matematicasiesoja.files.wordpress.com€¦ · Web viewEl Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y blancas en los bordes. Su especialidad son los patios

UNIDAD DIDÁCTICA

http://www.amolasmates.es/progresiones/Examen_aritmeticas.htm

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SucesionesConcepto de sucesión

Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.

a1 , a2 , a3 ,..., an / 3, 6, 9,..., 3n

Los números a1 , a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general es an es una expresión matemática que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Determinación de una sucesión:

Por el término generalEl término general es an es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

an= 2n-1a1= 2 ·1 - 1 = 1a2= 2 ·2 - 1 = 3a3= 2 ·3 - 1 = 5a4= 2 ·4 - 1 = 71, 3, 5, 7,..., 2n-1

No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...

Por una ley de recurrenciaLos términos se obtienen operando con los anteriores.Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior: 2, 4, 16,...

Sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.

Sucesiones y Progresiones Página 2 de 57

Sucesiones especiales

Números triangulares 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo. Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla xn = n(n+1)/2

Ejemplo: El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15, y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición. La regla es xn = n2

Números cúbicos 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...


El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición. La regla es xn = n3

SeriesToda "sucesión" tiene una "serie asociada” así: Ejemplo 1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an Sucesión 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, … 1 (sucesión constante)

Serie s1 = a1 = 1__ s2 = a1+a2= 2____

s3 = a1+a2+a3 = 3____ s4 = a1+a2+a3+a4= 4_____

s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 5_____ s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 6______

s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 7________ ……

sn = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 … + an = = n ______=> (serie de nº

naturales) Ejemplo 2 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an Sucesión 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, … n (sucesión nº naturales)

Serie s1 = a1 = 1__ s2 = a1+a2= 3____

s3 = a1+a2+a3 = 6____


s4 = a1+a2+a3+a4= 10____s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 15____

s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 21_____s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 28_______

……

sn = a1+a2+a3+a4+a7 … + an = = n(n+1)/2 ____=> (serie nº

triangulares)

Ejemplo 3 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 … an Sucesión 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, … … 2n-1 (sucesión nº impares)

Serie s1 = a1 = 1__ s2 = a1+a2= 4____

s3 = a1+a2+a3 = 9____ s4 = a1+a2+a3+a4= 16____

s5 = a1+a2+a3+a4+a5= 25____ s6 = a1+a2+a3+a4+a5+a6= 36_____

s7 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 49_______ ……

sn = a1+a2+a3+a4+a7 … + an = = n2 __________=>(serie números

cuadrados)Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones an y bn:an= a1, a2, a3, ..., anbn= b1, b2, b3, ..., bn

Suma de sucesiones(an) + (bn) = (an + bn)(an) + (bn) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3, ..., an + bn)Propiedades

1 Asociativa:(an + bn) + cn = an + (bn + c n)2 Conmutativa:an + bn = bn + a n3 Elemento neutro(0) = (0, 0, 0, ...)an + 0 = an4 Sucesión opuesta(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)an + (-an) = 0

Diferencia de sucesiones


(an) - (bn) = (an - bn)(an) - (bn) = (a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3, ..., an - bn)

Producto de sucesiones(an) · (bn) = (an · bn)(an) · (bn) = (a1 · b1, a2 · b2, a3 · b3, ..., an · bn)Propiedades

1 Asociativa:(an · bn) · c n = an · (bn · c n)2 Conmutativa:an · bn = bn · a n3 Elemento neutro(1) = (1, 1, 1, ..)an · 1 = an4 Distributiva respecto a la sumaan · (bn + c n) = an · bn + an · c n

Sucesión inversibleUna sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

CocienteSólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

Tipos de sucesiones

Sucesiones monótonas

Sucesiones estrictamente crecientesSe dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.


an+1 > an2, 5, 8, 11, 14, 17,...5 > 2; 8 > 5; 11 > 8; ...

Sucesiones crecientesSe dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an2, 2 , 4, 4, 8, 8,...2 ≥ 2; 4 ≥ 2; 4 ≥ 4; ...

Sucesiones estrictamente decrecientesSe dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

an+1 < an1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6,...1/2 < 1; 1/3 < 1/2 ; 1/4 < 1/3; ...

Sucesiones decrecientesSe dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ anSucesiones constantesSe dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, an = k.

an = an+15, 5, 5, 5, ...

Sucesiones acotadas inferiormenteUna sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos COTA INFERIOR de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama EXTREMO INFERIOR O ÍNFIMO.Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama MÍNIMO.Toda sucesión monótona creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión.

Sucesiones acotadas superiormenteUna sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremosCOTA SUPERIOR de la sucesión.

an ≤ k'Sucesiones y Progresiones Página 7 de 57

A la menor de las cotas superiores se le llama EXTREMO SUPERIOR O SUPREMO.Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama MÁXIMO.Toda sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión.

Sucesiones acotadasUna sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'

Sucesiones convergentes

Límite = 0 Límite = 1

Sucesiones divergentesLas sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen

límite finito.

Límite = ∞Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...Sucesiones alternadas

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

Convergentes1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,..Tantos los términos pares como los impares tienen de límite

0.Divergentes

1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ...


Tantos los términos pares como los impares tienden de límite +∞.

Oscilantes−1, 2, −3, 4 ,−5, ..., (−1)n n

Ejemplosan = 1, 2, 3, 4, 5, ...n Es creciente.Está acotada inferiormenteCotas inferiores: 1, 0, -1, ... El mínimo es 1.No está acotada superiormente. Divergente

bn = -1, -2, -3, -4, -5, ... –n Es decreciente.Está acotada superiormente Cotas superiores: -1, 0, 1, ...El máximo es -1. No está acotada inferiormente. Divergente

cn = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n Es decreciente.Está acotada superiormenteCotas superiores: 2, 3, 4, ... El máximo es 2.Está acotada inferiormenteCotas inferiores: 1, 0, -1, ... El ínfimo es 1.Convergente, límite = 1.

dn= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

No es monótona.No está acotada.No es convergente ni divergente.

Estudia la monotonía, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

1 an = 1, 2, 3, 4, 5, ...n

2 an = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n

3 an = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n

4 an= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)n-1 2n

5Sucesiones y Progresiones Página 9 de 57

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Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al

anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5; -2 - 3 = -5; -7 - (-2) = -5; -12 - (-7) = -5…. d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término y la razón d. an = a 1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, .. a n= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13


2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión y la razón d.

an = ak + (n - k) · d

a 4= -7 y d= -5 an = -7+ (n - 4)· (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12. 8, 3, -2, -7, -12.

Casi siempre, al hablar de interpolar medios, hemos de calcular la nueva diferencia o razón d.

En la fórmula para el cálculo del valor de d, tendremos que sustituir n por n+2:

Con esta última fórmula puedes halla la diferencia de la nueva progresión y volviendo al ejemplo:

La diferencia o razón es 1.

Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10

Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.

1 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.

Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)

2 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos.

Respuestas: d = 10; S = 1265

3 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la progresión.

Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.

4 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?


Respuesta: 16 años.

Solución:Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:

Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma:

Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:

Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término:

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean a i y a j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos .

ai + aj = a1 + ana3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an8, 3, -2, -7, -12, ...3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12) -4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

5 Existe una progresión aritmética con este formato:


…………14,6.16.……………..44Sabemos que tiene 31 términos. ¿Cuánto vale la suma de todos los términos?Respuesta: 713

6 La sucesión es una progresión aritmética?Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos?

Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de

La suma de los 50 primeros términos = 127,50Solución:

Para calcular el valor de d restamos

7 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros. ¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30?Respuesta: 208 metros

Solución:Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 = 203 metros.

Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:


La diferencia o razón es 1.Esto quiere decir que la nueva progresión sería: 6. 7. 8. 9. 10Como puedes comprobar, tenemos 3 medios intercalados entre 6 y 10.

8 Halla la d para interpolar 5 medios aritméticos entre 26 y 80.

Respuesta: 9 (la progresión es: 26. 35. 44. 53. 62. 71. 80)

9 Entre 65 y 165 queremos interpolar 9 medios aritméticos. Calcula d y la suma de todos los términos.

Respuestas: d = 10; S = 1265

10 Entre –5 y –35 interpolar 5 medios aritméticos. Escribe la rogresión.

Respuesta: d = -5; la progresión es: -5,-10,-15,-20,-25,-30,-35.

11 Las edades de 11 personas están en progresión aritmética y la suma de todas ellas es de 561, si la mayor tiene 86 años, ¿cuántos tiene la más joven?

Respuesta: 16 años.

Solución:Primero calculamos el valor de d de la fórmula del último término:

Como nos ha quedado una ecuación con dos incógnitas, necesitamos otra ecuación que la tomamos de la fórmula de la suma:

Dividiendo ambos miembros del signo ‘=’ por 11 nos queda:

Conociendo el valor de d calculamos el valor del primer término:


12 La sucesión es una progresión aritmética?Si lo es, ¿cuánto vale el término 15 y la suma de los 50 primeros términos?

Respuestas: Se trata de una progresión aritmética de

La suma de los 50 primeros términos = 127,50Solución:

Para calcular el valor de d restamos

13 Desde el portal de mi casa a la farola más cercana hay 5 metros. Entre farola y farola hay una distancia constante de 7 metros. ¿Cuántos metros hay desde el portal de mi casa hasta la farola 30?

Respuesta: 208 metrosSolución:Debes tener en cuenta que entre la farola más cercana al portal de tu casa hasta la farola 30 hay 29 huecos de 7 metros, es decir, 29 x 7 = 203 metros.

Si a un alambre de 10 metros de largo le das 4 cortes, habrás obtenido 5 trozos:

Progresiones geométricas


Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Si tenemos la sucesión: 3, 6, 12, 24, 48, ...6 / 3 = 2; 12 / 6 = 2; 24 / 12 = 2; 48 / 24 = 2; r= 2.

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el 1er término y la razón r. an = a1 · r (n- 1)3, 6, 12, 24, 48, ..an = 3· 2 (n – 1) = 3· 2n· 2– 1 = (3/2)· 2n

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak · r n- k

a4= 24, k=4 y r=2.an = a4 · rn – 4 an = 24· 2n – 4 = (24/16)· 2n = (3/2)· 2 n

Interpolación de términos en una progresión geométrica

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48. 3, 6, 12, 24, 48.

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica


Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada:

En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1 < r

< 1, se tiene que , es decir, rn se acercará a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande.

En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG

sería . Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso?

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Producto de dos términos equidistantes

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a 1 . ana 3 · an- 2 = a 2 · an- 1 = ... = a 1 · an3, 6. 12, 24, 48, ... 48 · 3 = 6 · 24 = 12 · 12144 = 144 =144

Producto de n términos equidistantes de una progresión geométricaCalcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, ...

Cálculo del término general de una sucesión


1 Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética.8, 3, -2, -7, -12, ...

d= -5

an= 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

2 Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica.3, 6, 12, 24, 48, ...

r= 2

an = 3· 2n- 1

3 Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.

4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante: bn= 2 + (n - 1) · 1 = 2 + n -1 = n+1

Por lo que el término general es: an= (n + 1)2

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

5, 10, 17, 26, 37, 50 ... an= (n + 1)2+ 1

6, 11, 18, 27, 38, 51, ... an= (n + 1)2 + 2

3, 8, 15, 24, 35, 48, ... an= (n + 1)2 - 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ... an= (n + 1)2- 2

4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos a n por (-1)n.

-4, 9, -16, 25, -36, 49, ... an= (-1)n(n + 1)2

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos a n por (-1)n- 1.

4, -9, 16, -25, 36, -49, ... an= (-1)n- 1(n + 1)2

5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión). Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

a n= bn /cn 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,... an= (3n - 1)/(n + 1)2

1 Hallar el término general de las siguientes sucesiones


1 8, 3, -2, -7, -12, ...2 3, 6, 12, 24, 48, ...3 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...4 5, 10, 17, 26, 37, 50, ...5 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...6 3, 8, 15, 24, 35, 48, ...7 -4, 9, -16, 25, -36, 49, ...8 4, -9, 16, -25, 36, -49, ...9 2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

10 2 Calcular el término general de las siguientes sucesiones:

1

2

3 4

5

6 7

8

9

10

11 NÚMEROS FIGURADOS


Karl Friedrich Gauss, llamado el Príncipe de las Matemáticas, estaba en la escuela cuando su profesor, tal vez con la intención de entretener a los niños mientras trabajaba, propuso a la clase que sumaran todos los números del 1 al 100.El profesor quedó sorprendido cuando Gauss, que tenía 11 años, dio la respuesta correcta poco después de ser formulada la pregunta. Seguramente, Gauss procedió de la siguiente manera:

S=101x50=5050

NÚMEROS TRIANGULARES:

Para los pitagóricos el diez dispuesto en forma triangular (trianón) era una figura sagrada por la que tenían la costumbre de jurar.Tabla de los números triangulares:

Nº 1 2 3 4 ........... n . .

T 1 3 6 10 ¿Tn? . .

Si observamos la naturaleza de los números triangulares es fácil reconocer las dos propiedades siguientes:Tn = Tn-1 + nTn = 1 + 2 + 3 + .... + n

Basándote en la última propiedad, y procediendo como Gauss, descubre la expresión del enésimo número triangular. Halla también la expresión de los dos que le siguen.

NÚMEROS CUADRADOS:


Seguramente conocerás los números triangulares y cuadrados que fueron estudiados por los Pitagóricos en el s. VI a.C.

Tabla de los números cuadrados:Nº 1 2 3 4 ........... n . .

C 1 4 9 16 ........... n2 . .

Halla la expresión de los dos números cuadrados que siguen al

enésimo. Haz lo mismo con los dos anteriores.El esquema geométrico que muestra la figura siguiente manifiesta a relación entre los números triangulares y los cuadrados:

Comprueba la igualdad de forma algebraica

Existen más tipos de números figurados:

OBLONGOS (Números rectangulares en los que la dimensión de un lado es una unidad mayor que el otro)

PENTAGONALES

HEXAGONALES


ESTRELLADOS

CÚBICOS

TETRAÉDRICOS


TÉCNICAS PARA BUSCAR EL PATRÓNMÉTODOS GEOMÉTRICOS

El esquema anterior sugiere que un número pentagonal se expresa como la suma de tres números triangulares de un orden menor y de los puntos de su lado Pn = 3 · Pn-1 + n , de donde

Deduce del siguiente esquema el patrón de la secuencia de números estrellados.

Realiza la misma actividad con los números hexagonales:

Ten presente que uno de los vértices se cuenta dos veces.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS


Una progresión aritmética (PA) es una secuencia de números reales

de manera que cada término de la sucesión se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija, d, llamada diferencia .

Veamos algunos ejemplos:-8, -3, 2, 7, 12, 17,... es una PA con a1 = -8 y d = 5.70, 40, 10, -20, -50,...es una PA con a1 = 70 y d = -30.3/2, 4, 13/2, 9, 23/2, 14,... es una PA con a1 = 3/2 y d = 5/2.

De esta manera se tiene que :

En general tenemos que

En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PA:

Esto nos permite averiguar cómodamente el valor de Tn = 1 + 2 + 3 + .... + n. Observamos que el enésimo número triangular se construye sumando los n primeros términos de la sencilla PA: 1, 2, 3, 4, ......, n, de primer término 1, enésimo término n y diferencia 1.

Si aplicamos la fórmula anterior se tiene que

Utilicemos lo estudiado para hallar el la expresión del enésimo número pentagonal:P 1= 1P2 = 1+4P3 = 1+4+7P4 = 1+4+7+10P5 = 1+4+7+10+13


Si consideramos la PA 1, 3, 4, 7,10, 13,... de primer término 1 y diferencia 3, tenemos que Pn se corresponde con la suma de los n primeros términos de la sucesión. En virtud de las fórmulas que hemos visto:

Halla, mediante una técnica similar, el término general de los números hexagonales y estrellados.

DIFERENCIAS FINITAS

Comencemos estudiando las diferencias entre los términos consecutivos de una PA cualquiera, por ejemplo, la 8, 12, 16, 20,...

Veamos la tabla de diferencias de la sucesión de números hexagonales:

Y la de los números cúbicos:

En el caso de la PA las diferencias son constantes. En el de los números hexagonales lo son las diferencias segundas y, en el caso de los números cúbicos, hay que llegar hasta la tercera diferencia. Lo anterior, como se verá, no se debe a la casualidad.


En general, si una secuencia a1 , a2 , a3 , a4,... Tiene las primeras diferencias fijas podemos concluir que la secuencia es una progresión aritmética de diferencia d y primer término a1 :

Realiza la tabla de diferencias para las secuencias de término general 2 n + 5, 3 n - 1 y -6 n + 9.

¿Cómo son las secuencias de término general an = a n + b?

Veamos que cuando el término general de una secuencia viene dada por un polinomio de segundo grado en n, an = a n 2 + b n + c, las segundas diferencias son constantes:

Recíprocamente, si las segundas diferencias son constantes el término general será del tipo an = a n2 + b n + c.

Se pueden hallar los coeficientes a, b y c de la siguiente forma: la diferencia segunda es el doble del valor de a, para obtener el valor de b hay que restarle 3a al primer valor de D1. Por último, para obtener el coeficiente c, se restan a y b al primer término de la secuencia.

Comprueba lo anterior con la tabla de diferencias para las secuencias de término general

n2 + 3n + 2 y -n2 + 7 Investiga utilizando diferencias el patrón de la secuencia de los

números tetraédricos. Estudia las diferencias de una sucesión de término general an = a

n 3 + b n 2 + c n + d Halla el término general de las secuencias:

2, 9, 20, 35, 54, 77,....4, 5, 8, 13, 20, 29,....


Llamamos números poligonales a los que se generan mediante un polígono: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales, etc. Comprueba que, si en la fórmula ,

cambiamos b por 1 obtenemos la expresión general de los números triangulares; si la cambiamos por 2 obtenemos la de los números cuadrados: si lo hacemos por 3 se obtiene la de los pentagonales, ...

Comprueba que se verifican las siguientes relaciones:Cn=Tn + Tn-1Pn=Cn + Tn-1Hn=Pn + Tn-1

etc.

No siempre nos valen las diferencias:Cuando el término general de una secuencia no sea un polinomio en n no podremos utilizar la técnica de las diferencias finitas. Veremos algunos casos en que esto ocurre y aprovecharemos para estudiar dos tipos de secuencias que también son muy frecuentes en la literatura matemática: las progresiones geométricas y las sucesiones recurrentes.

Estudiemos ahora el siguiente caso: supongamos infinito el proceso de construcción de cuadrados (el cuadrado grande tiene lado 1). ¿Cuánto mide, cuando llevamos n cuadrados, la longitud de la línea negra?¿Y si considerásemos a la infinidad de ellos?Resuelve la cuestión cuando leas el siguiente apartado:

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica (PG) es una secuencia de números reales

de manera que cada término de la sucesión se obtiene multiplicando el anterior una cantidad fija, r, llamada razón.De esta manera se tiene que :

En muchas ocasiones conviene saber cuánto vale la suma de los n primeros términos de una PG:


Halla el perímetro del copo de nieve de n capas:

En la fórmula de la suma de los n primeros términos de una PG , si -1 < r

< 1, se tiene que , es decir, rn se acercará a cero tanto como queramos, tomando n suficientemente grande.

En consecuencia la fórmula de la suma de los infinitos términos de una PG

sería . Calcula la longitud de la línea quebrada cuando el proceso de inscribir cuadrados se hace infinito. ¿Cómo será el perímetro del copo en ese mismo caso?

SUCESIONES RECURRENTESDe manera algo imprecisa podemos definir las sucesiones recurrentes como aquellas en las que un término se expresa en función de términos anteriores. Veamos un par de casos que aclaren la idea:Averiguar el número de caminos distintos que se pueden tomar desde los vértices numerados para llegar hasta 0 (no vale retroceder):


En el esquema se muestra que C n = C n-1 + C n-2 (cada término es la suma de los dos anteriores)

Según esto la secuencia es 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

Comprueba que al hacer las diferencias termina apareciendo la propia sucesión, con lo que no se hacen constantes y es imposible determinar, de esta manera, su término general.

Las Torres de Hanoi: Hay que traspasar los discos a otro poste, de forma que queden en la misma posición. Los discos sólo pueden situarse descansando en alguno de los tres postes, sin que un disco mayor pueda colocarse sobre otro menor.

Hallar la secuenciaNº. De discos 1 2 ............................

.....n

Nº. mínimo de movimientos

1 3 .................................

Metodología.

Comenzar por pocos discos.

Observar que antes de terminar el juego con n discos, hay que hacerlo con n -1, siendoA n = A n-1 + 1 + A n-1 = 1 + 2 · A n-1 .

Observar que de A1 = 1; A2 = 3; A3 = 7; A4 = 15; A5 = 15; etc, se sigue que An= 2n - 1.Del hecho de que A n = 1 + 2 · A n-1 se deduce que las diferencia primera será:D = A n+1 - A n = 1 + 2 A n - A n = 1 + A n que no se hace constante. Puedes estudiar lo que ocurre con las demás diferencias y comprobarás que ocurre lo mismo.

Acabamos de exponer dos casos de ecuaciones recurrentes y, en el caso de las torres de Hanoi, hemos hallado una expresión para su término general: An = 2n - 1.

APÉNDICES


TRAYECTO DESDE LAS SUCESIONES RECURRENTES A LAS PROGRESIONES GEOMÉTRICAS MEDIANTE UNA ACTIVIDAD RECREATIVA DEBIDA A LEWIS CARROLL: El cuadrado evanescente

Se ha dicho que la Geometría es el arte de razonar bien sobre figuras falsas. (CHASLES, en otro sentido, claro)En esta paradoja aparente intervienen los números 5, 8 y 13. Si probamos a plantearla con cuadrados de otras dimensiones, comprobaremos que también funciona con los números 8, 13 y 21. Lo anterior huele a los términos de la sucesión de Fibonacci, vista anteriormente, en los que cada uno es la suma de los dos anteriores.

Precisamente, si construimos la paradoja con los números 2, 3 y 5 veremos mejor la trampa que encierra (la diagonal del rectángulo no es una línea, sino un delgado cuadrilátero cuya área vale una unidad). Sean a, b, c tres términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, se tiene que a + b = c y b2 = a · c +1, o b2 = a · c -1Consideremos una sucesión de términos no necesariamente enteros, en la que cada término se obtenga mediante la suma de los dos anteriores. La pregunta es: ¿se podrán dar las condiciones a + b = c y b2 = a · c?. Es decir, ¿se podrá cortar el cuadrado de tal forma que al disponer las piezas del rectángulo tenga el área igual al cuadrado?.Si despejamos c en ambas igualdades e igualamos, tenemos la ecuación

b2 - ab - a2 = 0.Cuya solución positiva es ¡Aparece el número áureo!La única sucesión de Fibonacci en la que cada término es el producto de sus términos adyacentes es la sucesión 1,N , 1+N, 1+2N, 2+3N,..... o, equivalentemente, la PG de razón 1,N,N 2,N 3,N 4,...

TÉRMINO GENERAL DE ALGUNAS SUCESIONES RECURRENTES:Veamos que, en determinados casos particulares, se puede averiguar el término general de una sucesión recurrente.

Ecuación característica de una sucesión recurrenteSi una relación de recurrencia es del tipo: siendo los ci números reales, Se denomina ecuación característica de la relación a la expresión:

Está claro que la sucesión verifica la relación de recurrencia sii b es raíz de la ecuación característica. En general, si la ecuación tiene raíces no nulas y distintas, entonces cualquier sucesión del tipo:


, donde las ci son arbitrarias, verifica la relación de recurrencia. Si se dan k condiciones iniciales , entonces se puede obtener una solución particular, pues estas condiciones determinan un sistema de ecuaciones lineales en las incógnitas ci:

Y al ser las raíces distintas y no nulas, el determinante de la matriz de los coeficientes, que es el producto de por un determinante de Vandermonde, es diferente de cero y obtenemos una solución particular para AnVeamos, como ejemplo, cómo obtener el término general de la sucesión anterior:Una sucesión de Fibonacci viene definida en los términos

,la ecuación característica asociada es

. Si concretamos en nuestro ejemplo del número de caminos, las condiciones iniciales son d1 = 1, d2 = 2. Tenemos así el

sistema

cuyas soluciones son: . Así pues, el término general de la sucesión viene dado por la

regla: , que se llama fórmula de Binet (1786-1856) porque que la obtuvo. Igual hicieron, de manera independiente, Moivre y D. Bernouilli.

Dado que , tenemos que

Por lo tanto para n suficientemente grande.


Encuentra el término general de la secuencia 1,2, 5, 14, 41, ... en la que cada término se obtiene multiplicando por cuatro el término anterior y restándole el triple del que está detrás de éste.

ALGUNAS ACTIVIDADES RECREATIVAS RELACIONADAS CON EL TEMA:

D. Juan el albañil es especialista en enlosar patios de forma cuadrada. Su diseño favorito consiste en utilizar losas rojas para el interior y blancas para los bordes. He aquí algunos patios construidos por él:

Si atendemos al número L de baldosas que tiene el patio en cada lado, podemos hacer la siguiente tabla, en la que B indica el número de baldosas blancas empleadas.

L 3 4 5 6 ................. n

B 8 12 16 20 ................. ?

Un señor le pregunta a Juan la fórmula para un patio con n baldosas de lado. ¿Sabrías ayudarle a averiguar las baldosas blancas y rojas que se necesitarían?

El Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y blancas en los bordes. Su especialidad son los patios rectangulares en los que un lado es la mitad del otro pero tiene el problema de que se lía contando. ¿Sabrías ayudarle a calcular las baldosas blancas y rojas, en función del número de baldosas del ancho del patio?

El siguiente problema aparece en el papiro de Rind (2000 a J): Entre cinco personas se reparten cien medidas de trigo; la segunda recibe más que la primera tanto como la tercera más que la segunda, la cuarta más que la tercera y la quinta más que la cuarta. Además, las dos primeras recibieron siete veces menos que las tres restantes. ¿Cuánto correspondió a cada una?

Para 31 gallinas se ha preparado una cantidad de reservas de comida a base de un decalitro semanal para cada una. Esto se hacía en el caso de que el número de gallinas permaneciera invariable. Pero, debido a que cada semana disminuía en una el número de aves, la comida preparada duró el doble de lo proyectado. ¿Qué cantidad de comida prepararon como reserva y para cuánto tiempo fue calculada?

Realiza las sumas:


1+3+5+.....+(2n+1)3+4+5+.....+(n+2)

5+8+11+....+(3n+2) Los soldados de una guarnición costera van a construir un fuerte en una

isla. Si hubiese trabajado toda la guarnición hubiesen tardado 24 días. La isla se comunica con la costa mediante un barco que realiza un viaje diario de ida y vuelta. El trabajo fue comenzado por el primer grupo de soldados que llegó a la isla, al día siguiente se le unió el segundo grupo, al tercer día el tercero, etc. Sabiendo que todos los grupos eran iguales y que el primero trabajó once veces más que el último, ¿cuántos días trabajó cada grupo?

Veamos otro clásico problema: Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana; al segundo la mitad de las restantes más media, al tercero la mitad de las que quedaban más otra media manzana, etc. El séptimo comprador, al adquirir la mitad de las manzanas sobrantes más media manzana, agotó la mercancía. ¿Cuántas manzanas tenía el jardín?

Determina la expresión de An :

Demuestra que si multiplicas por ocho un número triangular, y sumas

uno, obtienes un número cuadrado. Intenta demostrarlo mediante un esquema geométrico. (NOTA: la demostración algebraica requiere expresar 4n2 + 4n +1 como cuadrado perfecto)

Un bodeguero desea almacenar en cinco formaciones triangulares los 140 toneles que dispone. ¿Con cuántos toneles se formará la base? ¿Y si fuesen 345 toneles, podría realizar su deseo?

Una escuadrilla aérea tiene unos cincuenta aviones aproximadamente y su formación en vuelo es un triángulo equilátero.

Algunos aviones caen después de un combate, de manera que cuando los aviones restantes regresan lo hacen formando cuatro triángulos equiláteros de igual lado.


Dinos cuántos aviones tenía la escuadrilla, sabiendo que con los aviones derribados se podía haber formado otra formación igual en triángulo equilátero.

¿Cuántos trozos, no necesariamente iguales, se pueden obtener como máximo al realizar n cortes sobre una tarta?

Intenta obtener el máximo con 5 y 6 cortes y comprueba si lo has conseguido, sabiendo que las diferencias segundas de dicha secuencia se hacen constantes.

Se necesitaron 20 cubos para construir esta torre de 4 capas. Expresa el número de cubos necesario para realizar una de n capas.

. Halla An (número máximo de regiones obtenidas por intersección de n círculos)

. A veces las apariencias engañan. Si observamos el número máximo de regiones que se pueden obtener al unir n puntos de una

circunferencia, la observación de los 5 primeros términos parece indicar que la secuencia sigue la fórmula An = 2n-1. Claramente se ve que el término sexto no cumple ya esa regla. Determina la expresión general de la sucesión, sabiendo que sus primeros términos son 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99, 163, 256,... y que sus cuartas diferencias son constantes.

Curiosidades con números cuadrados:

16 = 42

1156 = 342

111556 = 3342

1115556 = 33342

11115556 = 333342

1111155556 = 3333342

12 = 1112 = 121

1112 = 1232111112 = 1234321

111112 = 12345432192 = 81


992 = 98019992 = 998001

99992 = 99980001999992 = 9999800001

Sucesiones - Encontrar la reglaPara encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la regla

A veces basta con mirar los números y ver el patrón.Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)Regla: xn = n2

Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?xn significa "el término en la posición n", así que el tercer término sería x3Y también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer término hacemos 32 = 9. Esto se puede escribirx3 = 32 = 9Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo término 25º se calcula "poniendo dentro" 25 donde haya una n.x25 = 252 = 625

Qué tal si vemos otro ejemplo:Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad es parte de la Sucesión de Fibonacci):Regla: xn = xn-1 + xn-2Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

¿Qué significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior" porque la posición (n-1) es uno menos que (n).Entonces, si n es 6, será xn = x6 (el 6º término) y xn-1 = x6-1 = x5 (el 5º término)Vamos a aplicar la regla al 6º término:x6 = x6-1 + x6-2x6 = x5 + x4Ya sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es:x6 = 21 + 13 = 34Muy simple... sólo pon números en lugar de "n"

Muchas reglas


http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/fibonacci-sucesion.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/cuadrados-raices-cuadradas.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-encontrar-regla.html

Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una sucesión es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una regla que vale.

¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?Hay (por lo menos) tres soluciones:

Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...Regla: xn = n(n-1)/2 + 1Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...(La regla parece complicada, pero funciona) Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:Regla: xn = xn-1 + xn-2 + 1Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ... Solución 3: suma los tres números anterioresRegla: xn = xn-1 + xn-2 + xn-3Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...

Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.

Y habrá otras soluciones.Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el siguiente será... ¡cualquiera!

La regla más simpleCuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona también que hay otras soluciones.Calcular diferenciasA veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas veces esto nos muestra una pauta escondida.Aquí tienes un ejemplo sencillo:

Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta.Probamos 2n:

n: 1 2 3 4 5Términos (xn): 7 9 11 13 15


2n: 2 4 6 8 10Error: 5 5 5 5 5

La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:Regla: xn = 2n + 5OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero queremos un sistema que funcione, para cuando las sucesiones sean complicadas.Segundas diferenciasEn la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular las diferencias...... y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman segundas diferencias), así:

En este caso las segundas diferencias son 1.Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2 / 2".En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 / 2:

n: 1 2 3 4 5Términos (xn): 1 2 4 7 11 n2: 1 4 9 16 25n2 / 2: 0.5 2 4.5 8 12.5Error: 0.5 0 -0.5 -1 -1.5

Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos ahora: n2 / 2 - n/2

n2 / 2 - n/2: 0 1 3 6 10Error: 1 1 1 1 1

Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:n2 / 2 - n/2 + 1: 1 2 4 7 11Error: 0 0 0 0 0

La fórmula n2 / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2 + 1Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...Otros tipos de sucesionesAdemás de las que se explican en sucesiones y series:

Sucesiones aritméticas Sucesiones geométricas


http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

Sucesión de Fibonacci Sucesiones triangulares

Ten en cuenta Números primos Números factoriales ¡y cualquier otra sucesión que veas en tus viajes!

La verdad es que hay demasiados tipos de sucesiones para decirlos aquí, pero si hay alguno que te gustaría que digamos, sólo tienes que decírmelo.La sucesión de FibonacciLa sucesión de Fibonacci es la sucesión de números:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...Cada número se calcula sumando los dos anteriores a él.

El 2 se calcula sumando (1+1) Análogamente, el 3 es sólo (1+2), Y el 5 es (2+3), ¡y sigue!

Ejemplo: el siguiente número en la sucesión de arriba sería (21+34) = 55¡Así de simple!Aquí tienes una lista más larga:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, ...¿Puedes encontrar los siguientes números?La reglaLa sucesión de Fibonacci se puede escribir como una "regla" (lee sucesiones y series): la regla es xn = xn-1 + xn-2 donde:

xn es el término en posición "n" xn-1 es el término anterior (n-1) xn-2 es el anterior a ese (n-2)

Por ejemplo el sexto término se calcularía así:x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8

Razón de oroY hay una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos (uno detrás del otro), su cociente está muy cerca de la razón aúrea "φ" que tiene el valor aproximado 1.618034...De hecho, cuanto más grandes los números de Fibonacci, más cerca está la aproximación. Probemos con algunos:

A B B / A2 3 1.53 5 1.666666666...


http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/razon-oro.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/sucesiones-series.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/contact.php

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/factorial.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/primos-tabla.html

5 8 1.68 13 1.625... ... ...144 233 1.618055556...233 377 1.618025751...... ... ...

Usar la razón de oro para calcular números de FibonacciY es más sorprendente todavía esta fórmula para calcular cualquier número de Fibonacci usando la razón de oro:

Increíblemente el valor siempre es un número entero, exactamente igual a la suma de los dos términos anteriores.Ejemplo:

Cuando usé una calculadora para hacerlo (con sólo 6 decimales para la razón aúrea) obtuve la respuesta 8.00000033. Un cáculo más exacto habría dado un valor más cercano a 8.¡Prueba tú mismo!


EJERCICIOS DE REPASO

SUCESIONES Y PROGRESIONES

1.- Halla el noveno término de la progresión 5, 8, 11, 14, ...

2.- El primer término de una p. a. es 7 y el sexto es –3. ¿Cuál es la diferencia?. Calcula

la suma de los 100 primeros términos de esta progresión.

3.- Halla el trigésimo término de la progresión 36, 18, 9, 4’5, .....

4.- Halla la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica 2, 1, ½, ¼, .....

5.- Halla la suma de los 13 primeros términos de la p. g. cuyo primer término es a1=5 y cuya razón es r=2.

6.- Comprueba si las siguientes progresiones son aritméticas o geométricas. Escribe cuatro términos más de cada una de ellas. Calcula sus términos generales.

a) 2, 5, 8, 11, 14, ... b) 30, 28, 26, 24, 22, ...c) 8, -16, 32, -64, 128, ... d) 0, -5, -10, -15, -20, ...e) 7, 7, 7, 7, 7, ... f) –16, -15’5, -15, -14’5, -14, ...g) 1, 0’2, 0’04, 0’008, 0’0016,… h) 5, 10, 20, 40, …i) –3, -9, -27, -81, -243, … j) 2, -6, 18, -54, …

7.- Compramos un televisor a plazos, y tenemos que pagar 63 el primer mes; 69 el segundo; 75 el tercero, y así sucesivamente. El último mes pagamos 117. ¿Durante cuántos meses hemos estado pagando?

8.- Juan envía dos postales a dos amigos el día 1 de enero, pidiéndoles que envíen a otros dos amigos dos postales el día primero del mes siguiente. Si no se rompe la cadena y los destinatarios son distintos, ¿cuántas postales se envían en un año?

9.- Una hoja de papel tiene aproximadamente un grosor de 0’13 mm. Supongamos que podemos hacer dobleces en ella de forma indefinida.

a) ¿Qué grosor alcanzará cuando hayamos hecho 10 dobleces?b) ¿Y después de hacer 20?


c) Comprueba que si pudiéramos doblar la hoja por la mitad 42 veces, el grosor resultante superaría la distancia de la Tierra a la Luna, que es de unos 384000 Km.

10.- Una moto cuesta 3000. Cada año que pasa, por su uso y envejecimiento, pierde un 20% de su valor. ¿Por cuánto la podremos vender al cabo de diez años?

11.- Observa cómo se construye con palillos la siguiente sucesión de triángulos. Escribe la sucesión que indica el número de palillos

necesarios para construir cada término y calcula el término general. ¿Qué tipo de sucesión es?

12.- Progresiones aritméticas de segundo orden:

a) 49, 64, 81, 100, 121, 144, ...

b) 2, 2, 4, 8, 14, ...

c) 9, 18, 31, 48, 69,...

d) 8, 24, 46, 74, 108,...

e) 7, 11, 19, 31, 47,...

f) -3, 0, 7, 18, 33,...

g) 3, 10, 23, 42, 67,...

Ejercicios de progresiones aritméticas

1 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.

2 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.


3 Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

4 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

8 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

9 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

10 Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 511/2.


II. Término General de una Sucesión

Se llama término general de una sucesión, y se simboliza con aun, al término que representa uno cualquiera de ella.

Hay sucesiones cuyo término general puede expresarse mediante una fórmula:

Dándole a n un cierto valor natural, se obtiene el término correspondiente.

En otras sucesiones, para hallar un término es necesario operar con dos o más de los anteriores y se llaman sucesiones recurrentes. Para hallar un término concreto hay que obtener, previamente, todos los anteriores.Ejemplos:1) 5; 8; 12; 17; 232) 42; 36; 28; 18; 6; 83) 1; 2 ;6 ; 24; 120; 720

III. Tipos De Sucesionesa) Sucesión por RecurrenciaEn las cuales encontramos la serie Fibonacci. Es aquella en la cual se usa sus términos anteriores para formar el siguiente.Ejemplo:1; 1; 2;3 ; 5; 8; 13; …….


b) Sucesiones AritméticasEjemplos:

5; 8; 12; 17; 22;… 30; 28; 26; 24; 22;…

c) Sucesiones geométricasEjemplos:

5; 20; 80; 320; 1280;… 600; 300; 150; 75;…

d) Sucesiones combinadas

Ejemplos: 0; 4; 8; 12; 24; 28;….. 30; 15; 20; 10; 15;…

e) Sucesiones alternadasSon las que se dan al intercalar don o más sucesiones que se rigen cada uno de ellas por su respectiva ley de formación .Ejemplos:

6; 5; 8; 7; 11; 10; 15; 14; 20; 19Solución1º) 6; 8; 11; 15; 202º) 5; 7; 10; 14; 19

2; 17; 2; 16; 4; 14; 12; 11; 48; 7Solución 1º) 2; 2; 4; 12; 482º) 17; 16; 14; 11; 7

f) Sucesiones LiteralesEs un conjunto de letras del abecedario, cuyo procedimiento es el mismo que el de una sucesión numérica.Se considera a la letra “CH” y “LL” cuando por lo menos una de ellas aparece como dato del problema.Ejemplos:

A; C; E; G; I; J A; CH; G; J; N; P

g) Sucesiones AlfanuméricasEs una sucesión donde convergen una sucesión numérica y una sucesión literal o alfanumérica, cada uno con respecto a la ley de formación.Ejemplos:

1; C; 2; E; 4; I; 7; ÑSolución1º) 1; 2; 4; 72º) C; E; I; Ñ

h) Sucesiones graficasSe da por lo general en los gráficos circulares, cuya ley de formación puede ser en sentido horario o antihorario.


Solución 4; 9; 16; 25; 36; XDonde x=36+13=49IV. Termino EnésimoEs el término general mediante el cual se obtiene un término cualquiera de la sucesión en función de otros anteriores.Este término será dado por la variable “n” que toma los valores de 1, 2, 3, …. y así sucesivamente donde se obtiene el primer, segundo,… y así sucesivamente el Enésimo Termino.a) Sucesión LinealSe dice así cuando la razón es constante, cuya ley de formación o termino enésimo es dada por la siguiente sucesión:

b) Sucesión no LinealSe dice cuando la razón de sus términos no son constantes

c) Sucesión CuadráticaSean los términos de una sucesión cuadrática:














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matematicasiesoja.files.wordpress.com€¦ · Web viewEl Jefe de D. Juan admira la idea de poner losas rojas en el centro y blancas en los bordes. Su especialidad son los patios