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vectores
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VECTORES c SOLVER EDK
Se pide demostrar que si el mdulo de la suma y diferencia de dos vectores en el espacio son iguales, entonces los vectores en el espacio son perpendiculares. Hacer por componentes.
Piden:Si |A-B|=|A+B|- A y B son perpendiculares.
Sea A=(Ax,AyA )B= (Bx,By,Bz)
| (Ax-Bx, Ay-By, a z-Bz ) |=| (Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz) |
j(A x-Bx)2+(Ay-By)2+(Az-Bz)2= J(Ax+Bx)2+(Ay+By)2+(Az+B;,)2
Ax+BX-2AX Bx+Ay+ By-2Ay By+A2+B-2AZ Bz=Ax+Bx+2AX Bx
+ Ay + By + 2Ay By-f Az + B2 + 2 Az Bz
4AxBx+4AyBy+4AzBz=0
Ax Bx+Ay By+Az Bz=0
AB=0
Si A.B=0>A y B son perpendiculares
Demostrar que:
(PxQ) (RxS)+(QxR). (RxP)+(QxS)=0
Usar la relacin: Px(QxR) =Q(P.R)-R(P.Q)
La demostracin es inmediata usando la relacin brindada. La idea es formar a partir de la relacin los sumandos que piden demostrar, al sumar dichas ecuaciones se
www.eduKperu.com I B lUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
encontrar con ciertos valores negativos que podr sumar igualando a cero la expresin.Dado los vectores P=(2,-l,l) y y Q=(-l,2,2)y R=(l,-2,a)
Cunto debe valer a para que los vectores sean coplanares.jC T lrfg filM
P,Q,R son coplanares si P.(Q x R)=0
i j k
____________ l O K ) .................................................................................................... '________ ACTORES
Resolviendo QxR= =(2a+4,a+2,0)- 1 2 2 1 -2 a
P.(QxR)=(2,-l,l)(2a+4,a+2,0)=0
=(2(2a+4)-(a+2)+0)=0
a=-2
Simplificax(Ax)+jx(Ax])+o
Piden demostrar que PxQ=QxR=RxP
Hallamos PxQ, Sabemos por (1)
Que Q=-P- R
=*PxQ=Px-1 (P+R)=-PxP-PxR
=-PxR=RxP
Para QxR=Qx(-Q-P)=-QxQ-QxP
=-QxP=PxQ
PxQ=RxP=QxR
|j||| Simplificar (PxQ).(QxR)x(RxP)
VECTORES
Simplificando utilizando la propiedad
AxBxC=B(A.C)-C(A.B)
A.(B x C)=C(AxB)= B.(CxA)
A.nB=nA.B, A.B=B.A
=>(PxQ. [ (QxK) x(RxP)]
=>(PxQ). R(QxR) .P-P(QxR) . R]
=> (PxQ). [R P(QxR)-P R(QxR)]
R (QxR)=0 ya que R IQ xR
=>=(PxQ)[R P(QxR)]
=[P.(QxR)][R.(PxQ)]
=[P. (QxR)] [P. (QxR)]
=[P.(QxR)]2
f | Demostrar: (PxQ).(RxS)=(PxR).(QxS)-(PxS).(Q xR)
( ~ SOLVER EDK
www. ecluKper u. corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
SOLVER EDK VECTORES
Queremos probar que:
(PxQ). (RxS)=(PxR) (QxS)-(PxS) (QxR)
Por propiedad A(BxC)=C.(AxB)=B.(CxA)
=> (PxQ). (RxS)=R. (SxPxQ)
=r. [p (s .q )-q (s .p )]= (r .p ) (s .q )-(r .q ) (s .p )
Ordenando(PxQ).(RxS)=(P.R)(Q.S)-(P.S)(Q.R)
Teniendo en cuenta las propiedades Px(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)
P.(QxR)=R.(P.Q)=a(RxP)
P.P=0 y PxQ=-QxP(PxQ). (RxS)=S[PxQxR]... .(1)
(Q.R).(PxQ)=P[QxQxR] .. ..(2)
(R.P).(Q.S)=S[RxPxQ].... (3)
De (1)
De (3)
De (2)
S.[Q(P.R)-R(P.Q)]=(S.Q)(P.R) (S.R) (P.Q )... (a)
S.[-PxQxR]=(S.Q)(P.R)+(S.R)(P.Q) .. .(p)
P[QxQxR]=0
Ya que QxQ=0 Sumando (a) y (P) Tenemos.
(PxQ)- (RxS)+(QxR)(PxQ)+(RxP) ((Q xS)=0
Demostrar que los vectores P= (2,8,0) ,Q= (-2,3,8) Y R=(0,6,-4) Pueden ser loslados de un tringulo. Hallar las longitudes de las medidas tringulo.
HSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II vvww.edukperu.com
VECTORES SOLVER EDK
Para que los vectores puedan ser lados de un tringulo tienen que cumplir:
RP+PQ=RQ
RP=(2,2#4) PQ= (-4, -5, 8)
RP+PQ=(-2, -3,12)=RQ Por tanto estos vectores si son lados de un tringulo.Tenemos el siguiente tringulo:
P
Hallamos las longitudes de las medianas:
RO-RQ--PQ
wvw edukperu. com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
SOLVER EDK J VECTORES
PN=^RQ-RP
Los componentes de las medianas son:
PN=(-3,~,2)
RO=(0,-i,8)
QM=(3,4, -10)Entonces las longitudes sern:
L,=|PN |=5,02
l2=r o |=8,oi
L3=|QM|=11,18
Q
agm urgtar
Teniendo en cuenta los tringulos PQR y PRS, tendremos que N y M son baricentros
respectivamente.
Dado el paralelogramo PQRS donde T Y L Son los puntos medios de los lados QRY PS respectivamente. Demostrar que PT Y PL dividen a la diagonal PQS entres partes mediante los puntos M Y N.
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. eci ukperu - com
VECTORES SOLVER EDK
Por lo tanto ON=^Q....(l) y MO=^SM....(2) probado en el problema 42
de los problemas resueltos.
Pero O divide en la mitad al vector MN, teniendo ^~=ON=MO...(3)
De (1), (2), y (3) obtenemos que:
m n = q =sm
Tomando MP=MA+AP pero MP=^BA+^AD
Pero sabemos que: BA+AD=BD
=>MP=^BD
De esto tenemos queMPIIBD
Ahora tomamos el vector NO tenemos NO= NC+ CO
O=^BC+^CD
Pero BC+CD=BD Tenemos que
O=^BD
De esto obtenemos que NBIIBD
Como BHBD y MPIIBD
Entonces NBIIMP y NB=MP
w w w - eduKper u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
>> SOLVER EDK 3 VECTORES
Lo mismo procedemos con los otros vectores:Por lo tanto:
MNHPO y.MN=OP
BIIMP yB-MP
f t Demostrar que las bisectrices de los ngulos de un tringulo se cortan en unpunto y se llama incentro y corresponde al centro de las circunferencias inscritas al
tringulo.
Tenemos que demostrar que AM.OM=BN.ON=AP.OP=C)
AM.OM=M.(M-B)
=AM. AM-AM. AO... (a)
La Proyeccin de AO sobre AB es
AO.p=AO cosa pero AM=AO cosa
=>AO.p-AM
En (a):
Luego:MlOM
De igual forma se puede demostrar que:
BN.ON=0 y AP.OP^O En el tringulo AMO y APO usamos la Ley de Senos
HSOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II
VECTORES SOLVER EDK
i - - MI -|OM|=|AB|senasen 90 sen a |O| |P| -|OP|=|AO|senasen 90 sen a
Luego |OP|=|OM|=R
De igual forma se demuestra que |OP|~|OM|=R
y VIH Mi
Del tringulo formado por los vectores
P,Q,RPor ley de senos tenemos
_ P ___Q Rsena sen0 ~ senoc(180-Q)
QP=-- - , oc=Q-0sen0Q=$?=-- -(sen0 cos0-sen0cos0)sen0
=>P=Qsen0-Qcos0
vw. ^ cofn.' SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
l
Dado los vectores P Y Q , que forman ngulo 0, demostrar:QsenG
tan0= -- -P+Qcos0donde 0es el ngulo entre la resultante y el vector P .
SOLVER EDK VECTORES
=tan0=Qsen0
P+Q cos0
Dado los vectores P yQ;R=mP+nQ, tal como se indica en la figura. Si P =3, Q = 5 y R =10. Hallar la relacin: m/n.
Tenemos los mdulos de cada vector: (P)=3 (Q)=5
Para los vectores que suman R deben de ser iguales, entonces:
(nQMmP)
Q|_m
T"m 5 n 3
Se dan los vectores P yQ forman un ngulo agudo tal que sen0= 3/5. Si el mdulo de
P=16 y sabiendo que P es ortogonal a(P-Q) : Hallar el mdulo de Q
JEffllKTOTgW
m SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV II www. ecj uk per, con
VECTORESr ~ -SOLVER EDK
Segn el dato Pl(P-Q)=> =90 de la parte sombreada, por ley de senos tenemos:P O
sen (90-0) sen90 P
=>0=sen53 =20
Las caras de un tetraedro regular son tringulos equilteros de lado a. (a) Hallar el ngulo que hace cada lado con la cara opuesta, (b) La distancia de un vrtice a la cara opuesta. Hacerlo por vectores.
www. e
SOLVER EDK VECTORES
a=|B|=|BC|=|CD|=|BD|=|AD|
El rea de la figura sombreada ser:
, ,. senO A=|BD|.|DM| -
MA+AD=MD
^MA+AD=MD
Si O es baricentro:
|MD|=Jr3|AC|
2 > OD=~MD
El
COSO|o d | _ | | m d | 2/ ^ | a c |
: |B D f | C r 3 V2 |AC|
V3Cos 0=-
0=54,73
Y la altura ser: h=a sen(54,73)
h=0,81 a
Sea PQRSTM los vrtices de un hexgono regular. Hallar la resultante
representados por los vectores. PQ , PR, PS , PT, y PM .
I SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
de las fuerzas
vvww. ed ukperu. co m
v e c to re s C SOLVER EDK
Q
Haciendo coincidir el punto P con el origen de coordenadas y considerando el lado de longitud a.Tenemos:
PQ=acos60+a senOj
PR=a senOj+a senOj
PS=2acos60+2a senOj
MS=(a+a cos60)+a senOj
PM=aiSumando en X y Y tenemos
PQ+PR+PS+MS+PM=3 a i+6a senO]
6a cos60i+a sen60j= 3PS
www.ediiKperu.cofn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
SOLVER EDK 3. VECTORES
% Demostrar que el polgono que resulta de unir los medios de los lados de un cuadriltero es un paralelogramo. Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular
aA= (l,l,l) y B=(2f3,-1).
Sea el vector P tal que |P|=1
P lB P IA
Si PB y 1PA>P.B=0P,A=0
P,B=(P1,P2,P3)(2,3r l)=2P1+3P2-P3=0...(l)
P.A=(P1,P2,P3)(1,1,1)=Pi+P2+P3-(I1)Resolviendo:
Hallando K:
_ 4 KP1=--KP2=KP3=3
|P|=1=JP?+P + Pl
9 8 V26
P=4=H-3,1)V26Hallar un vector de longitud 1 y perpendicular a A=(l, l,l)y B=(2,3,-l)
l
14 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY IIwww. ed i* per. con
VECTORES C SOLVER EDK
||p (a) Hallar todos puntos de que pueden ser el cuarto vrtice del paralelogramo formado por los otros tres vrtices A = (1,0,1), B = (-1,1,1) Y C = (2,-1,2) .(b) tambin hallar el rea del tringulo ABC.
m m m m m
Siendo A, B, C y D vectores de un paralelogramo se cumple que A+C=B+DEn el paralelogramo se cumple A+C = B+DTenemos:(2+P1,P2,P3+2)=(0, 1, 2)
P1=-2 ,P 2=2,P3=0 P=(-2, 2, 0)
Lo mismo se aplica para hallar los dems vrtices, por tanto tenemos que:
AC=(1, -1,1), AB=(-2,1, 0)
CB=(-3, 2, -1)
Sabemos que
www. edukp'er u corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
>> SOLVER EDK ) VECTORES
a a=q IACxABI
=ACxAB= j k1 -1 1
-2 1 01i r r a/6
=*AA=-'Jb=
Dos vectores P = (2,-3 ,6) y Q= (-1,2,-2) estn aplicados a un mismo punto. Hallar las coordenadas del punto R que tiene la direccin de la bisectriz del ngulo
formado por los vectores P y Q, Si R = 3a/42 .
Podemos relacionar de la siguiente arquitectura manera por grfico
Ahora hallamos K tal que
RxQIIPxR
RxQ=K PxR.... (a)
RxQ|=|K PxR|
| R|| Q| sen0=K | P|| K| sen0
De (a) tenemos que
-2b-2c= (^-3c-6b)
2a - c = 3/7 (-2c+6a) 2a + b = 3/7(2b+3a)
3- K=7
Resolviendo
a = -K
b= 5K c=4K
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II vvwvv.edukperu
VECTORESf~ _________________SOLVER EDK
Su mdulo del vector
Es
R=(-K, 5K, 4K)
3V2
=>K2+2SR2+16K2=9V42
K=3
*.RC-3,15,12)
3 Si P+Q+R = . Demostrar que PxQ+QxR+RxP=3PxR .
Teniendo en cuenta el problema 5) tenemos que
PxQ=RxP=QxR
^PxQ+QxR+RxP^PxQ
Hallar el rea del tringulo c u y o vrtices son los puntos A = (2,-2,3). B(1,-2)YC
= (4,2,-1)
CA=(-2, -4,4)
CB=(-3, -4,1)
Aa=1|CAx CB|
Aa= ^1(20, -14, -4)|
AA=Vl53
vAWv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II IBM
SOLVER EDK D VECTORESHallar el volumen del paraleleppedo cuyas aristas son P=(l,2,-1), Q=(3,4,-6)
y R=(2,1,-3)
V=|P.(Q x R)|
Q x R=i j k3 4 62 1 -3
(-6, -3, -5)
Se conoce los cosenos directos de dos vectores cuyos valores sona|,a2,a3 y b1; b2, b3 . Demostrar que ngulo entre ellos es 6 y se obtienes de la
expresin cos0=atbi+a2b2+a3b3
Como tenemos los cosenos directores de los vectores, tenemos los vectores unitarios
de ellos-,
V=^=-=(cosa, cosp, cos0)
W= 7^ T=COOC', cosp', COS0' lwjEntonces tenemos los valores:V=(a1,a2, a3)
ggfgj SOLUCIONARIO FISICA LEIVA1Y II vvww. edukperu. oo!Ti
E
VECTORES SOLVER EDK
W=(b,,b2,b3)Haciendo el producto escalar obtenemos el ngulo que forman:
V.W=(|V||\V|cosO
=cosO=(a,b,a2,b2, a3b3)
Dado el vector A y el escalar m , hallar el valor de B ,tan que A.B= m.
iii]HW3
Podemos dar la forma de:
B=A+A
Haciendo producto vectorial y considerando A=C se tiene:
AxB=CxA+AA
A.B=y||A2||A.B
o it =y
B=CxA+ ip^r .AIKII
Dos vectores y B tiene magnitudes iguales de 10 unidades. Estn orientados
como se muestran en la figura. Su suma es R=A+B. Hallar (a) los componentes
de R. (b) el mdulo de R. (C) El ngulo que forma R con el eje de los +x.
Lo dejamos como ejercicios para el lector, aplique los conceptos aplicados en los ejercicios aplicados en los anteriores ejercicios.
|p Dados los vectores A= (1,1,2).B= (1,3,4). C= (1,1,1) y P= (1,-5,1). Hallar los
valores de m, n y r para que mm-nB+rC=P.
Sean los vectores: A=(-l, 1, 2), B=(l, 3, 4)y C=(l, 1, -1)
' .-d jwu cosn SOLUClONARiO FISICA LE IVA 1 Y II
SOLVER EDK VECTORES
Por condicin del problema:
mA-nB-rC=(l, -5,1)Obtenemos las siguientes expresiones:
-m-n+5=l
m-3n+r=-5
2m-4n-r=lEn este problema utilizaremos cramer:
|Am| m= JA I
An " |A|
|Ar| r |A|
Siendo A matrices Entonces
1 -1 1-5 -3 11 -4 -1-1 -1 i1 -3 12 -4 -1
-17m=TLo mismo procede para n y r
-5
M SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www.edukperu.com
VECTORES c SOLVER EDK /2T
Como P||A 3 K E R tal que (P i ;P2,P3)=-K(2, -1, -4)
=>P,=-2KP2=+KP3-4K
|P|=KV2T=^^K=74 4SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y I
SOLVER EDK VECTORES
..P=(P1;P2;P3)=(-2K;K, 4K)=(0,5; 0,25; 1)
p Demostrar que un vector cualquiera A el espacio se puede expresar A=
(A i, A. J, A. k)
- /
Mostramos los vectores en el siguiente grfico:
Tenemos los siguientes componentes de A:
A=(|A|j|cos8;|A||j|cosa ;A|kcosy )
El producto escalar se define:
A.B=|A||B|cos0
=>A=(A. ,A.J,A.k)
Demostrar que un vector unitario cualquier Q en el espacio se puede :
Q= (eos a , eos p, eos y ) donde a, 3 y y son los ngulos que hace el vector A con los eje X , Y y Z.
m m m m
Cules son los valores de m y n para que A= (m,-2n,l)y =B= (n,-m,3) Son perpendiculares y A = 3.
SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y I www.'o kpfy ,co
VECTORES
A lB A . B=0
(m, 2n,l) (n,-m,3)=mn+2nb+3=0
Sabemos quemn=l
A=3=V m2+4n2+l
9=m2+4n2+l , n=l/m
8m2=m4+4
m4-8m2+4=0
Resolviendo tenemos que:
m=j42V3
n=- 1
Dado los vectores A y B dla figura: (a) Halla A.B (b) Hallar Axb.
De la figuraLos vectores estn en el plano XY entonces tenemos
SOLVER EDK
www.ectykperuxom SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y
23
SOLVER EDK D VECTORESA(V3 cos30, 6V3 sen30; 0)
Si el mdulo de la suma de dos vectores A y B es 8 y los mdulos de A5 de y B =10 Hallar el mdulo dla diferencia dlos vectores.
|A+B|=8 y |A|=5 |B|=10
Piden
I A-B=?
|A+B|=J|A|2+|Bj2+2|A||B| eos 0 =8
25 + 100 + 100 cosO = 64r> 61eos 0 = -
100
|a -b |= J|a |2+|b |!-2|a ||b | cos0 = 25+100-100 V 1 0 0 /
|A-B|=Vl80
Si el mdulo de la suma de dos vectores es V0 A=y V3 , B = 3. Hallar el
producto escalar A.B
|a +b |=VTo, a |=V3,|b |=3
Piden hallar A . B
|a +b |=VTo=^|a |2+Sb |2+2|a ||b | cosO
12+6V3 cos0=10 -1
=cos0=3V3 '
Sabemos que:SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II v-zww. d ukperu. corn
VECTORES I SOLVER EDK
A.B=|A||B|cosO
V3V3' .A.B=-1
Si el mdulo de un vector es A = 2 y el otro es de doble magnitud B = 2A, Si el ngulo que forman dichos vectores es 120. Hallar el mdulo de la suma de los vectores.
Piden hallar
|a |=2 |b |=2 |a |=4
|a +b |=?
Si
|a +b |=J|a |2+|b |2+2|a ||b | cosO
0=120
V4-16-16cosO=2V3
|A+B|=2V3
Dado dos vectores de un tringulo A= (1,1, 1), B= (l,-l,l) y C= (-2,1,-1). Hallar
el ngulo que hacen los vectores AB yAC.
wvvw. cd u Kper u, com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II 25
SOLVER EOK VECTORES
X
A
C
> y
Piden el ngulo =? t
AC=(-3, 0, -2)
B=(0, -2,0)
AC.AB= |AC||B|cos0
0=Vl3.2 cos0 cos0=O
.-.0=90
Dados los vectores P, Q, R y S, que cumple la condicin PxQ=RxS y Px R- Qx S .
Demostrar que el vector P- R .
Para que P-S sea paralelo a Q-R tiene que cumplir que: (P-S)x (Q-R)= O
Demostraremos esto:(P-S)x (Q-R)
(P-S)x Q-(P-S) x R
PxQ-SxQ-P-R+S-R
Por condicin:
PxQ=RxS
y PxR=QxS
SOLUCIONARIO FISICA LEIVA I Y II www. ed ykperu co m
VECTORES c SOLVER EDK
y sabiendo queAxB=-BxA
; tenemos
PxQ+QxS-RxS=0
.-.(P-S)ll(Q-R)
^ Dado los vectores A=(1,l,) , B=(-l,-a,a) y C=(a,l,-a). Cual el valor de a para que el
volumen definido por los tres vectores de igual a 7.
^ UH IHLUTenemos los vectores
A=(l, 1,1) B=(-l, -a, a)
C=(a, -1, -a)V=7
=>BxC=i j k1 -a aa 1 -a
=(a2-a, a2-a, a2-l)
A. (BxC(a2-a+ a2-a+ a2-l))=7
Resolviendo tenemos que
3a2-2a-l=7
3a2-2a-8=0
-4a = 2 -
wvwv.eduKperu.com SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
SOLVER EDK
j} Dado los vectores A=(l,-2, 2) y B=(-2, 2, -3) . Hallar la proyeccin escalar y
vectorial de B sobre A.
Siendo los vectores
A=(l, -2, 2)
B=(-2, 2,4)Piden hallar
Proy escalar =? y Proy vectorial =?
B
Proy escalar =
Proy. Vectorial
B^A
B._2 W 3
(B.) (2,-4, 4)|A|2 = ^
Si P.Q=20 Y P=3 , Q=10 Hallar |PxQ| .
j B f
Tenemos que P.Q=20 y |P|=3 ,.|Q|=10
Piden |PxQ|
P.Q= |P| jQ| cosO>cosO= \
>0=48, 20
VECTORES
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II I m e d ukperu. cqm'
VECTORES SOLVER EDK
Piden |PxQ|=|P||Q|senO
=80 sen (48, 20)
|PxQ|=10V5
Si B paralelo a C y B. (Ax C) = 0 entonces demostrar C
(PxB).
Tenemos queBlICy B.(AxC)=0
Piden demostrar queC.(xB)=0
B||C si 3 KeR tal que B=KC
=>C.(AxB)=, (BxC)=A.(KCxC)
=,K(CxC)=KA(CxC)=0
=>C.(xB)=0
C(AxB)
Si A es un vector en el plano y p7 un vector unitario A
WTOCTTenemos los siguientes vectores en el plano:Los componentes en la recta del vector unitario es
|X||p|cosO=A.p
y la otra ser|A||p|senO=Axp|
A=(.p , |Axp )
es perpendicular a
= (A.p, |Ax p|).
eclKm u , corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
SOLVER EDK D
f t Demostrar usando componentes: Px(QxR) = Q(P.R)-R (P Q
Primero calculamos
Ahora
QxR
QxR=i j k
di q2 i3u r2 r3
=(q2r3-r2q3, r,q3-q1r3, q ^ - r^ )
Px(QxR)=
Px(QxR)
i j kp, P2 P3
q2r3-r2q3 r,q3-q,r3 q1r2-r,q2
=( P 2 ( q , r2-r,q2)+( p3(q, r3-r,q3)
- ( p1(q1r3-rlq3)+( P3(q 2r3-r2q3)
-(P ^ q ^ - r^ H p2(q2r3r2Q3))
=( p2q irr p2nq2+ p3q ir3- p3riq3
- p, q i r2+p ir t q2+ p3q2'r3-p3i'2q3)
p1q,r3+ pr,q3- p2q2r3* p2r2q3)
Si le sumamos y restamos el siguiente vector
SSsOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II
VECTORES
www. edKpgnrccrn
u=(q, r, p,,q2 r2p2,q3 r3p3)
=( P2q,r2- P2nq2+ P3Qir3- P3riq3+qlriql-q1riql ,
- p,q1r2+p,r1q2+ p3q2r3-p3r2q3+q2r2p2-q2r2p2,
- P lq,r3+ P,r,q3- P2q2r3- p2r2q3+q3r3q3-q3r3q3)
=( P2q,r2+ P3qir3+ q,riPi, P,iriq2+P3q2r3+q2r2q2,
p1r,q3+ p2r2q3+ p1r1q3+ q3r3p3)+
(- P2r,q2- P3riq3- q,r,p,,- p,q,r2- p3r2q3- q2r2p2,
-p1q1r3-p2q2r3-q3r3p3)
=(q, ,q2Jq3) (p, n +p2r2+p3r3)-(r1 ,r2,r3)(p ,q ,+P2q2+P3q3)Sabemos que
P.R=(p1r,+p2r2+p3r3)
P .^ p ^ ^ p ^ + p ^ g )
P(QxR)=Q(P.R)-R(P.Q)
Se tiene un vector P, cuya tercera componente es 2, si P es perpendicular a
(1,-2,1) y (-1,1,-2). Hallar el vector P.
VECTORES ( __________________ SOLVER EDK
w w w eduR peru, corn SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
I SOLVER EDK D VECTORES
Jg iW IH liM r
P=(a, b, 2)
P l ( , -2, 1) y (-1 , 1 , -2)
=>P.(l,-2,l)=0
P.(-l,l,-2)=0
a-2b-2=0
-a+b-4=0Resolviendo que
a=-6b=-2
P=(-6, -2,2)
Ufy Si el vector R paralelo al vector Q xP y proyQ>P=1 sabiendo QHallar
Q.(PxR)
Piden hallarQ.(PxR)
Por condiciones del problema:
R||QxP=>el ngulo que forma o es 0o o 180
Pi'oyQ_ p= 757=1QP
|P|
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI V II
2, P=6 PY R =8.
www. ed ukperu, com
Q.P=|P|
De lo anterior hallamos que ngulo forman los vectores
Q y B
Q.P=|Q||P| cosa=|P|
|P| 1cosa= ._T-r = -
|Q||P| 2
=oc=60
Por propiedadQ. (PxR) =-R. (QxP)
VECTORES____ _________SOLVER EDK
-R.(QxP)=-|r| |QxP| cos(180)
|r | |Qx p |
Tenemos que
Qx(PxR)=|R| |Q| |P|sena
= 8.2.6 sen60
.-.Q.(PxR)-48V3
^ Se dan los vectores en el espacio A = (l,l,l), B= (l,-l,l) y C=-2,l,-2). Hallar: (a)
AB.BC (b) C x( AB-BC) (C) El vector unitario perpendicular al plano que pasa por los puntos A, B Y C. (d) El ngulo que hace el vector unitario de la pregunta, (c) con
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SOLVER EDK D VECTORESel vector D=(0,1,1). 48. Si es un vector constante y r es el vector que va del origen
al punto (x,y,z) demuestre que (r-A). A=0 es la ecuacin de un plano.
Sean los vectores A=(0,1, 0) B=(l, -1,1) y C=(-2,1,-2)
a) Piden B.BC=(l, -2, l ) (-3, +2, -3)
. AB.BC=-3-4-3=-l 0
Piden ACx(AB-BC)=(-2, 0, -2)x(4, -4,4)
ACx(AB-BC)=i j k
-2 0 -24 4 4
N=
=(-8, 0, -8)
=(4, 0,4)i j k
-2 0 -21 -2 1
El vector unitario de N es
N 1 P=T=77 = 7 = 0 / +1)N V2
D-P= cos0
COS0=D.p
|D|IPI
De esto hallaremos 0:
9=cos- , J 4 _ )V|d ||p |/
1 / +1/V2\ 0 = C O S ' '= (---- -=r
v i.V 2 y0=60
SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY www. edukpe u .com
VECTORES SOLVER EDK
Si A es un vector constante y r es el vector que va del origen al punto (x,y,z);
xr!+yr2+ zr3-(rf+r|+r|)=0
Tenemos que como es un vector constante y teniendo que rf+rf+r3=CSe tiene xr!+yr2+ zr3=CQue es la ecuacin cartesiana del plano.
1^3 Considerando los mismos vectores del ejercicios anterior demuestre que
(r-A).r=0;es la ecuacin de la esfera.
Del anterior problema obtenemos:
ri+r2+r3 xn+yr2+ zr3=0 Restando y sumando factores para conseguir ecuaciones cuadrticas tenemos que
demuestre que (-A).A=0 es la ecuacin de un plano.
M m m m
Sea r=(rl;r2,r3) yA=(x,y,z)
Se tiene que (A-r)r=(x-r1; y-r2; z-r3).(r1; r2; r3)
Y siendox
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SOLVER EDK 3 VECTORESr3-r z
y C constante Se tiene
xf+y2+zf=C
Que es la ecuacin de una esfera
3 Si A+B+C=0 y A =3, B=5, C =7. Hallar el ngulo que forman AY B.
Por ley de cosenos tenemos queA+B=-C
rr/~E\ IT 2I| A+ B|= C
Reemplazando:
=>C==WA2+B2+2AB c o s O
49-34=30 cosO
cosO= - =>0=60
Si B,C y D determinan un plano, la distancia de A a este plano:
|(A-B).(C-B)x (D-B)[|(C-B>(D-B)|
JgtlTOrtilMT
Cosenos B, C y D definen un plano se tiene
BSOLUCIONARIO FISICA LEIVAIY II www. edukperu. com
VECTORESSOLVER EDK
La distancia de A al plano ser
d(X plano)=ProyRBA
|(A-B).N|
Del grfico
d
d(A, Plano)=|1N,
N=(C-B)x(D-B)
|(A-B).(C-B)x(D-B)l A, Plano) j(C-B)x(D-B)|
j^ l Demostrar la mnima distancia de un puntoP i(X i,y1;Zi)
al plano cuya ecuacin cartesiana en,AX+BY+ CZ+D =0
a m a w m
P.CXpYpZ,)r -k N
Tenemos que la cartesiana es:Ax+By+Cz+D=0
De la cartesiana obtenemos N, siendoww w e d u Kd e r u. c o r n SOLUCIONARIO FISICA LE IVA I Y II
N=A,B,C
SOLVER EDK_____________ ............................................................... VECTORES
La mnima distancia se halla:
m^in
d(P|, Plano)=ProyRPP,
|(PrP).N|a (p,, Plano) j- j
|(Xr X, Yr Y,Zt-Z)-(A, B, C)|
dmin
Va 2+b2+c2
A(Xi-X+B(Yr Y)+C(Zr Z)J a2+b2+c2
Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadros de los diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.
JRTiW'WIil
Piden demostrar |A+B|2=A2+B2+2AB |A-B|2=A2+B2-2AB De la galxica
|D|MA|2y|B|M C|2
=>|A+B|2+|A-B|2=A2+B2+C2+D2
Si los nmeros a, b, c y d son diferentes de cero yaOA+bOB+cOC+dOD=0 y a +b+c+d=0. los puntos A, B, B C Y D Se encuentra en
un plano. ( sugerencia usar: a +b = - ( c + d) y el prob. 39)
Jc lIT iM W
38 SOLUCIONARIO FISICA L E IV A IY II www. eciukperu .ccm
VECTORES SOLVER EDK
Demostraremos que A, B, C y D estn en un mismo plano: Entonces; por condicin
aA+ bB+cOC+dOD=0...(l)Si tenemos a
BA= OA-BEn (1) reemplazamos:
aBA+ aOB+bOB+cOC+dOD=()
aBA+ (a+b)OB+cOC+dOD=C)Pero
a+b=-(c+d)
aBA- (c+d)OB+cOC+dOD=0
aBA+ c(OC-OB)+d(OD-OB)=0
aBA+ c(BC)+d(BO)=0
Si los vectores
B A , BCy BD suman cero entonces definen un plano.
Demostrar que la distancia mnima del puntoP (X i^ )
a la recta Ax + BY+D = 0 en el plano XY es:lAX^BYt+Dl
d=--- 7= VaW
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SOLVER EDK VECTORES
Ojo la demostracin viene de determinarla distancia a un punto cualquiera de la recta, la distancia mnima es cuando la proyeccin sobre la recta es cero, o sea haciendo sen0=O. Completa la operacin.
La distancia a la recta sera, IAXt+BYt+DI
d=--- =====V a^ b 5
Si A B C D es un cuadriltero cualquiera P y Q son los puntos medios de sus diagonales AC y BD, y M es el punto medio de PQ. Demostrar (a)
(B) +AD+CB+CD=4 PQ
(b)0A+0B+0C+0D=40M
,donde O es un punto arbitrario.
i U M
PQ=AQ-^AC
PQ=AD-^BD-^AC
40 SOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www.eukperu com
VECTORES SOIVER EDK
Pero:
Entonces:
AB CB CD CB PQ=AD- + +
. -. AB . CD PQ=AD- +CB-
CD=AD- ^ AB+ i CB
AB=BC+^AD-^CD
, . CB AD CD .AD 1 CB PQ=AD- + +CB -T- + +AB- 2 4 4 2 4 4
AD CB CD AB PQ- ~T~ + ~T~ + ~~7~ + ~7~4 4 4 4
4 PQ=AD+CB+CD+AB
Trazando el vector AM, se tiene lo siguiente:
OM=AM+OA....aPero
M=^C+^PQ2 2Hallando PQ por el resultado en a:
o
PQ AD+CB+CD+AB ~2~ 8
Pero
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SOLVER EDK 3VECTORES
AD=OD-OA ,CB=OB-OC
CD=CD-OC ,AB=OB-OA
PQ OD OA OB OC >~2~=~4 4 + 4 4
AC OC OA ~2~ = ~2~~ 2
Reemplazando en (oc)
___, OC OA OD OA OB OC *om=_2 2~ + _4 4~ + _4 4~
___, OA OC OD OBOM= + + +
.-.40M=0A+0C+0D+0B
Demostrar vectorialmente, que el baricentro, circuncentro y ortocentro de untringulo son colineales. (sugerencia usar en concepto de vectores paralelos).
i SOLUCIONARIO FISICA LEIVAIV IIwww.edukpertu
VECTORES SOLVER EDK
Sean los tringulos AOG y GOM.
Por propiedad del baricentro obtenemos que AG=2GM y por el teorema Simpson se demuestra que
AO=2CMPor semejanza de tringulos tenemos que
OG=2GCPor definicin un vector es paralelo a otro si
v=kw
OG es paralelo con GC y coolineales a la vez.Dado el paraleleppedo de base rectangular situado en el plano ZY, su altura a
lo largo del eje X .Hallar el volumen del mismo.(sugerencia hallar AxB.C).
Se dan los vectores del origen a los puntos A,B,C,D son
A=+J+K,B=2+3j;C=3+5 J-2K y D=K-J. Demostrar que AB||CD
Tenemos los vectores
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SOLVER EDK 1 VECTORES
A=(l, 1,1)
B=(2, 3, 0)
C=(3, 5, -2)
D=(0, -1,1)
AB || CD
ABIICD
AB = KTD
B=(1,2, -1)
CD=(-3, -6, 3)Por lo tanto K=-3 Entonces
3 KeR / *AB=:-3CD
3 Demostrar (AxB)xA.A=0 para todo A y B en tres dimensiones.
jcrmnrrgmTWSea
A y B
Piden demostrar
Entonces si
si 3 K6R tal que
De aqu tenemos que
HSOLUCIONARIO FISICA LEIVAI Y II www. ed ukperu co n
VECTORES c SOLVER EDK
vectores en tres dimensiones, piden demostrar
(AxB)x A. A=0
Por propiedad
AxBxC=B(A.C)-C(A.B)
YA.B=B.A
=. (AxB)xA=A[B(A.A)-A(A.B)]
=( .b ) (a . a )-( a ) (a .b )=o
Dado un vector B=( 1,-2,2). Hallar el vector A tal que sean paralelo a B y demdulo 9.
AIIB si 3 KeR/A=K B
^=(K, -2K, 2K)Y su mdulo
|A=9
=>V91?=9 =>K=3 .-.=(3, -6, 6)
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