, 5)

28a = 2 (2, 3) = (4, 6)

58b = 5 (2, 2) = (10, 10)

8c = (3, 0) = (1, 0)1

313

52

8a

8c

8b

8a

8d

8c

13

8b

8a

8a 8

c

8b

8d

VECTORES7

2a

1/3 c

8

8

d = 5/2 b8 8

5b8

Suma vectores

Efecta grficamente:

a) + b) + c) + d) + +

siendo , y los del ejercicio anterior.

Realiza las mismas sumas con pares de nmeros.

Por ejemplo: + = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)

a) + = (2, 3) + (3, 0) = (5, 3)

b) + = (2, 2) + (3, 0) = (1, 2)

c) + = (2, 2) + (2, 3) = (0, 1)

d) + + = (2, 3) + (2, 2) + (3, 0) = (3, 1)

Combina operaciones

Con los vectores , y efecta las siguientes operaciones grficamente ymediante pares de nmeros:

a) 2 + 3 b) + 5 c) 2 + 3 4

Cmo designaras al vector resultante de esta ltima operacin?

a) 2 + 3 = 2 (3, 1) + 3 (2, 2) = (6, 2) + (6, 6) = (12, 4)

b) + 5 = (2, 2) + 5 (3, 1) = (2, 2) + (15, 5) = (13, 3)

c) 2 + 3 4 = 2 (3, 1) + 3 (2, 2) 4 (3, 1) = (6, 2) + (6, 6) + (12, 4) = (0, 0)

Vector nulo: 80

8w

8v

8u

8w

8v

8v

8u

8w

8v

8u

8w

8v

8v

8u

8w

8v

8u

8u

8w

8v

a + c

a8

8a8 a

8c8

c8

c8

b8

b8

b88

b + c8 8

b + a8 8

a + b + c8 88

a) b) c) d)

8c

8b

8a

8a

8b

8c

8b

8c

8a

8c

8a

8c

8b

8a

8c

8b

8a

8a

8b

8c

8b

8c

8a

Unidad 7. Vectores2

Pgina 1751. Si (2, 5) y (1, 4) son las coordenadas de dos vectores respecto de una ba-

se, halla las coordenadas respecto de la misma base de:

a) 2 + b) c) 3 + d) 2

a) 2 + = 2 (2, 5) + (1, 4) = (4, 10) + (1, 4) = (3, 6)

b) = (2, 5) (1, 4) = (2, 5) + (1, 4) = (3, 9)

c) 3 + = 3 (2, 5) + (1, 4) = (6, 15) + ( , ) = ( , )d) 2 = (2, 5) 2 (1, 4) = (1, ) + (2, 8) = (1, )

Pgina 176

1. Dos vectores 8u y 8v cumplen que: |8u| = 4, |8v| = , ( ) = 30. Calcula:

a) 8u

8v b)

8v

8u c) (

8u)

8v

d) (38u) (5

8v ) e)

8u

8u f)

8v (

8v )

a)8u

8v = |

8u||

8v| cos ( ) = 4 cos 30 = 6 = 3

b) 8v

8u =

8u

8v = 3

c) (8u)

8v = (

8u

8v ) = 3

d) (38u) (5

8v ) = 3(5) (

8u

8v ) = 15 3 = 45

e) 8u

8u = |

8u|2 cos 0 = 16

f) 8v (

8v ) =

8v

8v = |

8v|2 =

94

333

3

332

32

8u,

8v

8u,

8v

32

112

52

12

8v

8u

12

413

173

43

13

13

8v

13

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

12

8v

13

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

2u8

2u + 3v8 8

3v8 v

85w8

v + 5w8 8

a) b)

2u8

3v8

4w8

c)


7UNIDAD

2. Si |8u| = 3, |8v| = 5 y 8u 8v = 2, averigua el ngulo (8u, 8v ). (Usa la calculado-ra).

cos ( ) = = = 8 ( ) = 97 39' 44''

3. Halla 8u (8v + 8u) y 8v (8v 8u) sabiendo que |8u| = 3, |8v| = 5, ( ) = 120.

8u (

8v +

8u) =

8u

8v +

8u

8u = |

8u||

8v| cos 120 + |

8u||

8u| cos 0 =

= 3 5 + 3 3 = + 9 =

8v (

8v

8u) =

8v

8v

8v

8u = 25 =

Pgina 178

4. Dados los vectores y mediante sus coordenadas respecto a una base or-tonormal, (3, 4), (1, 3), halla:

a) y

b)| |, | | y ( )

c) El valor de k para que (4, k) sea perpendicular a .

d)Un vector unitario perpendicular a .

a) = (3, 4) (1, 3) = 3 (1) + (4) 3 = 15

= (1, 3) (3, 4) = (1) 3 + 3 (4) = 15

b) | | = = 5

| | = =

cos ( ) = = = 0,9486832981 8 ( ) = 161 33' 54''

c) (4, k ) 2 (1, 3) 8 (4, k ) (1, 3) = 0 8 4 + 3k = 0 8 k =

Para que (4, k ) sea perpendicular a , ha de ser k = .

d) Un vector perpendicular a (3, 4) es, por ejemplo, (4, 3).

Un vector unitario paralelo a (4, 3) es (4, 3) = (4, 3) = ,

Hay dos vectores unitarios perpendiculares a (3, 4). Son , y , .)3545()3545()3545(151|(4, 3)|

8u

43

8v

43

8u,

8v

15

510

8u

8v

|8u||

8v|

8u,

8v

10(1)2 + 328v32 + (4)28u

8u

8v

8v

8u

8u

8v

8u,

8v

8v

8u

8u

8v

8v

8u

8v

8u

8v

8u

652)152(

32

152)12(

8u,

8v

8u,

8v

215

23 5

8u

8v

|8u||

8v|

8u,

8v

Unidad 7. Vectores4

Pgina 182

EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS

Los vectores y sus operaciones

1 La figura ABCDEF es un hexgono.

Compara el mdulo, la direccin y el sentido de los siguientes pares de vec-tores:

a) y b) y c) y d) y

a) | | = | |. Tienen distinta direccin.

b) Los dos vectores tienen la misma direccin, el mismo sentido y el mismo m-

dulo, luego: = .

c) | | = . Tienen la misma direccin y el mismo sentido.

Luego: = .

d) | | < | |. Sus direcciones son perpendiculares: 2 .

2 Busca en la figura del ejercicio 1 tres vectores iguales a y otros tres igua-les a .

= = =

= = = 8PD

8CP

8SF

8AS

8RE

8FR

8BN

8NC

8AS

8NC

8OE

8OS

8OE

8OS

8DE

12

8BM

8DE

12

8BM

8BC

8FE

8BC

8AB

8OE

8OS

8DE

8BM

8BC

8FE

8BC

8AB

C P D

A S F

O EB

N Q

RM

PARA PRACTICAR


7UNIDAD

3 Sustituye los puntos suspensivos por un nmero, de forma que estas igual-dades sean verdaderas para el hexgono del ejercicio 1:

a) = 2 b) = c) = d) =

a) = 2 b) =

c) = d) =

4 Completa las igualdades siguientes con las letras que faltan para que, en elhexgono del ejercicio 1, sean verdaderas:

a) + = b) + =

c) + = d) + =

a) + = b) + =

c) + = d) + =

5 Observa el rombo de la figura y calcula:

a) +

b) +

c) +

d) +

e) +

f)

Expresa los resultados utilizando los vrtices del rombo.

a) b) = c)

d) = e) f) 2

6 Considera el vector :

Dibuja en cada uno de estos casos un vector que sumado con d co-mo resultado :

a) b)

c) d)

8u

8u

8u

8u

8w

8u

8v

8w

8w

8DC

8AC

80

8AA

8CD

8BA

8DC

8AB

8AC

B

O CA

D8CA8DB

8AD

8AB

8CD

8AB

8OD

8OA

8OC

8OB

8BC

8AB

8AB

8AM

8AM

8FD

8SO

8OP

8SF

8CC

8AS

8AE

8BC

8AF

8AB

8A

8AM

8FD

8SOO

8SF

8C

8AS

8AE

8B

8AF

8BC

12

8NB

8OS

8OP

8AC

12

8MNCP

88CD

8BC

8NB

8OS

8OP

8AC

8MNCP

88CD

Unidad 7. Vectores6

7 Los vectores , y los hemos obtenido operando con los vectores ,, . Qu operaciones hemos hecho en cada caso?

= + = +

Bases y coordenadas

8 A la vista de la figura, dibuja los vectores:

+ , , + ,

, + 2 , 2

Si tomamos como base ( , ), cules son las coordenadas de los vectoresque has dibujado?

+ = (1, 1) = (1, 1) + = (1, 1)

= (1, 1) + 2 = (1, 2) 2 = (1, 2)8v

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

u8

u8

u8

u8

v8

v8

2v8

2v8

u + v8 8

u v8 8

u v8 8

u 2v8 8

u + 2v8 8u + v

8 8v8

v8

u8

u8

v8

u8

8v

8u

8u

8v8v

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

8z

8y

8x

8c

8z

8y

8x

8b

8x

8z

8y 8

y8a

8b

8c

8 8 8 8a = y z x

8z

8x

8z

8y

8x

8c

8b

8a

u8

u8

u8

u8

v8

v8

v8 v

8

w8

w8

w8

w8

a)

d)

b) c)


7UNIDAD

9 Escribe los vectores , , como combinacin lineal de e .

Cules sern las coordenadas de esos vectores respecto a la base B( , )?

= + , luego = ( , ) respecto de B ( , ).= + , luego = ( , 1) respecto de B ( , ).= + , luego = ( , 1) respecto de B ( , ).

Pgina 183

10 Escribe las coordenadas de los vectores , , , , con respecto a la baseB( , ).

= (2, 2); = (0, 3); = (1, 0); = (1, 3)

11 En una base ortonormal las coordenadas de un vector son (2, 5). Hallalas coordenadas de en la base B = {(1, 1), (0, 1)}.

Las coordenadas de en la nueva base son (2, 3).8v

a = 2

b = +3

2 = a

5 = a b

8v = a

8x + b

8y

(2, 5) = a(1, 1) + b (0, 1) = (a, a) + (0, b ) = (a, a b )

8x (1, 1)8y(0, 1)8v(2, 5)

8v

8v

8d

8c

8b

8a

8c

8a

8x 8y 8

d

8b

8y

8x

8d

8c

8b

8a

8y

8x3

28w

8y

8x3

28w

8y

8x3

48v

8y

8x3

48v

8y

8x1

212

8u

8y1

28x1

28u

8y

8x

8u

8v

8x

8y 8

w

8y

8x

8w

8v

8u

Unidad 7. Vectores8

12 Si las coordenadas de los vectores y son (3, 5) y (2, 1), obtn lascoordenadas de:

a) 2 + b) c) ( + ) ( )

a) 2 (3, 5) + (2, 1) = (6, 10) + (1, ) = (7, )b) (3, 5) (2, 1) = (3, 15) + ( , ) = ( , )c) [(3, 5) + (2, 1)] [(3, 5) (2, 1)] = (1, 4) (5, 6) =

= ( , 2) + ( , 4) = ( , 2)

13 Halla el vector tal que = 3 , siendo (1, 3) y (7, 2).

(7, 2) = 3 (1, 3) (b1, b2) 8

(20, 22)

14 Dados los vectores (3, 2), (1, 2) y (0, 5), calcula m y n de modo que:= m + n .

(0, 5) = m (3, 2) + n (1, 2) 8

Resolvemos el sistema:

Despejando en la primera ecuacin, n = 3m, y sustituyendo en la segunda:

5 = 2m + 6m 8 5 = 4m 8 m = 8 n =

15 Expresa el vector ( 1, 8) como combinacin lineal de (3, 2) y

4, .

Calcula m y n tales que = m + n .

(1, 8) = m (3, 2) + n 4, 8

Resolvemos el sistema por reduccin (por ejemplo).

1 = 3m + 4n

18 = 2m n

2

)12(

8c

8b

8a

)12(8c8b

8a

154

54

0 = 3m n5 = 2m + 2n

8b

8a

8c

8c

8b

8a

8b

7 = 3 (1/2)b1 8 b1 = 202 = 9 (1/2)b2 8 b2 = 22

12

8c

8a

8b

12

8a

8c

8b

176

103

12

23

12

23

12

725

95

35

65

35

212

12

12

8v

8u

23

8v

8u

12

8v

35

8u

8v

12

8u

8v

8u


7UNIDAD

Para ello, multiplicamos la segunda ecuacin por 8 (en los dos miembros) y su-mamos miembro a miembro las dos:

1 = 3m + 4n

64 = 16m 4n

65 = 13m 8 m = = 5

Sustituyendo en una de las dos ecuaciones y despejando n :

1 = 3m + 4n 8 1 = 3 (5) + 4n 8 16 = 4n 8 n = 4

As, podemos decir: = 5 4

16 Cules de los siguientes pares de vectores forman una base?

a) (3, 1), (1, 3) b) (2, 6), ( , 2)a) S, tienen distinta direccin ( ? k para cualquier k). Basta con representar-

los grficamente para comprobarlo.

b) No, pues tienen la misma direccin ( = 3 ).

Producto escalar. Mdulo y ngulo

17 En una circunferencia de centro O y de radio 2 cm, se inscribe un hexgo-no regular de vrtices A, B, C, D, E, F. Calcula los productos:

a) b)

c) d)

a) = | | | | cos ( , ) = 2 2 cos 60 = 2 2 = 2

b) = 2 2 cos 120 = 2 2 ( ) = 2c)

(*)= 2 2 cos 0

(*)= 2 2 1 = 4

(*) OAB es un tringulo equiltero, luego:

| | = | | = 2

Razonamos igual para | |.

d) = (mismo mdulo, misma direccin y sentido opuesto)

Luego: = 2 2 cos 180 = 2 2 (1) = 48EF

8BC

8EF

8BC

8ED

8OA

8AB

8ED

8AB

12

8OC

8OA

12

8OB

8OA

8OB

8OA

8OB

8OA

8EF

8BC

8ED

8AB

8OC

8OA

8OB

8OA

8v

8u

8v

8u

23

8v

8u

8v

8u

8c

8b

8a

6513

Unidad 7. Vectores10

AB

C

DE

OF 60

18 Dados los vectores (5, 2), (0, 3), (1, 4), calcula:

a) b) c)

a) = (5, 2) (0, 3) = 6

b) = (5, 2) (1, 4) = 5 8 = 13

c) = (0, 3) (1, 4) = 12

19 Calcula k para que el producto sea igual a 0 en los siguientes casos:

a) (6, k), (1, 3) b) , 2 , (k, 3) c) (3, 2), (5, k)

a) = (6, k ) (1, 3) = 0 8 6 + 3k = 0 8 k = 2

b) = , 2 (k, 3) = 0 8 6 = 0 8 k = 30

c) = (3, 2) (5, k ) = 0 8 15 2k = 0 8 k =

20 Dados (2, 3), (3, 1) y (5, 2), calcula:

a) (3 + 2 )

b)

c) ( )

d) ( )

a) Halla primero las coordenadas de 3 + 2 .

c) Efecta . Multiplica el resultado (un nmero) por el vector . Obtendrsun vector.

a) 3 + 2 = 3 (2, 3) + 2 (3, 1) = (6, 9) + (6, 2) = (0, 11)

(3 + 2 ) = (0, 11) (5, 2) = 0 5 + 11 2 = 0 + 22 = 22

b)8

8 = 16 (13) = 16 + 13 = 29

c) = (2, 3) (3, 1) = 6 + 3 = 3

( ) = 3 (5, 2) = (15, 6)

d) = (3, 1) (3, 1) = 9 + 1 = 10

( ) = (2, 3) 10 = (20, 30)8v

8v

8u

8v

8v

8w

8v

8u

8v

8u

8w

8v

8w

8u

8u 8w = (2, 3) (5, 2) = 10 + 6 = 168v 8w = (3, 1) (5, 2) = 15 + 2 = 13

8w

8v

8u

8v

8u

8w

8v

8u

8v

8u

8v

8v

8u

8w

8v

8u

8w

8v

8w

8u

8w

8v

8u

8w

8v

8u

152

8v

8u

k5)15(8v8u

8v

8u

8v

8u

8v)15(8u8v8u

8v

8u

8z

8y

8z

8x

8y

8x

8z

8y

8z

8x

8y

8x

8z

8y

8x


7UNIDAD

21 Halla el mdulo de cada uno de los siguientes vectores:

(3, 2) (2, 3) (8, 6)

, (5, 0) (1, 1)

| | = = | | = =

| | = = 10 | | = = 1

| | = = 5 | | = =

22 Halla el valor de m para que el mdulo del vector , m sea igual a 1.

| | = = 1 8 + m2 = 1 8 m2 =

23 Calcula x, de modo que el producto escalar de (3, 5) y (x, 2) sea iguala 7. Qu ngulo forman los vectores y ?

(3, 5) (x, 2) = 7 8 3x 10 = 7 8 x =

cos a = = 8 a = 78 28' 34,6''

24 Halla el ngulo que forman los siguientes pares de vectores:

a) (3, 2), (1, 5)

b) (4, 6), (3, 2)

c) (1, 6), , 3

a) Utilizamos las dos expresiones para calcular 8u

8v:

8u

8v = 3 1 + 2 (5) = 7

8u

8v = |

8u| |

8v| cos ( ) = cos ( )

Igualando las dos expresiones, se tiene:

7 = cos ( ) 8 cos ( ) = = 0,38

Luego: ( ) = 112 22' 48"8u,

8v

7

13

26

8u,

8v

8u,

8v2613

8u,

8v2613

8u,

8v

)12(8b8a8n

8m

8v

8u

7

(32 + (5)2 ) (

(17/3)2 + 22 )

8a

8b

|8a||

8b|

173

8b

8a

8b

8a

4m1 = 5

4m2 = 5

1625

925

3()2 + m258u)35(8u

212 + 128r52 + 028t

2

2()2 + ()22 28z(8)2 + (6)28w13(2)2 + 328v1332 + 228u

8r

8t)2222(8z

8w

8v

8u


b) Despejando directamente en la definicin:

= | | | | cos ( ) 8

8 cos ( ) = = = = 0

de donde: ( ) = 90 (basta con ver que = 0)

c) cos ( ) = = = = =

Luego: ( ) = 135

25 Dado el vector (5, k) calcula k de modo que:

a) sea ortogonal a (4, 2).

b) El mdulo de sea igual a .

a) 2 = 0 8 (5, k) (4, 2) = 0 8 20 2k = 0 8 k = 10

b) | | = = = 8 25 + k2 = 34 8 k2 = 9 8 k = 3

Hay, pues, dos soluciones.

26 Dado el vector (6, 8), determina:

a) Los vectores unitarios (mdulo 1) de la misma direccin que .

b) Los vectores ortogonales a que tengan el mismo mdulo que .

c) Los vectores unitarios y ortogonales a .

Mira el problema resuelto nmero 4.

a) Calculamos: | | = = 10

Los vectores de la misma direccin que y de mdulo 1 son:

1 = (6, 8) = ,

2 = (6, 8) = ,

b) Se obtienen permutando las coordenadas de y cambiando el signo de unade ellas.

1 = (8, 6)

2 = (8, 6)

Tambin se pueden hallar expresando analticamente las dos condiciones y re-solviendo el sistema que obtenemos:

8v

8v

8u

)4535(1108v)4535(1108v

8u

62 + (8)28u

8u

8u

8u

8u

8u

3425 + k2(5)2 + k28u

8v

8u

8v

8u

348u

8v

8u

8u

8a,

8b

22

1

237/2

(372 )/21/2 18

37

37/2

8a

8b

|8a||

8b|

8a,

8b

8n

8m

8m,

8n

0

52

13

4 3 + 6 (2)

52

13

8m

8n

|8m||

8n|

8m,

8n

8m,

8n

8n

8m

8n

8m


7UNIDAD

2 8 (x, y) (6, 8) = 0 8 6x 8y = 0 8 x = = y

| | = | | 8 = 10 8 x2 + y2 = 100

( y)2 + y2 = 100 8 y2 + y2 = 100 8 y2 = 100 8 y2 = 36 8 y = 6 Si y1 = 6 8 x1 = 6 = 8 8 1 (8, 6)

Si y2 = 6 8 x2 = 8 8 2 (8, 6)

c) Teniendo en cuenta a) y b), haremos:

1 = (8, 6) = ,

2 = (8, 6) = ,

O bien, resolviendo el sistema:

| | = 1 8 = 1 8 x2 + y2 = 1

2 8 6x 8y = 0 8 x = =

8 ( )2 + y2 = 1 8 y2 + y2 = 1 8 y2 = 1 8 y2 = 8 y = Si y1 = 8 x1 = =

Si y2 = 8 x2 = ( ) = As, 1 = ( , ), 2 ( , )

Pgina 184

27 Halla las coordenadas de un vector 8v(x, y), ortogonal a 8u(3, 4) y que midael doble que

8u.

2 8 = 0 8 3x + 4y = 0

| | = 2| | 8 = 2 = 2 = 10 8 x2 + y2 = 100


Despejamos x en la primera ecuacin y sustituimos en la segunda:

259 + 16x2 + y28u8v

8v

8u

8v

8u

PARA RESOLVER

35

45

8v3

545

8v

45

35

43

35

45

35

43

35

35

259

259

169

4y3

4y3

8y6

8v

8u

x2 + y28v

)3545(1108v)3545(1108v

8v

8v4

3

259

169

43

x2 + y28u8v

43

8y6

8u

8v


8

x = y 8 ( y)2 + y2 = 100 8 y2 + y2 = 100 8 y2 = 100 8 y = 6Si y1 = 6 8 x1 = 6 = 8 8 1 (8, 6)

Si y2 = 6 8 x2 = (6) = 8 8 2 (8, 6)

El problema tiene dos posibles soluciones,tales que:

1 = 2

28 Dados 8a(2, 1) y 8b(6, 2), halla un vector

8v tal que

8v

8a = 1 y

8v 2

8b.


Multiplicamos los dos miembros de la primera ecuacin por (1) y sumamosmiembro a miembro:

2x 2y = 1

6x + 2y = 0

4x = 1 8 x =

Sustituimos en una ecuacin, por ejemplo en la segunda, y despejamos la otra in-cgnita:

6x + 2y = 0 8 6 ( ) + 2y = 0 8 2y = = 8 y = As, nuestro vector ser: ( , )

29 Siendo 8u(5, b) y 8v(a, 2), halla a y b, sabiendo que 8u y 8v son ortogo-nales y que |

8v| = .

Si 2 , entonces = 0 8 (5, b) (a, 2) = 0 8 5a 2b = 0

Si | | = , entonces = 8 a2 + 4 = 13


a2 + 4 = 13 8 a = 3

Entonces: Si a = 3 8 b = =

Si a = 3 8 b = = 152

5a2

152

5a2

13a2 + 22138v

8v

8u

8v

8u

13

34

14

8v

34

32

64

14

14

(x, y) (2, 1) = 1 8 2x + 2y = 1(x, y) (6, 2) = 0 8 6x + 2y = 0

8v

8v

8v4

3

8v4

3

259

169

43

43


7UNIDAD

v18

v28

u8

Luego hay dos posibles soluciones: (5, ), (3, 2)O bien: (5, ), (3, 2)

30 Dados los vectores 8a = 28u 8v y 8b = 3

8u + k

8v, siendo

8u = (2, 3) y

8v = (3, 0),

halla k de modo que (8a +

8b) sea ortogonal a (

8a

8b).

Escribe las coordenadas de (8a +

8b ) y (

8a

8b).

Si (8a +

8b ) 2 (8a

8b ), entonces (

8a +

8b ) (

8a

8b ) = 0. Obtendrs una ecuacin cuya in-

cgnita es k.

8

Ahora, como el producto escalar de ambos vectores debe ser 0, por ser ortogona-les:

(1 3k, 3) (13 + 3k, 15) = 0 8 (1 3k) (13 + 3k) + (3) 15 = 0

13 + 3k 39k 9k2 45 = 0 8 9k2 + 36k + 32 = 0

k = = =

= =

31 Halla el valor que debe tener k para que los vectores 8x = k8a +8b e

8y = k

8a

8b

sean perpendiculares, siendo 8a(3/2, 4) y

8b(5, 0).

= k , 4 + (5, 0) = + 5, 4k

= k , 4 (5, 0) = 5, 4k Entonces:

Como queremos 2 = 0

+ 5, 4k 5, 4k = 0 8 + 5 5 + (4k )(4k ) = 0 8

8 25 + 16k2 = 0 8 k2 = 25 8 k = (dos soluciones)10

73734

9k2

4

)3k2()3k2()3k2()3k2(

8y

8x

8y

8x

)3k2()32(8y)3k2()32(8x

24/18 = 4/3 = k148/18 = 8/3 = k2

36 1218

36 14418

36 1 296 1 15218

8a +

8b = (1 3k, 3)

8a

8b = (13 + 3k, 15)

8a = 2 (2, 3) (3, 0) = (7, 6)8b = 3 (2, 3) + k (3, 0) = (6 3k, 9)

8v15

28u

8v15

28u


32 Dados los vectores 8u(k, 6) y 8v(3, h), calcula k y h de modo que |8u|= 10y

8u 2 8v.

| | = = 10 8 k2 + 36 = 100 8 k2 = 64 8

8 k = 8 (dos soluciones)

Si k = 8 8 (8, 6); 8u 2 8v 8 (8, 6) (3, h ) = 0 8 24 6h = 0 8 h = 4

Si k = 8 8 (8, 6); 8u 2 8v 8 (8, 6) (3, h ) = 0 8 24 6h = 0 8

8 h = 4

33 Calcula las coordenadas de un vector 8u tal que |8u| = 1 y 8u 8v = 1 siendo8v(2, 1).

(a, b ) 8 | | = 1 8 = 1

= 1 8 (a, b ) (2, 1) = 1 8 2a + b = 1Resolvemos el sistema:

b = 1 2a 8 a2 + (1 2a)2 = 1 8 a2 + 1 + 4a2 4a = 1 8 5a2 4a = 0

a = 0 8 b = 1

a = 8 b =

Soluciones : 1(0, 1) y 2 ,

34 Expresa los vectores 8a, 8b y

8c como

combinacin lineal de 8x e

8y.

8a =

8x + 2

8y

8b =

8x + 2

8y

8c =

8x

8y

35 De los vectores 8a y 8b sabemos que |

8a| = 3 y |

8b| = 5 y que forman un n-

gulo de 120. Calcula |8a

8b|.


Como: 8v

8v = |

8v| |

8v| cos 0 = |

8v|2 1 = |

8v|2

entonces podemos decir que:

|8a 8b|2 = (

8a

8b) (

8a

8b) =

8a

8a 2

8a

8b +

8b

8b =

= |8a|2 2 |

8a| |

8b| cos ( ) + |

8b|2 =

= 32 2 3 5 cos 120 + 52 = 9 30 ( ) + 25 = 49Luego: |

8a

8b| = 7

12

8a,

8b

12

12

12

8a

8c

8b

8x

8y

)3545(8u8u35

45

8v

8u

a2 + b28u8u

8u

8u

k2 + (6)28u


7UNIDAD

36 Si |8u|= 3 y (8u + 8v) (8u 8v) = 11, halla |8v|.

(8u +

8v ) (

8u

8v ) =

8u

8u

8v

8v = 11.

Como 8u

8u = |

8u|2 = 9, calcula |

8v|.

(8u +

8v) (

8u

8v) =

8u

8u

8v

8v = |

8u|2 |

8v|2 = 11

Como |8u| = 3, se tiene que:

32 |8v|2 = 11 8 |8v|2 = 20 8 |8v| =

37 Sabiendo que |8u| = 3, |8v| = 5 y 8u 2 8v, halla |8u + 8v| y |8u 8v|.

|8u + 8v|2 = (

8u +

8v) (

8u +

8v) =

8u

8u + 2

8u

8v +

8v

8v =

=(*) |8u|2 + |

8v|2 = 32 + 52 = 34 8 |8u + 8v| =

(*) 8u 2 8v 8 8u 8v = 0

|8u 8v|2 = (

8u

8v ) (

8u

8v) =

8u

8u 2

8u

8v +

8v

8v =

= |8u|2 + |

8v|2 = 32 + 52 = 34 8 |8u 8v| =

38 Sea B( 8x, 8y) una base ortonormal. Calcula |8x + 8y| y |8x 8y|.


|8x +

8y|2 = (

8x +

8y) (

8x +

8y) =

8x

8x + 2

8x

8y +

8y

8y = |

8x| + 0 + |

8y| = 2 8 |8x + 8y| =

|8x

8y|2 = (

8x

8y) (

8x

8y) =

8x

8x 2

8x

8y +

8y

8y = |

8x| 0 + |

8y| = 2 8 |8x 8y| =

39 Si |8u| = 4, |8v| = 3 y |8u + 8v| = 5, qu ngulo forman 8u y 8v ?

Razonando como en el problema resuelto nmero 7, llegamos a:

|8u + 8v|2 = |

8u|2 + 2 |

8u| |

8v| cos ( ) + |

8v|2

Sustituyendo los valores conocidos:

52 = 42 + 2 4 3 cos ( ) + 32

25 = 16 + 24 cos ( ) + 9

cos ( ) = = 0 8 ( ) = 908u,

8v

25 2524

8u,

8v

8u,

8v

8u,

8v

8u,

8v

2

2

34

34

20


40 Calcula x para que los vectores 8a(7, 1) y 8b(1, x) formen un ngulo de 45.

8a

8b = 7 + x = |

8a| |

8b| cos 45 8

8 7 + x = 8

8 14 + 2x = 8 = 8

8 = 8 = 1 + x2 8

8 49 + x2 + 14x = 25 + 25x2 8 24x2 14x 24 = 0 8

8 12x2 7x 12 = 0 8 x =

41 Calcula x para que 8a(3, x) y 8b(5, 2) formen un ngulo de 60.

8a

8b = |

8a| |

8b| cos 60

15 + 2x = 8 30 + 4x = 8

8 900 + 16x2 + 240x = 29 (9 + x2) 8 13x2 + 240x 639 = 0

x = = =

=

42 Halla las coordenadas de cierto vector 8x, sabiendo que forma un ngulo de60 con

8a(2, 4) y que los mdulos de ambos son iguales.

8 8a 8x = |8a| |8x| cos 60 8

8


m = = 5 2n

Sustituyendo en la segunda ecuacin:

(5 2n )2 + n2 = 20 8 25 + 4n2 20n + n2 = 20 8 n2 4n + 1 = 0

n = =

Si n1 = 0,27 8 m1 = 5 2 0,27 = 4,46 88x1 = (4,46; 0,27)

Si n2 = 3,73 8 m2 = 5 2 3,73 = 2,46 88x2 = (2,46; 3,73)

n1 = 0,27n2 = 3,73

4 232

4 16 42

10 4n2

12m + 4n =

20

20 8 2m + 4n = 10

2

m2 + n2 =

20 8 m2 + n2 = 20

|8a| =

20 = |

8x|

Sea 8x(m, n )

x1 = 2,36x2 = 20,82

240 301,426

240 9082826

240 57600 + 33 22826

29 (9 + x2)12

299 + x2

x1 = 4/3x2 = 3/4

7 49 + 57624

49 + x2 + 14x25

1 + x27 + x5

1 + x214 + 2x10

100 (1 + x2)

22

1 + x250


7UNIDAD

43 Determina un vector 8a que forme con 8b(1, 2) un ngulo de 30 y tal que

|8a| = |

8b|.

Sea 8a (x, y) 8

x 2y = |8a||

8b| cos 30

8=

8x 2y = ( ) ( ) 8 x 2y = x2 + y2 = 15 x2 + y2 = 15


x = 2y

Sustituyendo en la segunda ecuacin:

(4y2 + + 30y) + y2 = 15 8 5y2 + 30y + = 020y2 + 120y + 165 = 0 8 4y2 + 24y + 33 = 0

y = = = 3

As: 8a ( , 3 + ) o 8a = ( + , 3 )

44 Dados los vectores 8u(1, 3) y 8v(6, 4), halla la proyeccin de 8v sobre 8u.

Sabes que 8u

8v = |

8u| proy (

8v).

8u

8v = |

8u| (proy. de

8v sobre

8u)

(proy. de 8v sobre

8u) = = = = =

45 Dados los vectores 8a(5, 2) y 8b(4, 3), calcula la proyeccin de

8a sobre

8b y

la de 8b sobre

8a.

8a

8b = |

8a| (proy. de

8b sobre

8a )

8a

8b = |

8b| (proy. de

8a sobre

8b)

proy. de 8b sobre

8a = = = =

proy. de 8a sobre

8b = = = 14

520 6

25

8a

8b

|8b|

142929

14

2920 6

29

8a

8b

|8a|

9105

181010

18

106 + 12

10

8u

8v

|8u|

8u

32

332

32

332

32

24 438

24 576 5288

1654

2254

152

152

32

553

53x2 + y2

3


46 De una base B = {8u, 8v} se sabe que |8u| = 2, |8v| = 1 y 8u 8v = 1. En esa baselas coordenadas de dos vectores son

8x(1, 2) e

8y(1, 1). Calcula

8x

8y.


8x = 1

8u + 2

8v =

8u + 2

8v

8y = 1

8u + 1

8v =

8u +

8v

8x

8y = (

8u + 2

8v) (

8u +

8v) =

8u

8u +

8u

8v 2

8u

8v + 2

8v

8v =

= |8u|

8u

8v + 2|

8v| = 2 (1) + 2 1 = 1

47 Dados 8a(1, 2) y 8b(5, 5), expresa el vector

8b como suma de dos vectores:

uno de la misma direccin que 8a y otro ortogonal a

8a.

Mira el problema resuelto nmero 6.8b =

8x +

8y, donde:

8x tiene la misma direccin de

8a 8 8x = k8a = k (1, 2) = (k, 2k )

8y 2 8a 8 8y = h (2, 1) = (2h, h )

Entonces:

(5, 5) = 8x +

8y = (k, 2k ) + (2h, h ) = (k 2h, 2k + h )

Los vectores pedidos son 8x(3, 6) e

8y(2, 1).

48 Se sabe que 8c = 8a + 28b y

8d = 5

8a 4

8b son perpendiculares y que

8a y

8b

son unitarios. Cul es el ngulo que forman 8a y

8b?

Si 8c

8d = 0 8 ( 8a + 2

8b ) (5

8a 4

8b ) = 0.

Si 8c 2

8d 8 8c

8d = 0 8 (8a + 2

8b) (5

8a 4

8b) = 0

58a

8a 4

8a

8b + 10

8b

8a 8

8b

8b = 0

Como 8a y

8b son unitarios 8 |

8a| = 1 = |

8b|

5 |8a|2 + 6

8a

8b 8 |

8b|2 = 5 + 6

8a

8b 8 = 0

8a

8b = = 8 |

8a| |

8b| cos ( ) = cos ( ) = 8 ( ) = 120

49 Demuestra que el vector (8b

8c )

8a (

8a

8c )

8b es perpendicular al vector

8c.

Debes probar que [(8b

8c )

8a (

8a

8c )

8b ] 8c = 0.

Hay que probar que el producto escalar de ambos vectores es igual a 0.

8a,

8b1

2

8a,

8b

8a,

8b1

236

k = 3

h = 1

5 = k 2h

5 = 2k + h


7UNIDAD

Veamos primero cules son las coordenadas del primer vector:

(8b

8c)

8a (

8a

8c)

8b = (b1c1 + b2c2) (a1, a2) (a1c1 + a2c2) (b1, b2) =

= ((b1c1 + b2c2) a1, (b1c1 + b2c2) a2) ((a1c1 + a2c2) b1, (a1c1 + a2c2) b2) == (a1b1c1 + a1b2c2, a2b1c1 + a2b2c2) (a1b1c1 + a2b1c2, a1b2c1 + a2b2c2) =

= (a1b1c1 + a1b2c2 a1b1c1 a2b1c2, a2b1c1 + a2b2c2 a1b2c1 a2b2c2) =

= (a1b2c2 a2b1c2, a2b1c1 a1b2c1)

Calculamos ahora:

[(8b 8c) 8a (8a 8c ) 8b] 8c == (a1b2c2 a2b1c2, a2b1c1 a1b2c1) (c1, c2) =

= (a1b2c2 a2b1c2) c1 + (a2b1c1 a1b2c1) c2 =

= a1b2c2c1 a2b1c2c1 + a2b1c1c2 a1b2c1c2 = 0

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50 Indica si el resultado de las siguientes operaciones es un nmero o un vector:

a) 28a

8b b) (

8a

8b)

8c

c) (38a 2

8b)

8c d) (

8a +

8b) (

8a

8b)

a) Nmero b) Vector

c) Nmero d) Nmero

51 Si B(8a, 8b) es una base de los vectores del plano, seala cules de los si-

guientes pares de vectores pueden ser otra base:

a) (38a, 2

8b) b) (

8a

8b,

8a +

8b)

c) (8a

8b,

8a +

8b) d) (

8a

8b,

8b

8a )

a) S, pues no tienen la misma direccin, ya que 38a tiene la direccin de

8a y 2

8b

tiene la direccin de 8b (que, por ser B (

8a,

8b) base, no es la misma).

b) No, pues 8a

8b = 1 (

8a +

8b), luego los dos vectores tienen la misma direccin

(y sentidos opuestos).

c) S, pues tienen distinta direccin.

d) No, pues tienen la misma direccin al ser 8a

8b = 1 (

8b

8a).

a8

b8a b

8 8 a + b8 8

CUESTIONES TERICAS


52 Sean 8a y 8b dos vectores no nulos. Indica qu ngulo forman en los si-

guientes casos:

a) 8a

8b = |

8a| |

8b|

b) 8a

8b = 0

c) 8a

8b = |

8a| |

8b|

d) 8a

8b = 0,5 |

8a| |

8b|

a) cos ( ) = 1 8 ( ) = 0

b)8a 2

8b 8 ( ) = 90

c) cos ( ) = 1 8 ( ) = 180

d) cos ( ) = 0,5 8 ( ) = 60

53 Dados los vectores 8a(2, 6) y 8b(5, 1), calcula:

a) Las coordenadas de un vector unitario de la misma direccin que 8b.

b) Un vector de la misma direccin que 8b y cuyo mdulo sea igual a la pro-

yeccin de 8a sobre

8b. (Vector proyeccin de

8a sobre

8b).

a) Habr dos soluciones (8v y

8v)

Si 8v es vector unitario 8 |8v| = 1

Si 8v es de la misma direccin que

8b 8 8v = k

8b = (k5, k )

= 1 8 k = =

Luego las soluciones son:

8v = ( , ) y 8v = ( , )

b) proy. de8a sobre

8b = = = = =

Luego, |8v| =

y 8v = k

8b = (5k, k )

As: 8v ( , ), 8v ( , )81340138134013

82613

82613

162626

16

2610 + 6

26

8a

8b

|8b|

2626

52626

2626

52626

2626

1

2625k2 + k2

PARA PROFUNDIZAR

8a,

8b

8a,

8b

8a,

8b

8a,

8b

8a,

8b

8a,

8b

8a,

8b


7UNIDAD

8 = 8 k = 813

82613

26k2

54 Sean 8a y 8b los vectores que definen los lados de un rombo, partiendo de

uno de sus vrtices (cada vector determina un par de lados paralelos):

a) Expresa las diagonales del rombo en funcin de 8a y

8b.

b) Demuestra vectorialmente que las diagonales del rombo son perpendicu-lares.

a)8AC =

8a +

8b

8BD =

8b

8a =

8a +

8b

b) Hay que probar que 8AC

8BD = 0. Vemoslo:

8AC

8BD = (

8a +

8b) (

8b

8a) =

8b

8b

8a

8a = |

8b|

2 |

8a|

2

Como |8b| = |

8a| por ser la medida de los lados, se cumple que:

8AC

8BD = 0

55 Busca algunos ejemplos con los que se vea que 8a 8b =

8a

8c no implica que8

b = 8c.

Considera los vectores 8a,

8b y

8c del dibujo de

la derecha:

8a

8b = |

8a| proy. de

8b sobre

8a

8a

8c = |

8a| proy. de

8c sobre

8a

Como ambas proyecciones coinciden: 8a

8b =

8a

8c

Y, sin embargo: 8b ? 8c

56 Prueba, que si 8a 28b y

8a 2 8c, entonces: 8a 2 (m

8b + n

8c ), m, n .

Hay que probar que 8a (m

8b + n

8c ) = 0. Veamos:

8a (m

8b + n

8c )

(*)= m (

8a

8b) + n (

8a

8c)

(*) Propiedades 6 y 7 del producto escalar.

Como:8a 2

8b 8 8a

8b = 0

8a 2 8c 8 8a 8c = 0

57 Prueba que si 8a 28b y

8a 2 (

8b +

8c ) entonces se verifica que

8a 2 8c .

8 8a 8c = 0 8 8a 2 8c

Si 8a 2

8b 8

8a

8b = 0

Si 8a 2 (

8b +

8c ) 8

8a (

8b +

8c ) =

8a

8b +

8a

8c = 0

a8

c8

b8


8 8a (m8b + n

8c ) = m 0 + n 0

a8

b8

b8

a8

A C

B

D

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AUTOEVALUACIN

1. Se consideran los vectores 8u(2, 6) y 8v(1, 2).

Calcula 8u + 2

8v y

8u 3

8v grficamente y utilizando coordenadas.

8u + 2

8v = (2, 6) + 2(1, 2) =

= (2, 6) + (2, 4) = (0, 2)

8u 3

8v = (2, 6) 3(1, 2) =

= (1, 3) (3, 6) = (4, 9)

2. Sean 8u y 8v dos vectores unitarios que forman un ngulo de 60. Calcula:

a) 8u

8v b) (3 ) (2 ) c) proy ( + )

a)8u

8v = |

8u||

8v| cos 60 = 1 1 =

b) 3 (2 ) = 6( ) = 3

c) proy ( + ) = = = |8u|2 + = 1 + =

3. Expresa el vector 8a(1, 9) como combinacin lineal de la base B = {(2, 3),(1, 5)}.

(1, 9) = k (2, 3) + s (1, 5) = (2k s, 3k + 5s )

s = 1 4 = 3

Por tanto: (1, 9) = 2(2, 3) 3(1, 5)

= 2 38v

8u

8a

s = 1 2k

9 = 3k + 5(1 2k ) 8 9 = 7k + 5 8 k = 2

1 = 2k s

9 = 3k + 5s

32

12

8v

8u

8u

8u +

8u

8v

1

8u (

8u +

8v)

|8u|

8v

8u8

u

8v

8u

8v

8u

12

12

8v

8u8

u

8v

8u

12

12

12


7UNIDAD

8u

8 8u + 2v

82v

8 8(1/2)u 3v

8(1/2)u

8 3v

4. Consideramos los vectores (0, 2) y (1, ). Calcula:a) Su producto escalar.

b)El mdulo de ambos vectores.

c) El ngulo que forman.

a) = (0, 2) (1, ) = 0 1 + 2 = 2

b) | | = = 2

| | = = 2

c) cos ( ) = = =

( ) = arc cos = 30

5. Sea 8u(3, k), calcula k de forma que:

a)8u sea ortogonal a

8v(4, 6).

b)El mdulo de 8u sea igual a 5.

a) El producto escalar de dos vectores ortogonales es igual a 0.

2 = 0

= (3, k ) (4, 6) = 12 6k = 0 8 k = 2

b) | | = = 5 8 9 + k2 = 25 8 k = 4

6. Determina las coordenadas de un vector (x, y) que forme con el vector (1, 0) un ngulo de 60 y cuyo mdulo sea 2.

cos ( ) = cos 60 = = = 8 x = 1

| | = = = 2 8 1 + y2 = 4 8 y2 = 3 8 y =

Hay dos soluciones para el vector :

7. Obtn un vector 8u(x, y) ortogonal a 8v(8, 6) y cuyo mdulo sea la mitad delde

8v.

2 = 0

| | = | | = = 1064 + 368vx2 + y28u

8v

8u

8v

8u

8a (1,

3 )

8a (1,

3 )

8a

31 + y2x2 + y28a

x2 1

8a

8v

|8a| |

8v|

12

8a,

8v

8v

8a

9 + k28u

8v

8u

8v

8u

8v

8u

)32(8u, 8v32

232 2

8u

8v

|8u| |

8v|

8u,

8v

12 + 3 28v

02 + 228u

3338v8u

38v8u


(x, y) (8, 6) = 8x + 6y = 0

| | = | | 8 = 5 8 x2 + y2 = 25


Hay dos soluciones para : (3, 4); (3, 4)

8. Calcula la proyeccin de 8v sobre 8u, siendo 8u(2, 0) y 8v(3, 1).

proy = = = 3

9. Sean 8a y 8b dos vectores unitarios que forman un ngulo de 120.

Calcula |8a +

8b| y |

8a

8b|.

| + |2 = ( + ) ( + ) = + 2 + =

= | |2 + 2| || | cos ( ) + | |2 = 1 + 2 + 1 =

= 1 1 + 1 = 1 8 | + | = 1

| |2 = ( ) ( ) = 2 + =

= | |2 2| || | cos ( ) + | |2 = 1 2 + 1 =

= 1 + 1 + 1 = 3 8 | | = 38b

8a

)12(8b8a,

8b

8b

8a

8a

8b

8b

8b

8a

8a

8a

8b

8a

8b

8a

8b

8a

8b

8a

)12(8b8a,

8b

8b

8a

8a

8b

8b

8b

8a

8a

8a

8b

8a

8b

8a

8b

8a

6 + 02

8u

8v

|8u|

8v8

u

8u

8u

8u

y = 4 8 x = 3y = 4 8 x = 3

3x = y

49 25y2 + y2 = 25 8 y2 = 25 8 y2 = 16 8 y = 416 16

8x + 6y = 0

x2 + y2 = 25

x2 + y28v12

8u


7UNIDAD

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Vectores u 7