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Gua de ejercitacin avanzadaMatem
tica
Marco terico
PLANO CARTESIANO
Z
X
ordenada
abscisa
cota
P(a, b, c)
y
c
ab
P
MEDIDA DE UN SEGMENTO EN EL ESPACIO
LalongituddeunsegmentoPQ enelespacio,talqueP(a,b,c)yQ(d,e,f)secalcula:
L=(a d)2 + (b e)2 + (c f)2
CUERPOS GEOMTRICOS
Sonelementosgeomtricosentresdimensiones.Sedividenenpoliedrosycuerposre-dondos.Elreadeuncuerpogeomtricocorrespondealasumadelasreasquelimitanelcuerpo.Elvolumendeuncuerpogeomtricocorrespondealacantidaddeespacioqueocupaoqueescapazdecontener.
POLIEDROS
Soncuerposgeomtricosenlosquetodaslassuperficiesquelolimitansonpolgonos,porlotanto,todassuscarassonplanas.Entreotrospoliedros,esposiblemencionarlosprismasylaspirmides.
cpech Preuniversitarios2
Matemtica Gua d
e ejercitacin avan
zada
alturaarista
vrtice
cara lateral
cara basal
Losprismassonpoliedrosquetienenunaparejadecarasbasalesquesonpolgonoscongruentesparalelosentres.Lascaraslateralessonparalelgramos.
Elreadeunprismacorrespondealasumadelasreasdelospolgonosquelolimitan.
Elvolumendeunprismasecalcula: Volumen prisma = rea base altura
alto
ancho
largo
Losparaleleppedos sonprismasen loscualestodassuscarassonparalelgramos.Tienetresparejasdecarasparalelas.
Elreadeunparaleleppedosecalcula: rea paraleleppedo = 2 (largo ancho + largo alto + ancho alto)
Elvolumendeunparaleleppedosecalcula: Volumen paraleleppedo = largo ancho alto
arista
Loscubossonparaleleppedosenloscualessusseiscarassoncuadradoscongruentes.
Elreadeuncubosecalcula: rea cubo = 6 arista2
Elvolumendeuncubosecalcula: Volumen cubo = arista3
cpech Preuniversitarios 3
Gua de ejercitacin avanzadaMatem
tica cara
lateral
carabasal
cspide
arista
vrtice
Laspirmidessonpoliedrosquetienenunacarabasalpoligonalylascaraslatera-lesconcurrenaunsolovrticellamadocspide.Lascaraslateralessontringulos.
Elreadeunapirmidecorrespondealasumade lasreasde lospolgonosquelolimitan.
Elvolumendeunapirmidesecalcula:
Volumen pirmide = 13
rea base altura
Lospoliedros regulares(oslidosplatnicos)sonaquellosenloscualestodaslascarassonpolgonosregularescongruentes.Sloexistencincopoliedrosregulares.
Tetraedroformado por tringulos
Hexaedroformado por cuadrados
Octaedroformado por tringulos
Dodecaedroformado por pentgonos
Icosaedroformado por tringulos
cpech Preuniversitarios4
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e ejercitacin avan
zada
CUERPOS REDONDOS
Soncuerposgeomtricosenloscualesunaotodassussuperficiessoncurvas.Seproducenapartirdelarotacinindefinidadeunafiguraplana.Loscuerposredondosmscomunessonloscilindros,conosyesferas.
rea lateral
altura
radio
Loscilindrosseproducenapartirdelarotacinindefinidadeunrectnguloentornoaunodesuslados.
reatotaldeuncilindroestcompuestaporelrealateralylasreasbasales.
Elrealateraldelcilindrosecalcula:rea lateral cilindro= 2 radio altura.
Lasreasbasalesdelcilindrocorrespondenadoscrculoscongruentescuyoradioesigualalradiodelcilindro.
Porlotanto,elreatotaldelcilindrosecalcula:rea total cilindro= 2 radio altura + 2 radio2
Elvolumendeuncilindrosecalcula:Volumen cilindro = radio2 altura
rea lateral
altura
radio
generatriz
Losconosseproducenapartirdelarotacinindefinidadeuntringulorectnguloentornoaunodesuscatetos.
Lageneratrizdelconosecalcula:generatriz = radio2 + altura2.
Elreatotaldeunconoestcompuestaporelrealateralyelreabasal.
Elrealateraldelconosecalcula:realateralcono= radio generatriz.
cpech Preuniversitarios 5
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Elreabasaldelconocorrespondeauncrculocuyoradioesigualalradiodelcono.
Porlotanto,elreatotaldelconosecalcula:rea total cono = radio generatriz + radio2.
Elvolumendeunconosecalcula:
Volumen cono = 13
radio2 altura
Lasesferasseproducenapartirdelarotacinindefinidadeunsemicrculoentornoasudimetro.
Elradiodeunaesferacorrespondea ladistanciaentreelcentroyelcontornodelaesfera.
Elreadeunaesferasecalcula:rea esfera = 4 radio2
Elvolumendeunaesferasecalcula:
Volumen esfera = 43
radio3
cpech Preuniversitarios6
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zada
Ejercicios PSU
1. SeanA(1,2, u)yB(1,2,3)dospuntosenelespacio,talqueuesunnmerorealpositivo.ParaquvalordeuelsegmentoAB es6?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9
2. Enlafigura,eltringuloPQRtienevrticesP(6,0,0),Q(0,6,0)yR(0,0,6).CuleselreadeltringuloPQR?
y
z
x
Q
R
P
A) 183
B) 182
C) 63
D) 62
E) Ningunodelosvaloresanteriores.
cpech Preuniversitarios 7
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3. SeanlospuntosA(a,a,0),B(2a,a,0),C(a,2a,0)yD(a,a,a)cuatropuntosenelespacio,talqueaesunnmerorealpositivo.SiA,B,CyDsonlosnicosvrticesdeuncuerpogeomtrico,entonceselvolumendedichocuerpoes
A)a3
6
B)a3
4
C)a3
3
D)a3
2
E) a3
4. Seaelsegmento AB enelespacio,talqueA(9,3,6)yB(3,6,9).SiAB esladiagonaldeuncubo,entonceselreadedichocuboes
A) 168 B) 252 C) 360 D) 540 E) 720
5. Lacantidaddecarasdeunicosaedroes A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 20
cpech Preuniversitarios8
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zada
6. Lapirmidedelafigura,estcompuestade A) 12aristas,7carasy7vrtices. B) 12aristas,6carasy6vrtices. C) 12aristas,6carasy7vrtices. D) 7aristas,12carasy6vrtices. E) 7aristas,12carasy7vrtices.
7. Silacapacidaddeuncuboes8litros,entonceslasumadetodaslasaristasdelcuboes A) 72 cm B) 96 cm C) 180 cm D) 200 cm E) 240 cm
8. Sielvolumendeunacajadebasecuadradamide96 cm3,elanchoyelaltoestnenlarazn2 : 3,entoncessureatotalmide
A) 64 cm2 B) 128cm2 C) 256cm2
D) 384cm2
E) ningunadelasmedidasanteriores.
cpech Preuniversitarios 9
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9. Silasbasestriangularesdelprismadelafiguratienenreaiguala14 cm2ysualturamide12 cm,culessuvolumen?
A) 56 cm3
B) 168cm3 C) 784cm3
D) 2.352cm3
E) Ningunadelasmedidasanteriores.
10. Enlafigura,elprismarectotieneunaalturade5 cmylabaseesunhexgonoregular
delado2 cm. Suvolumenmide A) 15
2cm3
B) 10 cm3
C) 315 cm3
D) 610 cm3
E) ningunadelasmedidasanteriores.
11. Laraznentrelasreasdedoscuboses9 : 16.Culeslaraznentresusvolmenes?
A) 729 : 4.096 B) 27 : 64 C) 9 : 16 D) 9 : 12 E) 3 : 4
cpech Preuniversitarios10
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zada
12. Elvolumendeuncubomide729 cm3.Cul(es)delassiguientesafirmacioneses(son)verdadera(s)?
I) Ladiagonaldeunacaramide92 cm. II) Elreadelcubomide81 cm2. III) Ladiagonaldelcubomide93 cm.
A) SloI B) SloII C) SloIyII D) SloIyIII E) I,IIyIII
13. Uncuboesuncuerpogeomtricoclasificadodentrodelgrupodelos
I) poliedros. II) prismas. III) paraleleppedos.
Es(son)verdaderas
A) sloIII. B) sloIyII. C) sloIyIII. D) I,IIyIII. E) ningunadeellas.
cpech Preuniversitarios 11
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14. Uncubosedivideentresparaleleppedosigualesconcortesparalelosaunadesuscaras,comomuestralafigura.Sielreatotaldecadaunodeesosparaleleppedosmide60cm2,entonceselreatotaldelcubooriginalmide
A) 72 cm2
B) 108cm2
C) 120cm2
D) 135cm2
E) 180cm2
15. Unprismarectotienecomobaseunhexgonoregulardelado4 cm.Sitodaslascarasdelprismatienenigualrea,cuntomideelvolumendelprisma?
A) 64 cm3
B) 963 cm3
C) 1443 cm3
D) 1923 cm3
E) 432cm3
16. Elradiodeuncilindromide4 cmysualturamide6 cm.Cuntomidesurea?
A) 40 cm2
B) 48 cm2
C) 52 cm2
D) 64 cm2
E) 80 cm2
cpech Preuniversitarios12
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17. Enlafigura,elreadelconoes
4
3
A) 8 B) 12 C) 21 D) 24 E) ningunodelosvaloresanteriores.
18. Sieldimetrodeunaesferamide6 cm,entoncessuvolumenmide
A) 8 cm3
B) 12 cm3
C) 24 cm3
D) 36 cm3 E) ningunadelasmedidasanteriores.
19. Enelcubodelafigura,Ptienecoordenadas(5, 0, 0),entoncesRtienecoordenadas
y
x
z
R
Q
P
A) (0,5,0) B) (0,0,5) C) (5,0,5) D) (5,5,0) E) ningunadelascoordenadasanteriores.
cpech Preuniversitarios 13
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20. Un globo esfrico de radio 12 cm est lleno de agua. Si se vaca completamente elcontenido del globo en un envase cilndrico recto de radio 12 cm, llenndolocompletamente,entonceslaalturadelcilindromide
A) 9cm B) 12cm C) 16cm D) 18cm E) 24cm
21. Seauntringulorectngulocuyoscatetosmiden15cmy20cm.Algirarindefinidamenteeltringuloentornoasuhipotenusa,elvolumendelcuerpogeneradomide
A) 1.200 cm3
B) 1.348 cm3
C) 1.680 cm3
D) 1.800 cm3
E) 3.600 cm3
22. AlrotarindefinidamenteelrectnguloABCDdelafiguraentornoalladoAD,segenerauncuerpogeomtricocuyovolumenmide
C11 cm
7 cm
D
BA
A) 847 cm3
B) 539 cm3
C) 282 cm3 D) 154 cm3
E) 146 cm3
cpech Preuniversitarios14
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23. Alrotar indefinidamenteel tringuloABCentornoal ladoAB ,segenerauncuerpogeomtricocuyovolumenmide
12 cm
C
A B
13 cm
A) 300 cm3
B) 240 cm3
C) 100 cm3 D) 40 cm3
E) ningunadelasmedidasanteriores.
24. Unconoseencuentraalinteriordeuncilindroderadio4 cm,comosemuestraenlafigura.Si lageneratrizdelconomide45 cm,entoncescuntomideelvolumenNOcubiertoporelcono?(Losradiosylasalturasdelconoydelcilindrocoinciden)
A) 642 cm3
B) 2563
cm3
C) 322 cm3
D) 128
3 cm3
E) Ningunadelasmedidasanteriores.
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25. Cul(es)delassiguientesafirmacioneses(son)siempreverdadera(s)?
I) Sielradiodeunconoaumentaaldoble,entonceselvolumenaumentacuatroveces.
II) Silaaristadeuncubosetriplica,entonceselreaaumenta9veces. III) Si el radio de una esfera disminuye a la mitad, entonces el nuevo volumen
correspondealaoctavapartedelvolumenoriginal. A) SloI B) SloII C) SloIyII D) SloIIyIII E) I,IIyIII
26. UnaesferadeplasticinadereaAsedivideendospartesiguales.Unadeesaspartesseamoldademaneraquetomaformadeesfera.Elreadeestaesferaes
A) A4
B) A2
C)A
34
D)A
2
E) A32
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27. Uncilindroyunconotienenambosunradiodexcmyunaalturadexcm.Laraznentreelreatotaldelconoyelreatotaldelcilindroes
A) 2
3
B) 12
C)1 + 2
4
D) 2
2
E)1 + 2
3
28. Unadelasaristasdeuncubotienevrtices(4,2,10)y(4,5,10)enunsistemadeejestridimensional.Elreadelcuboes
A) 9 B) 27 C) 36 D) 54 E) 384
29. Sepuededeterminarelvolumendeunconosi:
(1) Elpermetrodelabasemide12 cm. (2) Laalturadelconomide9 cm. A) (1)porssola. B) (2)porssola. C) Ambasjuntas,(1)y(2). D) Cadaunaporssola,(1)(2). E) Serequiereinformacinadicional.
cpech Preuniversitarios 17
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30. Sepuededeterminarelreadeuncubosi:
(1) Ladiagonaldelcubomide63 cm. (2) Elvolumendelcubomide216 cm3. A) (1)porssola. B) (2)porssola. C) Ambasjuntas,(1)y(2). D) Cadaunaporssola,(1)(2). E) Serequiereinformacinadicional.
cpech Preuniversitarios18