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8/18/2019 Vectores y Rectas en El Espacio
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UNIVERSIDAD ANDINA NESTOR CACERES VELASQUEZ
FACULTAD DE INGENIERIAS Y CIENCIAS PURAS
CARRERA ACADEMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVÍL
ALGEBRA MATRICIAL Y TENSORIAL
VECTORES Y RECTAS EN EL ESPACIO
Docente : Ing. Ruben Condori
Responsable :Oswaldo Madani
Semestre :Segundo
JULIACA-PERU
2013
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1.- Dados los vectores no coplanares y concurrentes en
A(1,-2,3) L1 : x−12 = y−22 =
z−31 ,L2 : x−13 =
3−z−4 ; y = −2 y L3 :
x−12 = y−21 = z−33 .
Hallar la ecuacion de la recta quepasa por el punto B(-4,2,6)
formadas con las rectas.
solución
primero grafiquemos
Sea L : {(−4, 2, 6) + t−→a /t∈ R} ,
entoncesComo las rectas son concurrentes en A(1,-2,3) y la recta
que se desea hallar pasa por lepunto B(-4,2,6), podemos asumir que
el vector dirección de la recta será −→a = −−→AB
= B−Aentonces −→a = (−5, 4, 3)por lo tanto
L : {(−4, 2, 6) + t(−5, 4, 3)/t∈ R}ecuación de la
recta en su forma vectorial.resolviendo
P = (x,y ,z) = (−4, 2, 6) + t(−5, 4, 3)
por lo tanto se tiene:
L :
x + 4
−5 =
y − 24
= z − 6
3Rpta
2.- Sean las rectas L1 : {(1,−2, 5) + t(2,
3,−4)/t∈ R} y L2 : {(−2, 1, 2) + s(0, 1, 3)/s∈
R}.Hallar la ecuación perpendicular común a ambas rectas.
solución
primero grafiquemos
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Sea −→a = (2, 3,−4) vector direccional de
L1y −→
b = (0, 1, 3) vector direccional de L2
entonces el vector direccional de L y L
es −→c = −→a × −→bentonces:
−→c =
−→a × −→
b =
i j k2 3
−4
0 1 3
−→c = −→a × −→b = (13,−6, 2)
El punto de paso para L es P(1,-2,5) y para L
es Q(-2,1,2)
por lo tanto:
L : {(1,−2, 5) + t(13,−6, 2)/t∈ R}
L : {(−2, 1, 2) + s(13,−6, 2)/s∈ R}
3.- Dados los vectores de un triangulo A(2,0-3); B(1,4,5) y
C(9,3,9). Hallar las ecuacionessimétricas de la bisectriz del
angulo del vertice “B”.
solución
la gráfica será
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Sea : L :
B + s−→b /s∈ R
la ecuacion de la recta bisectriz en B.
Entonces
−−→BA = A − B = (1,−4,−8)
−−→BC = C −B = (8,−1, 4)
los vectores unitarios respectivos son:
−→u =−−→BA−−→BA
=
1
9(1,−4,−8); si
−−→BA = 9
−→u =−−→BC −−→BC
=
1
9(8,−1, 4); si
−−→BC = 9
Ahora hallamos el vector dirección de la recta que es bisectriz
en el punto B
−→b−→b
= −→u + −→u = 19
(1,−4,−8) + 19
(8,−1, 4)
−→b =
−→b
9 (9,−5,−4)
4
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por lo tanto:
L :
(1, 4, 5) + s
−→b
9 (9,−5,−4)/s∈ R
entonces :
P = (1, 4, 5) + t(9,−5,−4); si t =
s
−→b
9
Resolviendo, si P=(x,y,z) entonces
L : x − 19
= y − 4−5 =
z − 5−4
4.- Si −→a = (2, 3, 1) y −→b = (2,
1,−3). Calcular la proyección del vector −→v =
3−→a − 3−→b ,sobre el vector −→x = −→b −
2−→a .
solución
entonces−→v = 3(2, 3, 1) − 3(2, 1,−3) = 3(0, 2, 4) = (0,
6, 12)
−→x = (2, 1,−3) − 2(2, 3, 1) = (−2,−5,−5) y
−→x =√
54
sea la proyección de −→v sobre −→x :
P roy−→x −→v = (−→v • −→x )−→x 2
−→x
P roy−→x −→v = [(0, 6, 12) • (−2,−5,−5)]
54 (−2,−5,−5)
P roy−→x −→v = (0 − 30 − 60)
54 (−2,−5,−5)
P roy−→x −→v = −90
54 (−2,−5,−5)
P roy
−→x −→v =
5
3 (2, 5, 5)
5.- Dados los vertices de un triángulo: A(2,-1,-3); B(1,2,-4) y
C(3,-1,-2). Determinar suarea y calcular las coordenadas del
vector
−→h que es colineal a la altura proyectada desde
el vertice A al lado opuesto, si vector −→
h forma con el eje −−→OY un angulo
obtuso y su
módulo es igual a 2√
34.
solución
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Del grafico:
−−→BC = C −B = (2,−3, 2)
−−→BA = A − B = (1,−3, 1)
si el área del triangulo está dado por:
A = 1
2
−−→BC ×−−→BA
entonces:
−−→BC ×−−→BA =
i j k2 −3 21
−3 1
= (3, 0,−3)
A = 1
2
−−→BC ×−−→BA = 1
2 (3, 0,−3)
A = 3√
2
2 u2 respuesta
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Sea el vector −→c perpendicular
a −−→BC y −−→BAentonces: −→c =
(1, 0,−1)
−→d = −−→BC ×−→c = i j k2
−3 21 0 1
= (3, 4, 3)
si−→d
= √ 34 entonces −→u =−→d−→d
= 1√
34(3, 4, 3)
como: −→u es paralelo a −→h entonces
:
−→u = −→h−→h
−→h
2√
34=
1√ 34
(3, 4, 3)
−→h = (6, 8, 6)
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