Vibraciones Mecanicas

M.Sc. Norbil Tejada Campos

FACULTAD DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

VIBRACIONES MECANICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA HIDRAULICA

CICLO ACADEMICO VACACIONAL 2013

VIBRACIONES MECANICAS

La vibración se define simplemente como el movimiento oscilante

de un cuerpo, en direcciones opuestas, respecto a la posición de

equilibrio estático.

Los sistemas de ingeniería que poseen masa y elasticidad están

capacitados para tener movimiento relativo. Si el movimiento de

estos sistemas se repite después de un determinado intervalo de

tiempo, el movimiento se conoce como vibración.

La vibración es, en general, una forma de energía disipada y en

muchos casos inconveniente; esto es, debido a las vibraciones se

producen ruidos, se arruinan las diferentes partes, y se transmiten

fuerzas, asi como movimientos indeseables a los objetos muy

cercanos.

1.0. INTRODUCCION:

1.0. INTRODUCCION:

Por ejemplo de sistemas vibratorios:

1. La oscilación de los edificios en movimientos telúricos.

2. El sacudimiento de los puentes debido al trafico.

3. Los movimientos de las maquinas rotatorias desbalanceadas.

4. El movimiento de balanceo de las plataformas fuera de playa bajo la acción de las olas del agua

de mar.

5. El abaniqueo de las alas de un avión.

6. Las oscilaciones inducidas por el viento de las torres y cables de transmisión, etc., etc.

En general, hay dos tipos de vibraciones: La vibración libre y la vibración forzada.

En el caso de la vibración libre, el sistema oscila bajo la acción de fuerzas

restauradoras elásticas o gravitacionales únicamente, sin otra fuerza externa que

actúe sobre el mismo. (por ejemplo: un péndulo simple y un sistema masa-resorte, en

ausencia de aire; etc.).

Vibracion forzada, es la producida por una fuerza externa al actuar sobre un

sistema.

Todas las vibraciones son amortiguadas por fuerzas de fricción que disminuyen el

movimiento disipando energía mecánica del sistema. Sin embrago; en ingeniería en

las que el amortiguamiento es pequeño, puede despreciarse en el análisis de su

efecto sobre la vibración de un sistema; a esta vibración ideal se le conoce como no

amortiguada.

1.0. INTRODUCCION:

Muchos sistemas pueden vibrar en más de una manera y dirección.

Así, tenemos:

Sistemas de un solo grado de libertad: Cuando un sistema esta

restringido de modo que puede vibrar de una manera, o si es

necesaria únicamente una coordenada independiente para

determinar por completo la localización geométrica de las masas del

sistema en el espacio.

1.0. INTRODUCCION:

Sistemas de dos grados de libertad: Cuando un sistema vibra de

dos maneras, lo que necesitan dos coordenadas independientes

para determinar su localización geometrica de las masas del sistema

en el espacio.

1.0. INTRODUCCION:

Sistemas de varios grados de libertad: Cuando es necesario un número de

coordenadas independientes para determinar su localización geométrica de las

masas del sistema en el espacio, igual al número de maneras en que dichos

sistemas vibran.

1.1. VIBRACIONES DE SISTEMAS DE UN SOLO GRADO DE LIBERTAD:

Vibración libre es el movimiento periódico que se observa cuando un sistema se desplaza

de su posición de equilibrio estático. Por ejemplo, en un sistema masa-resorte, en

posición vertical, las fuerzas que actúan son: la fuerza del resorte y el peso de la masa.

1.1.1. VIBRACIONES LIBRES LINEALES:

m m

m m

0 xm

kx o 0

2 xx n



Se trata de una ecuación diferencial ordinaria con las siguientes

características:

1. de segundo orden, ya que intervienen derivadas segundas;

2. lineal, ya que así es la dependencia en relación con la variable x y

sus derivadas;

3. de coeficientes constantes, pues supondremos fijos m (masa del

sistema) y k (rigidez del resorte);

4. homogénea, pues la ecuación está igualada a cero, sin término

independiente a la derecha del signo igual.

02

2

xm

k

dt

xd

Donde:


02

2

xm

k

dt

xdEcuación diferencial general:

1. Frecuencia natural circular de la vibración: m

kn

2. Solución general: )cos()( 21 tCtsenCx nn

Donde: C1 y C2 son constantes a determinar según el

desplazamiento inicial xo y la velocidad inicial vo.

3. Velocidad: )()cos( 21 tsenCtCxv nnnn

4. Aceleración: )cos()(2

2

2

1 tCtsenCxa nnnn

Donde:


02

2

xm

k

dt


La solución general: )cos()( 21 tCtsenCx nn

Donde: C1 = vo/ωn y C2 = xo

)cos()( txtsenv

x non

n

o

La solución general: (De modo mas conveniente, como ecuaciones trigonométricas

independientes utilizando diferentes constantes A y Φ, las cuales están

relacionadas con: C1 = AcosΦ y C2 = AsenΦ):

)( tAsenx n

Donde:


02

2

xm

k

dt


1. La solución general: )( tAsenx n

2. Velocidad: )cos( tAxv nn

3. Aceleración: )(2

tsenAxa nn

Donde: 2

2

n

o

voxA

o

on

v

x 1tan

Relaciones de constantes:

2

2

2

1 CCA

1

21tanC

Cy

y


02

2

xm

k

dt


Solución general:

)( tAsenx n

a. La interpretación física de la función: A es la amplitud del movimiento, Φ es la fase

inicial o constante de fase que nos indica cuanto antes de t = 0 se alcanza el

máximo de x, ∆t = - Φ/ω. El valor de Φ no afecta la forma de la curva x(t) , que

siempre es sinusoidal. En general, Φ será de interés cuando comparemos

oscilaciones de dos magnitudes o sistemas.

b. La masa, en su oscilación, repite su movimiento después de un tiempo T que

llamaremos periodo; lo definimos como el menor intervalo de tiempo que hace que

F(t ) = F(t +T ); o sea que: cos(wt + Φ)= cos(w(t +T )+ Φ).

c. Para cualquier valor de t, lo que exige que wT = 2π. También se usa la frecuencia f

medida en ciclos o periodos por unidad de tiempo, o hertz (Hz).

m

k

Tf

2

1

2

1

21/02/2013 13

Ejemplo 01.- Sea un cuerpo de masa m = 2,0 kg que se puede mover sobre un

plano, sujeto a una fuerza central , donde k = 50 N/m.

a) Calcular las ecuaciones del movimiento x(t) e y(t), y representar su

trayectoria, si en el instante t =0 su posición es r(0) = (0,10 ; 0,15) m y su

velocidad v(0) = (0 ; 0) ms-1

b) Repetir el proceso anterior y determinar, además, la diferencia entre las

fases del movimiento en x y del movimiento en y, para los casos siguientes:

b-1) r(0) = (0,10 ; 0) m ; v(0) = (0 ; 0,25) ms-1

b-2) r(0) = (0,10 ; 0,03) m ; v(0) = (0 ; 0,20) ms-1

b-3) r(0) = (0,10 ; -0,03) m ; v(0) = (0 ; 0,20) ms-1

Ejemplo 02.- Encontrar los resortes equivalentes de los sistemas mostrados en

las figuras, donde ellos se encuentran en paralelo y en serie, respectivamente.

rkF

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Ejemplo 02.- Encontrar los resortes equivalentes de los sistemas mostrados en

las figuras, donde ellos se encuentran en paralelo y en serie, respectivamente.

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Ejemplo 03.- Una masa de 5 Kg. desliza por una vertical sin rozamiento.

Con un solo muelle K1, la frecuencia natural del sistema es de 2 rad/s. Si

queremos aumentar la frecuencia natural al triple, ¿cuál debe ser la

constante K2 de un segundo muelle?.

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Ejemplo 04.- Una viga de acero puesta en voladizo tiene una longitud de 10

pulgadas y una sección transversal cuadrada de ¼ x ¼ pulg. Una masa de 10

libras se ata al extremo libre de la viga. Determine la frecuencia natural del

sistema, si la masa de desplaza libremente y luego de deja en libertad.

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1.1.2. VIBRACION LIBRE ROTACIONAL:

Donde:

02 n

Ecuación diferencial general:

1. La solución general: )( tsen no

2. Velocidad: )cos( tnno

3. Aceleración: )(2

tsen nno

Ecuación del movimiento:

IM

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Ejemplo 05.- Para pequeñas oscilaciones, ¿cuál es la frecuencia natural del

sistema en función de a, b, K y W?. Ignorar la masa de la barra.

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Ejemplo 06.- Determine el periodo natural y la frecuencia natural de la

vibración de amplitud pequeña del péndulo soportado por el resorte (W=10

lbf). Despreciar la masa de la varilla y tamaño del peso pendular. El péndulo

está en equilibrio en la posición vertical que se ilustra y el resorte está sin

deformar en esta posición.

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Ejemplo 06.- Determine el periodo natural y la frecuencia natural de la

vibración de amplitud pequeña del péndulo soportado por el resorte.

Despreciar la masa de la varilla y tamaño del peso pendular. El péndulo está

en equilibrio en la posición vertical que se ilustra y el resorte está sin

deformar en esta posición.

)(93,0 sTn

SOLUCION:

Respuesta:

)/(75,6 sradn )/(07,1 sciclosfn

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Ejemplo 07.- Determine la frecuencia natural de la vibración del sistema masa-

resorte-polea.

21/02/2013 22


Ejemplo 07.- Determine la frecuencia natural de la vibración del sistema masa-

resorte-polea. SOLUCION:

Respuesta:

)/(

2

sradmM

kn

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Ejemplo 08.- Para el péndulo simple de longitud R; Determine la frecuencia

natural y el periodo natural de oscilación, considerando que la cuerda es

inextensible y para amplitudes angulares pequeñas.

)/( sradR

gn )(2 s

g

RTn

Respuestas:

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1.1.3. VIBRACION LIBRE: Método de la Energía:

Fr

Fr

m

m

m

02

xx n


)(2

1 222xAmE nc

Energía cinética:

222

2

1

2

1kxxmE np

Energía potencial:

2

2

1kAEEE pc

Energía total mecánica:

21/02/2013 25

Ejemplo 09.- Para el péndulo simple de longitud R; Determine la frecuencia

natural y el periodo natural de oscilación, considerando que la cuerda es

inextensible y para amplitudes angulares pequeñas.

)/( sradR

gn )(2 s

g

RTn

Respuestas:


21/02/2013 26

Ejemplo 10.- Un bloque de 8 kg está sujeto a un disco escalonado. El disco

esta soportado por una articulación situada en A y un resorte de rigidez de

500 N/m, como se indica. Si el momento de inercia de masa del disco respecto

a su centro de masa A es 0,5 kg.m2; determine el periodo natural de oscilación

del sistema, considerando que dicho sistema está en equilibrio en la posición

que se muestra y desprecie el tamaño del bloque.

)/(35,3 sradn )(87,1 sTn

Respuestas:


A a

b

K = 500 N/m

m

a = 0,15 m

b = 0,25 m


1.1.2. VIBRACIONES AMORTIGUADAS LINEALES:

Las fuerzas de fricción o de amortiguamiento que se encuentran

comunmente en los sistemas de ingeniería se dividen en: a) de

amortiguamiento de Coulomb (fricción seca); b) de amortiguamiento viscoso

(fricción fluida); c) de amortiguamiento estructural (fricción interna).

02

2

xm

k

dt

dx

m

c

dt

xd

Fr

Fr

m

m

m

f = μN

f

f = cv

Fr

0 xm

kx

m

cx o


0 xm

kx

m

cx

Donde:


1. La solución general: tAetx )(

m

kmcc

2

42

2,1

La naturaleza del movimiento amortiguado depende de que sea positivo,

cero o negativo el termino que está bajo el radical de la ecuación.

Así tenemos que; el Coeficiente crítico de amortiguamiento (cc), es cuando

(c2 - 4km=0):

nmm

kmcc 22


0 xm

kx

m

cx


1. La solución general: tAetx )(m

kmcc

2

42

2,1

A. Movimiento sobreamortiguado (c > cc ; c2 - 4km > 0; λ1 y λ2 raices reales, negativas y diferentes):

tteAeAtx 21

21)(


B. Movimiento amortiguado criticamente (c = cc ; c2 - 4km = 0; λ1 = λ2 = - ωn):

tneAAtx

)()( 21

22

12

c

nac

c

m

c

m

k

C. Movimiento inframortiguado (c < cc ; c2 - 4km < 0; λ1 y λ2 son números complejos):

)cos()( 21

)2

(tAtsenAetx aa

tm

c

)()()

2(

tsenAetx a

tm

c

Donde:


22

12

c

nac

c

m

c

m

k

C. Movimiento inframortiguado (c < cc ; c2 - 4km < 0; λ1 y λ2 son números complejos):

)cos()( 21

)2

(tAtsenAetx aa

tm

c

)()()

2(

tsenAetx a

tm

c

Donde:

21/02/2013 32

Fr

Fr

m

m

m

Fe

Fe=Fosenωet


1.1.3. VIBRACIONES FORZADAS LINEALES:

tsenFkxxm eo

La solución general:

pc xxtx )(

Ecuación general:

Donde:

tXsenx ep

)cos()( 21 tCtsenCx nnc

tsenkF

tCtsenCtx e

n

e

o

nn

211

1

cos)(

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1.1.4. VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS LINEALES:

tsenFkxxcxm eo

La solución general:

pc xxtx )(

Ecuación general:

Donde: )( tXsenx ep

2

1

2

1tan

n

e

n

e

ccc

222222

21)()(

n

e

cn

e

o

ee

o

cc

kF

cmk

FX

Fr

Fa Fe=Fosenωet

t

c Aex

Tenemos:

1.2. VIBRACIONES DE SISTEMAS CON DOS GRADOS DE LIBERTAD:

Analisis:

Coordenadas Principales.- dos ecuaciones del movimiento, donde

cada una contenga únicamente una cantidad desconocida.

Coordenadas de Acoplamiento.- ecuaciones relacionadas con los

parámetros de acoplamiento (dos acoplamientos: estático debido al

desplazamiento estático y dinámico debido a las fuerzas de inercia).

1.3. VIBRACIONES DE SISTEMAS CON “n” GRADOS DE LIBERTAD:

21/02/2013 36

)cos( tAxv nn )(2

tsenAxa nn

Velocidad: Aceleración:

21/02/2013 37


21/02/2013 38

SUPERPOSICION DE DOS MOVIMIENTOS ARMONICOS SIMPLES:

A. Igual dirección e igual frecuencia:

cos2 21

2

2

2

1 AAAAA 2211

2211

coscos

AA

senAsenAtag

12

Amplitud:

donde:

Fase:

Caso 1: α1 = α2 Caso 2: α2 = α1 +π

Caso 3: α2 = α1 +π/2

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SUPERPOSICION DE DOS MOVIMIENTOS ARMONICOS SIMPLES:

A. Igual dirección y diferentes frecuencias:

tAAAAA 2121

2

2

2

1 cos2

2121

2fff

Amplitud:

Donde la amplitud es modulada:

Caso: α1 = α2 = 0

1. A = A1 + A2 ; Si: (ω1- ω2)t = 2nπ

2. A = A1 - A2 ; Si: (ω1- ω2)t = 2nπ + π

Frecuencia:

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