Campo de Velocidades

Si consideramos el vector velocidad ( ) en coordenadas cilndricas, en sus respectivas componentes radial, azimutal y segn z, la ecuacin de continuidad en trminos adimensionales:

( )

La ecuacin adimensional del momento lineal escrito en forma vectorial y en trminos del esfuerzo:

Al desarrollarla segn sus componentes:

- Momento Lineal en

( )

( )

[

( )

( )

( )]

- Momento lineal en

( )

( )

[

( )

( )

( )]

- Momento lineal en

( ) ( )

[

( )

( )

( )]

Expresando las ecuaciones de momento en trminos de la velocidad:

[

]

[

]

[ ]

Donde los trminos forzantes vienen dado segn:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

- Ley de deformacin

La ecuacin que modela la deformacin viene dada por:

En la ecuacin anterior P representa la presin, es la contribucin newtoniana del esfuerzo, es el tensor de esfuerzo y la viscosidad del solvente. El ltimo componente de la ecuacin es la contribucin no newtoniana del tensor de esfuerzo. La matriz unitaria de deformacin:

(

)

donde:

(

)

(

)

(

)

El esfuerzo:

(

)

- Modelo Phan-Thien Tanner

Esta ecuacin considera un tiempo de relajacin ( ), la viscosidad molecular ( ) y tambin incluye parmetros que emulan las propiedades de elongacin del fluido. con:

( ) ( )

Ahora si definimos y asumiendo que no hay variacin con respecto al tiempo, la expresin anterior queda de la forma:

con:

( )

Reescribiendo el modelo con las consideraciones ya mencionadas:

[

( )] [ ]

De lo anterior, es operador traspuesto, y son parmetros del material y corresponde a la contribucin molecular a la viscosidad del fluido sin esfuerzo de corte (tasa de cero cizalle). Este modelo supone que un lquido con viscosidad y en l se disuelve un lquido viscoelstico con viscosidad , es decir:

[ ( )

( )[ ] ]

Donde corresponde a la velocidad de cizalle. El exponente es siempre menor o igual a 1. La viscosidad de orden cero viene definida como , donde es la viscosidad del fluido newtoniano, por lo tanto:

Considerando el cambio de variables

y adems ( ) , es posible reescribir el

tensor total de esfuerzos como:

( ) Segn el modelo MPTT (S. C. Xue, Phan-Thier y R. I Tanner) haciendo , lo que implica tomar y debido a lo anterior . Teniendo presente esto, el tensor de esfuerzos queda:

Notar que aunque no aparezca explcitamente el tensor de deformacin en el tensor de esfuerzo , este est incluido en la ecuacin constitutiva de , por lo que volver a aparecer de manera indirecta en las ecuaciones de Navier-Stokes. La ecuacin constitutiva del modelo MPTT:

( ( ) ) (

( ))

Ingresando a la ecuacin constitutiva parmetros adimensionales, queda definida:

[ ( ) ( ( ) )] ( ( ))

En la ecuacin anterior se emple el nmero adimensional de Weissenberg que viene dado como:

( )

- Criterio de Flujo Secundario

Con esto se busca analizar las componentes transversales del flujo. Para esto se introduce la funcin de corriente ( ), definida como:

( )

( )

Donde los trminos forzantes se determinan de la manera indicada anteriormente:

( ) ( ) Es sabido que en ausencia de trminos forzantes o de manera ms general, si , no se tienen componentes asociadas a y , por lo que el flujo es puramente axial. Por el contrario si la expresin anterior es distinta de cero, entonces se est en presencia de flujos secundarios. Las respetivas componentes quedaran determinas por:

- Mtodo de Solucin Para determinar las componentes de la velocidad, radial , azimutal y segn , se emplea el mtodo de las perturbaciones regulares respecto al nmero de Weissenberg (o , tiempo de relajacin). Se reescribe la ecuacin constitutiva en forma conveniente y agregando adems, los siguientes supuestos, , lo que nos lleva a:

[ ( ) ( ( ) )] Si es una variable dependiente cualquiera e ingresando a est, perturbaciones respecto al nmero de Weissenberg (o , tiempo de relajacin):

( ) ( ) ( ) ( ) Se definen las variables: Escalares:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Tensores:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Estas expansiones se introducen en las ecuaciones de Navier-Stokes, as como la ecuacin constitutiva y se igualan las potencias con semejantes orden, lo cual da lugar a las perturbaciones regulares.

- Factor de Forma El factor de forma con el que se est trabajando corresponde a una lgrima. Esta geometra queda definida de la unin entre un tringulo equiltero y una elipse, viene dada por:

( ) ( )

( )

- Trminos de orden ( ( )) Las ecuaciones son:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

De la ltima ecuacin tenemos:

( )

[

( )

( )

( )

( )

]

( )

[

( )

( )

( )

( )

]

[

( )

( )

( )

( )

]

A este orden, no est incluido el tiempo de relajacin, por lo que se desprende que el modelo de Phan-Thien Tanner se ve reducido al de un fluido Newtoniano (corresponde a la contribucin newtoniana del fluido). Tambin para este orden, no se est en presencia de trminos forzantes, es decir que no existe

flujo secundario para orden ( ( )).

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

Por otra parte la ecuacin de Navier-Stokes en la coordenada genera:

( )

( )

con:

( ) ( ) ( )

( )

se obtiene:

( )

( )

Para satisfacer automticamente la condicin de no deslizamiento sobre la superficie del tubo, se considera la velocidad para este orden:

( ) [( ) ( )

( )]

- Trminos de orden ( ( )) Para este orden de perturbacin, las ecuaciones son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )

donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Recordar que y considerando solo los trminos que entran en las ecuaciones de flujo secundario, momento en y en :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

El gradiente de la velocidad de manera matricial traspuesto:

[

]

Evaluando:

( )

[

( )

( )

]

Ahora:

( ) ( )

( )

( ) [

( )

( )

]

[

( )

( )

( )

( )

]

( )

[

( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

]

Lo que implica:

( )

[

( )

( )

( )

( )

]

Despejando finalmente ( ):

( )

[ (

( )

)

( ( )

)(

( )

)

( ( )

)(

( )

)

( ( )

)

( ) [( ( )

)

( ( )

)

]]

Se analiza la existencia de flujos secundarios verificando los trminos forzantes que para este orden son:

( ) ( )

( )

[ ( )

( ) ( ) ( )]

( ) ( )

( )

[ ( )

( ) ( ) ( )]

( ) ( )

( )

Se introduce la funcin de corriente:

( ) (

( ))

( ( ))

Donde se deduce que ( ) , por lo que para este orden no existe flujo secundario. Adems

con esto se concluye que ( ) ( ) La ecuacin de Navier-Stokes en la componente tiene la forma:

( )

( )

( )

Considerando el gradiente de presin igual a cero, la ecuacin anterior queda:

( )

Esta expresin es muy similar a la obtenida para el orden ( ( )), pero anulando el gradiente de presion se obtiene que:

( ) Por lo tanto, no hay contribucin alguna al campo de velocidad para este orden.

- Trminos de orden ( ( )) Para este orden de perturbacin, las ecuaciones son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ( ( )) ( ) ( ( )) ( )] ( ) ( ) ( ( ( )))

( ) ( )

donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

De lo obtenido en el orden ( ( )), se deduce que, ( ) ( ) ( ) ( ) , y adems:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Recordar que y tambin ( ) . Considerando solo los trminos que entran en las

ecuaciones de flujo secundario, momento en y en :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La forma de la matriz ( ) es:

( )

[

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

]

donde:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Los trminos que existen de la matriz:

( )

( ) ( ) ( ( )

) [(

( )

)

( ( )

)

]

( )

( ) ( ) ( ( )

) [

( ( )

)

( ( )

)

]

Se analiza la existencia de flujos secundarios verificando los trminos forzantes, que para este orden son:

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )[ ( ) ( ) ( )

( )]

Se introduce la funcin de corriente:

( ) (

( ))

( ( ))

Donde se deduce que ( ) , por lo que para este orden no existe flujo secundario. Adems

con esto se concluye que ( ) ( ) La ecuacin de Navier-Stokes en la componente tiene la forma:

( )

( )

( )

Considerando el gradiente de presin igual a cero, la ecuacin anterior queda:

( ) ( )

La ecuacin diferencial a resolver es la siguiente:

( ) ( )[ ( ) ( ) ( )

( )] Para poder determinar la solucin a esta ecuacin, se propone que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Con esto se obtiene (igualando trminos):

[ ( )]

[ ( ) ( )] ( )

[ ( ) ( )] ( )

donde:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Los trminos ( ), ( ) y ( ), se buscan aplicando el operador Laplaciano.

- Termino ( ) [ ( )]

[

( ( ))

]

[

( ( ))

( ( ))

]

( )

( )

Como la funcin deber ser contina la constante debe ser cero, con aquello se tiene:

( )

- Termino [ ( ) ( )]

( )

( ( ))

( ( ))

( )

Se busca una solucin mediante series de potencia, se define:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Reemplazando:

( ) [( ) ( )

]

Se sabe que (

)] , por lo tanto: [( )( ) ( ) ]

Finalmente:

( )

- Termino [ ( ) ( )]

( )

( ( ))

( ( ))

( )

Se busca una solucin mediante series de potencia, se define:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Reemplazando:

( )

( )

( ) [( ) ( )

]

Se sabe que (

)] , por lo tanto: [( )( ) ( ) ]

Finalmente:

( )

Ahora (esta expresin esta factorizado):

( ) ( ) [ ( )

( )

( ) ( )

]

Con la velocidad ( ) calculada, se debe fijar la condicin de borde de no deslizamiento:

( ) ( )( ( ) ( ))

( ) [( ) ( )

( )]( ( ) ( )) Lo que nos lleva:

( ) [ ( ) ( )(

) ( )(

)]

Para cumplir las condiciones de continuidad, se debe cumplir la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( )

( ) Calculo de las constantes , y , igualando las ecuaciones queda definido de la siguiente manera:

- Para (

) ( )

( )

( )

Para que sea continua se debe cumplir que el numerador de esta funcin sea cero con lo que queda lo siguiente:

( ) Con la constante ya conocida, la funcin :

( )( )

- Para

(

) [ ( ) ( )

( )]

[ ( ) ( ) ( )

( )]

( )( )

Reemplazando determinado anteriormente:

[ ( )

( ( ) ( ) ) ( )]

( )( )

Para que sea continua se debe cumplir que el numerador de esta funcin sea cero con lo que queda lo siguiente:

( ) ( )

Con la constante ya conocida, la funcin :

[ ( )] ( )

- Para

(

) [ ( ) ( )

( )]

[ ( ) ( ) ( )

( )]

( )( )

Reemplazando determinado anteriormente:

[ ( )

( ( ) ( ) ) ( )]

( )( )

Para que sea continua se debe cumplir que el numerador de esta funcin sea cero con lo que queda lo siguiente:

( ) ( )

Con la constante ya conocida, la funcin :

[ ( )] ( )

Como se han determinado las constantes , y , el flujo axial queda determinado de la siguiente manera:

( ) [( ) ( )

( )]( ( ) ( ))

( )( ) [ ( ) ( )

( )( )] [( ( )) ( )

( )

( )(( )( ) ( ( ) ( )))]

- Trminos de orden ( ( )) Para este orden de perturbacin, las ecuaciones son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )]

( ) ( ) [( ( ( ))) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( )] ( )

donde:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

De lo obtenido en el orden ( ( )), se deduce que, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , y adems:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Recordar que y tambin ( ) . Considerando solo los trminos que entran en las

ecuaciones de flujo secundario, momento en y en :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

La forma de la matriz ( ) es:

( )

[

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

]

donde:

( )

( ) ( )

( )

Los trminos que existen de la matriz:

( ) ( ) (

( )

)

[( ( )

)

( ( )

)

]

( )

( ) ( ) ( ( )

)(

( )

) [

( ( )

)

( ( )

)

]

( ) ( ) (

( )

)

[

( ( )

)

( ( )

)

]

( ) ( )

[ (

( )

)

( ( )

)

]

Se analiza la existencia de flujos secundarios verificando los trminos forzantes que para este orden son:

( ) ( )

( ) ( )[ ( ) ( ) ( )

( )]

( ) ( )

( ) ( )[ ( ) ( ) ( )

( )]

( ) ( )

( )

Se introduce la funcin de corriente:

( ) (

( ))

( ( ))

Basado en los valores determinados de los trminos forzantes, tenemos:

( ) ( )[ ( )( ) ( ) ( )( )

( )] Expresin que al ser distinta de cero indica la presencia de flujos secundarios. Para poder determinar los respectivos flujos en la componente radial y la azimutal se debe resolver la

ecuacin diferencial expuesta anteriormente y determinar ( ). El lado derecho de la ecuacin anterior tiene la forma: ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) donde: ( ) ( )( )

( ) ( )( )

Proponemos una solucin de la siguiente manera:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dejando de lado los trminos que no varan, es decir ( ) y

( ) , respectivamente.

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Llevando lo anterior a la funcin de corriente:

[ ( ) ( ) ( ) ( )] ( )

( )

( )

( )

Aplicando las propiedades del bilaplaciano:

[ ( )] ( ) [ ( )] ( )

( )

( )

( )

( )

donde

[ ( )] ( )

[ ( )] ( )

El bilaplaciano viene dado (los trminos que depende de , no estn considerados, ya que no hay variacin respecto de esta variable):

( )

Resolviendo las ecuaciones anteriores y ordenando la ecuacin:

( )

( )

( ) [

( )

]

( )

( )

( ) [

( )

]

Al ser el procedimiento parecido, se analiza solo para ( ) y luego ser de manera similar para ( ). La ecuacin corresponde a una ecuacin de Cauchy-Euler de orden 4. Primero se resuelve para la homognea:

( )

( )

( )

Para resolver la expresin dada, se buscan soluciones de la forma ( ) , la cual se ingresa a

la ecuacin anterior para determinar posibles valores de . Las derivadas: ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

Reemplazando en la en la homognea: [( )( )( )( ) ] [( )( )( ) ]

( ) [( )( ) ] ( ) [( ) ] ( )[ ] Efectuando las respectivas multiplicaciones, se llega al siguiente polinomio: [( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )] ( )( )( )( ) Resolviendo el polinomio anterior, se tiene: Por lo tanto la solucin de la ecuacin homognea es la forma: ( )

Como debe ser contina en el origen, inmediatamente se desprende que . Por otra parte la forma de la solucin particular viene dada por: ( )

Para determinar la constante de la solucin particular , ingresamos ( ), a la ecuacin no homognea: Las derivadas: ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

Reemplazando:

[ ( )( )( )( ) ] [ ( )( )( )

]

( ) [ ( )( ) ] ( ) [ ( )

]

( )[ ] [

( )

]

donde: ( ) ( )( )

[ ( )( )( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ]

( )( ) [ ( )( )] ( )( )

( )( )

( )( )

Con esto encontramos la forma de la solucin particular:

( ) [ ( )( )

( )( )]

Para determinar las constantes de la parte homognea de la solucin, y , se propone una solucin de la siguiente forma, que cumple la condicin de no deslizamiento:

( )( ) [ ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )]

Expandiendo lo anterior y eliminando los trminos correspondientes:

( )( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] Esta ltima la igualamos con la solucin inicialmente dada, la cual es:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) donde ( )

( )

Igualando las soluciones anteriores tenemos:

( )

( )

De igual manera que cuando se determino ( ), el numerador debe ser cero para evitar que exista alguna indeterminar en la ecuacin y de esta manera lograr que sea continua en el dominio [ ]. Definiendo: ( )

( )

[ ( )( )

( )( )]

Aplicando las condiciones para que ( ) se continua y diferenciable en el intervalo dicho. Se aplica la condicin de borde ( ) y sus respectivas derivadas evaluadas de la misma manera: ( ) [ ( )]

De lo anterior se encuentra que:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

Por lo tanto:

( )

( )( )

( )( )

Para la funcin a determinar ( ) se opera de manera similar a la anteriormente indicada. En este caso:

( )

( )( )

( )( )

La funcin de corriente finalmente:

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) [

( ) ( )

( ) ( )

]

Obtenida la funcin de corriente, se determinan las expresiones de la velocidad ( ) y ( )

( )

( )

( )

( )

Las velocidades son:

( ) ( )[ ( )( )

( ) ( )( ) ( )]

( )( )

( ) ( )[ ( )( )

( ) ( )( ) ( )]

( )( )

Al aplicar la ecuacin de momento en la componente , la ecuacin para el flujo longitudinal:

( ) ( )

( )

( )

[ ( )]

donde:

( ) ( )[ ( )( )

( ) ( )( ) ( )]

( )( )

Para poder determinar la solucin a esta ecuacin, se propone una solucin de la forma:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Al igual que en ( ), se obtiene:

[ ( ) ( )] ( )

[ ( ) ( )] ( )

donde:

( )[ ( )]

( )

( )[ ( )]

( )

Los trminos ( ) y ( ), se buscan aplicando el operador Laplaciano.

- Termino [ ( ) ( )]

( )

( ( ))

( ( ))

( )

Se busca una solucin mediante series de potencia, se define:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Reemplazando:

( ) [( ) ( )

]

Se sabe que (

)] , por lo tanto: [( )( ) ( ) ]

Finalmente:

( )

- Termino [ ( ) ( )]

( )

( ( ))

( ( ))

( )

Se busca una solucin mediante series de potencia, se define:

( )

( ) ( )

( ) ( )

Reemplazando:

( )

( )

( ) [( ) ( )

]

Se sabe que (

)] , por lo tanto: [( )( ) ( ) ]

Finalmente:

( )

Ahora (esta expresin esta factorizado):

( )

( ) [

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )]

Con la velocidad ( ) calculada, se debe fijar la condicin de borde de no deslizamiento:

( ) ( )( ( ) ( ))

( ) [( ) ( )

( )]( ( ) ( )) De esta ltima expresin solo utilizamos los trminos de , dando como resultado:

( ) ( )[ ( ) ( )] Para cumplir las condiciones de continuidad se debe cumplir la siguiente igualdad:

( ) ( ) ( )

( ) Calculo de las constantes y , igualando las ecuaciones queda definido de la siguiente manera:

- Para

( )

[ ( )( ) ( ) ( )]

( ) ( )

[ ( )( )

( ) ( )]

( ) ( ) ( )

Para que sea continua se debe cumplir que el numerador de esta funcin sea cero con lo que queda lo siguiente:

( ) ( )

( )( )

Con la constante ya conocida, la funcin :

( ) ( )

( )( )

- Para

( )

[ ( )( ) ( ) ( )]

( ) ( )

[ ( )( )

( ) ( )]

( ) ( ) ( )

Para que sea continua se debe cumplir que el numerador de esta funcin sea cero con lo que queda lo siguiente:

( ) ( )

( )( )

Con la constante ya conocida, la funcin :

( ) ( )

( )( )

Como se han determinado las constantes y , el flujo axial queda determinado de la siguiente manera:

( ) ( )[ ( ) ( )] Finalmente la velocidad:

( )( )

( )( ) [

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )]