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Clase 1 Vectores y Producto puntoAlgebra Lineal Escuela de
Matematicas - Facultad de CienciasCodigo 1000 003 Universidad
Nacional de Colombia
1 Vectores en Rn
Definicion 1 Definimos Rn como el conjunto de todas las n-tuplas
ordenadas de numeros reales escritas como vectores fila ovectores
columna. De esta manera, un vector v en Rn se representa en la
forma
[v1, v2, . . . , vn
]o
v1v2...
vn
.El escalar vi se denomina la i-esima componente de v.
Definicion 2 (Suma de vectores y el producto por escalar) Sean
u, v vectores enRn y sea un escalar real. Definimos la sumade u y
v, denotada por u + v, como el vector de Rn dado por
u + v =
u1u2...
un
+
v1v2...
vn
def.=
u1 + v1u2 + v2
...un + vn
.Por otro lado, definimos el producto por escalar de y v,
denotado por v, como el vector de Rn :
v =
v1v2...
vn
def.=
v1v2
...vn
.Teorema 3 Sean u, v y w vectores en Rn y c y d escalares.
Entonces :
1. u + v = v + u. 2. u + (v + w) = (u + v) + w.
3. u +0 = u. 4. u + (u) = 0 ,
5. c(u + v) = cu + cv. 6. (c + d)u = cu + du.
7. c(du) = (cd)u. 8. 1u = u.
En las propiedades 3 y 4 del teorema 3,0 denota el vector cuyas
componentes son todas iguales a cero.
Ejemplo. Sean v1 =
121
2
, v2 =
102
0
y v3 =
1151
.Calcule los siguientes vectores:
3v1 + 2v2 v3, v1 + v2, v2 + v3 y 3(v1 + v2) + 2v2 + v3.
1
-
Solucion.
3v1 + 2v2 v3 = 3
121
2
+ 2
102
0
1151
=
3 + 2 16 + 0 13 4 5
6 + 0 1
=
45
125
.
v1 + v2 =
121
2
+
102
0
=
223
2
. v2 + v3 =
102
0
+
1151
=
2131
.
3(v1 + v2) + 2v2 + v3 = 3
223
2
+ 2
102
0
+
1151
=
669
6
+
204
0
+
1151
=
978
7
. Combinaciones Lineales
Definicion 4 Un vector v es combinacion lineal de los vectores
v1, v2, . . . , vk si existen escalares c1, c2, . . . , ck tales
que
c1v1 + c2v2 + + ckvk.Los escalares c1, c2, ..., ck son llamados
los coeficientes de la combinacion lineal.
Ejemplo. El vector u =
12
34
es combinacion lineal de los vectores u1 =
121
0
y u2 =13
21
ya que
5u1 + 4u2 = 5
121
0
+ 413
21
=
5 410 125 + 80 + 4
=
12
34
.
Ejemplo. Es el vector v =
1111
combinacion lineal de los vectores u1 y u2?Solucion. La
respuesta a este interrogante no es tan obvia y se obtendra
mediante la teora de sistemas de ecua-ciones lineales.
Ejemplo. Si u1 y u2 son los vectores dados en el ejemplo
anterior, encuentre el conjunto de todas las combina-ciones
lineales de dichos vectores.
Solucion. Denotemos por H al conjunto de todas las combinaciones
lineales de u1 y u2. Entoncesxyzw
H
xyzw
= a
121
0
+ b13
21
=
a b2a 3ba + 2b
b
.Luego,
H =
a b2a 3ba + 2b
b
| a, b R .
2
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2 El producto punto
Definicion 5 Si u =
u1...un
y v = v1...
vn
son vectores en Rn entonces el producto punto de u y v esta
definido poru v = u1v1 + u2v2 + + unvn.
Teorema 6 Sean u, v y w vectores en Rn y sea c un escalar.
Entonces :
(a) u v = v u. (b) u (v + w) = u v + u w.
(c) (cu) v = c(u v) = u (cv) (d) u u 0 y u u = 0 si y solo si u
= 0 .
Longitud
Definicion 7 La longitud (o norma) de un vector v =
v1...vn
en Rn es el escalar v definido porv = v v =
v21 + v
22 + + v2n.
La definicion anterior puede ser reescrita as: v2 = v v.
Teorema 8 Sea v en Rn y sea c un escalar. Entonces :
(a) v = 0 si y solo si v = 0 . (b) cv = |c| v .
Definicion 9 Un vector de longitud 1 se conoce como vector
unitario.
Si v 6= 0 , entonces q = 1vv es un vector unitario en la misma
direccion de v.
Ejemplo. Dado v =
121
2
, encuentre un vector unitario en la misma direccion de v.
Solucion. q =1vv =
110
121
2
=
10/1010/5
10/1010/5
.
Desigualdad de Cauchy-Schwarz. Para todo par de vectores u y v
en Rn :
|u v| u v .Desigualdad Triangular. Para todo par de vectores u y
v en Rn :
u + v u+ v .
3
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Angulo
Definicion 10 El angulo entre dos vectores u y v de Rn se
referira al angulo determinado por estos que satisfaga0 pi, como se
muestra en la figura siguiente
Por la ley del coseno,u v2 = u2 + v2 2 u v cos().
Notemos que u v2 = (u v) (u v) = u2 2(u v) + v2. Por tanto,2(u
v) = 2 u v cos().
Si u 6= 0 y v 6= 0 , entonces el angulo entre u y v satisface la
igualdad
cos() =(u v)u v .
Por otro lado, si u =0 o v =
0 , definimos =
pi
2.
Ejemplo. Calcule el angulo entre u =
1111
y v =
11
11
.Solucion.
cos() =(u v)u v =
22 (2)
=12
= arccos(
12
)=
pi
3.
Vectores ortogonales
Ahora generalizaremos el concepto de perpendicularidad de la
geometra vectorial a los vectores en Rn.
Definicion 11 Dos vectores u y v son ortogonales entre s, si u v
= 0.Como
0 v = 0 para todo v en Rn, entonces 0 es ortogonal a cualquier
vector de Rn.
Teorema de Pitagoras. Para todo u, v Rn se cumple queu es
ortogonal a v si y solo si u + v2 = u2 + v2 .
Prueba. () Supongamos que u v = 0. Puesto queu + v2 = (u + v) (u
+ v) = u2 + 2(u v) + v2 , (1)
entoncesu + v2 = u2 + v2 .
() Recprocamente, supongamos que u + v2 = u2 + v2. Reemplazando
en la igualdad (1)u2 + v2 = u + v2 = u2 + 2(u v) + v2 .
Cancelando a ambos lados se tiene que 2(u v) = 0. Luego, u v =
0.
4
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Proyecciones
Sean u y v vectores distintos de cero no paralelos como se
muestra en la figura:
Sea p el vector obtenido al trazar una perpendicular del punto
final de v sobre u. Notemos que p es paralelo a u. Portanto p = u.
Si consideramos el vector q = v u, entonces q es ortogonal a u.
Luego, q u = 0. As,
(v u) u = 0 u v u2 = 0 = u vu2 .
Por consiguiente,
p =u vu2 u.
Definicion 12 Dados los vectores u y v enRn con u 6= 0 ,
definimos la proyeccion de v sobre u, denotada por proyu (v)
,como
proyu (v) =u vu2 u =
u vu u u.
Ejemplo. Sean u =
1111
y v =
11
11
. Halle proyu (v) y proyv (u) .Solucion.
proyu (v) =u vu2 u =
24
1111
= 12
1111
y proyv (u) = v uv2 v = 24
11
11
= 12
11
11
.
5
