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Walter Orlando Gonzales Caicedo
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SESIÓN DE APRENDIZAJE Nº 11 - 12
FACULTAD DE :
ESCUELA PROFESIONAL DE :
DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I
ASIGNATURA : Lógico Matemática FECHA:
TEMAS: Funciones, definición y propiedades.
Regla de correspondencia. Dominio y rango de una función. Gráfica de una función. Funciones especiales: Identidad, constante, lineal, raíz cuadrada, valor absoluto. Clases de funcione: inyectiva, suryectiva, biyectiva; operaciones con funciones: suma, diferencia, multiplicación y división de funciones; composición de funciones; función inversa.
TIEMPO: 08 horas académicas.
COMPETENCIA:
Entender y aplicar el concepto de función para representar en el plano cartesiano y así poder explicar el comportamiento de ciertos fenómenos de la vida diaria.
CAPACIDADES:
Construye el gráfico, determina el dominio y rango de una función.
Realiza operaciones con funciones.
Establece la función inversa de una función dada, si la tuviera.
Resuelve y aplica las funciones al estudio de casos o proyectos de su especialidad.
ACTITUDES:
RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificación en su trabajo académico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los demás y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIÓN: Muestra disposición a enfrentarse a situaciones problemáticas novedosas. Participa
activamente en el desarrollo de las clases.
E
V
A
L
U
A
C
I
Ó
N
MOMENTOS O FASES
DESCRIPCIÓN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGÍA
MEDIOS Y MATERIALES
TIEMPO
EVALUACIÓN
INDICADORES INSTRUMENTO
Motivación y exploración
MOTIVACION:
(ANEXO Nº 01)
EXPLORACION: El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionadas con
funciones. Será importante en nuestra carrera el estudio de las funciones, me servirá en mi carrera.(ANEXO Nº 01)
Material Impreso.
Pizarra
Plumones
acrílicos
Mota
Palabra hablada.
50 min.
Interés por el tema, participación individual y en
grupo.
Observación espontánea. Intervención oral
Problematización
Se plantea las siguientes
interrogantes:
¿Podrían representar un
problema real utilizando
funciones?
¿Cómo definen a una
función?
¿Conoces las
propiedades de
funciones?
¿Sabes identificar el
dominio y rango de una
función?
Exposición oral
45 min.
Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con las funciones desarrollan los ejercicios
planteados. Participación activa
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)
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¿Qué funciones
especiales conoces?
Construcción del
conocimiento
Se forma 7 grupos.
Modulo de lógica
matemática
- (ANEXO Nº 03)
-
Los estudiantes analizan
los conceptos de
Funciones y propiedades.
Regla de
correspondencia. Dominio
y rango de una función.
Gráfica de una función.
Funciones especiales:
Identidad, constante,
lineal, raíz cuadrada,
valor absoluto.
(ANEXO Nº 04)
Se realiza la
sistematización de lo
aprendido.
Los estudiantes plantean
y desarrollan un
laboratorio con ejercicios.
(ANEXO Nº 05)
Papelógrafo. Módulo lógico matemático (ANEXO Nº03) Textos auxiliares. cinta adhesiva
185 min.
Aplicación de la teoría en la solución de problemas específicos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera. Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Ficha de autoevaluación (ANEXO Nº 06)
Transferencia del
conocimiento
Los estudiantes resuelven
los ejercicios planteados
en su módulo de trabajo.
Los estudiantes participan
anotando sus respuestas
en la pizarra
(Hoja de información
,Grupo de estudio ,
trabajo en equipo;
exposición del problema
planteado.(ANEXO Nº04)
Los alumnos resuelven en
grupo una ficha de
trabajo:”Leo, analizo y
resuelvo” (ANEXO Nº 03)
que les permitirá
descubrir procedimientos
Hoja impresa Folder de trabajo.
120 min.
Aplica estrategias metacognitivas para representar la solución de los ejercicios planteados. Presentación de trabajo individual o grupal
Ficha de evaluación (ANEXO Nº 05) Folder de trabajo.
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BIBLIOGRAFÍA Aliaga Valdez, Carlos. Matemáticas para Administración y Económia. Ayra Jadish C. Matemáticas Aplicadas, a la Administración, Economía, Ciencias Biológicas y Sociales. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemática Básica. Editorial Servicios Gráficos JJ. Perú. Figueroa G. R. (2006). Matemática Básica. Ediciones San Marcos. Perú. Gonzales Caicedo, Walter Orlando et al. (2009). Modulo de Lógico Matemática. Lambayeque – Perú. Leithold. Matemáticas previas al Cálculo: Funciones, Gráficas. Moisés, Lázaro. (2007). Matemática Básica Tomos I y II. Editorial Moshera. Perú. Venero Baldeon, Armando. Matemática Básica.
ANEXO Nº 01 Una empresa agro exportadora produce cierto producto que vende $10. El costo de producción de x productos diariamente está dado por la fórmula: C(x) = x2 + 32x – 40. ¿Cuál debe ser la producción diaria a fin de que la empresa obtenga ganancias?
ANEXO Nº 02
Recuerda: Excelente maestro es aquel que, enseñando poco, hace nacer en el alumno el deseo grande de aprender. A. Graf Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.
ANEXO Nº 03
USS. MODULO DE LÓGICO MATEMÁTICA
FUNCIONES 1. DEFINICIONES:
para reconocer e
interpretar a las
proposiciones.
El docente destaca los
resultados a través de la
evaluación del trabajo
realizado..
Los alumnos desarrollan
ejercicios propuestos del
modulo correspondiente a
funciones
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Toda relación de A en B tal que cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).
Conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.
Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumplen:
1) f AxB.
2) (x,y) f (x,z) f y = z ó x Df; ! y Rf / (x,y) f y = f(x).
De donde: A: Conjunto de Partida. B: Conjunto de Llegada.
Dominio de f: Df = {x A/ ! y B y = f(x) }
Rango de f o Codominio: Rf= {y = f(x) B/ x A} OBSERVACION: 1) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir
sólo y sólo una flecha hacia B. 2) Una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, se dice que es función, si
cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto. 3) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
4) f: A B. y = f (x) “Regla de correspondencia”. Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional. 2. NOTACIÓN FUNCIONAL Es un operador que emplea la variable x para indicar el dato que ingresa y f(x) para indicar el resultado. Se denota por f(x) y se lee “f de x”.
Ejemplo: Si . Calcular: E = f(1) + 1 f(2)
Solución: Si x = 1 entonces: f(1) = 1 (1+1)/ 2= 1 Si x = 2 entonces: f(2) = 2 (2+1)/ 2= 3 Luego:
E = f(1) + 1 f(2) = (1 + 1)3 = 8 3. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES: Si f es una función real de variable real si y solamente si todo recta vertical corta a su grafica a lo mas en un punto. Ejemplo: De acuerdo a esta propiedad se tiene que las circunferencias y las rectas verticales no corresponden a funciones. 4. APLICACIÓN
Dado fA B, f es aplicación sí y sólo sí Df = A. OBSERVACION:
Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
Toda aplicación es función, pero no toda función es aplicación.
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FUNCIONES ESPECIALES 1. F. LINEAL:
Regla de Correspondencia: y=f(x)=ax+b
a, b son constantes. Df = R Rf = R
2. F. CONSTANTE:
Regla de Correspondencia: y=f(x)=b Df = R Rf = {b}
3. F. IDENTIDAD:
Regla de Correspondencia: y=f(x)=x
Es una función lineal donde a=1, b=0
Df = R Rf = R
4. F. VALOR ABSOLUTO:
Regla de Correspondencia: y=f(x)= x
0 xsi x;
0 xsi x;f(x)y
5. F. RAÍZ CUADRADA:
Regla de Correspondencia:
y=f(x)= x
Df = 0R
Rf = 0R
6. F. CUADRÁTICA:
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EJEMPLOS DE APLICACIÓN
1. Indicar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. 2 2 2, / 9f x y R y x
2 3 4, /g x y R y x
2, / 3h x y R x y
2, / 4j x y R x
Solución: Tenemos:
2 2 2, / 9f x y R y x
Donde:
2 29y x
Como “y” esta elevado a una potencia par Luego: f no es función
2 3 4, /g x y R y x
Tenemos:
3 4y x
Donde: “g” si es función porque la potencia de la variable y es impar.
2, / 3h x y R x y
Tenemos:
3x y
22
3x y
Regla de correspondencia: y = f(x) = ax2 + bx + c.
La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, la ecuación es llevada completando cuadrados a la forma: y = a(x-h)2 + k
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23x y
Entonces:
2
2
2
2
2
3 , 03
3 , 0
3 , 0
3 , 0
x y yx y
x y y
y x y
y x y
Luego: Para cada “x”, “y” tiene dos valores por lo tanto “h” no es función.
2, / 4j x y R x
Tenemos:
4x Luego: j no es función
2. Dado el conjunto de pares ordenados
23,2 3 , 1,5 , ,3 3,4 , 6,7 1,3 2, 4 , 2,2g x y x y x y x y
Hallar “x” e “y” para que g sea función y dar como respuesta Dom (g)∩Ran(g) Solución: Tenemos:
23,2 3 , 1,5 , ,3 , 3,4 , 6,7 , 1,3 , 2, 4 , 2,2g x y x y x y x y
Entonces: De Se tiene que:
2 3 4x y De Se tiene que:
2 4x y Luego: se tiene el sistema de ecuaciones
2 3 4
2 4 (3)
2 3
x y
x y
x y 4
6 3x y 12
8 8
1
x
x
2( 1) 3 4y
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2 3 4
3 6
2
y
y
y
Entonces:
3,4 , 1,5 , 1,3 , 6,7 , 4,3 , 2, 4
3, 1,1,6,4,2
4,5,3,7, 4
3,4
g
g
g g
g
D
R
D R
3. Hallar el Dominio de:
3/ 22
2
2 3( ) 5 6
5 6
xf x x x
x x
Solución:
3/ 22
2
3/ 2 22
2 35 6
5 6
1 2 3
5 65 6
xf x x x
x x
xf x
x xx x
2 223
1 2 3
5 65 6
xf x
x xx x
Donde: Para:
2 5 6 0
3 2 0
x x
x x
+ - + - -∞ - 3 -2 +∞
Entonces:
, 3 2,
Para:
22 5 6 0x x
2
2 2
3 2 0
3 2 0
x x
x x
+ + + - -∞ - 3 -2 +∞
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Entonces:
R- {-3,-2}
Luego: el dominio de la función es: Dom(f)= {(-∞,-3)U(-2,+∞)}∩[R- {-3,-2}] Dom(f)= (-∞,-3)U(-2,+∞)
ANEXO Nº04
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº12 I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.
1. Sea la función F = {( x, y ) / y = x + 2 }, hallar el dominio, el rango de F y
graficar.
2. Para la función F = {(x,y)/ y = }, hallar el dominio, el rango de F y graficar.
3. Hallar el dominio, el rango y esbozar la gráfica de las siguientes funciones con
valores en R.
a) 23)( xxf
b) 142)( 2 xxxg
c) 53)( xxh
4. La utilidad por fabricar una cantidad x de cierto producto viene dada por la
función:
1610)( 2xxxf , 0x . Graficar f
5. Sea la función f definida por 13122)( 2 xxxf , 3,1x . Hallar el Ran(
f )
6. Graficar la función:
)(xh
7. Si F representa una función: F = {(3; 7a+2b), (2; 5) (2; a+2), (3; 5b-2a)} ¿Cual o cuales de los siguientes conjuntos son funciones? A = {(a;b), (b-a; 5), ( 5; b-a), ( a+b ; 5)} B = {3;b),(b;3),(3;8),(9;2a-b)}
-2x si x < -1
x2 si 1x 1
1 si 1< x < 3
4x si 3x
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C = {(3;5),(9,7),(b;a),(5a+3b)}
8. Sean los conjuntos: A= {1,2,3} y B= {a,b,c,d,e} ,entonces: F= {(1,b);(2,b);(3,d)} es una función de A en B F= {(1,b);(1,c);(2,a); (3,e)} es una función de A en B F= {(1,b);(2,c)} es una función de A en B F= {(1,c);(2,c);(3,c)} es una función de A en B Representar cada caso en un diagrama sagital.
9. Hallar la regla de correspondencia de en cada caso que se presenta:
a)
b) c)
d) II. Hallar el dominio, rango y graficar cada uno de las siguientes funciones:
10. 3y
11. 2y
12. 3
xy
13. xy
14. 3xy
15. 33
xy
16. 2
2xy
17. 5
)4( 2xy
18. 25 2 xxy
19. 5
23
x
xy
20. 2)3(xy
CLASES DE FUNCIONES 1 F. INYECTIVA (UNIVALENTE ó 1-1:
f: A B, es inyectiva x1, x2 Df x1 x2 f (x1) f (x2); es decir, cuando los elementos se relacionan uno a uno. OBSERVACIÓN: Una función es inyectiva cuando cada elemento del conjunto de partida tiene una imagen diferente, es decir, cuando los elementos del conjunto de llegada tienen una o ninguna contraimagen.
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Ejemplos:
1. 3-x
x3)(xf es inyectiva.
2. g(x) = 2x² + 2 no es inyectiva, pues g(1) = g(-1) = 4
2 F. SURYECTIVA, SOBREYECTIVA O SOBRE:
f: A B, es suryectiva si: y B, x A / (x.y) f ó y = f(x) “Regla de correspondencia”; es decir, el Rango es igual al conjunto de llegada. OBSERVACIÓN: Una función es sobreyectva cuando el rango es igual al conjunto de llegada, es decir, cuando todos los elementos del conjunto de llegada tienen una o más contraimagen.
Ejemplo: f(x) = 2x + 5 es sobreyectiva. g(x) = 2x² + 2 no es sobreyectiva, pues -2 no pertenece al recorrido de
g, g(x) 2 x Dg
3 F. BIYECTIVA:
f: A B, es biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez. OBSERVACIÓN: Una función es biyectiva cuando es sobreyectiva e inyectiva a la vez, es decir, que cada uno de los elementos del conjunto de llegada tiene una, y nada más que una, contrimagen.
f
A B
-1
-2
-3
-a
-b
-c
-d
f
A B
-1
-2
-3
-4
-a
-b
-c
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Ejemplo: Dado A = {1,2,3,4} y B = {a,b,c} y f = {(2,b), (3,a), (1,a), (4,c)}
a) f no es inyectiva por (3,a), (1,a)
b) f es suryectiva pues Rf = B.
c) f no es biyectiva, pues no es inyectiva y suryectiva a la vez.
4 FUNCIÓN INVERSA (f-1 ó f*) Una función f tiene inversa si y sólo sí es inyectiva. OBSERVACION: Para toda f-1 se cumple:
Si fA B f*B A.
Df = Rf* y Rf = Df
*.
Ejemplo: Hallar la inversa de: 3-x
2)(xf
Solución:
Tenemos:
3-x
2y
Despejando x:
y
x2
3
32
yx
Luego:
32
)(1
xxf
32
xy
Ejemplo: F1 = {(2,4), (4,6), (6,8)}
Entonces: f1
-1 = {(4,2), (6,4), (8,6)} es inyectiva. Luego: tiene f1
-1.
f
A B
-1
-2
-3
-4
-a
-b
-c
-d
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F2 = {(5,1), (6,1), (7,2)} Entonces: Se tiene que no es inyectiva Luego: no tene f2-1.
Ejemplo:
Una función f: AB, se ha representado mediante un diagrama sagital obteniéndose:
A B
Según esto, entonces: f es una aplicación, f es inyectiva, f es suryectiva, f es biyectiva.
Solución:
Tenemos:
f no es aplicación por que sobra el elemento 8
f no es inyectiva por que al 1 le corresponde tres imágenes
f es suryectiva por que en el conjunto de llegada no sobran elementos f no es biyectiva por que f no es inyectiva.
OPERACIONES CON FUNCIONES
1. Suma y resta de funciones
Para obtener la función f + g, resultado de sumar dos funciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x) Ejemplo: Sean f(x)=x2 y g(x)=2x. Calcular f(x)+g(x) Solución: Tenemos: h(x)=f(x)+g(x)= x2+2x De forma análoga se encuentra la resta de funciones f - g Es decir: h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x)
3
5
7
8
9
1
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2. Multiplicación y división de funciones
Para obtener la función f*g, resultado de multiplicar dos funciones, f y g, multiplicamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x)=(f*g)(x)=f(x)*g(x) Ejemplo: Sean f(x)=2x y g(x)=0.5x Entonces: h(x)=f(x)*g(x)=2x*0.5x= x2 Para obtener la función f/g, resultado de dividir dos funciones, f y g.
Es decir: h(x)=(f/g)(x)=f(x)/g(x) Ejemplo: Sean f(x)=2x2 y g(x)=0.5x Entonces: h(x)=f(x)/g(x)=2x2/0.5x= 4x 3. Composición de funciones
En general, dadas dos funciones f y g
x f f(x) g g[f(x)] g º f
La función g◦f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[f(x)]
Ejemplo: Sean: y
¿Cuánto vale f(4)? y ¿ g(2)? Calcula g[f(4)] y g[f(0.5)] ¿Cuál es la función g◦f(x)?
Solución:
Tenemos: f(4) = 3 y g(2) = ½
g[f(4)] = g(3) = 1/3 y g[f(0.5)] = g(-4) = -1/4
g◦f(x) = g(2x-5) =
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ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Nº13
I. Analice cada uno de los siguientes ejercicios.
1. Esbozar la gráfica de las siguientes funciones con valores en R y diga la clase de función que es.
a) 23)( xxf
b) 142)( 2 xxxg
2. Si xxf 24)( y 224)( xxg . Determinar el dominio y regla de
correspondencia de:
a) gf b) )( gf c) gf d) gf / e) g ◦ f
3. Sea la función f definida por )(xf = 13122 2 xx , 3,1x . Hallar el
Ran( f ) y qué clase de función es.
4. ¿La función dada por f(x) = 6x + 9 es biyectiva?
5. La función: 96)( xxf es biyectiva. Verificar si su inversa 6
9)(1 x
xf
también lo es.
6. Para f(x) = 3x2 + 5x + 2 ; y g(x) = x2 + x, obtener: a) (f + g)(x) b) (f – g)(x)
c) (f * g)(x)
d) )(
)(
xg
xf
e) (f g)(x)
7. Para 1
)(x
xxf ; y
21)( xxg , encuentre:
a) ( f + g )(x)
b) )(xf
g
c) ))(( xfg
d) ))(( xgf
8. Hallar la función inversa para cada una de las siguientes funcione
4
32)(
xxg
12)( xxg 2
3)(
x
xxg
2)( xxg
1
32)(
x
xxg
xxg
1)(
12
12)(
x
xxg
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9. Indicar la clase de funciones que representan los siguientes gráficos:
a) b) c) d) e) f)
10. Dar un ejemplo de una función de R en R: a) Inyectiva pero no sobreyectiva. b) Sobreyectiva pero no inyectiva. c) Biyectiva d) No inyectiva ni sobreyectiva.
11. Graficar las siguientes funciones y analizar si son biyectivas. Justificar.
a.
1 si2
11 si1
1 si1
)(2
2
xxx
x
xxx
xf
y
x
y
x
1
2
3
4
a
b
c
A B
5
4
2
6
7
8
A B f
1
2
3
a
b
c
6
7
8
5
4
3
A f B A f B
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b.
1 si6
13 si
3 si82
)(29
21
xx
xx
xx
xg
c.
4 si)4(
40 si3
0 si2
)(2 xx
x
xx
xh
d. 0 si
0 si)(
2 xx
xxxk
LAS FUNCIONES Y SUS APLICACIONES
1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.
1) Función seno:
La función seno es la función definida por: f(x)= sen x. Características de la función seno Dominio: R
Recorrido: [-1, 1]
El período de la función seno es 2π
La función y = sen x es impar, ya que sen(-x) = -sen x, para todo x en R.
La gráfica de y = sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas
son: x =nπ para todo número entero n.
El valor máximo de sen x es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función y = senx es 1.
Grafica de y = senx
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2) Función coseno: La función coseno es la función definida por: f(x) = cos x. Características de la función coseno Dominio: R Recorrido: [-1, 1]
Es una función periódica, y su período es 2π.
La función y = cosx es par, ya que cos(-x) = cos x, para todo x en R. La gráfica de y = cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas
son: nx2
para todo número entero n.
El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la función y = cosx es 1.
Grafica de y = cosx
3) Función tangente: La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x.
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Características de la función tangente
Dominio: }/2
{ ZnnR
Recorrido: R
La función tangente es una función periódica, y su período es π.
La función y = tan x es una función impar, ya que tan(-x) = -tan x. La gráfica de y = tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas
son: x =nπ , para todo número entero n.
Grafica de y = tan x
OBSERVACIÓN: Las otras tres funciones trigonométricas: cotangente, secante y cosecante son también funciones periódicas. Las funciones trigonométricas fueron sistematizadas por Newton y Leibniz, quienes habían dado expansiones en forma de serie para las mismas. Pero fue Euler quien dio el tratamiento completo y sistemático a las funciones trigonométricas. La periodicidad de estas funciones y la introducción de la medida de los ángulos por radianes, fue realizada por Euler en su
Introductio in Analysis Infinitorum en 1748. Ejemplo:
1) Gráfica de la función )3
2(3 xSeny
Tenemos:
Amplitud = |-3| = 3
3
2Período
6
Desfase
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Gráfica:
2) Gráfica de la función 1)3(2 xCosy
Tenemos:
Amplitud = 2
3
2Período
3
Desfase
Desplazamiento vertical = -1
Gráfica: