Las variables retardadas como instrumento econométrico para cuantificar en el corto y

largo plazo el efecto de una política pública en la economía y para identificar y

eliminar la presencia de la autocorrelación en MCO.

Genaro Sánchez Barajas es Ph. D. por la Russian Academy of Sciences, profesor en la

licenciatura y en la maestría en economía y tutor en los doctorados de Economía y de

Ciencias de la Administración de la UNAM. Domicilio: Cubículo 15, Edificio A de la

Facultad de Economía, Cd. Universitaria, D.F.Celular: 55 1473 2231; correo:

genarosa@unam.mx, celular 55 14732231

Clasificación Jel: C4 - Econometric and Statistical Methods: Special Topics;

Palabras clave: políticas públicas, variables autorregresivas, autocorrelación, corto,

largo plazo.

Resumen: El método de las variables retardadas es muy importante dentro de las

políticas públicas económicas y de la econometría empírica porque su aplicación además

de corregir la violación que produce la autocorrelación en MCO, proporciona el periodo

de tiempo que dura el impacto que suelen tener las políticas públicas por medio de

variables específicas en la economía; un ejemplo lo proporciona la inversión en activos

fijos, cuyo efecto no termina en el siguiente año en que la planta productiva entra en

operación, sino que se prolonga por varios años más. Otro ejemplo es el ingreso de las

personas de hace dos años que incide en su ingreso del año pasado y en el de este año;

también, la inflación del mes pasado indudablemente incide en la inflación de este mes, etc.

Como puede observarse, este método es muy útil para hacer planeación económica porque

aporta a las autoridades y/o ejecutivos de las empresas, el periodo que dura el efecto que

tiene una política pública o privada sobre las variables que se desean afectar positiva o

negativamente.

Como se intuye, la aplicación de este método no se hace con datos de corte transversal, es

fundamentalmente con datos de series de tiempo de variables económicas ya que su uso se

sustenta en la observación que por lo general el impacto de algunas variables exógenas

sobre las endógenas no termina en un punto en el tiempo, sino que se prolonga a un periodo

mucho más largo. En este contexto es que decimos que los efectos diferidos en el tiempo se

incorporan en un modelo econométrico mediante el uso de “variables retardadas o

rezagadas” . Por otra parte, en MCO dichos efectos pueden indicar autocorrelación o

dependencia entre los términos de error Ui de los años sucesivos de la serie bajo estudio.

Al respecto, dichos efectos pueden expresarse de dos maneras diferentes, las cuales son:

I.- Por medio de modelos autorregresivos.

En este caso si se define a Y como el ingreso incluido en un modelo econométrico como

variable endógena, su incidencia progresiva en el tiempo (t) se cuantifica por medio de su

uso ahora como variable exógena pero retardada en algún periodo determinado, digamos

anualmente, misma que se denota como Yt-1 o Y(-1), donde (-1) se conoce como rezago o

retardo de un año; igualmente, en ese sentido digamos Yt-3 o Y(-3) indica que Y ha sido

rezagada o retardada tres años, estos valores ahora pueden usarse como variables

explicativas de Y en tres años. Así, en general sirven para mostrar el efecto que ejercen en

el tiempo (Yt-1 , Yt-2,Yt-3, …..Yt-n ) sobre Y.

II. -Por medio de modelos de retardos distribuidos: finitos e infinitos.

A diferencia de los modelos autorregresivos, en estos son las variables explicativas X1,

X2………Xn las que ejercen impactos o efectos prolongados en el tiempo sobre la variable

dependiente o endógena Y. Dicho lo anterior, ahora primero se ilustra el cálculo del efecto

que tienen una política pública usando sólo una variable exógena que denominaremos X1

sobre otra endógena que representaremos con Y.( Sánchez et al, 2015).

II.1.- Cálculo del efecto de una política pública sobre la economía usando modelos con

retardos distribuidos: finitos. .

Modelos con retardos distribuidos finitos

El cálculo del efecto de la variable independiente o exógena, digamos X1 sobre la

dependiente o endógena, Y, se hace mediante el uso de un número determinado de

retardos necesarios para cuantificar en el tiempo dicho efecto. El problema de determinar el

número de retardos (¿cuántos? ) sabiendo que X1 ejerce un efecto prolongado sobre la

variable dependiente Y en el tiempo, se soluciona corriendo el modelo varias veces con X1

retardada y definiendo a M como el número finito de retardos que viene a indicar “el

número de periodos en los que se mantiene el efecto” ( Carrascal, et al, 2001:307).

Ejemplo usando Eviews, los M retardos se escriben en la caja de diálogo así: X1(-1), X2(-

2),X3(-3),…..,XM(-M); por eso se le llama también “longitud del retardo”. Luego que se

obtienen los resultados de los diferentes modelos que se hayan corrido, se deben de

comparar entre sí y enseguida seleccionar aquel modelo cuya R2 ajustado sea mayor y que

muestre el menor valor en los criterios de información de AKAIKE y SCHWARZ.

Así, corriendo cada modelo con M retardos, con Eviews supóngase que si deseamos

conocer el efecto prolongado de X1: INGRESO sobre Y: CONSUMO y si tenemos 12 años

de datos para cada una de esas variables, entonces corremos en este caso con un número

diferente de retardos el modelo siete veces y sus valores se registran en la siguiente tabla:

M: número de

retardos

T: Número de

datos

R2 ajustado Criterio de

AKAIKE

Criterio de

SCHWARZ

0 12 0.7391 4.26 4.34

1 11 0.7766 4.03 4.14

2 10 0.8834 3.30 3.40

3 9 0.8937 3.15 3.22

4 8 0.9151 2.91 2.94

5 7 0.8436 3.44 3.42

6 6 0.7469 3.75 3.65

De acuerdo con estos resultados estadísticos, se escoge el modelo que fue corrido con 4

retardos de la variable independiente X1, puesto que es el que presenta el mayor valor para

el coeficiente de determinación ajustado como el menor valor de los indicadores de

Akaike y Schwarz (Carrascal et al, 2001: 310 ).

Interpretación: De acuerdo con estos resultados, el efecto prolongado de X1 sobre Y es

de cuatro años.

III. Identificación de la presencia o ausencia de autocorrelación con variables

retardadas, cuya eliminación sienta las bases para calcular el efecto de la variable

independiente en la variable dependiente en el corto y largo plazo.

III.1- Modelos autorregresivos usados para detectar autocorrelación con h llamada “

Contraste h de Durbin”, definiendo a Y como consumo, X1: ingreso y X2 como

inflación, de los últimos 30 meses, cuya base de datos es la siguiente:

Observaci

ón Y X1 X2

1 3 1 8

2 2 2 15

3 4 2.5 10

4 5 3 9

5 5 4 7

6 7 5 6

7 6 7 8

8 8 8 4

9 9 9 3

10 12 15 1

11

12.

2 16 1.5

12

12.

4

13.

5 4

13

12.

1

13.

6 3.5

14

12.

5

14.

2 4.6

15

12.

9

16.

5 2.3

16

13.

8

16.

2 4.2

17

14.

1

18.

6 3.9

18

13.

1

19.

3 5.2

19 13

17.

2 4.1

20

13.

2

18.

6

3.1

9

21

13.

3

15.

6 4.6

22

13.

4

19.

2 3.9

23

13.

5

13.

6 4.2

24

14.

1

15.

6 4.5

25

14.

2

17.

5 3.1

26

14.

3

16.

2 5.3

27

14.

4

14.

2 4.2

28 15

16.

2 4.3

29

15.

2

16.

6 3.8

30

15.

6

17.

5 4

Fuente: Investigación propia

Al respecto, Carrascal et al (2001: 294) indica que si usamos los modelos autorregresivos

es porque “suponen una violación de una de las hipótesis establecidas en el modelo de

regresión lineal clásico. Concretamente, la hipótesis de que los regresores no son

aleatorios, ya que la variable endógena retardada depende de la perturbación aleatoria y,

por tanto, tiene un carácter estocástico”. Es por eso que cuando hay regresores

estocásticos: Y (-1) que la estadística d de Durbin Watson ya no es apropiada para

identificar la autocorrelación que pueda existir entre la variable endógena Y (-1) retardada

y la perturbación aleatoria (Ui).

César Pérez (2007: 129) es más parco, no dice por qué usar h, simplemente informa que “

El estadístico de Durbin Watson no debe utilizarse para modelos que introducen retardos en

la variable dependiente ni para modelos sin término constante.”

Por consiguiente, continuando con Carrascal et al ( 2001:294), es importante mencionar

que con este método las estimaciones están en función del tipo de dependencia en el

tiempo que se detecte entre la variable estocástica Y(-1) y las Ui´s, es decir, depende del

tiempo que dure su efecto sobre Y. Cuando es parcial ( en tiempo pasado pero no en el

presente y menos en el futuro) se dice que los estimadores sólo dependen de las

perturbaciones en periodos de tiempo pasados, de manera que mantienen su propiedad de

consistencia pero pierden la de insesgabilidad, por lo que pero aun así pueden seguirse

usando. Sin embargo, cuando la dependencia es total (siempre) los regresores estocásticos

dependen de las perturbaciones en todos los periodos (ídem), tal que en este caso pierden

las dos propiedades antes mencionadas y se busca un método de estimación alterno para

que el estimador cuando menos contenga la propiedad de consistencia, el cual puede ser el

de variables instrumentales, ya que con éste se garantiza la propiedad asintótica de

consistencia en las estimaciones con mínimos cuadrados ordinarios (MCO). En

consecuencia, se infiere que cuando no hay dependencia (incorrelación ) de Y(-1) de las Ui

´s los estimadores conservan las dos propiedades. En este sentido se indica que cuando no

hay correlación entre ellas se dice que existe independencia, en tanto que cuando se detecta

que existe, se dice que existe una dependencia total.

Uso del Contraste h de Durbin

Así como se hizo con la d de Durbin Watson, el contraste h de Durbin establece las

mismas hipótesis:

Ho: ρ=0, no hay correlación de Y(-1) con las Ui´s

Ha: ρ≥0 ó ρ≤0 , decimos que hay correlación positiva o negativa entre ellas.

Nota: Eviews no contiene solo el símbolo “mayor que” ni “menor que”, por eso tuve que

usar el que nos proporciona, es decir, el de “mayor o igual que” y el de “menor o igual

que”.

La fórmula para calcular manualmente es h= ρ *la raíz cuadrada del cociente de T/1-TS2

βk+1 con N(0,1). Así, . se establece que h se distribuye normalmente con media aritmética

cero y varianza 1; donde ρ es el estimador obtenido en la regresión que se corre de las Ui

frente así mismas retardadas un periodo y sin término constante; TS2 βk+1 es el valor de la

varianza del estimador correspondiente a la variable endógena retardada un periodo Y(-1) y

finalmente T: es el número de términos ( Carrascal et al, 2001: 296). Aquí es importante

observar que el signo de la estadística h en la Ha es igual al de ρ. Ejemplo: con α=5%

trabajada en una prueba de una cola o extremo, cuando h es mayor que Zα= + 1.645 se

rechaza Ho de incorrelación y se acepta Ha de que existe autocorrelación positiva entre Y(-

1) y las Ui´s; también cuando h es menor que Zα = - 1.645 se rechaza Ho frente a la

aceptación de Ha de que se ha detectado autocorrelación negariva.

Así, para detectar con Eviews si hay autocorrelación los pasos a seguir son los siguientes:

1. Crear la ecuación: Quick/Estimate Ecuation/ Y_C_X1_Y(-1) / ok. Cuyos resultados son

los siguientes:

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 10/28/08 Time: 12:25

Sample(adjusted): 2 30

Included observations: 29 after adjusting endpoints

Variable Coefficien

t

Std. Error t-Statistic Prob.

C 1.424546 0.460451 3.093805 0.0047

X1 0.161815 0.088443 1.829606 0.0788

Y(-1) 0.715366 0.119971 5.962817 0.0000

R-squared 0.956057 Mean dependent var 11.38966

Adjusted R-squared 0.952677 S.D. dependent var 3.818035

S.E. of regression 0.830570 Akaike info criterion 2.564289

Sum squared resid 17.93603 Schwarz criterion 2.705734

Log likelihood -34.18219 F-statistic 282.8386

Durbin-Watson stat 2.148425 Prob(F-statistic) 0.000000

Observe que estos resultados son para 29 datos porque hay un retardo o rezago, por eso

leemos en “Sample (adjusted): 2 30” y en “included observatios: 29 after adjusting

endpoints”.

2. Crear la variable de los residuos (Ui) mediante: Procs/make residual series/ y en la

ventana que se abre aceptamos “Residual Type”: o “Ordinary” / ok y aparecen las Ui con el

nombre de “Resid01”.

3. Realizar la ecuación de las Ui creadas con respecto a ellas mismas rezagadas un periodo:

Quick/Estimate Ecuation/ resid01 resid01(-1)/ ok y aparece el siguiente Cuadro:

Dependent Variable: RESID01

Method: Least Squares

Date: 10/28/08 Time: 12:33

Sample(adjusted): 3 30

Included observations: 28 after adjusting endpoints

Variable Coefficien

t

Std. Error t-Statistic Prob.

RESID01(-1) -0.182654 0.169592 -1.077024 0.2910

R-squared 0.032551 Mean dependent var 0.067653

Adjusted R-squared 0.032551 S.D. dependent var 0.725708

S.E. of regression 0.713799 Akaike info criterion 2.198629

Sum squared resid 13.75673 Schwarz criterion 2.246208

Log likelihood -29.78081 Durbin-Watson stat 1.781797

En este caso el dato importante, y por tanto el que vamos a rescatar, es el valor del

coeficiente de la variable retardada “Resid01(-1)” que identificamos con la letra “ρ” (rho) y

que en Eviews representamos con “r” que es igual a: -0.182654, mismo que en EViews se

guarda como objeto escalar de la siguiente forma: vamos al menú de comandos de la

ventana principal y ahí escribimos: scalar_r=@coefs(1)/enter y primero aparece como un

objeto más en el Workfile mismo que si le damos doble click su valor aparecerá en la parte

inferior izquierda de la pantalla como se muestra a continuación:

4. Se calcula la “h de Durbin” escribiendo en la ventana de comandos lo siguiente:

Scalar_h=r*@sqrt(@regobs/(1-@regobs*(@stderrs(3))^2))

Nota: Para calcular “h” necesitamos que esté activada la ecuación original, aquella en

donde está incluida la variable endógena retardada como exógena, esto se logra dando un

click sobre ella.

Donde:

r = Coeficiente de las Ui rezagadas un periodo.

Regobs = Número de observaciones, en este caso 30.

Stderrs(3) = Es la desviación estándar del estimador correspondiente a la variable endógena

retardada Y(-1). El número 3 del stderrs corresponde a la posición de este coeficiente en la

ventana de la ecuación de regresión en Eviews, por lo que puede variar según su posición o

lugar que ocupe en dicha ventana: en nuestro caso ello sucedió cuando creamos en el paso 1

la ecuación de regresión en que establecimos Y(-1) en tercer lugar, por ello su stderrs ahora

lleva el número 3. ; al respecto, dicha posición o lugar la establece subjetivamente la

persona que está calculando h . En este contexto el 2 que le sigue en la ecuación anterior

de arriba para h, significa que stderrs fue elevado al cuadrado, i.e., indica que es la

varianza de Y(-1). Cabe señalar que para elevar al cuadrado en Eviews hacemos:

apretamos la tecla Alt simultáneamente con las teclas 9 y 4, enseguida se sueltan las tres y

aparece en pantalla “^2”.

Así, en el ángulo inferior izquierdo aparece la leyenda “h successfully created”, para poder

ver su valor damos doble click en el objeto escalar del Workfile que denominamos “h”.

Interpretación de “h de Durbin”: Su valor de -1.28867631565 se compara con los

valores que toma Zα en una distribución normal que tenga media cero y varianza unitaria,

cuando α= 5% en una prueba de una cola o extremo, tal que en ese punto Zα = ±1.645,

valores que contrastamos con h = - 1.288676, de manera que rechazamos Ho de ausencia de

autocorrelación si el valor de h es mayor que los valores de la distribución en Zα = ±1.645

al 95% de confianza. Así, como h está en la zona de aceptación, aceptamos Ho y decimos

que no hay autocorrelación entre Y(-1) y los residuos Ui.

Atención: Si hubiéramos rechazado Ho, es decir aceptado Ha, estaríamos frente a un

problema de autocorrelación, mismo que deberíamos de resolver llevando a cabo la

estimación incorporando un esquema AR(1) y partiendo de la estimación por variables

instrumentales para ver si es total la dependencia de Y(-1) de las Ui´s. Con esta

metodología obtendriamos estimadores consistentes de todos los parámetros incluido el del

esquema AR(1). Así, suponiendo que hubiera autocorrelación entre Y(-1) y Ui´s,

ilustremos cómo se eliminaría con el siguiente ejemplo:

III.2.- Eliminación de la autocorrelación con el método de variables instrumentales.

En este caso debe cuidarse que el número de variables instrumentales debe ser menor o

igual que el número de regresores en el modelo econométrico ( el programa Eviews

incluye por default una variables con valor de 1 cuando no se haya incluido C entre las

mismas), por eso utilizamos X1 y X1(-1).

1. Creamos la ecuación con los instrumentos X1 y X1(-1) de la siguiente manera:

Quick/Estimate Equation/ y en la especificación del modelo escribimos: Y_X1_Y(-1)_C /,

abajo en el método seleccionamos: TSLS-Two stage Least Squares (TSNLS and ARMA),

luego en “Instrument List” escribimos: X1_X1(-1)/ok y aparece la siguiente ecuación:

Dependent Variable: Y

Method: Two-Stage Least Squares

Date: 10/28/08 Time: 13:14

Sample(adjusted): 2 30

Included observations: 29 after adjusting endpoints

Instrument list: X1 X1(-1)

Variable Coefficien

t

Std. Error t-Statistic Prob.

X1 0.209346 0.136012 1.539176 0.1358

Y(-1) 0.647204 0.190603 3.395554 0.0022

C 1.546159 0.532832 2.901779 0.0075

R-squared 0.955512 Mean dependent var 11.38966

Adjusted R-squared 0.952089 S.D. dependent var 3.818035

S.E. of regression 0.835710 Sum squared resid 18.15871

F-statistic 267.5755 Durbin-Watson stat 2.044055

Prob(F-statistic) 0.000000

El método arriba sombreado se traduce al español como “mínimos cuadrados en dos

etapas” , por ejecutar el caso especial de lo que estamos llamando “ variables

instrumentales”; al hacerlo, obtiene los instrumentos porque obtiene en una primera etapa

las regresiones por MCO de cada uno de los regresores de la ecuación lineal: X1 e X1(-1) y

luego, en una segunda etapa, señala Carrascal et al (2001:300) “efectúa la estimación por

mínimos cuadrados ordinarios de la variable endógena original (Y) utilizando como

variables explicativas los valores estimados de cada una de las regresiones de la primera

etapa. Se demuestra que estas dos etapas son equivalentes a la obtención de los

estimadores por variables instrumentales cuando se utilizan como instrumentos los valores

estimados de las regresiones de la primera etapa”.

Al respecto, en el Cuadro anterior se muestra sombreados el método y las variables

instrumentales utilizadas para hacer la regresión lineal. Aquí conviene precisar y aclarar

que las estadísticas se calcularon con las Ui´s provenientes de las variables instrumentales

y de las variables originales del modelo econométrico y, por consiguiente, no con las

variables obtenidas en la segunda etapa del algoritmo de cálculo. Sánchez, et al (2015).

De esa manera se elimina la autocorrelación, lo cual se corrobora enseguida con los dos

procedimientos que se describen a continuación en los siguientes incisos a) y b):

a).- Utilizando el correlograma, la estadística Q y la prueba Breusch – Godfrey para

corroborar lo anterior. Para la primera: View/Residual Test/ Correlogram Q-satats y

aparece:

Interpretación: Grafica y numéricamente vemos que los coeficientes de correlación no se

salen de las bandas de confianza y que en AC como en PAC los valores de ρ son bajos, que

indica que no existe un problema serio de autocorrelación; igualmente vemos que la

probabilidad de Q en todos los casos es mayor que 0.05 o 5% lo cual indica que no hay

autocorrelación serial entre Y(-1) y las Ui.

b).- Con la prueba de Breusch-Godfrey: View/Residual Tests/Serial Correlation LM

Test/ok y aparece:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

Obs*R-squared 0.611607 Probability 0.434183

Test Equation:

Dependent Variable: RESID

Method: Two-Stage Least Squares

Date: 10/28/08 Time: 13:27

Presample missing value lagged residuals set to zero.

Variable Coefficien

t

Std. Error t-Statistic Prob.

X1 0.046525 0.151170 0.307767 0.7608

Y(-1) -0.062056 0.210086 -0.295386 0.7701

C 0.064875 0.544842 0.119071 0.9062

RESID(-1) -0.161584 0.220172 -0.733898 0.4698

R-squared 0.021090 Mean dependent var -2.68E-

17

Adjusted R-squared -0.096379 S.D. dependent var 0.805311

S.E. of regression 0.843226 Akaike info criterion 2.624278

Sum squared resid 17.77574 Schwarz criterion 2.812871

Log likelihood -34.05203 F-statistic 0.179536

Durbin-Watson stat 1.709575 Prob(F-statistic) 0.909269

Interpretación: Observamos que p- valores: probabilidad para la Chi cuadrada “Obs*R-

squared” es 0.434183 que es mayor que α = 5% e indica que no hay autocorrelación .

Iguamente, la conclusión anterior también se alcanza al analizar la p-probabilidad del

Coeficiente AR(1): RESID(-1) estimado que no es significativo porque su p: probabilidad

de 0.4698 ≥ α=5%, lo que confirma la estructura AR(1) para los residuos, de manera que

podemos decir que los errores muestran un esquema autorregresivo de orden 1 dada que la

no significación estadística de RESID(-1) es 0.4698. Similarmente, dado que R2 =0.021090

es un valor muy bajo, cercano a cero, ello también indica que hay incorrelación.

IV.-Cálculo del efecto en el corto y largo plazo

Por otra parte, con base en lo anterior, hablando del efecto en el tiempo de la variable

independiente sobre la dependiente, decimos que el modelo arriba estimado con el método

de mínimos cuadrados en dos etapas, proporciona los elementos para señalar con los

coeficientes de X1 y de Y(-1) lo siguiente:

1.- Que el Ingreso(X1) tiene un efecto a corto plazo sobre el consumo de 0.209346 y

2.- Que en el largo plazo es de 0.59339= 0.209346/1-0.647204=0.59339.

Lo anterior se interpreta así: Cuando el ingreso aumenta en una unidad en el periodo, el

consumo crece en 0.209346 en el corto plazo. Esa unidad adicional en el ingreso produce

efectos sobre el consumo de los siguientes periodos, tal que en el largo plazo su incidencia

será de 0.59339 unidades.

La cuantificación del efecto a largo plazo tuvo como referencia la consideración de que los

modelos autorregresivos se pueden ver como modelos con “ infinitos retardos de la variable

explicativa.”, que, como se observa en el modelo, su cálculo de 0.59339 provino de “ la

suma de los infinitos retardos que pueden calcularse como la suma de los infinitos términos

de una progresión geométrica de razón 0.647204 y primer elemento 0.209346”

( Carrascal et al, 2001: 305 y 318).

Conclusiones

1.- Por medio del modelo de retardos distribuidos: finitos vimos que el efecto prolongado

de X1 sobre Y es de cuatro años.

2.- Por medio del modelo de retardos distribuidos infinitos vimos que el Ingreso(X1) tiene

un efecto a corto plazo sobre el consumo de 0.209346 y que en el largo plazo es de

0.59339= 0.209346/1-0.647204=0.59339.

3.- Con el método de mínimos cuadrados en dos etapas y usando variables instrumentales

se corrigió la autocorrelación.

BIBLIOGRAFIA

1.- Carrascal, Urcilino, González . Yolanda y Rodríguez, Beatriz, (2001), Análisis

Econométrico con Eviews, Alfaomega,Ra-Ma, Madrid, España.

2.-Pérez, López, César, ( 2007), Econometría Básica, Técnicas y Herramientas, Pearson,

Prentice Hall, Madrid, España.

3.- Sánchez, Barajas, Genaro, Bustamante, Lemus, Carlos, (2015), Econometría Básica,

con NTIC y Eviews, Facultad de Economía, UNAM, México, Distrito Federal.