Vibracion Libre Amortiguada

5/26/2018 Vibracion Libre Amortiguada

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INGENIERIA SISMORESISTENTE I

Sistemas de un rado de libertad.-Amortiguamiento.-Vibracin Libre con

amortiguamiento.- Decremento logartmico

Ing. Omart Tello Malpartida


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El amortiguamiento es el proceso causante de queun movimiento vibratorio disminu a su am litudcon el tiempo.

Su origen puede ser diverso: or rozamiento de dos su erficies

como consecuencia de la friccin interna o

histresis del propio material, etc.

Ingeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida


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ara a rox mar a n a orma e amor guam en o

es habitual en dinmica estructural emplear un

amortiguamiento viscoso.

En este caso la fuerza amortiguadora es proporcional a la.

Donde la constante c de amortiguamiento equivalente estal ue ori ina la misma disi acin de ener a ue laproducida por el amortiguamiento real de la estructura.



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Vibracin libre,

con amor guam en o



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o e o s s ema un g

f I = Fuerza de Inercia de Masaf D= Fuerza de amortiguamiento por accin de la masa

f S= Fuerza Elstica



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Vibracin libre,

con amor guam en o

m.u + c.u + k. u = 0.. .

u + (c/m).u + (k/m). u = 0.. .

Haciendo :

= k / m ; c/m = 2 b b = c / 2.m.

.. .

.

Solucin :

r + r + =

r1,2 = - b (b -



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Vibracin libre,

con amor guam en o -

Solucin :2 2

r1,2 = - b (b -

r1

= -1

r2= -21 ,2 son reales

y

La solucin general :

2 y 1 . 2 .

C1+



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Vibracin libre,

con amor guam en o2do Caso : b = 1 Condicin de Amortiguamiento Critico

Solucin :r + r + =

r1,2 = - b = -

La solucin general :

y = (C1 + C2.t) e t

y

tt o



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mor guam en o cr co crSabemos :

2C m bSi : b = 1

2c rC m

k El amortiguamiento critico es el mnimo

c r

m amortiguamiento viscoso que senecesita en un sistema para retornar a

su posicin inicial sin vibracin..c r



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Factor de amortiguamiento

Factor de amortiguamiento critico ( = b)

C Cb

2crC m El factor de amortiguamiento critico

se determina experimentalmente



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Vibracin libre,

con amor guam en o -

Solucin :

r2+ 2br + 2= 0

La solucin eneral :

r1,2 = - b (b - r1,2 = - b i (b -

y = (C1. cos 1- b . t + C2 . sen 1- b . t ). e b.t

y

D = 1- b

= - t

t1 t2= t1 + TTIngeniera Sismo Resistente I Ing. Omart Tello Malpartida


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Resumen del movimiento

amor gua oRgimen

Sobreamortiguado

cr

y = C1. et + C2. e

t

Rgimen Criticoy = (C1 + C2.t) e

t

C = Ccr; b =1

Rgimen C < Ccr; b < 1

Frecuencia

y = (C1. cos D . t + C2. sen D . t ). e b.t

Amortiguada

Periodo

D = 1- b

=

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mor gua o


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Vibracin libre,

con amor guam en o

D

= Peri odo Nat ural Amorti guado

D

D

= r ecuenc a rcu ar mor gua a

f = Frecuenci a Amorti guada



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Coeficiente de

amor guam en o El coeficiente de amortiguamiento , se determina

empricamente comparando los resultados analticosviscoso, con los que se obtienen de experimentosreales.

En este coeficiente de amortiguamiento se incluyentodas las fuentes de disipacin de energa que sepresentan durante la vibracin elstica; no slo existeun amor guam en o n erno e ma er a s no quetambin aquel proveniente del roce o la friccin entrelos elementos que componen una edificacin real,

-



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Coeficiente de

amor guam en o

Los valores prcticos que se utilizan usualmente son:

Estructuras metlicas 0.02 0.03

Estructuras de concreto armado Estructuras de albailera

0.05

0.05 0.07

Estructuras de madera 0.02 0.07



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Coeficiente de

a or gua en o D = 1-

/ 2= 1D = T =



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2 2 2

1,2 1,2 1r b b r b b

21

. cos . . .

d

b t

b

u e A t A s e n t

Las C on stantes de Integracion se calculan para cond icion :

= =

es iniciale

= =

s

o o

o o1 o 2

u . .uu ;

d

bA A

o oou . .u

u . co s( . ) . .( )b td d

d

bu e t s e t n


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A1

t Ecuaci n eMovimiento en

forma Vectorial

dt dt-]D

u

. .b t

dt

2 2

1 2

. .d

D A A

2

1

arctanA


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rac n mor gua a

1 1.du t

er o o mor gua o d

2

2 1

2 1

.

2

d du t T

u u

1 12 . .2 .

d d d

d d

t T t

T

t1

t2= t

1+ T

D 2

2 2

1d

d

T

b

Para b= 2 - 10%;

d =



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ecremen o ogar m co

1

1

. .

. .

1 1

. .

. cos .

.cos

d

b t

b t T

u e D t

u e D

1

2 1

. .

11

. .

.cos

.cos

d

b t

b t T

u e

e Du

1

2. .. . . .1

2

.

bb T d b T u

e e eu

.21

2

bue

u

1

2

ln .2u

bu



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.

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