UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE JALISCO

DIVISIÓN ELECTRÓNICA Y AUTOMATIZACIÓN

NO. 4

VERSIÓN: 1 FECHA:

AGOSTO 06

TITULO DE LA PRACTICA: Ecuaciones diferenciales lineales

ASIGNATURA: Matemáticas III HOJA: 1 DE: 4

UNIDAD TEMATICA: Ecuaciones diferenciales de primer orden FECHA DE REALIZACIÓN: 22 de Agosto 2006

NUMERO DE PARTICIPANTES RECOMENDABLE: 1 Integrantes ELABORO: María del Rosario Prado Salazar

DURACION : 2 Horas LUGAR: Aula de clase REVISO:

CARRERA: Electrónica y Automatización 1 2 3 4

OBJETIVO: El alumno conocerá y dominará los cálculos necesarios para la solución de una ecuación diferencial lineal

REVISION:

MARCO TEÓRICO: En está práctica estudiamos las ecuaciones diferenciales de primer orden que eran exactas. Si una ecuación no es exacta, es natural que se intente hacerla exacta introduciendo un factor adecuado, el cual es llamado factor de integración. En la ecuación multiplicamos por un factor de integración para separar las variables y con eso obtuvimos una ecuación exacta. En general, es muy poco lo que se puede decir acerca de la teoría de factores de integración para ecuaciones de primer orden. Probaremos algunos teoremas que nos ayudarán en ciertas situaciones aisladas. Sin embargo, hay una clase importante de ecuaciones en las que la existencia de un factor de integración sí puede ser demostrada. Esta clase es la de las ecuaciones lineales de orden uno. Una ecuación que es lineal y de orden uno en la variable dependiente y por definición (sección 1.2) debe ser de la forma:

A xdydx

B x y C x( ) ( ) ( ).+ = (1)

Al dividir cada miembro de la ecuación (1) entre A(x), obtenemos:

dydx

P x y Q x+ =( ) ( ). (2)

a la que elegimos como la forma canónica para la ecuación lineal de orden uno. Por el momento suponga que para la ecuación (2) existe un factor de integración positivo v (x) 0, una función que es solamente de x. Entonces,

v xdydx

P x y v x Q x( ) ( ) ( ) ( ),+⎡⎣⎢

⎤⎦⎥= (3)

debe ser una ecuación exacta. Pero (3) se puede anotar fácilmente en la forma:

Mdx Ndy+ = 0. con,

M vPy vQ= − . Y N v= , en las que v P y Q son funciones exclusivas de x. Por lo tanto, si la ecuación (3) es exacta, el requisito:

∂∂

∂∂

My

Nx

=

implica que v debe satisfacer la ecuación:

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.dxdvvP =

De la ecuación (4), v puede ser obtenida fácilmente, ya que:

.vdvPdx =

de modo que,

∫= Pdxvln

o

( )∫= Pdxv exp

Esto es, si la ecuación (2) tiene un factor de integración independiente de y, entonces ese factor debe estar dado por la ecuación (5). Nos falta demostrar que la v dada por la ecuación (5) es en realidad un factor de integración de:

).()( xQyxPdxdy

=+

Multiplicamos (2) por el factor de integración, obteniendo:

( ) ( ) ( ).expexpexp ∫∫∫ =+ PdxQyPdxPdxdyPdx

El miembro izquierdo de (6) es la derivada del producto:

( );exp ∫ Pdxy

el miembro derecho de (6) es una función exclusiva de x. De aquí que (6) sea exacta, lo cual queríamos demostrar. Por supuesto, es suficiente un solo factor de integración. En consecuencia, podemos utilizar en el exponente cualquier función cuya derivada sea P. Debido a la gran importancia de las ideas que acabamos de analizar, y como es frecuente la presencia de ecuaciones lineales de primer orden, a continuación resumimos los pasos involucrados en la solución de tales ecuaciones:

a) Escribir la ecuación en forma canónica:

QPydxdy

=+

b) Obtener el factor de integración exp ( Pdx∫ )

c) Multiplicar ambos miembros de la ecuación (escrita en forma canónica) por el factor de integración.

d) Resolver la ecuación exacta resultante.

Observe que en la integración de la ecuación exacta la integral del lado izquierdo siempre es el producto de la variable dependiente multiplicada por el factor de integración utilizado.

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AGOSTO 06

DESCRIPCION DE LA PRACTICA: En está practica el alumno utilizara sus conocimiento para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden por el método de lineales

MATERIAL:

• Tabla de Derivadas • Tablas de Integrales • Hojas blancas • Lápiz • Borrador

PRERREQUISITOS:

• Conocimientos en calculo diferencial

Derivada de una constante Derivada de un potencia Derivada de un producto Derivada de un cociente Derivadas de funciones trigonometricas Derivadas Logarítmicas Derivadas exponenciales Derivada de cadena Derivación sucesiva

• Conocimiento en calculo Integral

Integral de una constante Integral de un potencia Integral de un producto Integral de un cociente Integrales de funciones trigonometricas Integral Logarítmicas Integral de un exponenciales Integral por partes Integrales con fracciones parciales

• Conocimientos de algebra

Productos notables Factorización Despeje de ecuaciones Solución de sistemas de ecuaciones

PROCEDIMIENTO Desarrolla las siguientes ecuaciones diferencial de primer orden por el método de lineales:

1. ( )x y dx xdy5 3 0+ − =

2. y x y′ = − 2 .

3. ( ) ( )y dx x y dy+ + − =1 4 0.

4. ( ) 03 =+−+ dyyxyxydx

5. ( )2 4 02y x dx xdy− + =

CUESTIONARIO CRITERIO DE DESEMPEÑO QUE SE EVALUARA

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1. ¿cuál es la forma general de una ecuación lineal?

2. ¿Cómo es la forma de una ecuación lineal estándar?

3. ¿Cuál es la fórmula del factor integrante?

4. Cómo se obtiene el factor integrantes?

1. Problemas Resueltos 2. Tabla de Derivadas 3. Tablas de Integrales 4. Cuestionario 5. Procedimiento