VEHICULOS ESPACIALES Nociones de dinámica …labprop.dmt.upm.es/ljuste/Leccion120.pdf · Leyes del movimiento de Newton basadas en las tres leyes del movimiento de los planetas formuladas

Tecnología Aeroespacial

Gregorio L. Juste http://labprop.dmt.upm.es/ljuste (01.10.2006)

VEHICULOS ESPACIALES

Nociones de dinámica orbital

Dinámica orbital : aplicación de:



+



VEHICULOS ESPACIALES

Nociones de dinámica orbital

GM = 398601.2 km3/s2



Movimientos de planetas y satélites : segunda ley de Newton + ley de gravitación universalLeyes del movimiento de Newton basadas en las tres leyes del movimiento de los planetas formuladas por Kepler

•1600: Kepler meets Tycho Brahe

•1601: Tycho Brahe Dies

Newton’s laws are analogous, for bodies with comparable masses.



Problema de un cuerpo

( )

22

2

2

2ª

(1)

12 0 (2)

(2)

. (3):

ley Newton ley de gravitación

r rr

dr r rr dt

dela ecuaciónconservación del momentocinético

r h consth momentocinético por unidad demasa

μθ

θ θ θ

θ

+

− =−

+ = =

⇒⇒

= =

2

22 2

2 2

1 (4)

1

(5)

dr dr d h dr d dur h hdt d dt r d d r d

siendo u rdr dr d h d du d ur h h udt d dt r d d d

θθ θ θ θ

θθ θ θ θ

⎛ ⎞= = = =− =−⎜ ⎟⎝ ⎠

=

⎛ ⎞= = = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠



( )

2

2 2

02

0

3 5 1

(6)

cos (7)

Sustituyendola ecuación y enlad u ud hintegrando

u ch

c y constantes deintegración

μθ

μ θ θ

θ

+ =

= + −

La constante θ0 nula tomando un origen determinado para θc se puede expresar en función de la energía total del sistema E.

( )2 2 2 2

222

1 12 2

(8)2

E T U V r rr r

h du u ud

T energía cinéticaU energía potencialV módulo del vector velocidad

μ μθ

μθ

= + = − = + − =

⎡ ⎤⎛ ⎞= + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦



Introduciendo 7 en 8 2

2 2

2

2

2

21 (9)

1 (10)1 cos

1 2 (11)

Ehch

sustituyendoenla ecuación dela trayectoriahr

edonde

Ehe

μμ

μ θ

μ

= +

=+

= +

e : Excentricidad de la órbita

2 2

2 2

0 ( 2 )0 1 ( 2 0)

1 ( 0)1 ( 0)

Circunferencia e E hElipse e h EParábola e EHipérbola e E

μ

μ

= = −

< < − < <= => >





Segunda ley de Kepler

2

2 2

0 0

1 1 (12)2 2

1 1lim lim . (13)2 2 2t t

A r r r

A dA hr r constt dt t

θ θ

θ θΔ → Δ →

Δ ≅ ⋅ Δ = Δ

Δ Δ= = = = =

Δ Δ

Periodo de la órbita P

( )2 2

2

2 (14)

(10)0

1 1 1 1 1 (15)2 2 1 1 1

p

a

p a

área dela elipse A abA abP

dA dt henla ecuaciónr r en

r r en

h ha r re e e

ππ

θ

θ π

μ μ

=

= =

= =

= =

⎛ ⎞= + = + =⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠



2

3 3

2 2

1 (16)(15) (14) (16)

2 . ( )4

b a eSustituyendo h de en yutilizando

a aP const tercera ley de KeplerP

μπμ π

= −

= ⇒ = =

Velocidad orbital

( )

( ) ( )

( )

2 22

22

1 (19)

(8)

1 1 12

1 1 (20)2 2

(8) (20)

2 1

a aa

a a

Velocidad enel apogeohV r er h

haciendo V V y r r enla ecuación

E e eh h

eh a

comparando y

Vr a

μθ

μ μ

μ μ

μ

= = = −

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠



Órbitas terrestres

( )

( ) ( )

0

0

0

0

0

2

0

0

( )

( )

1( )

1 202

C

C

C

e e

e

V

V VR h

V V elipses

V V elipses

V excentricidad e parábolaVelocidad parabólica o deescape

V VR h R h

V V hiperbólas

μ

μ μ

=

= =+

< →

> →

↑ ⇒ =

− = ⇒ =+ +

>

Cohetes de sondeo



2 2 2 3 20 0 0.00986378 398601gr g R km sμ⊕ = = = =

( )2

3

0 7.9 /

200

: , ( 24 )

(18) 357834

c

g

h Vh V km s

satelites orbitasbajas circulares o deexcentricidad muy pequeñaaltura mínima operativa km

OrbitaGeostacionaria circular ecuatorial directa periodo de horas

Pde h R h km

Ó

μπ

↑ ⇒ ↓= =

⎛ ⎞+ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2

2

2

pa

a p a

ap

a p p

rbitas Elípticasr

Vr r r

rVr r r

μ

μ

=+

=+



Determinación de la órbita en un plano a partir de las condiciiones inicialesDatos r y V

21 (8)2

E T U Vrμ

= + = − E

(20)2

Eaμ

= − a

( )1 23

2

2

sin

1

Periodo

P a

h r V h rVexcentricidad

hea

π μ

φ

μ

=

= ∧ ⇒ =

= −



MISIONES ESPACIALES







MANIOBRASCambio de velocidad : acción propulsiva instantanea, cambio de velocidad sin cambio de posición

Velocidad Característica de la misiónMisión compuesta por n maniobras

( )( )

( )

( )

1 0 1

2 1 2

1

0

ln

ln

ln

ln

s

s

n s n n

s n

V I g m m

V I g m m

V I g m msumando

V I g m m

−

Δ =

Δ =

Δ =

Δ =



Maniobras espaciales típicas

Interceptación

( )

0 0 0

3

30

3 20

2 DVr D r r

D

D rt

D rD

ν

μ μ

μω

πμ

φ π

Δ = −+

=

+=

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠



Transferencia de Hohmann

1

2

2

2

f

i f i i

i

f i f f

rV

r r r r

rVr r r r

μ μ

μ μ

Δ = −+

Δ = −+

( )

2 1 11 11

0

212

inicial

f

i

i f

vuelo

VV

rrr r

a

atiempo devuelo t Periodo a

λλ λ λ

λ λ

πμ

Δ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟+ ⎝ ⎠

= < < ∞

+=

= =



Planeta a(AU)

VPL(km/s)

TH(años)

ΔV1(km/s)

ΔV2(km/s)

ΔVH

= ΔV1

+ ΔV2

(km/s)

MERCURI O

0.387099 47.89 0.2888 −7.533 −9.612 −17.145

VENUS 0.723332 35.05 0.3999 −2.495 −2.707 −5.202

MARTE 1.523691 24.13 0.7087 2.945 2.649 5.594

JÚPITER 5.322803 13.05 2.7309 8.793 5.643 14.436

SATURNO 9.538843 9.64 6.0481 10.289 5.443 15.732

URANO 19.18228 6.80 16.028 11.280 4.660 15.940

NEPTUNO 30.05708 5.43 30.596 11.654 4.054 15.708

PLUTÓN 39.75000 4.73 45.985 11.817 3.678 15.495

∞ ∞ ∞ 12.337 --- 12.337

Órbita heliocéntrica: la transferencia de Hohmann

Transferencias desde la Tierra



Misiones interplanetarias

( )2 20 02V V V V∞ = + Δ −

TIERRASOL

c 0017-00-INTERP

VENUS

MARTE





Mision ΔV (km/s)

Superficie terrestre a OTB 7.6

OTB a OGE 4.2

Escape de la Tierra desde OTB 3.2

Escape desde la superficie de la Tierra 11.2

OTB a órbita lunar (7 días) 3.9

OTB a órbita de Marte* (0.7 años) 5.7

OTB a órbita de Marte (40 días) 85.0

Superficie terrestre a la de Marte y vuelta* 34

OTB a órbita de Venus y vuelta* (0.8 años) 16

OTB a órbita de Mercurio y vuelta* 31

OTB a órbita de Júpiter y vuelta* (5.46 años) 64

OTB a órbita de Saturno y vuelta (12.1 años) 110

OTB a órbita de Neptuno (29.9 años) 13.4

OTB a órbita de Neptuno (5 años) 70

OTB a órbita de Plutón* (45.5 años) --

Escape del Sistema Solar desde OTB 8.7

OTB a 1000 UA (50 años) 142

OTB a α-Centauro (50 años) 30.000

* Con transferencia elíptica de HohmannOTB Órbita terrestre baja de 270 kmOGE Órbita geoestacionaria, 42,227 km de

radio.UA Unidad Astronómica = 149.558.000 km

(distancia tierra-sol).

























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