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ESTADISTICA Y PROBABILIDADES/ ES-241 2012

I. Cálculos II. SUMATORIAS DOBLES Y VALOR NUMÉRICO: DADO EL SIGUIENTE

CUADRO II ;donde cada valor corresponde a un valor Xij, desarrolle y calcule su valor numérico:

a) ∑ X i1 e) ∑ X1 j i) X .2

b) ∑ X i2 f) ∑ X2 j j) X3.

c) ∑ X i3 g) ∑ X3 j k) X . .

d) ∑ X i4 h) ∑ X4 j l) ∑∑ X ij

SOLUCIÓN.

a) ∑i=1

4

X i1=X11+X21+X31+X41=2+4+3+2=11

b) ∑i=1

4

X i2=X12+X22+X32+X42=5−1−4+8=8

c) ∑i=1

4

X i3=X13+X23+X 33+X 43=3+7+1−2=9

d) ∑i=1

4

X i4=X14+X24+X 34+X44=1+2+0+6=9

e) ∑j=1

4

X1 j=X11+X12+X13+X14=2+5+3+1=¿11

| 1

i ,j 1 2 3 4

1 2 4 3 22 5 -1 -4 83 3 7 1 -24 1 2 0 6


f) ∑j=1

4

X2 j=X21+X22+X23+X24=4−1+7+2=12

g) ∑j=1

4

X3 j=X31+X32+X33+X34=3−4+1+0=0

h) ∑j=1

4

X4 j=X 41+X 42+X43+X44=2+8−2+6=14

i) ∑i=1

4

X i2=X12+X22+X32+X42=4−1+7+2=12

j) ∑j=1

4

X3 j=X31+X32+X33+X34=3−4+1+0=0

k)

∑i=1

4

∑j=1

4

X ij=∑i=1

4

[X i1+X i2+X i3+X i4 ]=[ ( X11+X 12+X 13+X 14 )+(X21+X22+X23+X24 )+ (X31+X32+X33+X34 )+( X41+X42+X43+X 44 ) ]= [ (4+3+2+0 )+(3+5+0+1 )+(1+0+3+6 )+(0+4+2+3 ) ]=[ 9+9+10+9 ]=37

l)

∑i=1

4

∑j=1

4

X ij=∑i=1

4

[X i1+X i2+X i3+X i4 ]=[ ( X11+X 12+X 13+X 14 )+(X21+X22+X23+X24 )+ (X31+X32+X33+X34 )+( X41+X42+X43+X 44 ) ]= [ (4+3+2+0 )+(3+5+0+1 )+(1+0+3+6 )+(0+4+2+3 ) ]=[ 9+9+10+9 ]=37

III. DEMOSTRACIONES USANDO SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS.- dada la relación conocida X barra = ∑Xi /n demostrar que:

a) ∑ [ X i ( X i−x )+(x−X i ) ]=∑ X i2−(∑ X i )

2/n

b) ∑ [ X i (X i−x )+x2 ]=∑ X i2

c) ∏i=1

n

Y iW iZ i=∏i=1

n

Y i∏i=1

n

W i∏i=1

n

Zi

SOLUCION:

a)

∑ [ X i ( X i−x )+(x−X i ) ]=∑ [X i2−X i x+x−X i ]=∑ X i

2−∑ X i x+∑ x−∑ X i

| 2


¿∑ X i2−x∑ X i+nx−¿∑ X i=∑ X i

2−x (nx )+n x−nx ¿

¿∑ X i2−n x2=∑ X i

2−n (∑ X i )

2

n2 =¿∑ X i2−(∑ X i )

2/nlqqd .¿

b) ∑ [ X i (X i−x )+x2 ]=∑ [X i2−X i x+x

2 ]=∑ X i2−∑ X i x+∑ x2

¿∑ X i2−x∑ X i+¿nx2=∑ X i

2−x (n x )+¿n x2 ¿¿

¿∑ X i2−n x2+¿n x2 ¿=∑ X i

2lqqd .

c) ∏i=1

n

Y iW iZ i=[ (Y 1W 1Z1 ) (Y 2W 2Z2 ) (Y 3W 3Z3 )… (Y nW nZn ) ]

¿ (Y 1Y 2…Y n) (W 1W 2…W n) (Z1Z2…Zn )=∏i=1

n

Y i∏i=1

n

W i∏i=1

n

Z ilqqd .

IV. ORGANIZACIÓN DE DATOS Y CÁLCULOS DE ESTADÍGRAFOS: Los siguientes datos corresponden al muestreo de los diámetros de 50 cojinetes fabricados por una empresa Metal- Mecánica del PARQUE INDUSTRIAL DE TRUJILLO.

0.529 0.538 0.532 0.529 0.535 0.536 0.534 0.542 0.537 0.5300.538 0.536 0.536 0.526 0.525 0.524 0.530 0.543 0.539 0.5420.536 0.528 0.546 0.532 0.535 0.534 0.539 0.527 0.544 0.5270.535 0.534 0.540 0.536 0.540 0.532 0.535 0.535 0.528 0.5410.535 0.531 0.540 0.532 0.535 0.533 0.535 0.537 0.541 0.537

4.1 Tipología de variable estadística bajo estudio. ¿El tamaño de muestra n es pequeña o grande? Calcular el rango de datos originales Rx

4.2 Determinar el número de intervalos de clase (m) por el método de STURGES ¿existirá un nuevo rango y alguna diferencia de rangos?

4.3 Elaborar un cuadro completo de la Distribución de Diámetros de 50 cojinetes.4.4 Calcule el Diámetro medio, el Diámetro Mediano y el Diámetro Modal de los

datos agrupados. Interprétalos estadísticamente.

| 3


4.5 Calcule la Varianza y la Desviación Estándar de datos agrupados. Interprétalos.4.6 Calcule la Desviación Media y Calcule la Desviación Mediana de datos agrupados.

Interprétalos estadísticamente.4.7 Calcule el Coeficiente de Variación de datos agrupados. Interpretar

estadísticamente.4.8 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos

estadísticamente.4.9 Calcule el Nonagésimo Percentil y Décimo percentil. Interprétalos4.10 Calcule el Recorrido Intercuartílico y el Semi-Recorrido Intercuartílico.

Interpretarlos.4.11 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos

estadísticamente4.12 Hallar el 1er. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera

As? 4.13 Hallar el 2do. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución

genera As?

Fórmula: As = β = Q3+Q1−2Me

Q3−Q1

IV.14 Hallar el Coeficiente Percentílico de KURTOSIS. ¿Qué distribución genera K?Fórmula: (Q3 – Q1) / 2(P90 – P10)

IV.15 Hallar el Coeficiente de Asimetría de FISHER. ¿Qué distribución genera As? IV.16 Hallar el coeficiente percentilico de KURTOSIS ¿qué distribución genera k?IV.17 Comparar en un histograma y curva los estadígrafos de tendencia central o

medidas de posición. ¿qué distribución genera As ?

Solución:

4.1 Tipología de variable estadística bajo estudio. ¿El tamaño de muestra n es pequeña o grande? Calcular el rango de datos originales Rx

Es una variable cuantitativa continua (v.c.c).

El tamaño de la muestra es 50, y es una muestra grande por ser mayor a 30.

R x=Xmax−Xmin=0.546−0.524=0.022

| 4


4.2 Determinar el número de intervalos de clase (m) por el método de STURGES ¿existirá un nuevo rango y alguna diferencia de rangos?

m=1+3.3 ( logn )=1+3.3 (log 50 )=6.640580414=7

Hallamos la amplitud interválica o ancho de la clase “c”.

c=Rxm

=0.0227

=0.003142857143 c '=0.0032 , c ' '=0.004

Entonces Hallamos el nuevo rango con la ecuación: c ' '=R ' xm'

0.004= R ' x7

R' x=(0.004 ) (7 )=0.028

entonces si existeunnuevorango y elloes R' x=0.028

∆ Rx=R' x−Rx ∆ Rx=0.028−0.022=0.006 ………diferencia de rangos

4.3 Elaborar un cuadro completo de la Distribución de Diámetros de 50 cojinetes.Haciendo uso del nuevo rango obtenido en el problema anterior haremos una distribución:

repartiendoel delta rango :

R ' x=+∆ Rx

2;R ' ' x=−∆ Rx

2

R' x=+0.003 R ' ' x=−0.003

Y 'i−1=Xmin−R ' ' x

Y 'i−1=0.526−0.003=0.523

| 5


Cuadro completo de distribución de frecuencias1 2 3 4 5 6 7 8 9 10i [Yi-1 ,Y'i-1⟩ Yi Ci tabulación ni hi=ni/n Nj Hj=Ni/n Hjx1001 [0.523-0.527⟩ 0.525 0.004 II 2 0.04 2 0.04 4%2 [0.527-0.531⟩ 0.529 0.004 IIIII III 8 0.16 10 0.2 20%3 [0.531-0.535⟩ 0.533 0.004 IIIII IIIII IIIII I 16 0.32 26 0.52 52%4 [0.535-0.539⟩ 0.537 0.004 IIIII IIIII III 13 0.26 39 0.78 78%5 [0.539-0.543⟩ 0.541 0.004 IIIII IIIII 10 0.2 49 0.98 98%6 [0.543-0.547⟩ 0.545 0.004 0 0 49 0.98 98%7 [0.547-0.551⟩ 0.549 0.004 I 1 0.02 50 1 100%

50 1

4.4 Calcule el Diámetro medio, el Diámetro Mediano y el Diámetro Modal de los datos agrupados. Interprétalos estadísticamente.

El diámetro medio calcularemos mediante la siguiente ecuación.

Me=∑i=1

m

Y ini

n

Me=∑i=1

7

Y ini

50=26.75

50=0.535

Interpretación estadística: El diámetro medio es 0.535

El diámetro mediano calcularemos mediante la siguiente ecuación.

~x=Y ' i−1+c [ n2 −N j−1

N j−N j−1]

1ro n2=50

2=25

| 6


2do 10≤25<26 ; Me∈ ¿

~x=0.531+ (0.004 ) [ 25−1026−10 ]=0.53475

Interpretación estadística: El diámetro mediano es 0.534 cm supera a lo más al 50% de los diámetros y es superado por no más del 50% de los diámetros restantes.

Calculemos el diámetro modal.

M 0=Y ' j−1+c [ n j−n j−1

(n j−n j−1 )+(n j−n j+1 ) ] 1ro La mayor frecuencia absoluta es: 16 entonces M 0∈ ¿

M 0=0.531+ (0.004 )[ 16−8(16−8 )+(16−13 ) ]

M 0=0.531+ (0.004 )[ 811 ]=0.53390909

Interpretación estadística: El diámetro que más se repite es:0.53390909

4.5 Calcule la Varianza y la Desviación Estándar de datos agrupados. Interprétalos.

La variancia. Sy

2=∑i=1

n

n i (Y i− y )2

n=0.001628

50=0.00003256

| 7


Interpretación estadística: el valor obtenido nos indica que los datos están bastante concentrados respecto a su media.

La desviación estándar. S=√S y2 =√0.00003256=0.005706137

Interpretación estadística:

4.6 Calcule la Desviación Media y Calcule la Desviación Mediana de datos agrupados. Interprétalos estadísticamente:

DMe=

∑i=1

m

ni|Y i−Me|n

=0.250

=0.004


DM=

∑i=1

m

ni|Y i− y|n

=0.250

=0.004


4.7 Calcule el Coeficiente de Variación de datos agrupados. Interpretar estadísticamente.

C .V= Sy=0.005706137

0.53456=0.010674455


| 8


4.8 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente.

Para el primer cuartil

Q1=Y ' j−1+c j[ n4 −N j−1

N j−N j−1]

1ro n4=50

4=12.5

2do 10≤12.5<26entoncesQ1∈[0.531-0.535⟩

Q1=0.531+ (0.004 )[ 12.5−1026−10 ]=0.531625

Interpretación estadística: el diámetro 0.531625 cm supera a no más de un cuarto de los diámetros, y es superado por no más de los tres cuartos de los diámetros restantes.

Para el tercer cuartil

Q3=Y ' j−1+c j[ 3n4

−N j−1

N j−N j−1]

1ro 3n4

=1504

=37.5

2do 26≤37.5<39entoncesQ3∈[0.535-0.539⟩Q3=0.535+(0.004 )[ 37.5−26

39−26 ]=0.5385384

Interpretación estadística: el diámetro 0.5385384cm supera a no más de tres cuarto de los diámetros, y es superado por no más de un cuartos de los diámetros restantes.

| 9


4.9 Calcule el Nonagésimo Percentil y Décimo percentil. Interprétalos

Para el nonagésimo percentil

P90=Y ' j−1+c j[ ¿100

−N j−1

N j−N j−1]

1ro 90n100

=4500100

=45

2do 39≤45<49entonces P90∈[0.539-0.543⟩P90=0.539+ (0.004 )[ 45−39

49−39 ]=0.5414

Interpretación estadística: el diámetro 0.5414cm supera a no más de noventa centésimos de los diámetros, y es superado por no más de un centésimo de los diámetros restantes.

Para el décimo percentil

P10=Y ' j−1+c j[ ¿100

−N j−1

N j−N j−1]

1ro 10n100

=500100

=5

2do 2≤5<10entoncesP10∈[0.527-0.531⟩

P10=0.527+ (0.004 )[ 5−210−2 ]=0.5285

Interpretación estadística: el diámetro 0.5285cm supera a no más de diez centésimos de los diámetros, y es superado por no más de noventa centésimos de los diámetros restantes.

| 10


4.10 Calcule el Recorrido Intercuartílico y el Semi-Recorrido Intercuartílico. Interpretarlos.

RI=Q3−Q1

Q3=0.5385384 yQ1=¿ 0.531625

Entonces RI=0.5385384−0.531625=0.006913

4.11 Calcule el Primer Cuartil (Q1), y el Tercer Cuartil (Q3). Interpretarlos estadísticamente:

La pregunta ya fue resuelta en el ejercicio 4.8

4.12 Hallar el 1er. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As?

CAs=3 ( x−~x )

S=

3 (5.3456−0.535 )0.005706137

=2.529171662

¿Qué distribución genera As? comoCAs>0entonces genaraunadispersión asimétrica positiva

4.13 Hallar el 2do. Coeficiente de Asimetría de PEARSON. ¿Qué distribución genera As?

Fórmula: As = β = Q3+Q1−2Me

Q3−Q1

β = Q3+Q1−2Me

Q3−Q1

| 11


β = 0.5385384+0.531625−2.(0.53475)

0.5385384−0.531625

β =0.0959entonces genaraunadispersión asimétrica positiva o sesgada a la derecha

IV.18 Hallar el Coeficiente Percentílico de KURTOSIS. ¿Qué distribución genera K?

Fórmula: (Q3 – Q1) / 2(P90 – P10)

El coeficiente percentilico de KURTOSIS está dado por.

K=Q3−Q1

2 (P90−P10 )= RI

2 (RIP )=0.0069134

0.0258=0.26796124

IV.19 Hallar el Coeficiente de Asimetría de FISHER. ¿Qué distribución genera As?

IV.20 Hallar el coeficiente percentilico de KURTOSIS ¿qué distribución genera k?

IV.21 Comparar en un histograma y curva los estadígrafos de tendencia central o medidas de posición. ¿qué distribución genera As ?

| 12

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