METODO DE NEWTON RAPHSON PARA

UNA ECUACION NO LINEAL CON UNA SOLA VARIABLE

Aplicación

Encontrar la raíz de la siguiente ecuación;

y5

(1.5+2 y )2=0.0021

Para un valor inicial de y=1, y un error igual 0.0001

El algoritmo es:

Y1 = y – F/D

Donde: Y1 es la nueva raíz, Y es la raíz anterior, F es la función f(y)=0. y D es la derivada de la F(y)

Aplicando en matlab

REGLA DEL TRAPECIO COMPUESTA

Grafico de regla del trapecio compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es

continua y positiva en el intervalo [a, b]. De tal modo la integral definida   representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho  .

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde   y n es el número de divisiones.

La expresión anterior también se puede escribir como:

El error en esta aproximación se corresponde con:

Siendo n el número de subintervalos

Ejemplo

Primero se obtiene h, de los límites de la integral que representan a y b y para n=6 queda:    .

Y ahora se sustituye en la fórmula

 = 

y queda:

 = 

En este caso no se comete ningún error en el cálculo (el resultado es exacto) porque la función sujeta a

Integración es lineal.

Aplicando en matlab

REGLA DE CRAMERLa regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 – 1752

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

Si   es un sistema de ecuaciones.   es la matriz de coeficientes del sistema,   es el vector columna de las incógnitas y   es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

Donde   es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de   por el vector columna  . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz   ha de ser no nulo.

Sistema de 3x3

La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

,  ,   pueden ser encontradas como sigue:

Ejemplo

Dado el sistema de ecuaciones lineales:

Expresado en forma matricial: 

Los valores de   serían:

Aplicando este algoritmo en matlab

function TrapComp(a,b,n); % x = es el vector x % y = es el vector y % n = numero de segmentosh=(b-a)/n;n=n+1;y=zeros(n,1); x=zeros(n,1); suma=0;for i=1:n x(i)=a+h*(i-1); y(i)=funcion(x(i)); endfor i=2:n-1 suma=suma+y(i);endArea=0.5*h*(y(1)+2*suma+y(n)); fprintf('El area es = %8.4f\n',Area) end

function Trapecio(fdex1,a,b,j) % fdex1 =es la funcion que ingresa como un string% a,b =los valores extremos del intervalo% j = el valor de la iteración % Resultados % N =el valor de n% Area =valor del areaif j==1; Area=0.5*(b-a)*(feval(fdex1,a)+feval(fdex1,b)); N=1; else N=j; H=(b-a)/N; Area=(feval(fdex1,a)+feval(fdex1,b)); x=a; for i=1:N-1 x=x+H; Area=Area+2*feval(fdex1,x);

end Area=( H/2)*Area;endfprintf('Area obtenida %8.4f para %4.0f intervalo(s) \n',Area,N)end

!CREACION DEL SUBPROGRAMA CRAMER SUBROUTINE CRAMER(A,X,B) REAL,DIMENSION(3,3)::A,A1,A2,A3 REAL,DIMENSION(3)::X,B REAL::DENOM DENOM=DET(A) A1=A A2=A A3=A DO I=1,3 A1(I,1)=B(I) A2(I,2)=B(I) A3(I,3)=B(I) END DO X(1)=DET(A1)/DENOM X(2)=DET(A2)/DENOM X(3)=DET(A3)/DENOM RETURN END SUBROUTINE CRAMER

!CREACION DEL SUBPROGRAMA FUNCTION DET FUNCTION DET(A) REAL,DIMENSION(3,3)::A DET=A(1,1)*(A(2,2)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,2))- & & A(1,2)*(A(2,1)*A(3,3)-A(2,3)*A(3,1))+ & & A(1,3)*(A(2,1)*A(3,2)-A(2,2)*A(3,1)) RETURN END FUNCTION DET !7X1+2X2+3X3 =45 !1X1+4X2+8X3=44 !2X1-3X2+2X3 =28