VelocidadCritica Mayer

8/9/2019 VelocidadCritica Mayer

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Velocidad Crítica -- Página 1 de 27

República Argentina

Universidad de Buenos Aires

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Mecánica

67.12 -- MECANISMOS “B”

VELOCIDAD CRÍTICA de ÁRBOLES

(TEÓRIA y PROBLEMAS RESUELTOS)

3ra. Edición

Prof. Ing. MAYER, Omar E.

[email protected]

JUNIO 2.003


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VIBRACIÓN NATURAL LIBRE

Sea un cuerpo de peso W suspendido de una suspensión elástica comopor ejemplo un resorte (elemento elástico ‘por excelencia’), tal como indica laFigura 01 anterior y de masa propia a considerar nula (despreciable frente a ladel peso W).

Los resultados que así se obtengan, resultan ser de gran aplicación en numerosasconfiguraciones de pesos suspendidos y/o apoyados de/en estructuras elásticas,

como lo son todas, por menos que se quiera.Sin peso W, se indica la posición del extremo libre de la suspensión elásticacuando la misma no se encuentra cargada con el peso W.

Cargada la suspensión elástica dentro de su límite elástico y de manera estática,con el peso W y siendo k = Constante elástica (o de rigidez) de la suspensión,la misma se deformará la magnitud δst, valiendo:

W = k * δst

Sin peso W

W + k * X

X

W

W

X0 W

Pos. reposo

O

W

X

Figura 01

-- X0

W

δst


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Separando el cuerpo W, siempre unido a la suspensión, de su posición deequilibrio (δst), la magnitud X0, el mismo oscilará indefinidamente si elamortiguamiento del sistema resulta nulo (rozamiento con el gas que rodea alsistema y ‘rozamiento intercristalino’ en la suspensión, nulos) entre X0 (amplituddel movimiento) y -- X0, siendo O (posición de equilibrio en estado de reposo) el

origen de la coordenada X. Para una posición instantánea cualquiera X, la ecuación de equilibrio establece:

d2 XΣFx = M * ax ⇒ W -- ( W + k * X ) = M * ------

dt2

con M = Masa del peso W ax = Aceleración (instantánea) que presenta el movimiento de W

t = Tiempok * X = Componente elástica de recuperación de la suspensión.W + k * X = Fuerza con que actúa la suspensión sobre el peso W

Operando se obtiene la ecuación diferencial del movimiento:

d2 X k------ + --- * X = 0dt2 M

kHaciendo ωn^2 = --- se obtiene:

M

d2 X------ + ωn^2 * X = 0dt2

Esta última expresión corresponde a la ecuación diferencial del movimientoarmónico simple, obtenido el mismo como la proyección de un punto animado demovimiento circular uniforme, sobre cualquiera de los diámetros de la circunferencia

(trayectoria) respectiva, siendo ωn la velocidad angular, de valor constante, delradio vector correspondiente, tal cual muestra la Figura 02 en la siguiente página.

Rotando el vector X0 con velocidad angular ωn constante, su proyección X sobreel eje X, suponiendo θ0 (ángulo inicial) nulo y siendo t la variable tiempo, resulta:

X = X0 * cos (θ) = X0 * cos (ωn * t)


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δ X------ = -- X0 * ωn * sen (ωn * t)

δt

δ2 X

------ = -- X0 * ωn^2 * cos (ωn * t)δt2

siendo: X = X0 * cos (θ) resulta:

δ2 X------ + ωn^2 * X = 0δt2

Volviendo al esquema del peso W y de la suspensión (Figura 01), ωn resulta serla pulsación natural de vibración del sistema, propia de la masa (W / g) delcuerpo que vibra (se desprecia la de la suspensión elástica) y de la constanteelástica de su suspensión.

kωn^2 = ---

M

La frecuencia natural de vibración y con g = aceleración gravitatoria, resulta en:

X

X0 θ

O

ωn

-- X

X

Figura 02


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ωn 1 ⎡ k ⎤ (1 / 2)f n = ---------- = ---------- * ⎢ --- ⎥

2 * Nºpi 2 * Nºpi ⎣ M ⎦

W 1 ⎡ g ⎤ (1 / 2)siendo k = ---- resulta f n = ---------- * ⎢ ---- ⎥

δst 2 * Nºpi ⎣ δst ⎦

El período Tn natural de vibración, resulta en:

1 ⎡ δst ⎤ (1 / 2)Tn = ---- ⇒ Tn = 2 * Nºpi * ⎢ ---- ⎥

f n ⎣ g ⎦

cm 300Con g = 980 -------- ⇒ f n (v.p.m) ≅ -----------------------seg^2 [δst (cm)]^(1 / 2)

Así entonces la pulsación, la frecuencia y el periodo natural de vibración dependensólo de la masa del cuerpo que vibra y de la constante elástica de susustentación y no de las condiciones iniciales del movimiento.

VIGA CON CARGA W CENTRADA

Sea la viga isostáticamente sustentada de la siguiente Figura 03, cargada en su

centro con la carga W y con Je (momento areolar ecuatorial de segundo ordende la sección transversal) constante sobre toda su longitud:

W * L^3Siendo: W = k * δst ;;;;;; δst = ---------------

48 * E * Je

1 ⎡ 48 * g * E * Je ⎤ (1 / 2)resulta: f n = ---------- * ⎢ ------------------- ⎥

2 * Nºpi ⎣ W * L^3 ⎦

De esta última expresión surge:

δstWFigura 03

L / 2

L

L / 2


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a) Cuando L (longitud) aumenta de valor, también lo hace δst y f n (ωn)disminuye: Las vigas largas poseen frecuencias (pulsaciones) naturalesde vibración más bajas que las vigas cortas.

b) Cuando Je aumenta de valor (si se trata de secciones circulares,

aumenta el diámetro de las mismas) δst disminuye y f n (ωn) aumenta:Las vigas de mayor Je (si son circulares, de mayor diámetro) tienenfrecuencias (pulsaciones) naturales de vibración más altas que lasvigas de menor Je (sí son circulares, de menor diámetro)

De lo arriba escrito se deduce que el aumento de la rigidez (disminución de laflexibilidad) de las vigas aumenta la frecuencia (pulsación) natural de vibración. Loexpuesto tiene validez también atendiendo a otras clases de esfuerzos, esto es latorsión y los esfuerzos normales de tracción - compresión.

VELOCIDAD LATERAL CRÍTICA DE ÁRBOLESSea el árbol ROTANTE (suspensión elástica) de la siguiente Figura 04 con unvolante (polea, rueda dentada, rotor) de masa M y que presenta, el volante, unacierta excentricidad e entre su centro G de masas y el eje de rotación delsistema, dado por la línea recta que une los cojinetes sobre el cual el sistemarota, sometido asimismo a la acción de una cierta carga exterior Q como lopuede ser un tiro de correas.

Como consecuencia de la excentricidad e, cuando el sistema es colocado enrotación y siendo x la deflexión (deformación por flexión) que experimenta el árbol,el mismo responde a la solicitación resultante con una fuerza centrípeta Fc devalor M * ω^2 * (x + e).

G

ω

G Q

e X e

Fc + fQ

Figura 04


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Siendo que la fuerza Q también flexiona el árbol y considerando que la misma,conforme sea el instante observado, puede coincidir o no en dirección con lafuerza Fc y en el caso de direcciones coincidentes, ambas pueden ser del mismosentido o no; respecto a Fc (la misma rotatoria) y haciendo-- Q ≤ fQ ≤ + Q (fQ variable en el tiempo (respecto a Fc) de manera seno /

cosenoidal) resulta:k * x = M * ω^2 * (x + e) + fQ

en donde k * x representa la fuerza elástica de recuperación que opone el árbola través de su constante elástica k a la flexión. Operando:

k * x -- M * ω^2 * x = M * ω^2 * e + fQ

⎡ k ⎤ fQx * ⎢ --- -- ω^2 ⎥ = ω^2 * e + ----

⎣ M ⎦ M

kcomo: --- = ωn^2 y dividiendo por ωn^2:

M

e * ( ω^2 / ωn^2 ) + ( fQ / ( M * ωn^2 ))x = -----------------------------------------------------------

1 -- ( ω^2 / ωn^2 )

kcomo: M * ωn^2 = M * ---- = k

M

e * ( ω^2 / ωn^2 ) + ( fQ / k )x = --------------------------------------------

1 -- ( ω^2 / ωn^2 )

Estando representada la ecuación anterior en la Figura 05 en la siguiente página:

A) Sí ω = 0 ;;;; x = ( fQ / k )

B) Sí ω ⇒ ωn ;;;; x ⇒ ∞

e * ( ω^2 / ωn^2 ) + ( fQ / k )C) Siendo: x = --------------------------------------------

1 -- ( ω^2 / ωn^2 )


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e + (( fQ * ωn^2 ) / ( k * ω^2 )resulta: x = ----------------------------------------------

( 1 / ( ω^2 / ωn^2 )) -- 1

ω^2 1 Sí ω ⇒ ∞ ; ------ ⇒ ∞ ; ---------------- ⇒ 0

ωn^2 ω^2 / ωn^2

fQ * ωn^2 e + 0--------------- ⇒ 0 ; x ⇒ ---------- = -- e( k * ω^2 ) 0 -- 1

Resumiendo: A) Sí ω = 0 ; x = ( fQ / k )

B) Sí ω ⇒ ωn ; x ⇒ ∞

C) Sí ω ⇒ ∞ ; x ⇒ -- e

-- X

OQ / k

+ X

1

Asintotas

Figura 05

e

ω / ωn


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A ω = ωn = (k / M)^(1 / 2) se la llama velocidad angular lateral críticadel sistema, pues produce el colapso del mismo (exclusivamente sustentaciónlineal elástica no amortiguada) al hacer tender x (deflexión) a ∞.

En estas circunstancias ( ω = ωn ) el árbol se comporta como un sistemaelástico en resonancia, por coincidir la frecuencia de excitación exterior (Fc) consu frecuencia natural de vibración lateral.

Obsérvese que el fenómeno aun subsiste con e = 0 y / o Q = 0

Cuando ω ⇒ ∞ ; x ⇒ -- e. Esta situación indica que el centro de masa delvolante se alinea con el eje de rotación, que dicho volante rota alrededor de sucentro de masa y que consecuente desaparece toda vibración. El árbol giraalrededor del eje de rotación como un arco de flecha alrededor de su cuerda,como muestra la siguiente Figura 06.

El análisis desarrollado supone la no existencia de amortiguamientos, los cuales,de existir, morigeran (aplanan) los picos.

Las conclusiones revelan que el sistema constituido por el árbol y las masas a elacopladas, tiene una velocidad crítica lateral independiente de las excentricidadesde las masas y solo dependen de:

A) Las condiciones de sustentación del árbolB) La posición y el valor de las masas a el acopladas.C) Las dimensiones y naturaleza (material) del árbol.

APLICACIONES

Es posible concebir gran número de configuración de rotores que pueden incluirvarias masas, varios soportes y secciones variables del árbol, cuyo comportamientoes cualitativamente similar al estudiado.

La diferencia consiste en que en configuraciones mas complicadas existen variasvelocidades críticas, tantas como grados de libertad posee el sistema.

X = -- e

ω G

Figura 06


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A) Árbol de sección uniforme con una sola masa.

Ejemplo 1: Apoyos con rodamientos a rótula. Volante (disco) central Ref.: Figura 07 siguiente

W * L^3 ⎡ 48 * E * Je * g ⎤ ( 1 / 2 )

δst = ------------------- ; ωn = ⎢ ------------------- ⎥ 48 * E * Je ⎣ W * L^3 ⎦

Ejemplo 2: Apoyos con cojinetes (cojinetes de deslizamiento).Volante (disco) central. Ref.: Figura 09 (Anexo Figuras)

W * L^3 ⎡ 192 * E * Je * g ⎤ ( 1 / 2 )δst = ------------------- ; ωn = ⎢ -------------------- ⎥

192 * E * Je ⎣ W * L^3 ⎦

Relacionando los ejemplos 1 y 2 anteriores, resulta:

ωn ejemplo 2 ⎡ 192 ⎤ ( 1 / 2 ) ----------------- = ⎢ ------ ⎥ = 2ωn ejemplo 1 ⎣ 48 ⎦

La diferencia radica en que en el ejemplo 2, el sistema es más rígido por cuantoen los extremos, no es posible la libre rotación ‘longitudinal’ de las seccionestransversales del árbol entre sí, como sucede en el ejemplo 1 (ver figuras).

δstWFigura 07

L / 2L

L / 2

W

δstFigura 08


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Ejemplo 3: Apoyos con rodamientos a rótula. Volante (disco) no central Ref.: Figura 09 siguiente

W * a^2 * b^2 ⎡ 3 * E * Je * L * g ⎤ ( 1 / 2 )δst = ------------------- ; ωn = ⎢ ---------------------- ⎥

3 * E * Je * L ⎣ W * a^2 * b^2 ⎦

ÁRBOL DE SECCIÓN UNIFORME CON VARIAS MASAS.Ref.: Figura 10 siguiente

Suponiendo que la proyección sobre un plano longitudinal (plano XZ) delmovimiento de las masas sigue la ley del movimiento armónico simple, y

considerando solamente dicha proyección, los desplazamientos instantáneos xi enfunción de sus amplitudes (desplazamientos máximos) Xi, resultan:

xi = Xi * cos (ω * t)

Las velocidades instantáneas resultan en:

δ xi Vi = ----- = -- Xi * ω * sen (ω * t)

δt

Siendo: Vimx = Xi * ω ⇒ Vi = Vimx * sen (ω * t)

L

a b

W Figura 09

Fc3Fc1X Fc2

X3X2X1

O Z

Figura 10


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Vi = Vimx se verifica en el centro de la oscilación y en los extremos de esta,resulta nula (Vi = 0).

Aplicando el principio de la conservación de la energía (sin que la energía exista,recuérdese que se está considerando la proyección de un movimiento circular de

velocidad angular ω sobre un plano longitudinal), se tiene (tratándose de unsistema conservativo inclusive de por sí) que la suma de las ‘energías potencial ycinética’ se mantiene constante: Ec + U = constante.

En los extremos de la oscilación, la energía cinética es nula y la potencial,máxima (por ser máxima la deformación proyectada) y por el contrario, en elcentro de la oscilación, la energía cinética es máxima y la potencial, nula.

No pudiéndose sobrepasar el límite elástico (falla del sistema) y valiendo la ley deproporcionalidad entre cargas y deformaciones en dicho período, resulta:

n Fci * Xi 1 n

Umx = Σ ------------ ; Ecmx = --- Σ Mi * Vimx^2i = 1 2 2 i = 1

n Fci * Xi 1 nigualando: Σ ------------ = --- Σ Mi * Vimx^2

i = 1 2 2 i = 1

n n

Σ Fci * Xi = ω^2 Σ Mi * Xi^2i = 1 i = 1

haciendo ω = ωn (velocidad angular crítica lateral) ⇒ Xi = Xin (deformacióncrítica) y operando se obtiene:

Σ ( Fci * Xin )ωn^2 = ---------------------

Σ ( Mi * Xin^2 )

Dicha expresión resulta no resoluble por el desconocimiento de las variables Fci y

Xin, sin embargo y como es condición no sobrepasar el límite elástico, Fci es aXin como lo es el peso Wi de la masa correspondiente, a la deformación estáticaexistente donde dicho peso existe y provocada por la acción estática de los pesosde todos los volantes, luego:

Fci Wi Fci Xink = ----- = -------- ⇒ ---- = ------ = Cte

Xin δsti Wi δsti


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Σ ( Fci * Xin ) Σ ( Wi * Cte * δsti * Cte )luego: ωn^2 = --------------------- = ---------------------------------------

Σ ( Mi * Xin^2 ) Σ ( Mi * δsti^2 * Cte^2 )

Σ ( Wi * δsti ) Σ ( Wi * δsti )ωn^2 = ----------------------- = g * ------------------------Σ ( Mi * δsti^2 ) Σ ( Wi * δsti^2 )

La expresión anterior es llamada Expresión o Fórmula de Rayleigh - Ritz y permitecalcular la frecuencia natural de vibración lateral para un árbol con n volantes,conociendo los pesos de los mismos y las deflexiones estáticas que dichos pesos(actuando en conjunto) producen.

En el caso de una única masa, se tiene y con resultado idéntico a lo ya tratado:

W * δst gωn^2 = g * ----------------- = -----

W * δst^2 δst

Siendo ωni la velocidad angular crítica lateral que provocaría cada volante si elmismo actuara independientemente, la velocidad angular crítica lateral queprovocaría el conjunto de los n volantes, conforme a Dunkerley, resulta ser:

1 n 1

------ = Σ -------ωn^2 i = 1 ωni^2

La velocidad angular crítica lateral que se calcula con las expresiones deRayleigh - Ritz y de Dunkerley es la fundamental o más baja del sistema; engeneral, el árbol presentará distintos modos de vibrar, tantos como masas existan,como se muestra en las Figuras 11, 12 y 13 siguiente página:

VELOCIDADES de OPERACIÓN en la REGIÓN SUPERCRÍTICA

Para equipos industriales, tales como compresores centrífugos, que operan por

encima de la primer crítica, las normas establecen condiciones mínimas que debenreunir, para evitar efectos no deseables en la operación de los mismos. Porejemplo (ver Figura 14 subsiguiente página), el Instituto Americano del Petróleo(norma A.P.I. 617, 4ta. edición, compresores centrífugos para servicios generalesen refinerías) establece:

ωc1factor de amplificación permitido: Af = ------------- ≤ 5

ω2 -- ω1


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Figura 11

1er. modo

Figura 12

2do. modo

Figura 13

3er. modo


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Valores del factor de amplificación superiores a 8 constituyen un riesgo potencial.Un sistema bien amortiguado, posee curvas de respuesta redondeadas y no enpicos con lo cual se logran operaciones adecuadas.

VELOCIDADES CRÍTICAS LATERALES Y TORSIONALES

Sea un tren rotativo, como el representado en la Figura 15 siguiente página,constituido por una máquina motora (rotativa) (turbina, motor eléctrico,) identificadacon Mm, accionando la misma y en tandem, un par de compresores, sopladores,

bombas centrífugas, (también rotativas) identificadas con Mc.Resultan así, 3 (tres) árboles vinculados entre sí y de a dos por un acoplamientoen cada vinculación.Si se golpeara con una maza y lateralmente, uno de dichos árboles, ese árbol ypor ser el mismo un elemento elástico, vibrará a su frecuencia natural de vibraciónlateral, mientras que los restantes y si los acoplamientos resultan ser flexibles,mantendrán escasa o ninguna respuesta a consecuencia de que las excitacioneslaterales que se produzcan, propias o provocadas, quedan aisladas por losacoplamientos, se reitera, si es que los mismos son flexibles. En cambio, si losacoplamientos resultan ser rígidos, dichas vibraciones laterales serán transmitidas,

por transmitir los mismos, las deformaciones por flexión que se verifican entre losárboles que conectan. Resulta así que atendiendo a este concepto, resultan másconvenientes los acoplamientos flexibles que los rígidos.

Surge entonces que las frecuencias naturales de vibración laterales deben seranalizadas en cada uno de los árboles del tren o en conjunto, conforme sea / nél / los tipo/s de acoplamiento/s que sé utilice/n (debe pensarse en que losacoplamientos pueden resultar ser o de baja o alta flexibilidad (alta o baja rigidez,respectivamente)); teniendo entonces el tren tantas frecuencias naturales devibración laterales (iguales o distintas) como árboles tenga el mismo, si losacoplamientos son “absolutamente” flexibles (imposible tal vez) o una única si

todos los acoplamientos son “absolutamente” rígidos (imposible tal vez,nuevamente).

20%

ωc2Ac2

ωc1

15%

ωc1

0,707 * Ac1

Ac1

O ω1

Rango

Operacion

ω2ωc2

ω

Amplitud Ac

Figura 14


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Podría darse (al menos matemáticamente), que en el caso dibujado, uno de losacoplamientos sea flexible y el otro rígido o ambos de distinta rigidez / flexibilidad.El proyecto y / o verificación de cada máquina en particular, exige el análisis, encuanto al tema se refiera, de su propio árbol, tomado este como una únicaentidad.

Sin embargo, si uno de los árboles es sometido a torsión, los demás responderán,

a causa de que los acoplamientos, cualquiera su tipo, si transmiten torsión. Eneste caso, corresponde entonces estudiar el fenómeno de la frecuencia natural devibración torsional de la cadena en su totalidad, como así también en cada unade las máquinas componentes, consideradas las mismas, una a una, como unente particular.

Si ahora, de algún modo, se golpeara reiteradamente al árbol (tomado el mismodesconectado o acoplado de manera absolutamente flexible a los demás) con lamisma frecuencia que la natural del mismo, la amplitud de su vibración creceráhasta un valor alto y constante, determinado por la energía del golpe, el tamaño ygeometría del árbol y la vinculación (elasticidad y amortiguamiento) del mismo.

Corresponde preguntarse si existe alguna forma más efectiva de excitar el árbol aun régimen rápido y uniforme, la respuesta es: rotándolo.

Un desbalanceo y / o desalineación de cualquier árbol, sin importar cuancuidadosamente haya sido construido y montado, como así también de las masasa el acopladas, sirve muy bien para producir una excitación si se considera laproyección de la rotación del mismo sobre uno de los planos que contiene a sueje de rotación, por cada revolución que se verifica.

Bastidor - cojinetes

Maquina motora

Mm

Rotor motor

Rm

Rotor conducido 2

Maquinaconducida 2

Rotor conducido 1

Acoplamientos

Acoplamientos

Maquinaconducida 1

Mc1

Rc1

Mc2

Rc2

Figura 15


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Resulta así, que cuando se llega con la velocidad de rotación a la frecuencianatural de vibración lateral propia del árbol, nos encontramos con seriosproblemas. Cuando mayor sea el desbalanceo inherente o la velocidad de rotación,mayor será la excitación y así también mayor será la amplitud de las vibracionesobservadas en los vínculos.

Una máquina muy bien balanceada, normalmente no produce altos niveles devibraciones, siendo difícil a veces, en el banco de pruebas, determinar sufrecuencia natural de vibración lateral. Sin embargo; agregando un contrapeso enun acoplamiento colocado ad - hoc, resulta muy fácil localizarla.

Una máquina rotativa que se diseña para operar a velocidades inferiores a laprimera (hay varias) frecuencia natural de vibración lateral, se la denominasubcrítica o de árbol rígido y aquella que opera por encima de dicha frecuencia ypor debajo de la que le sigue en valor (segunda), es llamada supercrítica o deárbol flexible. Aquellas máquinas que con su velocidad de funcionamiento, superansu segunda frecuencia natural de vibración, son consideradas de diseño pobre.

VIBRACIÓN TORSIONAL LIBRESea un árbol como indica la siguiente Figura 16, rígidamente fijado en A, con uncojinete sin fricción (amortiguación nula) en B y un volante en su extremo libre.

El cojinete y si que el mismo es sin fricción, implica amortiguamiento a lasvibraciones torsionales nulo y se lo coloca a efectos evitar flexión.

Si se provoca un desplazamiento angular θ del volante y luego se lo libera, elvolante oscila (péndulo torsional) bajo la influencia de un torque respecto a su ejede rotación. Dicho torque será proporcional al desplazamiento angular, ambos concierto valor instantáneo y proporcionales entre sí y a condición de que no sesupere el límite elástico del árbol, se entiende, a la torsión.

No considerando el momento de inercia polar del árbol frente al del volante, laecuación de equilibrio responderá a:

Arbol

L

dVolante

RCojinete

A B

Figura 16


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δ2 θ Mt = Ipv * j = Ipv * -------

δt2

con: Mt = Momento torsor existente (instantáneo)

Ipv = Momento de inercia polar del volante

j = Aceleración angular (instantánea)

(Nota: Mt es a Ip * j como F es a m * a)

La cupla ejercida por el volante (Mt) es equilibrada por el árbol, el cual respondecon su constante elástica torsional k, luego:

δ2 θ

Ipv * ------- + k * θ = 0δt2

de donde:

δ2 θ k------- + ---- * θ = 0δt2 Ipv

k δ2 θ haciendo: ωn^2 = ---- ; ------- + ωn^2 * θ = 0

Ipv δt2

Resulta así la ωn = Pulsación natural de vibración torsional del sistema.

ωn ( k / Ipv )^(1/2) frecuencia naturalf n = ------------ = --------------------- = de vibración

2 * Nºpi 2 * Nºpi torsional del sistema

1 2 * Nºpiperíodo natural

Tn = --------- = --------------------- = de vibraciónf n ( k / Ipv )^(1/2) torsional del sistema

Mt Mt * LSiendo: k = --- y θ = ------------ (Jpa constante en L)

θ G * Jpa


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con: Jpa = Momento areolar polar del árbol.

G = Módulo de elasticidad transversal del material con que estáconstruido el árbol.

G * Jparesulta: k = -------------

L

Siendo: d Ipv = r^2 * d m, para un disco de espesor uniforme, macizo y deradio R, resulta:

M * R^2Ipv = ------------

2

VIBRACIÓN TORSIONAL LIBRE DE DOS ROTORES VINCULADOSENTRE SÍ POR UN ÁRBOL DE SECCIÓN CONSTANTE

Sea el caso de dos rotores unidos por un árbol de sección constante y demomento de inercia polar despreciable frente al de los rotores como muestra lasiguiente Figura 17.

Las vibraciones torsionales del sistema se manifiestan introduciendo un torque encada uno de los rotores, torsionando el árbol y liberando los mismos.Dado que existe una sección transversal del árbol que no rota (permaneceestacionaria), la misma es llamada sección nodal N y el movimiento de cada rotorpuede considerarse como un péndulo torsional fijo en N, con lo cual el cálculo delperíodo de oscilación (el mismo para ambos rotores) puede calcularse en la formaya vista, con tal de acotar la posición de N.

I p v 1

Arbol

I p v 2

Seccion nodal

b

L

L -- b

Volante 1

Cojinetes

Volante 2

Figura 17


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La posición de la sección nodal N puede determinarse teniendo en cuenta que losperíodos de oscilación de las dos partes en que queda dividido el sistema soniguales, luego:

2 * Nºpi 2 * NºpiTn = -------------------------- = --------------------------

( k1 / Ipv1 )^(1 / 2) ( k2 / Ipv2 )^(1 / 2)Ipv1 Ipv2 Ipv1 k1

de donde: ------ = ------ ------ = ---k1 k2 Ipv2 k2

Siendo Jpa el momento areolar polar de segundo orden del árbol (constante eneste caso particular), resulta:

Ipv1 k1 G * Jpa / b L -- b L----- = ---- = ----------------------------- = -------- = --- -- 1Ipv2 k2 G * Jpa / ( L -- b ) b b

Ipv1 + Ipv2 L L * Ipv2 de donde: ----------------- = --- ⇒ b = -----------------

Ipv2 b Ipv1 + Ipv2

resuelta la posición de la sección nodal, el período y la frecuencia naturales devibración, se obtienen con:

⎡ L * Ipv1 * Ipv2 ⎤ ( 1 / 2 )

Tn = 2 * Nºpi * ⎢ -------------------------------------- ⎥ ⎣ G * Jpa * ( Ipv1 + Ipv2 ) ⎦

1 ⎡ G * Jpa * ( Ipv1 + Ipv2 ) ⎤ ( 1 / 2 )fn = ------------ * ⎢ -------------------------------------- ⎥

2 * Nºpi ⎣ L * Ipv1 * Ipv2 ⎦

ANEXO PROBLEMAS

01) Calcular la velocidad crítica de un árbol de sección circular constante dediámetro d = 105 mm con un volante de peso 130 Kgf (Kilogramosfuerza) yconforme la siguiente Figura 18 y los siguientes datos:


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L = 1850 mm ;;;; L1 = 300 mm ;;;; E = 2,1 * 10^6 Kgf / cm^2

W * L1^2 * L2^2δst = ----------------------

Flecha estática donde actúa la carga Wy debido a la acción de la misma:

3 * E * Je * L

Nºpi * d^3Momento areolar ecuatorial del árbol: Je = ----------------

64

Resolución:

64 W * L1^2 * L2^2

δst = --------------- * -------------------------

De las expresiones

de δst y Je: Nºpi * d^3 3 * E * L

luego:

64 (130 Kgf) * (30 cm)^2 * (185 cm -- 30 cm)^2δst = ------------------------ * ---------------------------------------------------------

Nºpi * (10,5 cm)^3 3 * (2,1 * 10^6 Kgf / cm^2) * (185 cm)

δst = 0,0040212 cm

300

Velocidad rotacional crítica: nc (v.p.m.) = ---------------------(δst (cm))^(1/2)

300nc (v.p.m.) = ---------------------------- = 4718,63

(0,0040212 cm)^(1/2)

02) Ídem anterior, con distintos apoyos (ver Figura 19 página siguiente):

LL1

WL2

Volanted

Arbol

Figura 18


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W * L1^3 * L2^3 * ((3 * L) + L1) 16 * W * L1^3 * L2^2 * ((3 * L) + L1)

δst = ----------------------------------------- = ----------------------------------------------- 12 * E * Je * L^3 3 * Nºpi * E * d^4 * L^3

16 * (130 Kgf) * (30 cm)^3 * (155 cm)^2 * ((3 * 185 cm) + 30 cm)δst = ----------------------------------------------------------------------------------------

3 * Nº π * (2,1 * 10^6 Kgf / cm^2) * (10,5 cm)^4 * (185cm)^3

δst = 0,0005184 cm

300 300

nc (v.p.m.) = --------------------- = ---------------------------- = 13175 (δst (cm))^(1/2) (0,0005184 cm)^(1/2)

03) Ídem anteriores, con distintos apoyos (Figura 20 siguiente):

W * ( L1 * L2 )^3 64 * W * ( L1 * L2 )^3δst = ------------------------- = -------------------------------------

3 * E * Je * L^3 3 * Nºpi * E * d^4 * L^3

L2L1L

d

Volante

W

Arbol

Figura 19

L1L

WL2

Arbol

Volante

d Figura 20


23/27


64 * (130 Kgf) * (30 cm * 155 cm)^3δst = ---------------------------------------------------------------------------------------

3 * Nºpi * (2,1 * 10^6 Kgf / cm^2) * (10,5 cm)^4 * (185 cm)^3

δst = 5,492 * 10^4 cm

300 300nc (v.p.m.) = --------------------- = ------------------------------- = 12801,52

(δst (cm))^(1/2) (5,492 * 10^4 cm)^(1/2)

04) Dimensionar el árbol portapiedra correspondiente a la Figura 21 (Anexofiguras), suponiéndolo rígidamente vinculado en A

ωn = Velocidad angular crítica = Pulsación natural de vibración lateral

ω = Velocidad angular de funcionamiento ≤ 0,8 * ωn

n = Velocidad rotacional de funcionamiento = 3150 v.p.m.

W = Peso de la piedra = 1,52 Kgf

E árbol = 2,1 * 10^6 Kgf / cm^2 ;;;; g = 9,8 m / seg^2

2 * Nºpi * n (v.p.m.) 2 * Nºpi * 3150 (v.p.m.)ω = ---------------------------- = --------------------------------- = 329,86 rad / seg

60 seg / min 60 seg / min

ω 329,86 rad / seg

ωn ≥ ---- = ---------------------- = 412,325 rad / seg

0,8 0,8

⎡ k ⎤ ( 1/2 ) Wde ωn = ⎢ --- ⎥ ⇒ k = M * ωn^2 = --- * ωn^2

⎣ M ⎦ g

W 1,52 Kgfk = --- * ωn^2 ≥ ----------------- * (412,325 rad / seg)^2 g 9,8 m / seg^2

k ≥ 26369,19 Kgf / m = 263,692 Kgf / cm = 26,37 Kgf / mm

W650 mm

Arbol

d

A

Figura 21

Piedra


24/27


W ⎫ de k = -------- ⎪

δst ⎪ 3 * E * Je k * L^3 ⎬ k = --------------- ⇒ Je = ----------

W * L^3 ⎪ L^3 3 * E

δst = ------------ ⎪ 3 * E * Je ⎭

k * L^3 ⎫ de Je = ----------- ⎪

3 * E ⎪ 64 * k * L^3⎬ d^4 = -----------------

Nºpi * d^4 ⎪ 3 * Nºpi * EJe = -------------- ⎪

64 ⎭

64 * k * L^3 64 * (263,692 Kgf / cm) * (65 cm)^3d^4 = ----------------- ≥ ----------------------------------------------- = 234,167 cm^4

3 * Nºpi * E 3 * Nºpi * ( 2,1 * 10^6 Kgf / cm^2)

d ≥ 3,911 cm = 39,11 mm ≅ 40 mm

VERIFICACIÓN

de:

W * L^3 ⎫

δst = ------------ ⎪ 3 * E * Je ⎪ 1,52 Kgf * (65 cm)^3 * 64⎬ δst = ----------------------------------------------------------

Nºpi * d^4 ⎪ 3 * 2,1 * 10^6 (Kgf / cm^2) * Nºpi * (4 cm)^4Je = ---------- ⎪

64 ⎭

300δst = 5,273 * 10^3 cm ⇒ nc (v.p.m.) = -------------------- = 4131,47

(δst (cm))^(1/2)

n 3150 v.p.m.--- = ------------------- = 0,762 ≤ 0,8nc 4131,47 v.p.m.

05) Calcular la velocidad crítica de rotación (nc) de un árbol de sección circularconstante, apoyado en ambos extremos, de las dimensiones de la Figura 22siguiente página y con dos volantes de 80 Kgf y 15 Kgf cada uno.

d = 55 mm ;;;; L = 1300 mm ;;;; a = 400 mm

b = 500 mm ;;;; c = 400 mm ;;;; E = 2,1 * 10 6 kgf / cm^2

W1 = 80 Kgf ;;;; W2 = 15 Kgf


25/27


a) Flecha estática en C debido a W1:

W1 * a^2 * (b + c)^2 64 * W1 * a^2 * (b + c)^2δecw1 = ------------------------------ = --------------------------------------

E * Je * L E * Nºpi * d^4 * L

64 * 80 Kgf * (40 cm)^2 * (50 cm + 40 cm)^2δecw1 = ---------------------------------------------------------------------- = 0,02818 cm

(2,1 * 10^6 (Kgf / cm^2)) * Nºpi * (5,5 cm)^4 * 130 cm

b) Velocidad crítica suponiendo actuando únicamente W1:

300 300nc1 (v.p.m.) = ------------------------- = ------------------- = 1787 (δecw1 (cm))^(1/2) (0,02818)^(1/2)

c) Flecha estática en D debido a W2:

W2 * c^2 * (b + a)^2 64 * W1 * c^2 * (b + a)^2δedw2 = ----------------------------- = -------------------------------------

E * Je * L E * Nºpi * d^4 * L

64 * 15 Kgf * (40 cm)^2 * (50 cm + 40 cm)^2

δedw2 = --------------------------------------------------------------------- = 0,005284 cm (2,1 * 10^6 (Kgf / cm^2)) * Nºpi * (5,5 cm)^4 * 130 cm

d) Velocidad crítica suponiendo actuando únicamente W2:

300 300nc2 (v.p.m.) = ------------------------- = ----------------------- = 4127,05

(δedw2 (cm))^(1/2) (0, 005284)^(1/2)

Volante 1

Arbol

C

aW 1

Lb

Volante 2

D

d

cW 2

Figura 22


26/27


e) Velocidad crítica del árbol conforme expresión de Dunkerley:

1 1 1 (nc2)^2 + (nc1)^2------ = --------- + --------- = ------------------------nc^2 (nc1)^2 (nc2)^2 (nc2)^2 * (nc1)^2

(nc2)^2 * (nc1)^2 (4127,05 v.p.m.)^2 * (1787 v.p.m.)^2

nc^2 = ------------------------ --------------------------------------------------(nc2)^2 + (nc1)^2 (4127,05 v.p.m.)^2 + (1787 v.p.m.)^2

nc = 1639,87 v.p.m.

f) Flecha estática en C debido a W2:

W2 * c * a * (L^2 -- a^2 -- c^2) 64 * W2 * c * a * (L^2 -- a^2 -- c^2)δecw2 = --------------------------------------- = ----------------------------------------------

6 * E * Je * L 6 * E * Nºpi * d^4 * L

32 * 15 Kgf * 40 cm * 40 cm * (130^2 -- 40^2 -- 40^2) cm^2

δecw2 = ----------------------------------------------------------------------------- = 0,004469 cm3 * (2,1 * 10^6 (Kgf / cm^2)) * Nºpi * (5,5 cm)^4 * 130 cm

g) Flecha estática en D debido a W1:

W1 * c * a * (L^2 -- a^2 -- c^2) 32 * W1 * c * a * (L^2 -- a^2 -- c^2)δedw1 = --------------------------------------- = ----------------------------------------------

6 * E * Je * L 3 * E * Nºpi * d^4 * L

32 * 80 Kgf * 40 cm * 40 cm * (130^2 -- 40^2 -- 40^2) cm^2δedw1 = -----------------------------------------------------------------------------

3 * (2,1 * 10^6 (Kgf / cm^2)) * Nºpi * (5,5 cm)^4 * 130 cm

δedw1 = 0,023835 cm

h) Flechas totales en C y en D:

δec = δecw1 + δecw2 = 0,0282 cm + 0,0045 cm = 0,0327 cm

δed = δedw1 + δedw2 = 0,0238 cm + 0,0053 cm = 0,0291 cm

i) Velocidad crítica del árbol conforme expresión de Rayleigh - Ritz:

Σ ( Wi * δsti ) (W1 * δec) + (W2 * δed)ωn^2 = g * ----------------------- = g * -------------------------------------------

Σ ( Wi * δsti^2 ) (W1 * δec^2) + (W2 * δed^2)

cm (80 Kgf * 0,03265 cm) + (15 Kgf * 0,02912 cm)ωn^2 = 980 -------- * -----------------------------------------------------------------------

seg^2 (80 Kgf * (0,03265 cm)^2) + (15 Kgf * (0,02912 cm)^2)

ωn^2 = 30487,55951 (rad / seg)^2 ⇒ ωn = 174,6068713 (rad / seg)


27/27


ωn 174,6068713 (rad / seg) nc = ----------- = ------------------------------- = 27,79 v.p.s. = 1667,4 v.p.m.

2 * Nºpi 2 * Nºpi (rad / vuelta)

nc Rayleigh - Ritz 1667,4 v.p.m.

----------------------- = -------------------- = 1,0167nc Dunkerley 1639,87 v.p.m.

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VelocidadCritica Mayer