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ISSN 1988-5318 EDITORES Juan Cuadra Díaz [email protected] Juan José Moreno Balcázar [email protected] Fernando Reche Lorite [email protected] Resumen Actividad Matemática p. 2 Enseñanza Secundaria p. 5 Divulgación Matemática p. 10 Territorio Estudiante p. 19 Editorial Tenemos el placer de presentaros un nuevo número del Boletín: el último de este curso. Es más extenso que los anteriores pero tendréis más tiempo para leerlo; pasarán seis meses antes de que salga el próximo volumen en octubre de 2008. El éxito conseguido ha superado nuestras expectativas. Ha habido unos 21.500 accesos a la página web del Boletín desde su puesta en marcha. También se ha visto superado con creces el tiempo y el trabajo que pensá- bamos dedicarle a este proyecto. Han sido muchos los quebraderos de cabeza, pero los hemos aceptado de buen grado en aras de del objetivo que nos ha- bíamos propuesto: divulgar las matemáticas en nuestra provincia. Seguiremos esforzándonos para llevar a cabo esta labor y contribuir a terminar con la ma- la prensa tradicionalmente dada a nuestros estudios. Ejemplo de ésta es un artículo reciente, publicado en un conocido periódico de la provincia, que usa datos sacados de contexto sobre el número de matrículas en matemáticas en nuestra universidad, presentados sin compararlos con los de otras universida- des españolas o extranjeras u otras carreras de ciencias. Finalmente, muchísimas gracias por la buena acogida que nos habéis dado. Os deseamos que disfrutéis con este nuevo número, que os animéis a colaborar y que tengáis unas buenas vacaciones. ¡Hasta el próximo curso! ACTIVIDADES EN LA UAL Jornadas Científicas Alumnos de Bachillerato en la UAL Facultad de Ciencias La Facultad de Ciencias Experimen- tales ha organizado durante el mes de abril unas jornadas científicas pa- ra mostrar al alumnado de Bachillera- to las ciencias desde una perspectiva práctica y amena. Durante tres días nos han visitado alrededor de 400 estudiantes de Bachi- llerato de diferentes centros de nuestra provincia. En esta Jornadas el alum- nado ha tenido contacto in situ con diferentes aspectos de las matemáti- cas aplicadas a problemas reales. Después de cada proceso electoral habitualmente se abre un debate sobre la capacidad que tiene nuestro sistema electoral para transformar el número de votos obtenidos por los diferentes partidos en un reparto justo de represen- tantes en las Asambleas Legislativas. En este número del Boletín Juan Jesús Roldán, profesor de Matemáticas del IES «Aguadulce», presenta una alternativa al sistema electoral español analizando el problema desde una perspectiva matemática. (Artículo completo en la página 11) Matemáticas electorales Congreso de los Diputados BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL B o p T it M at U al Volumen I. Número 3 16 de abril de 2008 k

Volumen I. Número 3 Matemáticas electoralesboletinmatematico.ual.es/Boletin_de_la_Titulacion... · ISSN 1988-5318 EDITORES JuanCuadraDíaz [email protected] JuanJoséMorenoBalcázar

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ISSN 1988-5318

EDITORES

Juan Cuadra Dí[email protected]

Juan José Moreno Balcá[email protected]

Fernando Reche [email protected]

Resumen

Actividad Matemática p. 2

Enseñanza Secundaria p. 5

Divulgación Matemática p. 10

Territorio Estudiante p. 19

Editorial

Tenemos el placer de presentaros un nuevo número del Boletín: el últimode este curso. Es más extenso que los anteriores pero tendréis más tiempo paraleerlo; pasarán seis meses antes de que salga el próximo volumen en octubrede 2008. El éxito conseguido ha superado nuestras expectativas. Ha habidounos 21.500 accesos a la página web del Boletín desde su puesta en marcha.

También se ha visto superado con creces el tiempo y el trabajo que pensá-bamos dedicarle a este proyecto. Han sido muchos los quebraderos de cabeza,pero los hemos aceptado de buen grado en aras de del objetivo que nos ha-bíamos propuesto: divulgar las matemáticas en nuestra provincia. Seguiremosesforzándonos para llevar a cabo esta labor y contribuir a terminar con la ma-la prensa tradicionalmente dada a nuestros estudios. Ejemplo de ésta es unartículo reciente, publicado en un conocido periódico de la provincia, que usadatos sacados de contexto sobre el número de matrículas en matemáticas ennuestra universidad, presentados sin compararlos con los de otras universida-des españolas o extranjeras u otras carreras de ciencias.

Finalmente, muchísimas gracias por la buena acogida que nos habéis dado.Os deseamos que disfrutéis con este nuevo número, que os animéis a colaborary que tengáis unas buenas vacaciones. ¡Hasta el próximo curso!

ACTIVIDADES EN LA UAL

Jornadas CientíficasAlumnos de Bachillerato en la UAL

Facultad de Ciencias

La Facultad de Ciencias Experimen-tales ha organizado durante el mes

de abril unas jornadas científicas pa-ra mostrar al alumnado de Bachillera-to las ciencias desde una perspectivapráctica y amena.

Durante tres días nos han visitadoalrededor de 400 estudiantes de Bachi-llerato de diferentes centros de nuestraprovincia. En esta Jornadas el alum-nado ha tenido contacto in situ condiferentes aspectos de las matemáti-cas aplicadas a problemas reales.

Después de cada proceso electoral habitualmente se abre un debate sobrela capacidad que tiene nuestro sistema electoral para transformar el númerode votos obtenidos por los diferentes partidos en un reparto justo de represen-tantes en las Asambleas Legislativas.

En este número del Boletín Juan Jesús Roldán, profesor de Matemáticasdel IES «Aguadulce», presenta una alternativa al sistema electoral españolanalizando el problema desde una perspectiva matemática.

(Artículo completo en la página 11)

Matemáticas electorales

Congreso de los Diputados

BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL

Bo√TitMatUal

Volumen I. Número 3 16 de abril de 2008 ‖

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Actividad Matemática Volumen I. Número 3 2 / 22

MATEMÁTICAS EN LA UAL

Salidas profesionales de la Titulación deMatemáticasPedro Martínez GonzálezUniversidad de Almería

En los dos primeros números del Boletín ya hemoshecho referencia al informe «Salidas Profesionales delos Estudios de Matemáticas. Análisis de la Inser-ción Laboral y Ofertas de Empleo» realizado por la Co-misión Profesional de la RSME, RSME-ANECA (2007)(www.rsme.es/comis/prof ).

Nos centraremos ahora en comentar un artículo quesintetiza dicho informe, publicado en La Gaceta de RS-ME, Vol. 10.3 (2007), pp. 561-592.

Se trata de un profuso trabajo en el que se ha eva-luado, por medio de una encuesta, la situación laboral detoda la comunidad matemática. Se ofrece una panorámicade las salidas profesionales de los estudios de matemáti-cas, identificando los puestos de trabajo recomendables,mostrando su versatilidad y capacidad de incorporación aámbitos muy diversos. Además, se detallan los requisitosmás demandados en los distintos perfiles profesionales yse identifican cuáles son las principales competencias exi-gidas en las diversas ofertas de empleo matemático.

Los aspectos más relevantes que cabe destacar de dichotrabajo son los siguientes:

P La titulación de Matemáticas ofrece unas expec-tativas laborales muy atractivas y de amplio es-pectro: Docencia (38, 3%); Bancos/Cajas/Finanzas(16, 4%); Administración Pública (14, 5%); In-formática (7%); Consultoría (6, 6%); Cien-cia/Tecnología (5, 1%), etc...

Tipo de Empresa

Centro Docente38,3%

Administración Pública14,5%

Ciencia/Tecnología5,1%

Consultoría6,6%

Otros12,1%

Informática7,0%

Bancos/Finanzas16,4%

P La formación como matemático hace distinguir-se respecto a otros titulados, puesto que el 97% delos encuestados afirman encontrarse, al menos, enigualdad de condiciones que los demás, y el 51, 3%opinan que se encuentran en posición favorable paracompetir por la obtención de un puesto de trabajo.Estos datos confirman que la titulación de Matemá-ticas es competitiva incluso donde existen otros es-

tudios con un «teórico» mayor grado de afinidad conlas actividades empresariales.

Situación frente a otros titulados

Peor2,9%

No hay diferencia45,8%

Mejor51,3%

P El perfil del Licenciado en Matemáticas es reco-nocido y valorado como idóneo en muy diferentesámbitos laborales ya que se han detectado deman-das en las siguientes categorías: Administración deEmpresas, Calidad, Producción e I+D, Educación yFormación, Finanzas y Banca, Informática y Tele-comunicaciones, Ingenieros y Técnicos, Marketing yComunicación, etc...

Ofertas de trabajo

Otros4,0%

Informática y Telecomunicaciones

44,3%

Banca y Finanzas9,0%

Aministración de Empresas

9,3%

Ingenieros y Técnicos

8,3%

Calidad, Producción e I+D2,4%

Marketing y Comunicación

10,8%Educación y Formación

11,9%

P Los titulados en Matemáticas se incorporan almercado laboral muy rápidamente: a los dos añosel desempleo supone sólo el 5% y trabajan casi todos(98, 2%) después de cinco años. Además, el 72, 8%tiene un contrato estable (fijo o indefinido).

Tipo de contrato

Fijo o indefinido72,8%

Temporal18,7%

Sin contrato1,1%

Autónomo0,9%

En prácticas o becario6,5%

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Actividad Matemática Volumen I. Número 3 3 / 22

P El salario medio, entre los dos y cinco años de anti-güedad laboral, se sitúa entre 20.000 y 25.000 eurosanuales. Entre cinco y diez años el salario oscila en-tre 30.000 y 35.000 euros y a partir de los diez añossupera los 35.000 euros, con un alto porcentaje porencima de los 50.000 euros.

Salarios

17,0%

13,4%

4,7%

12,3%

6,3%

12,3%

19,5%

14,5%

0,0%

5,0%

10,0%

15,0%

20,0%

25,0%

< 20.000€ 20.000€ -25.000€

25.000€ -30.000€

30.000€ -35.000€

35.000€ -40.000€

40.000€ -45.000€

45.000€ -50.000€

> 50.000€

P Los titulados muestran un grado de satisfacciónelevado acerca de su preparación académica y suadecuación al mundo laboral (el 26, 1% opina que

es aceptable, el 52% que es alta o muy alta y sóloel 21, 8% tiene una opinión desfavorable). Además,los encuestados piensan que el Plan de Estudios deMatemáticas debe contener asignaturas y/o cursosorientados hacia el mundo empresarial.

Por último, cabe señalar que al analizar las exigenciasde los puestos de trabajo que se ofertan, se detectan doscompetencias fundamentales:

1. La posesión de conocimientos en programación avan-zada: lenguajes de programación avanzados (Java,C/C++) y entornos de trabajo de grandes presta-ciones (SAP, .Net, SAS y Oracle).

2. La capacidad de procesamiento y análisis de datos:conocimiento de estrategias y herramientas enfoca-das a la administración y creación de conocimientomediante el análisis de datos existentes en una orga-nización o empresa.

Actividades matemáticas

Jornadas Científicas para estudiantes de 2o

de BachilleratoEstas Jornadas se han celebrado los días 4, 11 y 17

de Abril en la Facultad de Ciencias Experimentales de laUAL con el objetivo de acercar la ciencia a los estudian-tes de Bachillerato. En particular, en lo que correspondea nuestra titulación, se ha pretendido dar una visión mo-derna y real de las matemáticas deshaciendo algunos delos viejos tópicos como: ¿Para qué sirven las Matemáti-cas?, ¿dónde se usan? o ¿dónde trabajan los matemáticosaparte de la enseñanza?

Han participado aproximadamente 400 estudiantes de16 centros de Secundaria de la provincia. Se han progra-mado actividades prácticas en los laboratorios de Químicay en las aulas de ordenadores de la universidad donde elalumnado ha experimentado con las matemáticas usandosoftware científico como Matlab y Mathematica. Comoactividad complementaria se ha realizado una visita di-dáctica al parque natural de Cabo de Gata.

Además de esta inmersión en la ciencia, han podidodisfrutar de un agradable desayuno y de un menú universi-tario en el comedor de la UAL. La experiencia ha sido muyenriquecedora para todos los participantes (estudiantes yprofesorado) y han supuesto unas jornadas de convivenciatremendamente positivas. En el próximo curso esperamoscontar con más centros y de esta forma seguir divulgandola ciencia, y en particular, las matemáticas.

Desde aquí también queremos agradecer la colabora-ción que nos han prestado los estudiantes de Matemáticasy de la doble Titulación Matemáticas e Informática de laUAL, que con su aportación han contribuido al éxito delas Jornadas.

Darío Ramos López, alumno de la Doble Titulaciónde Matemáticas e Informática, contando susexperiencias al alumnado de Bachillerato

El material (dossier) que se ha elaborado para estasprácticas y que fue entregado al alumnado se puede des-cargar en el portal de Matemáticas de la Universidad deAlmería www.ual.es/Universidad/ualmat/ (algunos de losficheros utilizados se pueden descargar de otras páginascuyos enlaces se encuentran en el dossier).

Tesis defendidasEl 14 de marzo la doctoranda Dña. Bojana Femić de-

fendió la tesis doctoral titulada «Coanillos de Azumaya,teoría de Hopf-Galois trenzada y grupos de Brauer»que ha sido dirigida por los doctores D. Juan Cuadra Díazde la Universidad de Almería y D. Stefaan Caenepeel dela Universidad Libre de Bruselas.

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Actividad Matemática Volumen I. Número 3 4 / 22

Nos visitaron...

En el transcurso de estos meses nos han visitado nu-merosos investigadores de diferentes universidades con lasque los grupos de investigación de la UAL colaboran acti-vamente en el desarrollo de su actividades.

Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: Sana Hi-zem, de la Universidad de Monastir (Túnez); Moham-med Boulagouaz, de la Universidad de Fez (Marruecos);Mohammed Sabiri, de la Universidad de Fez (Marruecos);Yinhuo Zhang, de la Universidad de Hasselt (Bélgica);

Emilio Villanueva Novoa, de la Universidad de Santiagode Compostela; José Gómez Torrecillas, de la Universi-dad de Granada; Freddy Van Oystaeyen, de la Universi-dad de Amberes (Bélgica); Erik Darpö, de la Universidadde Uppsala (Suecia); Maxim Yattselev del INRIA, Sophia-Antipolis (Francia); Stefaan Caenepeel, de la UniversidadLibre de Bruselas (Bélgica), Victoriano Ramírez de la Uni-versidad de Granada y David Arcoya de la Universidad deGranada.

Preguntas frecuentesJosé Carmona Tapia y José Escoriza López

Universidad de Almería

¿En qué consiste la movilidad de estudian-tes?

Cada universidad cuenta con diferentes programas quete permiten estudiar en otras universidades durante algúntiempo. Son los llamados programas de movilidad que tie-nen diferentes nombres según la región del mundo a la quepretendas moverte.

Los programas de movilidad te proporcionan la posibi-lidad de conocer nuevos ambientes académicos y amplíantus expectativas profesionales. Si optas por un programade movilidad, puedes conseguir objetivos tales como: me-jorar el nivel de idiomas y las perspectivas profesionales,contactar con otras culturas, poner en práctica en la vidareal conocimientos adquiridos en la carrera y estimular lacapacidad emprendedora. Desde el punto de vista perso-nal reportan una experiencia enriquecedora. Y algo muyimportante: son programas plenamente reconocidos porla UAL. Cada programa tiene unos coordinadores en laUAL que te ayudarán a planificar tu movilidad.

¿Qué programas de movilidad existen en laUAL?

La información detallada y actualizada la puedes en-contrar en el Vicerrectorado de Internacionalización yCooperación. Los más destacados son:

SICUE-SÉNECA: Sistema de Intercambio entreCentros Universitarios de España.

SÓCRATES-ERASMUS : Es un sistema de inter-cambio entre universidades europeas que tenganconvenio bilateral con la UAL. Este programa tie-ne una web (Erasmus Digital) accesible desde el Vi-cerrectorado de Internacionalización y Cooperacióndonde, entre otras cosas, podrás encontrar un foro deestudiantes Erasmus, así como relatos de estudian-

tes de la UAL que han cursado estudios en otrasuniversidades europeas.

PCI : Programa de Cooperación Interuniversitariacon Iberoamérica, Marruecos y Túnez.

Programa de Cooperación en Enseñanza Superior yFormación Profesional con Estados Unidos.

Programa de Cooperación en Enseñanza Superior yFormación Profesional con Canadá.

¿Sabías que «innovación docente» y las«TIC’s en el aula» son ya una realidad enprimer curso de la licenciatura de matemá-ticas?

El cambio de mentalidad que supone el Espacio Euro-peo de Educación Superior, en relación con las metodolo-gías empleadas en las aulas universitarias, ha fomentadola utilización de técnicas docentes innovadoras en primercurso de la Licenciatura de Matemáticas.

Algunos docentes emplean técnicas de trabajo en gru-po, trabajo colaborativo. La mayor parte de los cursosestán empleando el aula virtual (plataforma WebCT),los materiales elaborados están siempre a disposición delalumno a través de esta plataforma, mediante la cual sepueden plantear actividades de autoevaluación, trabajo engrupo, exámenes, etc...

También se emplea la pizarra digital que, entre otrascosas, permite disponer de forma inmediata de todaslas anotaciones del profesor en la pizarra, mejorando laeficacia de los apuntes del alumno («obtén tus apuntesdirectamente de la pizarra»). Muchas de las clases estánapoyadas por software matemático de primer nivel comoMathematica y, en cursos posteriores, Matlab, cuyo usoestá ampliamente difundido en la empresa privada.

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Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 3 5 / 22

UNA EXPERIENCIA EN EL AULA

Hasta los huevos... tienen matemáticasJuan Francisco Guirado GranadosIES Rio Aguas (Sorbas)

El ave es un instrumento que se comporta de acuerdoa leyes matemáticas, un instrumento que el hombre, contodos sus conocimientos, está en condiciones de construir.

Leonardo da Vinci

¿Qué mejor que un simple huevo para buscar las ma-temáticas en la vida cotidiana del alumno? Están en todaslas cocinas, les gusta a la mayoría de los niños (y no tan ni-ños) y si tienen que buscarle las matemáticas, necesitaránla ayuda de sus padres y madres y conseguiremos ademásque nuestro alumnado entre en la cocina de su casa no solopara comer y dejar todo por medio.

La actividad se le planteó en un principio a todos loscursos del IES «Río Aguas» de Sorbas, desde 1o a 4o, pe-ro el verdadero aprovechamiento fue para 3o y 4o, aunqueel alumnado de 2o realizó casi todas las cuestiones de laficha que se les entregó, que tenía 10 cuestiones.

Pregunta 1

Mide la altura y la anchura máximas de un huevocualquiera en posición vertical.

La mayoría realizó los cálculos correctamente y algunosse ayudaron de calibradores o de tres libros para encerrarel huevo y realizar las mediciones.

Pregunta 2

Mide su peso.Aquí empezó la aventura. Con algunos pesos de los que

se tienen en la cocina, un solo huevo, no podía pesarse, asíque pusieron varios huevos iguales y después dividieron elpeso obtenido. Otros más tecnológicos, utilizaron la Ter-momix. Se encontraron algunas dificultades a la hora depasar de kilogramos a gramos, pero se solventaron utili-zando el sentido común.

Pregunta 3

Mide su volumen.Hasta que una alumna descubrió que tenía en su casa

un bote transparente graduado en mililitros y centíme-tros cúbicos, los alumnos se quejaban. Después de correr-se la voz, todos se dieron cuenta de que en su cocina haysiempre uno de estos botes para tomar correctamente lasmedidas para hacer bizcochos, por ejemplo. Lo llenabande agua, miraban el nivel marcado, echaban el huevo, yvolvían a mirar el nuevo nivel marcado.

Pregunta 4

Si tiene algún código impreso en la cáscara, descí-fralo.

Otra aventura. Como el IES está situado en zona ru-ral, la mayoría de los huevos que se consumen son caseros,de gallinas criadas en gallineros en los cortijos, y obvia-

mente, no llevan ningún código impreso. Los que llevabanlos códigos impresos, fueron descifrados visitando la webwww.institutohuevo.com, y en los que venía la fecha depuesta o caducidad, el comentario fue más fácil.

Pregunta 5

¿Está fresco?, ¿cuántos días tiene?Para esta pregunta se les dio la siguiente imagen pa-

ra que se guiaran. La imagen está sacada del libro «Fisi-quotidianía: La Física de la vida cotidiana», de CayetanoGutiérrez Pérez.

• Posición horizontal, en el fon-do: 1/2 a 2 días.• Formando un ángulo de 20grados: 3 a 5 días.• Formando un ángulo de 45grados: 6 a 8 días.• Formando un ángulo de 60grados: 9 a 14 días.• En posición totalmente verti-cal (90 grados): 15 a 30 días.• Si flota en la superficie: Másde un mes.

Pregunta 6

¿Qué es el Número de Oro?Esta pregunta fue fusilada directamente de las cuatro

páginas que aparecen en Google y copiaron casi todos lomismo. Algunos imprimieron directamente las páginas yotros las copiaron a mano, pero en general, pusieron ladefinición de Wikipedia.

Pregunta 7

Pon un ejemplo, con medidas reales, del Númerode Oro en tu cuerpo.

Cuando se preguntaba en clase sobre el desarrollo dela actividad en sus casas, siempre había risas y costó unpoco que los alumnos se midieran los brazos, la cabeza,las manos, los dedos, el ombligo, etc... Pero al final la ma-yoría realizó bien la pregunta y se dio cuenta de que laProporción Áurea está en su cuerpo.

Pregunta 8

Comprueba que el resultado de dividir la alturaentre la anchura, del apartado 1, está comprendi-do entre la raíz cuadrada del número áureo y elnúmero áureo.

La que parecía la pregunta más difícil, resultó la másfácil. Hicieron las operaciones y vieron que era verdad, ex-ceptuando algunas mediciones erróneas y las medicioneshechas a huevos de tortuga, que son más esféricos que losde gallina.

Pregunta 9

Si has realizado el experimento con un huevo de

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Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 3 6 / 22

gallina, busca un huevo de otra clase y repite losapartados 1 y 8.

Casi todos realizaron la actividad con un huevo de ga-llina, pero después buscaron huevos de tórtola, codorniz,tortuga, avestruz y paloma. En todos se confirmaba la pre-gunta 8 menos con el de tortuga.

Pregunta 10

Ayuda siempre en tu casa a hacer la comida, aun-que no tenga huevo.

Sin comentarios, pero hubo varias respuestas ingenio-

sas.

ConclusiónLa actividad ha ayudado a mejorar la relación con los

alumnos, ya que empezar la clase preguntando «¿CÓMOLLEVAS LOS HUEVOS?» y que ellos se rían, no tieneprecio. Además han hecho un poco de matemáticas en suscasas, han utilizado utensilios de cocina y han pasado unrato con sus padres haciendo una actividad del Instituto.

Puedes descargar la plantilla de la actividad enla dirección thales.cica.es/almeria/actividades/actividades_huevo.pdf

UNA EXPERIENCIA EN EL AULA

Experiencias educativas con TIC en elaulaJosé Fernández GómezIES La Puebla (Vícar)

En el IES «La Puebla», centro de Secundaria y Ba-chillerato del poniente almeriense, se está llevando a ca-bo durante este curso escolar 2007/2008 un Proyectode Innovación Educativa entre diversos centros, que es-tá subvencionado por la Consejería de Educación de laJunta de Andalucía (CEJA) y amparado por el CNI-CE (Centro Nacional de Información y Comunica-ción Educativa) denominado HEDA (Hermanamien-tos Escolares con Descartes desde Andalucía descar-tes.cnice.mecd.es/heda/). Los pilares de este proyecto sondos:

1. El Proyecto Descartes (descartes.cnice.mecd.es), ini-ciado en año 1999 por el Ministerio de Educación yCiencia (MEC), es conocido por la gran mayoría delprofesorado de matemáticas. Su principal objetivo esaplicar nuevos métodos en el proceso de enseñanza–aprendizaje de las matemáticas basados en el uso delas TIC.

El objetivo de la enseñanza de las matemáticas esdesarrollar conjunta y progresivamente las capacida-des de experimentación, razonamiento, imaginacióny análisis crítico.

¿Cómo ayuda Descartes a obtener estas capacida-des? Las bases de una unidad didáctica en Descar-tes son las escenas, a partir de las cuales el alum-nado puede tomar conciencia poco a poco de lo quees una verdadera actividad matemática: empezan-do por definir el problema, experimentándolo sobreejemplos, conjeturando un posible resultado, elabo-rando una experimentación, determinando una solu-ción, controlando el resultado obtenido y finalmente,evaluando su validez en función del problema estu-diado.

La herramienta Descartes completa los medios a dis-posición de los profesores y del alumnado para llevar

a cabo una buena actividad matemática. Igualmen-te, permite obtener de forma rápida la representa-ción de un problema o de un concepto, con el fin dedarle sentido y favorecer su asimilación por parte delalumnado. También podemos unir distintos aspectos(algebraicos, geométricos...) de un mismo concepto ode un mismo problema, así como emitir conjeturas apartir de una experimentación interactiva. Además,es una herramienta práctica para proceder rápida-mente a la comprobación de resultados obtenidos.

Captura de pantalla de la Unidad Didáctica deProgramación Lineal

2. La llamada Experimentación con Descartes en An-dalucía (EDA) fue una experimentación avalada con-juntamente por el MEC, a través del CNICE, y dela CEJA, donde 26 profesores de matemáticas de 23centros de toda Andalucía, realizaron por primeravez un proyecto pionero en España de utilización deforma prolongada de unidades didácticas de Descar-tes como medio de aprendizaje en el aula de mate-máticas. Después de esta experimentación, utilizan-do las TIC se obtuvieron resultados muy esperan-zadores. En primer lugar, se consiguió alcanzar lamayor parte de los objetivos educativos propuestos.

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Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 3 7 / 22

En segundo lugar, los contenidos matemáticos trata-dos fueron asimilados por el alumnado al menos enel mismo grado que cuando se desarrolla una clasenormal de pizarra. Por último, se mejoró ostensible-mente la actitud de los alumnos y alumnas.

Al finalizar la experimentación EDA, en enero de 2006,después de más de tres meses de trabajo, nos encontramoscon la sorpresa grata e inesperada de que habíamos orga-nizado una red de profesorado perfectamente conectada ycon un alto grado de colaboración. Cuando el profesora-do tiene una formación mínima en el uso de herramientasTIC, como la ofrecida por los cursos de formación sobreDescartes del CNICE, tiene suficiente apoyo para resolveraspectos técnicos, se le tutoriza adecuadamente y disponede herramientas y materiales específicos para su asignatu-ra, entonces es capaz de lograr resultados muy satisfacto-rios.

Basándonos en las conclusiones obtenidas duranteaquel curso, surge como Proyecto de Innovación Educativael proyecto entre centros HEDA que está coordinado con-juntamente por el MEC y la CEJA. Uno de los objetivospara este proyecto que teníamos los profesores de Matemá-ticas que formamos parte del grupo inicial era conseguirque los compañeros y compañeras de otros departamentosdidácticos hicieran un uso prolongado de las TIC en lasaulas.

Con este fin, partimos de un aprendizaje colaborati-vo cercano (los que ya tienen experiencia en el uso de lasTIC ayudan en sus centros a los que quieren adquirirla) ya distancia (cursos a través de una Moodle). Así, logramosfortalecer la red formada durante la experiencia EDA 05,dotándola ahora de medios TIC apropiados que permitena todos sus integrantes compartir todos los tipos de recur-sos, tanto de información (a través de foros, blog) comode formación y de intercambio de experiencias (a través

de Hermanamientos Escolares).Los problemas de comunicación y de distancia pueden

ser fácilmente solucionables utilizando adecuadamente lasnuevas tecnologías que el profesorado tenemos a nuestroalcance. Hoy tenemos abierta la posibilidad de pertene-cer a redes de aprendizaje, que nos permiten inculcar elsentido de cooperación y colaboración entre nuestro alum-nado y debemos aprovecharla. Las TIC nos ofrecen el in-tercambio de información, nos facilitan el acceso a recur-sos, nos flexibilizan horarios y nos solucionan la difusióntanto de nuestros trabajos como del resultado de nues-tros estudiantes. Además, nos aportan profundización enlos principios y en las finalidades educativas y pedagó-gicas, proporcionando una mayor eficiencia en el procesoenseñanza–aprendizaje.

Captura de pantalla de un blog con apenas 3 mesesde vida y aproximadamente 40 entradas, del grupo deprofesorado del Proyecto de Centro Bilingüe, del IES

La Puebla. lapueblabilingue.wordpress.com

El equipo de coordinación de HEDA ([email protected]) invita a la integración en nuestra Red acualquier centro o grupo de profesores que deseen adherir-se al proyecto para compartir e intercambiar experienciascon nosotros.

Actividades matemáticas en Secundaria

IV Semana de la Matemá-ticas en el IES Albujaira(Huércal–Overa)

Esta Semana de las Matemáticasse celebró entre los días 31 de marzoy 5 de abril en las instalaciones delIES «Albujaira» de Huércal–Overa.

Entre las múltiples actividades or-ganizadas podemos resaltar una ex-posición de temas relacionados conlas matemáticas (grandes matemáti-cos, fotografías, juegos,...), concursos,charlas, representaciones teatrales yuna exhibición del calculista colom-biano Jaime García.

Esta semana ha culminado conla celebración de la Fase Provincial

de la Olimpiada Matemática Thalesque este año cumple ya su vigési-mocuarta edición. Se puede descar-gar fotos e información sobre el desa-rrollo de la Olimpiada en la páginaweb de la SAEM Thales de Almería(http://thales.cica.es/almeria/).

La Semana ha sido un éxito ro-tundo tanto por el altísimo grado departicipación como por la calidad delas actividades realizadas.

Matemáticas Recreativas(Noticia enviada por José Abel García,Ana Acién y Guillermo Sierra)

La Asociación de Sobredotados deAlmería «ASAL» junto con el Grupo

de Investigación de la Universidad deAlmería «Materiales y recursos parael aula de Matemáticas», organizaneste ciclo de conferencias, que tendrálugar en el IES «Aurantia» de Be-nahadux los días 8 de marzo, 12 y 26de abril y 17 de mayo.

Imagen de la actividad

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Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 3 8 / 22

El objetivo fundamental es dar a co-nocer la importancia de las matemá-ticas en todos los ámbitos de nuestravida, trabajando de una forma más lú-dica y manipulativa de la que estánacostumbrados los alumnos.

Las actividades están enfocadas aalumnado de 5o y 6o de Primaria yde Secundaria con un especial interéspor las Matemáticas, con los que sellevarán a cabo diferentes talleres en

cada una de las sesiones: «Matema-gia», «Arte fractal», «Poliedros. Om-nipoliedro y dualidad», «Movimientosen el plano. Generación de mosaicos».

Colaboran el IES «Aurantia», laSAEM Thales de Almería y la edito-rial Santillana.

Oposiciones de EnseñanzaSecundaria

En la Oferta de Empleo Público

de la Consejería de Educación de laJunta de Andalucía correspondienteal 2008 se contemplan 1.010 plazas pa-ra el Cuerpo de Profesores de Ense-ñanza Secundaria en la especialidadde Matemáticas.

Para más información, véase elBoletín Oficial de la Junta de Anda-lucía número 30 de 22 de febrero de2008 (www.andaluciajunta.es/BOJA)

DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS

IES AguadulceAguadulce (Almería)

Miembros del Departamento

El IES «Aguadulce» tiene en laactualidad 1.210 alumnos distribuidosde la siguiente manera:

14 grupos de ESO, cinco bilin-gües de inglés.

11 grupos de Bachillerato.

Ciclo formativo de grado medio«Explotación de Sistemas In-formáticos».

Ciclo formativo de grado supe-rior «Desarrollo de Aplicacio-nes Informáticas».

Programa de garantía social.

Ciclo formativo de grado supe-rior de «Informática a Distan-cia» (pionero en Andalucía).

Los componentes del Departamen-to de Matemáticas, durante el curso2007–08 son Adela Ma López, Ma Be-lén Gómez, Antonio Martínez, Caye-tano Pascual, Ma Francisca Sempere,Juan Jesús Roldán y Rafael López.

La característica más destacada denuestro centro es la diversidad en

la procedencia geográfica del alumna-do. Desde su puesta en funcionamien-to hemos tenido alumnos y alumnasde todas las comunidades autónomas,de la práctica totalidad de los paí-ses europeos y un considerable núme-ro del resto de continentes. Esta di-versidad nos ha permitido, al trabajarcon alumnos recién llegados, constatarlos niveles matemáticos de multitudde países y, sobre todo, su evoluciónen los últimos años.

Nuestro IES es el único con Ba-chillerato de la zona norte de Roque-tas por lo que recibimos alumnos delIES «Carlos III» de Aguadulce, delIES de «El Parador» y del Colegioconcertado «Portocarrero» de Agua-dulce lo que hace que tengamos, en1o de Bachillerato, alumnos con dis-tinta preparación y así los grupos sondemasiado heterogéneos. Por lo tanto,estamos preparando un grupo de tra-bajo para establecer la coordinaciónnecesaria con el objetivo de homoge-neizar, en la medida de lo posible, lapreparación de los alumnos de la ESOen nuestra zona de influencia.

Una vez concluidos los estudios elalumnado se dispersa: muchos vuel-ven a sus lugares de origen, bien paracontinuar su estudios o bien para en-trar en el mercado laboral, son pocoslos que permanecen en la localidad.

Nuestro departamento se caracte-riza por la diversidad de opinionesen cuanto a la estrategia que tene-mos que establecer para intentar con-seguir una mínima formación mate-mática del alumnado, lo que enriquece

el debate y mejora nuestra labor dia-ria. Defendemos apasionadamente laenseñanza pública, consideramos quees necesario que el alumnado adquieraa través de las matemáticas un rigorque posteriormente aplicarán a diver-sas facetas de la vida. Consideramosque la matemáticas no se deben deconvertir en tareas rutinarias ya queen estas condiciones no contribuiríana la formación integral del alumnadosino que se convertirían en algo abu-rrido e inútil. Nuestra asignatura debefomentar el espíritu crítico para dis-minuir en la medida de lo posible lavulnerabilidad del individuo frente alas cada vez más agresivas estrategiassociales. Por último es imprescindiblecomo herramienta para cualquier pre-paración científica o técnica. Estamosmuy preocupados por la escasez decientíficos y de técnicos, cada vez esmás escaso el alumnado del bachille-rato de ciencias y no hay que olvidarque un país sin científicos es un paísabocado al fracaso.

Enseñar matemáticas lleva consigola necesidad de una actualización con-tinua, sobre todo científica, ya que laactualización didáctica se efectúa conla práctica diaria e intercambiando ex-periencias entre los profesores de ma-temáticas. Es evidente que para «en-señar matemáticas» hay que «sabermatemáticas», lo que supone estar alcorriente de su evolución. No hay nadamás frustrante para los profesores dematemáticas que el no saber contestara la pregunta de ¿para qué sirven lasmatemáticas?

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Enseñanza Secundaria Volumen I. Número 3 9 / 22

DEPARTAMENTOS DE MATEMÁTICAS

IES GaviotaAdra (Almería)

Los miembros del Departamento

Que «Las Matemáticas son latrama de nuestra vida cotidiana»,es un teorema, una verdad universal.Entroncadas en todas las facetas delser humano: biológica, social, artísti-ca, intelectual, económica, etc...; co-rresponde al profesorado de matemá-ticas, hoy en día, integrar en la vidadiaria del alumnado los aspectos ma-temáticos de todas las actuaciones hu-manas y defender la necesidad del es-tudio de nuestro entorno físico, mos-trando en cada paso la importanciade los usos numérico, lógico, deduc-tivo y extrapolativo. Así, se trata deresponder a la pregunta omnipresen-te y reiterada de nuestros alumnos yalumnas: «¿Para qué sirven las Mate-máticas?»

El Departamento de Matemáticasdel IES «Gaviota» trabaja su área,contribuyendo a la formación mate-mática de su alumnado utilizando, po-tenciando y desarrollando las capaci-

dades cognitivas del mismo mediantela utilización del conocimiento mate-mático y el aprendizaje de los algorit-mos básicos para organizar, interpre-tar e intervenir en diversas situacionesde la realidad, formalizando y propor-cionando rigor al conocimiento.

Desarrollamos nuestro trabajocombinando la clase tradicional (lec-turas comprensiva de problemas, ac-tividades de desarrollo lógico y parti-cipación en concursos, Thales, Olim-piada Matemática), con el uso delas nuevas tecnologías, cañón virtual,vídeos (Más por menos, Universo Ma-temático), aulas TIC para elaborarpresentaciones y visitar exposicionesvirtuales (www.experiencingmaths.org,www.georgehart.com). Además recu-rrimos a páginas interactivas de lared, como Descartes. También em-pleamos otros programas como Cabri,Math, Derive y hojas de cálculo.

Completamos la formación delalumnado con trabajos y exposicio-nes realizadas por los alumnos y alum-nas para desarrollar la transversali-dad del currículo como la coeducación(exposición sobre mujeres matemáti-cas), la vida cotidiana (logaritmos yrealidad), solidaridad (bingo solidariomatemático) y temas ambientales (en-cuestas y estadísticas del gasto ener-gético del centro y hogares), charlasimpartidas por expertos de la Univer-

sidad de Almería, visitas a las ins-talaciones universitarias cada año ysalidas de convivencia y aprendizajecientífico visitando parques temáticos(Parque Ciencias de Granada y Valen-cia).

Exteriores del IES

Dejamos dos citas de matemáticos,que contamos a veces a nuestros alum-nos, para motivar y crear debate. Laprimera de Hilbert, uno de los mate-máticos más influyentes de los siglosXIX y XX y que junto con sus alum-nos contribuyó al desarrollo de la me-cánica cuántica y la teoría de la re-latividad «Debemos saber, sabremos»y otra; decía Galileo Galilei «Las Ma-temáticas son el lenguaje con el queDios ha escrito el Universo».

En el curso 2007/08 componen eldepartamento de Matemáticas: JuanFrancisco Torrecillas, María Zapata,Julia Maldonado, María Dolores Gón-gora, Benito Alós y Beatriz Fernán-dez.

Problemas de las Pruebas de Acceso a la UniversidadFernando Reche Lorite (Universidad de Almería)

Presentamos la solución al problema propuesto en elnúmero anterior. Además plantearemos otro para que nosenviéis vuestras soluciones a [email protected].

Los juegos de exámenes propuestos desde el año 2001

hasta la fecha de las dos asignaturas de Matemáticas queparticipan en las pruebas están disponibles en la pági-na web distritounicoandaluz.cica.es en el apartado de lasPruebas de Acceso.

En una urna hay cuatro bolas blancas y dos rojas. Se lanza una moneda, si sale cara se extraeuna bola de la urna y si sale cruz se extraen, sin reemplazamiento, dos bolas de la urna.

a) Calcule la probabilidad de que se hayan extraído dos bolas rojas.

b) Halle la probabilidad de que no se haya extraído ninguna bola roja.

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Divulgación Matemática Volumen I. Número 3 10 / 22

Solución.Inicialmente construyamos un árbol en el que repre-

sentaremos los diferentes pasos seguidos en el experimentorealizado. Primero, lanzamos una moneda y, dependiendodel resultado, una o dos extracciones de la urna.

X

R

R1

5

B4

52

6

B

R2

5

B3

5

4

61

2

C

R2

6

B4

6

1

2

Si nos basamos en esta representación gráfica del ex-perimento realizado, las probabilidades requeridas las ob-tendremos recorriendo las «ramas» adecuadas:

a) La probabilidad de que se hayan extraído dos bolasrojas viene dada por las ramas resaltada en rojo,

X

R

R1

5

B4

52

6

B

R2

5

B3

5

4

61

2

C

R2

6

B4

6

1

2

es decir,1

2· 26· 15

=1

30.

b) La probabilidad de que no se haya extraído ningu-na bola roja viene dada por las ramas resaltadas enazul,

X

R

R1

5

B4

52

6

B

R2

5

B3

5

4

61

2

C

R2

6

B4

6

1

2

es decir,1

2· 46

+1

2· 46· 35

=8

15.

Ejercicio Propuesto. Calcula β > 0 para que el área delrecinto limitado por las gráficas de las funciones f : R → Ry g : R → R definidas por

f(x) = x2 y g(x) = −x2 + 2β2

sea 72 (unidades de área).

LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES

Un matemático policéfalo: BourbakiAntonio Rosales GóngoraIES Bahía de Almería

Al iniciar su labor como profeso-res de la Universidad de Estrasburgo,Henri Cartan y André Weil, antiguosalumnos de la Escuela Normal Supe-rior (ENS), se encuentran con que eltexto que se utilizaba para enseñar elcurso sobre «Cálculo diferencial e In-tegral» era «Traité de Analyse», deGaussat, del cual no estaban nada sa-tisfechos.

Decidieron, era el año 1934, re-unirse con regularidad en el café LeCapoulade, para escribir un tratadopara el curso, en el que el tema se pre-

sentara mejor. En estas reuniones sevio la necesidad de cambiar la formade presentar las matemáticas esencia-les, de principio a fin.

Primer congreso Bourbaki (Julio 1935):de izquierda a derecha, de pie, H.

Cartan, R. de Possel, J. Dieudonné, A.Weil y un técnico del laboratorio;

sentados, Mirles, Chevalley yMandelbrojt.

Con este propósito se reunieron,el 10 de Julio de 1935, en Besse–en–Chandesse, algunos amigos encarga-dos del mismo curso en distintas uni-versidades. A esta reunión asistieroncomo miembros fundadores: HenriCartan, organizador del primer con-greso europeo de matemáticos en 1992en Paris; Claude Chevalley, autor detrabajos innovadores sobre álgebra depolinomios y teoría de números; JeanDelsarte; Jean Dieudonné, autor denumerosos trabajos sobre geometríaalgebraica: André Weil, creador delálgebra de Weil;René de Possel; Szo-len Mandelbrojt, tío del creador de la

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Divulgación Matemática Volumen I. Número 3 11 / 22

teoría de los fractales; el físico Char-les Coulomb y Charles Ehresmann.

Así nació Nicolás Bourbaki, el ma-temático policéfalo como lo calificóAndré Dechalet en 1949. El nombreBourbaki nació en este primer encuen-tro y fue tomado de una broma de unestudiante de la ENS en la cual dabauna falsa conferencia, cuyo objeto erademostrar un pretendido «teorema deBourbaki».

La historia divirtió tanto al gru-po que decidió elegir el nombre deBourbaki, cuyo origen, es el del gene-ral Charles Bourbaki a cuyas ordeneshabían servido los alumnos de la ENSen la guerra de 1870. El nombre Nico-lás proviene de Nicole, mujer de unode los miembros del grupo, Henri Car-tan.

Como vemos, Nicolás Bourbaki esel nombre colectivo de un grupo dematemáticos franceses que en la déca-da de los años 30 se propusieron revi-sar los fundamentos de las matemáti-cas. El nombre de los integrantes deBourbaki se mantuvo mucho tiempoen secreto. La obra fundamental deBourbaki, que motivó su propia exis-tencia como grupo, es su tratado «Ele-mentos de las Matemáticas». En élBourbaki se declara partidario del mé-todo axiomático en el convencimientode que este método enseña a buscarlas razones profundas y a encontrar lasideas comunes a varias teorías.

Aparecen los símbolos tan conoci-dos hoy día como ∩, ∪ ,∅, el uso denegritas para conjuntos numéricos N,Z, R, C (las letras las introdujo Van

der Waerden) y añadió a la lista Q.También se debe a Bourbaki la intro-ducción de las palabras suprayectivay biyectiva para complementar la yaexistente de inyectiva referida a apli-caciones.

La influencia de Bourbaki, sobretodo a partir de 1950, ha sido muygrande pues ha generado un determi-nado estilo de escribir matemáticas,que incluye la clarificación de concep-tos y la precisión en la formulaciónde las matemáticas. En la actualidad,Bourbaki sigue existiendo pero su ac-tividad se ve reducida a la organiza-ción del Seminario Bourbaki, que sereúne tres fines de semana por año enParís para exponer los avances mate-máticos más recientes.

MATEMÁTICA Y POLÍTICA

Matemáticas electoralesUna alternativa al reparto actual en España

Juan Jesús Roldán GarcíaIES Aguadulce (Almería)

La obligación de todo sistema democrático consiste entransmitir la voluntad del pueblo al que representa. Enel sistema democrático español los diputados tienen unadoble misión: por una parte legislar y por otra elegir alPoder Ejecutivo.

Para la primera tarea parece lógico que la circunscrip-ción electoral sea la provincia ya que los diputados conoce-rán de una manera más cercana los problemas que atañenal ciudadano y además todas las zonas de España estaríanrepresentadas.

Al tomar como circunscripción la provincia se corre elriesgo de que haya distorsiones en la adjudicación de es-caños que algunos atribuyen falsamente a la aplicación dela ley d´Hondt.

Una labor de los matemáticos es analizar estas distor-siones y tratar de proponer alternativas que minimicen suinfluencia.

Tomando como base los resultados de las elecciones de2004 (que son las últimas con resultados definitivos) se haestablecido un sistema proporcional puro que consiste eneliminar los votos de los partidos que consiguieron un por-centaje inferior al 0,2% del total de votos a candidaturas yhaciendo un reparto proporcional de la suma de los votosno eliminados. Esta distribución proporcional es la que seva a comparar con las demás.

Sea S la suma de los valores absolutos de las desvia-ciones de escaños de cada partido con los correspondien-

tes del sistema proporcional. Podemos definir el índice deaproximación de un sistema al proporcional como:

I = 100

(1−

S

350

)Este índice será una medida de aproximación en por-

centaje al sistema proporcional.

ELECCIONES 2004No Votos Provincial Única Proporcional Mixto

PSOE 10909687 164 158 156 160PP 9630512 148 139 138 144IU 1269532 5 17 18 12CiU 829046 10 11 12 11ERC 649999 8 9 9 8PNV 417154 7 6 6 7CC 221034 3 3 3 3BNG 205613 2 3 3 2PA 181261 0 2 3 1CHA 93865 1 1 1 1EA 80613 1 1 1 0NaBai 60645 1 0 0 1

En la segunda columna aparecen el número de votosobtenidos por cada uno de los partidos que superaron el0,2% de los sufragios en las elecciones de 2004 mientrasque en la tercera aparecen los escaños asignados a cadapartido con el sistema provincial vigente.

Enseguida se hacen patentes estas distorsiones: un par-tido que tiene el triple de votos que otro obtiene dos dipu-tados menos y un partido también con el triple de votosque otro que tiene representación parlamentaria no la ob-tiene.

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Divulgación Matemática Volumen I. Número 3 12 / 22

En la cuarta columna aparece una asignación de esca-ños aplicando la ley d´Hondt si los votos se hubieran emi-tido con una circunscripción única mientras que la quintaaparece la asignación totalmente proporcional. Comparan-do estas dos columnas obtenemos un índice del 98,29%por lo que podemos deducir que la distorsión causada porla aplicación de la ley d´Hondt no es excesiva y no esprecisamente la causa de los problemas de asignación.

Si comparamos la asignación provincial vigente con laasignación proporcional obtenemos un índice del 88,57%por lo que se deduce que las mayores distorsiones se pro-ducen al distribuir los escaños en circunscripciones pro-vinciales.

Para mitigar estos problemas y tratar de compaginar lacircunscripción provincial con la elección del poder ejecu-tivo se propone quitar un parlamentario de cada provincia(salvo de Ceuta y Melilla para que no se queden sin re-presentación) y distribuir los cincuenta parlamentarios enuna nueva circunscripción nacional en la que cada partidoentraría con la suma de los restos de cada provincia (paraevitar que los votos a los partidos con representación enuna provincia cuenten doble), así si un partido ha obte-nido N diputados en una provincia se divide el númerode votos entre N+ 1 y el cociente va a engrosar los votosde ese partido en la nueva circunscripción, incluyendo losvotos de los partidos que no han obtenido diputados poresa provincia en los que N = 0. Asignando estos cincuen-ta diputados aplicando la ley d´Hondt se completaría elparlamento.

En la última columna aparece una simulación de es-te nuevo sistema con los votos de las elecciones del año2004. Con esta nueva asignación mixta se obtiene un ín-dice del 93,14% que mitiga las distorsiones en 4,5 puntosporcentuales. Esta tendencia es común en todas las elec-ciones realizadas hasta la fecha y se puede corroborar conlos resultados provisionales de las elecciones realizadas en

el presente año:

ELECCIONES 2008 (Resultados provisionales*)No Votos Provincial Única Proporcional Mixto

PSOE 11064524 169 161 159 165PP 10169973 153 147 146 151IU 963040 2 14 14 8CiU 774317 11 11 11 11UPyD 303535 1 4 4 2PNV 303246 6 4 4 4ERC 296473 3 4 4 4BNG 209042 2 3 3 2CC 164255 2 2 2 2CA 68344 0 0 1 0NaBai 62073 1 0 1 1EA 50121 0 0 1 0

*A fecha de cierre de este Boletín, el Ministerio del Interior(www.mir.es) no ha hecho público el recuento de votos defini-tivo. Habitualmente transcurren dos meses desde la jornadaelectoral hasta que los resultados son fijados como definiti-vos. Debido al voto de los emigrantes españoles residentesen el exterior hay un cambio en la composición del Congre-so: el PP gana un diputado y pasa a 154 perdiendo CiU unescaño, pasando a 10. Resaltamos que la gran mayoría delas páginas web sobre los resultados electorales incluyen es-te cambio en la composición del Congreso pero mantienenlos resultados provisionales del recuento de votos, algo quees incorrecto. Como el lector habrá observado para realizareste estudio es necesario el número de votos exacto por par-tido, por esto se ha realizado el trabajo con los únicos datosoficiales (pero provisionales) publicados por el Ministerio delInterior.

El índice correspondiente a la circunscripción única esdel 98,29%, el de la provincial del 88,57% y el de la mixtadel 93,71%.

En resumen, es posible con este modelo u otro similar,sin realizar grandes cambios, mejorar considerablementela representatividad del sistema electoral vigente.

GRANDES PROBLEMAS DE LA MATEMÁTICA

La conjetura de PoincaréEnrique Macías VirgósUniversidad de Santiago de Compostela

Henri Poincaré (1854–1912)

Henri Poincaré fue un brillantí-simo matemático, físico e ingenierofrancés que publicó numerosos traba-jos científicos. En 1904 enunció unaconjetura que se convirtió en el pro-blema más importante de la Topologíaen los últimos cien años, hasta el pun-to de ser propuesto por la FundaciónClay como uno de los «siete proble-mas del milenio» cuya resolución estápremiada con un millón de dólares.

Recientemente, el matemático ru-so Grigori Perelman ha demostradoesa conjetura, lo que fue considera-

do por la revista «Science» como elavance científico más importante delaño 2006. Además, todo este asun-to ha levantado mucho revuelo al re-chazar Perelman la Medalla Fields, elPremio Nobel de las Matemáticas.

¿Por qué es tan importante eseproblema, y en qué consiste? Hacemás de un siglo, los físicos comenzarona hacerse preguntas profundas y difí-ciles: ¿en qué universo vivimos? ¿ten-drá sólo tres dimensiones, como pare-ce? ¿será finito, o se extenderá ilimi-tadamente? ¿cuál es su forma?

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Divulgación Matemática Volumen I. Número 3 13 / 22

De la respuesta quizás podría de-ducirse la edad del universo, su masa,la existencia de materia oscura y otrosmuchos asuntos de interés. Por ello,los matemáticos comenzaron a cons-truir un «catálogo» de todos los uni-versos imaginables.

Si tuviésemos una sola dimensión,habría esencialmente dos mundos po-sibles (salvo deformaciones y estira-mientos): la recta, que se extiende sinfin, y la circunferencia, que es «cerra-da». En cambio, con dos dimensioneshay muchas superficies cerradas: la es-fera, el toro (la superficie de una ros-quilla), la botella de Klein...

Botella de Klein

Pues bien, entre todas ellas, só-lo una no tiene agujeros: la esfera.Se dice que es «simplemente conexa».Poincaré fue el primero en entenderla importancia de este invariante apa-rentemente trivial, el número de agu-jeros, y él mismo dio un método paracalcularlo. Gracias a esta idea, la cla-sificación de todas las superficies fuehecha en el siglo XIX, y se estudia hoyen cualquier licenciatura de Matemá-ticas.

¿Ocurrirá lo mismo en otras di-mensiones? Los mundos tridimensio-nales son más difíciles de concebir.

Nos parece vivir en un espacio ilimi-tado, pero eso es únicamente porqueno podemos alejarnos demasiado dela Tierra. Aunque es difícil «ver» unaesfera tridimensional, podemos enten-derla, al menos en abstracto. Si vi-viésemos dentro de ella, los rayos deluz que parten de una estrella en to-das direcciones, en vez de dispersarse,convergerían todos en un único puntodel infinito, como ocurre con un via-jero que, en la superficie esférica de laTierra, sale del polo sur con cualquierrumbo fijo y llega siempre al polo nor-te. ¿Será esta esfera el único univer-so cerrado y simplemente conexo? Heaquí la conjetura de Poincaré: excep-to la esfera, no hay otros espacios tri-dimensionales, limitados y sin borde,que no tengan agujeros.

Grigori PerelmanFoto: F. Roberts/The Guardian

Este problema se resistió hasta quePerelman hizo públicos sus resultadosen 2002 y 2003. Su trabajo se basaen investigaciones anteriores de Ri-chard Hamilton, que había introdu-cido una técnica geométrica llamada«el flujo de Ricci». De hecho, Perel-man resuelve una cuestión aún más

compleja, que es la llamada «conjetu-ra de geometrización», enunciada porW. Thurston en los años 80, con loque clasifica todas los universos ce-rrados de dimensión 3 (esencialmentehay ocho tipos distintos).

Grigori Perelman nació en San Pe-tersburgo (antes Leningrado) en 1966.Fue ganador de la Olimpiada Mate-mática Internacional y trabajó en elprestigioso Instituto Steklov de Mate-máticas de la Academia de Ciencias.En el Congreso Internacional de Mate-máticos celebrado en Madrid en 2006se le concedió una de las «MedallasFields», la distinción más famosa queotorga la Unión Matemática Interna-cional (IMU) a matemáticos que nohayan cumplido cuarenta años y ha-yan hecho una contribución científicaexcepcional. Sin embargo, Perelmanrechazó la condecoración de IMU, yquizás renuncie también al premio dela Fundación Clay, disgustado por lafalta de ética de algunos colegas quehan intentado minimizar su trabajo,ya que todo este tema es motivo demuchas envidias y peleas.

En estos últimos años, los artícu-los de Perelman han sido estudiados ycompletados, y muchos expertos hansimplificado las ideas de su genial de-mostración de la conjetura de Poinca-ré.Para saber más:Demostración de Hamilton–Perel-man de las Conjeturas de Poincaréy Thurston. Esther Cabezas Rivas yVicente Miquel Molina. La Gaceta dela RSME, Vol. 9.1 (2006), pp. 15-42.

Problemas de interésJuan Cuadra Díaz (Universidad de Almería)

El problema propuesto en el número anterior fue elsiguiente:

¿Podrías hallar las coordenadas de los vértices deun triángulo equilátero inscrito en el círculo deradio 1 sabiendo que las de uno de ellos son (1, 0)?¿Son de la forma descrita anteriormente?

Obsérvese la siguiente figura:

O A(1, 0)

B

C

120o

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Divulgación Matemática Volumen I. Número 3 14 / 22

Los vértices del triángulo dividen a la circunferenciaen tres partes iguales; en ángulos de 120 grados. En-tonces, las coordenadas de B y C son respectivamente(cos(120o), sen(120o)) y (cos(240o), sen(240o)). Tenien-do en cuenta que cos(240o) = cos(120o) = −cos(60o) =

−1/2 y −sen(240o) = sen(120o) = sen(60o) =√3/2

obtenemos las coordenadas pedidas.Para responder a la segunda pregunta, nótese que di-

chas coordenadas se pueden obtener a partir de las coorde-nadas de los puntos (0, 0) y (0, 1) mediante las operacionesindicadas en el artículo; suma, resta, multiplicación, divi-sión y extracción de raíces cuadradas.Problema PropuestoUn tronco redondo pesa 30 kilogramos, ¿cuánto pesa-ría si fuera el doble de grueso y la mitad de largo?

MATEMÁTICAS Y CULTURA

Un Paseo Matemático por la Historia dela Arquitectura (II)María José Chávez de DiegoUniversidad de Sevilla

Desde los pitagóricos y sus suceso-res hasta prácticamente el siglo XVII,los fenómenos de la naturaleza obede-cían a una armonía universal asocia-da al círculo, al cuadrado y al núme-ro de oro. Galileo Galilei (1564-1662)al principio del siglo XVII supera es-ta Física basada en la Geometría y laProporción dando las primeras expli-caciones del equilibrio sin evidencia.Expone que el equilibrio no es un es-tado amorfo de los sólidos, sino lascoincidencias dinámicas de las fuer-zas contrarias que anulan mutuamen-te sus efectos.

El planteamiento definitivo de laTeoría de la Elasticidad no fue po-sible hasta que estuvo plenamentedesarrollado su principal instrumento,el Cálculo Diferencial e Integral. En1821 exactamente, cuando Enri Na-vier (1785-1836) y Augustin Cauchy(1789-1857) obtienen las ecuacionesdiferenciales básicas de la Elasticidad,es cuando evoluciona rápidamente di-cha teoría.

Waterloo Station (Londres)

Hasta finales del siglo XVIII seconstruía con técnicas que descendíande manera natural de las de la Al-

ta Edad Media y Renacimiento. Pe-ro en el pasaje del siglo XVIII al XIXaparecen nuevos materiales de cons-trucción con la Revolución Industrial,que permiten a los primeros ingenie-ros de principios del siglo XIX cons-truir puentes y grandes estaciones deferrocarril utilizando nuevas formasgeométricas con el apoyo del CálculoDiferencial. Las cubiertas de grandesluces han irrumpido en la construc-ción.

Pero la revolución técnica conti-nuó y en la segunda mitad del sigloXIX se descubre el hormigón armado,que junto con el amplio desarrollo delas matemáticas hasta la fecha, permi-te la vuelta de las bóvedas, las cúpulasy las estructuras plegadas.

El estudio de los ejemplos de la na-turaleza, en busca de inspiración pa-ra resolver problemas de cubiertas, esaún más oportuno, cuando se tiene elhormigón armado, que puede tomarcualquier forma. Este material, muysimilar al de los cascarones naturales,tiene la ventaja adicional de poder re-sistir esfuerzos de tracción.

Este estudio empieza con AntoniGaudí (1852- 1926) a finales del sigloXIX y adquiere su plenitud en el sigloXX con Félix Candela (1910-1997). Elgenial Gaudí rompe con sus contem-poráneos utilizando las formas alabea-das dentro de la geometría reglada: elhiperboloide, el conoide, el paraboloi-de hiperbólico o el helicoide. Debido asu innato sentido de la forma y la es-tabilidad, utilizó el arco parabólico ocatenárico como elemento lineal máspróximo a la curva de presiones.

Catedral de la Sagrada Familia(Barcelona)

En el último tercio del siglo XIXsurge una arquitectura utilitaria y ra-cionalista. Razones económicas impul-san la construcción vertical de granaltura, para la cual se han desarrolla-do técnicas constructivas y estructu-rales, recursos geométricos de apoyoy una constante investigación de ma-teriales que permitieran superar loslímites naturales de cada caso. Lasestructuras metálicas bien calculadashacen posible la construcción de ras-cacielos. El primero de ellos se cons-truye en Estados Unidos en 1890 y nose ha dejado de construir hasta nues-tros días.

Edificio Flatiron (Nueva York)

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A principios del siglo XX, el idealestético que impone la escuela deBauhaus (1919-1933) reduce las for-mas constructivas a los esquemasesenciales: cuadrado, cubo, círculo ycilindro. Sin embargo, no podemos ol-vidar que casi todas las otras formasarquitectónicas que se emplean en laactualidad, incluso las cubiertas lami-nares en forma de paraboloide hiper-bólico, fueron desarrolladas entre losaños veinte y treinta del siglo XX.

Bauhaus Building, Dessau(Alemania)

Este desarrollo, fue el resultadode la aplicación de los grandes avan-ces matemáticos ocurridos en el sigloanterior y de la obra de un círculode constructores con el objetivo co-mún de conseguir volúmenes adecua-dos con el mínimo consumo de mate-

riales.Como ejemplo destacado señale-

mos la obra de Félix Candela, maes-tro de Santiago Calatrava, que influi-do por los trabajos de Gaudí, se pre-senta como el mayor exponente en laconstrucción de «cascarones». Utili-zaba todas las formas de láminas enprincipio conocidas: la lámina en for-ma de cúpula o la lámina cilíndrica ysobre todo la lámina reglada: parabo-loides hiperbólicos (hypar). Sus últi-mas obras las realiza junto con San-tiago Calatrava, en la Ciudad de lasArtes y las Ciencias de Valencia.

Ciudad de las Artes y las Ciencias(Valencia)

Gracias a la Ciencia de la Compu-tación, la Geometría Computacionaly las últimas generaciones de ordena-dores y de software gráfico, no sólo

es posible hoy hacer magníficas repre-sentaciones que llegan a la creaciónde maquetas y de espacios virtuales,sino que es posible la construcción deedificios espectaculares como el Mu-seo Guggenheim de Bilbao de FrankO. Gehry. Este edificio está compuestode una serie de volúmenes que debidoa su complejidad matemática, las si-nusoides curvas de piedra, cristal y ti-tanio, han sido diseñadas por ordena-dor. Las paredes de cristal están reali-zadas y montadas en una compleja es-tructura metálica cuya confección hasido posible gracias también a estosavances tecnológicos. Este audaz edi-ficio puede ser un avance de la arqui-tectura del tercer milenio.

Museo Guggenheim (Bilbao)

MUJERES Y MATEMÁTICAS

Sophia BraheAstrónoma danesa

Encarnación Castro MartínezUniversidad de Granada

Pocas son las mujeres consideradascientíficas que aparecen a lo largo dela historia de la humanidad. Variadoshan sido los motivos de esta situación,por un lado las trabas que han tenidolas mujeres para acceder a la forma-ción científica a lo largo de los tiem-pos. Remontándonos a la Grecia Anti-

gua, a las mujeres sólo se las aceptabaen algunas escuelas filosóficas.

Durante la Edad Media, los con-ventos eran el único refugio de las mu-jeres que no deseaban acceder al ma-trimonio, casi siempre impuesto, don-de recibían educación y algunas se de-dicaban al estudio. Las Universida-des europeas, surgidas entre los siglosXII y XV, fueron durante varios sigloscentros masculinos, prohibidos paralas mujeres.

Por otro lado, en la legislación vi-gente durante siglos no se reconocía enla mujer derecho de propiedad, por loque el padre, hermano, marido o algúnotro hombre se apropiaba de su traba-jo intelectual y lo firmaba por ella. Untercer motivo de índole diferente pero

no menos importante estriba en habersido las mujeres ignoradas por la his-toria de la ciencia, siendo los aportesrealizados por mujeres, ocultados o novalorados.

Desde hace unas décadas se estállevando a cabo una labor de recu-peración, para la historia de la cien-cia, de algunas de las científicas feme-ninas silenciadas y olvidadas durantesiglos. El trabajo realizado ha saca-do del anonimato a muchas de ellas.No obstante aún queda mucho porhacer. En este contexto presentamosun apunte sobre Sophia Brahe (1556-1643).

Sophia fue astrónoma hermana delfamoso astrónomo Tycho Brahe. Sufamilia pertenecía a la nobleza danesa.

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Desde pequeña se interesó por la as-tronomía. A la edad de 10 años ayuda-ba a su hermano en sus observacionesastronómicas.

Sophia no pudo ingresar en la uni-versidad ya que en este tiempo única-mente podían hacerlo los varones pe-ro recibió cursos particulares de mate-máticas, música, astrología, alquimia,medicina, genealogía y literatura clá-sica.

En 1575 el Rey de Dinamarca con-cede a Tycho el señorío de la isla deHven, y los recursos suficientes paraconstruir y hacer operativo un obser-vatorio. Entre 1576 y 1580 se cons-truye Uraniborg, el mejor observato-rio astronómico que existió anterior altelescopio.

Sophia trabajó en el observato-

rio de su hermano, ayudándole en elcálculo de eclipses y trayectorias delos cometas. Obligada por sus padresse casó, lo que impidió que continua-ra su trabajo. Pero cuando su padremurió, unos años más tarde, Sophiacontinuó ayudando a su hermano enUraniborg, haciendo observaciones as-tronómicas que llegaron a ser la basede las predicciones de órbitas planeta-rias modernas.

Sophia y Tycho fueron los prime-ros, en el siglo XVI, en conocer la po-sición exacta de los planetas. Com-pilaron un catálogo de las posicionesplanetarias que constituyó el conjuntomás extenso de datos uniformes de lasituación de los planetas con referen-cia a su tiempo.

A Tycho la fama le llegó rápida-

mente y el trabajo de Sophia fue re-conocido en su tiempo, aunque pos-teriormente se convirtió en leyen-da, siendo apenas mencionada en lamayoría de las biografías de Tychodonde, posiblemente, descubrimientosrealizados por Sophia fueron atribui-dos a su hermano.

Actualmente, las universidades da-nesas y algunas europeas utilizan lascrónicas de Sophia como arquetipo demetodología ejemplar en el área detécnicas de investigación.

Para saber más:

Mujeres Matemáticas en la His-toria de Occidente. E. Castro. Lec-ción Inaugural curso 2005–06. Facul-tad de Ciencias de la Educación. Uni-versidad de Granada.

Páginas Web de interés

exposicionvirtual.iespana.es

exposicionvirtual.iespana.es

Página realizada por Marina Fernández Bouza ([email protected]), Rocío Chao Fernández, Ma JoséFernández Yánez, Rosa Ana Fernández Rodríguez y Ma

José Vergara Leonardo, profesoras del IES «Castro da

Uz» de As Pontes (La Coruña). Esta página fue galardo-nada con Premio Nacional de Innovación Educativa en elaño 2006.

A través de 26 paneles ofrece una visión de la cienciamediante de la obra pictórica de Dalí. En ella se abordantemas de Matemáticas, Física, Química y Música de for-ma transversal, lo que permite su utilización en distintasdisciplinas de ESO y Bachillerato.

Lo más destacable como recurso didáctico y pedagó-gico, es que en su forma y sus contenidos engloba trescaracterísticas esenciales para una buena acogida por par-te de los alumnos: incorporar el arte en la enseñanza de laciencia, la transversalidad de los temas y la introducciónde las TIC en el aula.

Señalar el apartado «Mirando con otros ojos» en elque se explican distintos conceptos a través de applets pa-ra mejorar la comprensión de algunos conceptos.

Citas Matemáticas

«...conseguimos obtener así la fórmula estadísti-ca para conocer aproximadamente la posición de unelectrón en un instante determinado. Pero, personal-mente, no creo que Dios juegue a los dados»

Albert Einstein (1897–1955),físico alemán.

«Al parecer Einstein estaba doblemente equivocadocuando afirmó que Dios no juega a los dados. Losestudios sobre la emisión de partículas desde agujerosnegros permiten sospechar que Dios no solamentejuega a los dados, sino que, a veces, los echa don-de nadie puede verlos»

Stephen Hawking (1942),físico, cosmólogo y divulga-dor científico inglés.

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Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática

El teorema del loro.Novela para aprender matemáticas.Denis Guedj

Ficha TécnicaEditorial Anagrama.Colección Panorama de na-rrativas.Volumen 448.537 páginas.ISBN: 978-84-339-6908-8Año 2000

Este superventas es obra de Denis Guedj que, ademásde matemático y profesor de historia de las ciencias en laUniversidad de París VIII, ha sido responsable de mate-máticas de la enciclopedia Larousse.

El autor ha publicado también otras obras de divulga-ción científica, aunque la mayoría no han sido traducidasaún al castellano. La novela comienza cuando Max, un ni-ño sordo, rescata a un loro parlanchín de su cautiverio yse lo lleva a su casa situada en el barrio parisino de Mont-martre.

Por otro lado, su familia recibe de un viejo amigo unabiblioteca con algunos de los mejores libros de matemáti-cas de la historia y dos cartas enigmáticas que harán quetodos los miembros de la familia inicien una apasionanteinvestigación. Esta ingeniosa excusa argumental permiteal autor repasar de manera asequible varios de los grandeshallazgos de la historia de las Matemáticas. Para ello al-terna el relato de intriga con las biografías de algunos delos más célebres matemáticos de todos los tiempos, desdela Grecia clásica hasta la actualidad.

Parte esencial de la trama de suspense son la conjeturade Goldbach, también tratada en la novela «El tío Petrosy la conjetura de Goldbach», y el conocido como últimoteorema de Fermat, demostrado recientemente por el ma-temático Andrew Wiles. El resultado final es una novelamuy amena en la que se pasa ágilmente de la ficción a ladivulgación matemática, y viceversa, consiguiendo mante-ner el interés del lector de principio a fin.

Reseña de Antonio Morales CampoyUniversidad de Almería

Entre lo real y lo imaginario.

Ficha TécnicaEditorial RSME–Anaya.Colección «Ficciones Mate-máticas».128 páginas.ISBN: 978-84-667-7641-7Año 2007

Por diversas razones las matemáticas que aprendennuestros alumnos se exponen frecuentemente como si hu-biesen caído del cielo, sin mencionar nada sobre la vidade sus creadores o el proceso que las ha llevado hasta esaforma de presentación.

La matemática es parte fundamental del pensamientohumano y como éste, está viva, está hecha por personas einfluenciada por las circunstancias históricas. Sería idóneoque junto con las matemáticas que enseñamos contásemosalgunos aspectos relevantes de la a menudo fascinante bio-grafía de sus descubridores, lo que no sólo redundaría po-sitivamente en la cultura integral del estudiante sino quetambién ayudaría a entenderlas y retenerlas mejor.

Es lamentable que, incluso entre personas considera-das cultas, exceptuado Pitágoras, Newton y algún otro,se desconozca el nombre de muchos de los exponentes delpensamiento humano que ha dado esta bella ciencia.

Con la idea de paliar esta deficiencia en la formaciónde nuestros alumnos y contribuir a acabar con la absurdadivisión entre ciencias y letras, la Real Sociedad Matemá-tica Española, ha organizado diversas actividades a travésde su portal DivulgaMat.

Una de ellas, acogida con enorme éxito, ha sido la con-vocatoria del Concurso de Narraciones Escolares Divulga-Mat, dirigido a alumnos de entre 12 y 18 años que par-ticipan con un relato de ficción corto, de menos de cincopáginas, sobre un resultado matemático, una situación enla que aparecen las matemáticas o un personaje relaciona-do con las mismas.

Este libro recoge los relatos ganadores y finalistas delas dos primeras ediciones, 2005 y 2006. Hay que resaltarla calidad y originalidad de los relatos escritos por estosjóvenes. Sorprende a quien escribe esta reseña que con tancorta edad hagan gala de tan buena prosa.

Encontramos entre los 16 relatos del libro varios epi-sodios destacables de la Historia de la Matemática, comoel último teorema de Fermat, la misteriosa relación amo-

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rosa entre Galois y Stephanie du Motel, la medición de lapirámide de Keops por Tales de Mileto, el aciago descu-brimiento de Hippasos de Metaponto, etc.

También hallamos una historia graciosa e imaginativa,de una jovencísima escritora, sobre cómo eligen las fraccio-nes a su novio entre las equivalentes, una divertida historia

sobre las peripecias del número cero, una picaresca sobreel dilema del prisionero, etc. Una herramienta muy útil enel aula de secundaria para despertar la curiosidad sobre lahistoria de la matemática.

Reseña de Juan Cuadra DíazUniversidad de Almería

PASATIEMPOS Y CURIOSIDADES

El apellido de los númerosNuria Pardo VidalIES Bahía de Almería (Almería)

Voy a contaros una cosa (1, 2, 3...).Mi apellido es Pardo, dicen, y no esporque yo sea oscura de piel. ¿O sí?No sé. Siempre me llamó la atenciónesto del apellido. Lo heredamos conorgullo pero no dice nada de noso-tros. Los hay con mucho glamour co-mo Gonzalo del Castillo Gómez y An-gulo, y los hay con menos como Anto-nio Bragueta, pero todos son apellidosal fin y al cabo.

A los números les ocurre lo mis-mo. Los hay de apellido Primo, y nopor ello son tontos; los hay de apelli-do Abundante o Excesivos, y no sonricos; los hay Amigos, aunque cuan-do los buscas no los encuentras; haynúmeros Gemelos, números Metálicos,Figurados y hasta de Plástico; y enellos andaba yo pensando.

Yo tengo un primo que tiene carade uno. No sé si por eso o por ser hijode mi tía, en casa lo llamamos primo.En verdad el 1 es un primo redundan-te porque, si mal no recuerdo, decíami profe de matemáticas que un Nú-mero es Primo cuando es divisiblepor él mismo o por la unidad. Y cla-ro, en el caso del 1, la unidad y él sonla misma persona, ¡qué digo!, son elmismo número.

Y qué decir de los Números Abun-dantes y de los Números Amigos. ¡Quéutopía!, aunque visto de otro modotambién se les llama a estos Núme-ros Excesivos, y ahora quizás cuadramás la frase ¿Excesivos Amigos? (vo-sotros mismos). Los Números se lla-man Abundantes cuando la sumade sus divisores es mayor que eldoble del propio número: por ejem-plo el 24 porque sus divisores son1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, que suman 60, yresulta que 60 es mayor que el doble

de 24, es decir, 60 es mayor que 48; yeso en matemáticas debe de ser mu-cho a juzgar por el apellido del núme-ro, incluso me atrevería a decir que esexcesivo.

La definición de Números Ami-gos la veo yo más de la vida cotidia-na, fíjate. Dos Números son Ami-gos cuando la suma de los diviso-res de cada uno es igual al otro.Por ejemplo, 220 tiene como divisores1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 quesuman todos ellos 284, y los diviso-res de 284 son 1, 2, 4, 7, 71, 142 quejuntos todos ellos suman curiosamen-te 220. Y claro, se entiende que tantocompartir... –mis divisores suman túy tus divisores suman yo– solo puedeexistir en una estrecha relación. Creoque pensaron al principio en llamarlosNúmeros Novios, luego Números Pa-reja de Hecho, incluso barajaron lo deNúmeros Matrimonio, pero los mate-máticos, que tienen fama de ser muylistos, pensaron que una relación tanestrecha solo podía ser de amistad, ypor eso los llamaron Números Amigos.

Lo de los Números Gemelos no esmenos pintoresco porque digo yo quenúmeros gemelos podían ser el 6 y elVI, o bien el 6 y el (es un seis enchino), y no te cuento el 6, el VI yel , que podían ser números trilli-zos. ¡Pero no! Resulta que para quedos Números sean Gemelos tienen queser primos, si no, no hay cáscara. DosNúmeros p y q son Gemelos si sonPrimos y distan 2 unidades, es de-cir, p = q+2; por ejemplo 3 y 5 ó 101y 103.

Vamos con el otro apellido, Metá-lico. Los Números Metálicos podríanser los que los tiras al suelo y hacenruido, pero si mi profe de química le-yera esto me suspendería el tema delos metales (y el de los no metales se-guro que también).

Los Números Metálicos sonlas soluciones positivas de ciertasecuaciones cuadráticas, y curiosa-mente aparecen en el arte. El más fa-moso y el más caro es el Número deOro, que es solución de la ecuaciónx2 − x− 1 = 0, y aparece en sitios tanpintorescos como el Partenón, el ros-tro de la Gioconda, la concha de unNautilus... y sabe Dios en cuantos si-tios más.

Los Números Metálicos los hay deapellidos variados: el Número de Pla-ta es solución de la ecuación x2 −2x−

1 = 0, el Número de Bronce es solu-ción de la ecuación x2 − 3x − 1 = 0...Si continúo dando valores a n en laecuación x2 − nx − 1, seguro que miprofe de química se pondría contentode todos los números que puedo bau-tizar.

Esto de los números ya se sabe quees interminable y no quiero ponermepesada, así que para terminar os de-jo con unos cuántos Números Figu-rados. La imaginación es siempre lomás importante.

1, 3, 6, 10...

1, 4, 9, 16...

Los Números Figurados se llamanasí porque... ¿Podrías contarnos tú al-guna idea de porqué se llaman Figura-dos? Seguro que te atreverías a darnosuna fórmula que genere los NúmerosCuadrados ¿Te atreves ahora con losTriangulares?

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CONVERSACIONES DE ESTUDIANTES

El Espacio Europeo de EducaciónSuperiorLas opiniones de los estudiantes

Elisa Berenguel LópezM. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales SorrocheEstefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL

Año 2010. Ésta es la fecha límite para la implanta-ción del EEES en España. Esta nueva forma de educaciónuniversitaria nos permitirá obtener los títulos de Grado,Máster y Doctorado en lugar de los actuales títulos deDiplomado, Licenciado, Ingeniero y Arquitecto. Sabemosque cambiará por completo la enseñanza universitaria, pe-ro... ¿estamos los alumnos realmente informados? ¿Estareforma mejorará la calidad de la enseñanza?

Para saber qué piensan los alumnos de Matemáticassobre este tema, hemos hablado con Juan Carlos LuengoLópez, estudiante del último curso de la Licenciatura deMatemáticas y con Diego Montoya Cara de tercero de ladoble titulación de Matemáticas e Informática.• ¿Cuál es tu opinión sobre el crédito europeo ylos nuevos planes de estudio?

Juan Carlos: Por una parte me parece buena idea quenos adaptemos a la estructura de grado y posgradoque tienen las titulaciones en el resto de Europa yaque ahora hay mucha movilidad de trabajadores yesto nos lo va a facilitar. Por otra parte no me gustamucho el tipo de enseñanza que se quiere implantarcomo la forma de dar las clases o las exigencias quetendrán los estudiantes (asistencia a clase, trabajodiario, etc...)

Diego: Pues la verdad me parece estupendo, porque sefomenta más la participación en clase y se tiene másen cuenta para la nota final, porque en muchas oca-siones es frustrante ya que le dedicas mucho tiempoa una asignatura y trabajas bastante y luego llega elexamen final y sólo cuenta el examen.

• ¿Crees que se mejorará la calidad de la enseñanzauniversitaria?

Juan Carlos: Creo que la calidad de la enseñanza va adepender de la forma de ser y de trabajar de cadauno porque hay estudiantes a los cuales este cam-bio le va a ir mejor y va a aprender más, pero otros(como es mi caso) preferimos la enseñanza que hayahora.

Diego: Yo no sé si la mejorará, es cuestión de acostum-brarse a los nuevos planes de estudio e intentar adap-tarse. Supongo que después de unos años de implan-tarse podremos decir si se ha mejorado o no.

• ¿En particular, crees que la carrera de matemá-ticas se verá perjudicada o beneficiada?

Juan Carlos: Creo que sí se va a ver perjudicada puestoque lo que actualmente es el segundo ciclo pasará aser parte del master y, en mi opinión, la mayoría delas asignaturas interesantes están ahí.

Diego: En nuestra carrera, me atrevo a decir que sí lapuede mejorar, porque esta carrera es de mucho tra-bajo propio y puede hacerla más atractiva de cara aque más gente entre en ella. Pero mantengo lo quedije antes para saber si mejorará, habrá que esperar.

• ¿Crees que el nuevo plan de estudios conseguiráatraer a más gente a la carrera de matemáticas?

Juan Carlos: Posiblemente sí ya que pasará a ser de 4años y eso animará un poco más a los estudiantesde instituto que pueden ver nuestra carrera un pocomás asequible.

Diego: Desde siempre la carrera de Matemáticas no hasido de las favoritas de la gente como elección perosiempre ha tenido un número aceptable de alumnos.Así que por muchos cambios que se hagan, la gente,en mi opinión, seguirá igual que hasta ahora. Si al-guien quiere estudiar Matemáticas, querrá entrar seacon los planes de estudios actuales o con los nuevos,ya que lo importante es que a los que entramos enesta carrera nos gustan las matemáticas, aunque esosí, se agradece y mucho, que se tenga mucho más encuenta el trabajo personal.

• ¿Crees que se está informando al alumnado co-rrectamente?

Juan Carlos: A los que ahora estamos en la universidadsí creo que se nos está informando. Pero a nosotrosesta reforma ya no nos va a afectar, por eso creo queprincipalmente se debería informar a los alumnos debachillerato.

Diego: No. Creo que muchos todavía no tenemos nadaclaro esto de la convergencia europea y pienso queno se están enfocando bien los contenidos y los cam-bios que se van a realizar.

• ¿Cambiarías o añadirías algo a los nuevos planesde estudio?

Juan Carlos: Como ya he dicho antes, no estoy muy deacuerdo con esta reforma en lo que a la enseñanza serefiere, pero ahora tenemos que tomarla tal y comoes.

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Territorio Estudiante Volumen I. Número 3 20 / 22

Diego: Daría más importancia al trabajo personal porqueeso nos obliga a poner más hincapié en la asignaturay creo que podrían hacer las clases más amenas y notan teóricas, porque el hecho de hacerlas demasiadoteóricas no fomenta demasiado el agrado del alumnoni la participación en clase. Pero aun así estoy satis-

fecho con los nuevos planes de estudio que se van aimplantar.

Si alguien quiere más información sobre este tema, laUniversidad de Almería organiza unas jornadas dirigidas alos estudiantes. Éstas se celebrarán en el Hotel Bellavistade Roquetas de Mar, los días 11 y 12 de mayo.

PROFESIONALES FORMADOS EN LA UAL

Livia Lázaro MartínezEntrevista a una antigua alumna de la UAL

Elisa Berenguel LópezM. Carmen Castro AlférezFrancisco Morales SorrocheEstefanía Ruiz BañosEstudiantes de la UAL

Livia Lázaro Martínez

Livia se licenció en Matemáticaspor la Universidad de Almería en2001. Al terminar sus estudios se tras-ladó a Londres, donde además deaprender el idioma trabajó en el sectorde Banca de Inversiones. Estuvo con-tratada en Lehman Brothers, y unosmeses después consiguió una posiciónpermanente en el Back Office. Al cabode unos años volvió a Almería, dondeencontró un puesto en la Tesorería–Back Office de los Servicios Centra-les de Cajamar, donde actualmentedesempeña su actividad laboral.• ¿Por qué decidiste irte al ex-tranjero?

Una de las razones por las que de-cidí irme es porque no tuve la opor-tunidad de estudiar fuera de Almería,y simplemente me apetecía salir fue-ra de mi ciudad. Por otro lado penséque no me vendría nada mal irme alextranjero en vez de quedarme en Es-paña y así aprender otro idioma, co-nocer gente, otra cultura... Además deque si tenía la oportunidad de encon-trar un buen trabajo, eso me ayudaríaa la hora de buscar algo aquí, como asífue.

• ¿Te costó mucho encontrar tra-bajo cuando regresaste a Espa-ña?

No me costó mucho, un mes an-tes de volver entregué algunos currí-culum, y me llamaron enseguida parauna entrevista en Cajamar, la hice, ya los dos días de llegar de Londres em-pecé a trabajar.• ¿En qué consiste exactamentetu trabajo actual?

Trabajo en el Departamento deTesorería. Colaboramos en la gestiónde liquidez de Cajamar en Banco deEspaña. Otra de nuestras funciones esla conciliación de todas las posicionesque tiene la entidad, en términos deRenta Fija, Renta Variable, Deriva-dos, etc...• ¿Cómo aplicas las matemáticasen él?

Utilizamos el cálculo y el análisisconstantemente. También, a nivel per-sonal, me doy cuenta de que la formade pensar lógicamente que desarrolla-mos en la carrera me ayuda en muchasocasiones para resolver problemas queencuentro a diario, y que sin esa basecreo que serían mucho más difíciles deabordar.• ¿Te sientes realizada? ¿Te pa-gan bien?

De momento me encuentro bas-tante feliz en mi posición, porqueaprendo cosas nuevas a diario y pue-do utilizar mis conocimientos, tantode la carrera como de trabajos anterio-res para desarrollar mi labor. De todasformas, el trabajo en la empresa pri-vada siempre resulta más duro, ya quea veces se espera un sacrificio mayorpor parte del trabajador. En cuanto ami salario, tal y como están los suel-

dos hoy en día, creo que no me puedoquejar.

• ¿Qué recuerdo tienes de la ca-rrera? ¿Te supuso un gran esfuer-zo terminarla?

Tengo muy buenos recuerdos de lacarrera. Por supuesto hubo momentosmuy difíciles donde me planteé tirarla toalla, pero al final sigues, y te dascuenta de que las cosas no son tancomplicadas como creías, y que con es-fuerzo y constancia se sale hacia ade-lante.

• ¿Mantienes contacto con tuscompañeros de la universidad?Tus compañeros de trabajo, ¿sontambién matemáticos o trabajascon otros titulados?

Al principio sí que nos esforzamosmás por seguir en contacto, pero conel tiempo, cada uno escogió su ca-mino y perdí la relación con algunosde ellos. Aún así, tengo varios com-pañeros con los que sigo manteniendoamistad. De mis compañeros de traba-jo, algunos de ellos tienen otras titu-laciones, pero varios son matemáticos,ya que en banca y especialmente endepartamentos como el mío, un mate-mático se ajusta bastante al perfil quebuscan las empresas.

• ¿Nos podrías dar un mensajepara los estudiantes de matemá-ticas?

No merece la pena desanimarsecuando las cosas no salen bien a laprimera, la carrera que habéis esco-gido puede ser complicada, pero co-mo todas las cosas difíciles, cuando seresuelven, conllevan una satisfacciónmayor.

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Territorio Estudiante Volumen I. Número 3 21 / 22

MOVILIDAD ESTUDIANTIL

Erasmus en AlemaniaExperiencias fuera de nuestra Universidad

Miguel Ángel Garzón DíazAlumno de la UAL

Alumnos Erasmus en Bielefeld

En el curso 2006-2007 estuve es-tudiando en la universidad de Biele-feld (Alemania) mediante el progra-ma de intercambio Sócrates–Erasmus.Pienso que la mejor forma de apren-der idiomas es en el país en que sehablan, y ese fue un motivo impor-tante para decidirme a hacer el viaje.El programa facilita todos los trámitespara que sea posible el reconocimientode todas las asignaturas entre las dosuniversidades y proporciona una ayu-da económica. Yo gasté alrededor de500e mensuales a excepción del pri-mer mes.

En inglés he mejorado mucho alhablar con los otros Erasmus; y enalemán (no tenía ni idea) también hemejorado gracias a un curso intensi-vo que la Universidad me proporcionó(gratuito). Es una pena que en ma-temáticas en Almería no se impartan

asignaturas en inglés. En Alemania sílo hacen. En algunos casos los profeso-res sólo proporcionan bibliografía eninglés, con lo que los estudiantes lohablan fluidamente.

La Universidad de Bielefeld fun-ciona muy bien, los alumnos partici-pan más en las clases e incluso im-parten las prácticas y se entiende to-do mejor porque todo es más prác-tico y gráfico. También puedes reali-zar muchísimos deportes y activida-des gratis en la universidad y cosasno muy comunes como la lucha medie-val o rugby submarino. El transportepara los estudiantes está mejor orga-nizado, es más rápido y más barato,aunque la comida (en el comedor) esbastante mala.

Una experiencia de este tipo estábien a la hora de aprender a organi-zarse, requiere que estés pendiente demucho papeleo y que organices todo loque necesitas para tu nueva vida. Esinteresante ver cómo funcionan mu-chas cosas de manera diferente y queaquí creemos obvias.

También son muy importantes losamigos que conoces. En muy pocotiempo conoces a mucha gente deotros países, por eso ahora hablo másinglés que alemán. La gente de rela-ciones internacionales organiza activi-dades y viajes por todo el país paratodo el grupo Erasmus y son bastantebaratos, pues ellos pagan gran parte;

con lo que llegarás muy pronto a tenermucha confianza con los demás Eras-mus. Con ellos te divertirás muchísi-mo, te reirás por muchas cosas cotidia-nas, propias de las distintas culturas;y surgirán bromas referentes a los di-ferentes idiomas. Te pegarás tambiénlos viajes más locos e inesperados. Yohe aprovechado para viajar mucho alos países colindantes, ya que de re-pente tienes contactos en toda Europaque te invitan a visitarles.

Mucha gente ha oído hablar deErasmus por las fiestas, en mi caso fueasí: nada más llegar me presentaron a30 ó 40 personas que llegaban con lamisma ilusión que yo, de unas 15 na-cionalidades distintas y que tampococonocían a nadie. Me dieron mi cuar-to en una residencia, me dijeron quetenía actividades con esta gente, via-jes, fiestas, y un cursillo de alemán porla mañana también con ellos. Además,las clases empezaban un mes más tar-de, con lo que el principio fue mejorque unas vacaciones.

La clave para aprovechar la beca almáximo está en llevarlo todo un pocohacia delante, así te acabas sacandolas asignaturas, viajas, conoces, salesde fiesta y aprendes idiomas, y todoeso con tus amigos más locos. ¿Quémás se puede pedir si se busca una ex-periencia diferente? Os lo recomiendoa todos.

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Responsables de las secciones

2 Actividad Matemática en la UAL

Actividades organizadas : Juan Carlos Navarro([email protected]).

Servicios (empleo, becas,...): Pedro Martínez([email protected]) y Juan Carlos Navarro([email protected]).

La Doble Titulación Matemáticas-IngenieroTécnico en Informática : Manuel Cantón([email protected]) y Juan Carlos Navarro([email protected]).

La investigación : Juan Cuadra ([email protected]) yJuan José Moreno ([email protected]).

Foro abierto: José Carmona ([email protected]),José Escoriza ([email protected]).

2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria: Manolo Gámez ([email protected]),Francisco Gil ([email protected]) y Juan Guirado([email protected]).

2 Divulgación Matemática.

La Historia y sus personajes : Florencio Castaño([email protected]) y Blas Torrecillas ([email protected]).

Problemas de interés : Juan Guirado([email protected]), Alicia Juan ([email protected])y Miguel Ángel Sánchez ([email protected]).

Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Juan Antonio López ([email protected]), FranciscoLuzón ([email protected]) y Antonio Salmerón([email protected]).

Mujeres y matemáticas : Asunción Bosch([email protected]) y Maribel Ramírez([email protected]).

Cultura y Matemáticas : José Cáceres([email protected]) y José Luis Rodríguez([email protected]).

Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Juan Cuadra ([email protected]) yAntonio Morales ([email protected]).

Páginas web de interés : Juan Cuadra([email protected]).

Citas matemáticas : Juan Cuadra ([email protected])y Alicia Juan ([email protected]).

Pasatiempos y Curiosidades : Antonio Andujar([email protected]) y José Antonio Rodríguez([email protected]).

2 Territorio Estudiante: Elisa Berenguel([email protected]), Maria del Carmen Castro([email protected]), Francisco ManuelMorales (franciscomms [email protected]) y Estefanía dela Cruz Ruiz ([email protected]).

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