Verdadero o falso:

1. .

2. .

3. El único conjunto que es subconjunto de todos los conjuntos es el vacío.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

Sea el conjunto de los números naturales pares ( ). Escriba

intensionalmente; más precisamente, encuentre una propiedad , distinta de `` es

par'', tal que .

Sea el conjunto de los números primos (un primo es un entero mayor que cuyo

único divisor mayor que es él mismo). Escriba a intensionalmente.

Muestre que .

Pruebe las siguientes propiedades de la unión y la intersección:

1. ; .

2. si y sólo si ; si y sólo si .

3. , si y sólo si ; , si y sólo si .

4. si y sólo si .

.

Muestre que si y sólo si .

¿Verdadero o falso? (dar una prueba o un contraejemplo):

1. Si para todo se tiene , entonces .

2. Si existe un tal que , entonces .

3. .

4. Si y y son disyuntos, entonces (¿puede debilitar

las hipótesis?).

5. .

6. si y sólo si .

7. .

Dados dos conjuntos y , definimos su diferencia simétrica así:

.

1. Muestre que .

2. Muestre que .

3. Muestre que la operación es conmutativa y asociativa.

4. ¿Qué conjunto es ?

5. ¿Qué conjunto es ?

6. ¿Si , qué conjunto es ?

7. Muestre que .

8. Muestre que si y sólo si .

Sean . Mostrar las siguientes igualdades:

1. .

2. .

3. .

Compare los siguiente pares de conjuntos de acuerdo a la relación (piense antes en

ejemplos con conjuntos pequeños, después intente demostrar en general las contenencias

que cree que siempre valen):

1. Vs. .

2. Vs. .

3. Vs. .

4. Vs. .

Ejercicios de uniones e intersecciones generalizadas:

1. Muestre que .

2. Dado , sea . ¿Qué conjunto es ?

3. ¿Qué conjunto es ?

4. Muestre que .

Muestre que si tiene elementos (para un número natural), entonces tiene

elementos [AYUDA: Piense en un subconjunto de como una sucesión ordenada de

ceros y unos].

Definición (filtro): Sea un conjunto no vacío. Un filtro sobre es un conjunto

que cumple las siguientes propiedades:

es cerrado bajo intersección finita: Si , entonces .

es cerrado bajo superconjunto: Siempre que y , .

1. El filtro cofinito o de Fréchet: Sea es un conjunto finito

(aquí , de modo que ). Por ejemplo , pero

para , . Muestre que

es un filtro sobre el conjunto de los números naturales.

2. Dé otro ejemplo de un filtro sobre .

3. Diremos que un filtro sobre es ultrafiltro si para todo , ó

. ¿Es el ejemplo que dio un ultrafiltro? ¿Es el filtro de Fréchet un

ultrafiltro?

El axioma de separación, que asumiremos, afirma lo siguiente: Dado un conjunto y

una propiedad conjuntista (esto es, que sólo utiliza y símbolos lógicos), existe un

conjunto tal que (esto es, para todo , pertenece a

si y solo si ( pertenece a y tiene la propiedad )). En otras palabras, es el

conjunto de los elementos de con la propiedad . Muestre que tal conjunto es único,

es decir, que si existe tal que , entonces .

Utilice el axioma de separación y la paradoja de Russell para mostrar que no existe el

conjunto de todos los conjuntos.