OPERACIONES CON POTENCIAS

Una potencia es la expresión abreviada de una multiplicación en la que se repite el mismo factor. El factor que se repite es la base de la potencia y el número de veces que se repite es el exponente de la potencia.

34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 Base 34 Exponente

I.- Potencias de base y exponente natural.

Son aquellas cuya base y exponente son números naturales (enteros positivos). La base no lleva paréntesis. Por ejemplo:

23 = 2 . 2 . 2 = 8

II.- Potencias de base entera y exponente natural.

La base está escrita entre paréntesis. Casos posibles:

– Si la base es positiva, el resultado siempre es positivo. Por ejemplo:

(+ 3)3 = (+ 3) . (+ 3) . (+ 3) = (+ 27)

(+ 3)4 = (+ 3) . (+ 3) . (+ 3) . (+ 3) = (+ 81)

– Si la base es negativa, el resultado depende del exponente:

– Si el exponente es par, el resultado es positivo.

(– 3)4 = (– 3) . (– 3) . (– 3) . (– 3) = (+ 81)

– Si el exponente es impar, el resultado es negativo.

(– 3)3 = (– 3) . (– 3) . (– 3) = ( – 27 )

Nota: No confundir las potencias de base negativa (escritas entre paréntesis) con la resta de una potencia de base natural (no lleva paréntesis). Por ejemplo:

Potencia de base entera: (– 3)4 = (– 3) . (– 3) . (– 3) . (– 3) = (+ 81)

Resta de una potencia de base natural: – 34 = – 3 . 3 . 3 . 3 = – 81

III.- Potencias de base racional y exponente natural.

Una fracción elevada a una potencia es equivalente a elevar cada uno de sus términos a esa misma potencia. Por ejemplo:

Nota: No confundir una potencia de base racional (se escribe la base entre paréntesis) con una fracción en la que uno de sus términos es una potencia (sin paréntesis).

IV.- Potencias de exponente negativo.

Una potencia de exponente negativo equivale a la inversa de la base de la potencia elevada a ese exponente en positivo.

V.- Potencia de exponente racional.

Una potencia de exponente racional equivale a una raíz cuyo radicando es la base de la potencia elevada al numerador del exponente y el índice de la raíz es el denominador del exponente. Por ejemplo:

Escribe el desarrollo y calcula el valor de las siguientes potencias.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN

1º Curso

a) 23 = 8

b) 34 = 81

c) 8 3 = 512

d) 124 = 20736

e) 105 = 100000

f) 108 = 100000000

g) 20 5 = 3200000

h) 3003 = 27000000

i) (– 2)4 = 16

j) (– 2)3 = – 8

k) – 24 = – 16

l) – 9 2 = – 81

m) (– 9)2 = 81

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u) – 1

v)

w)

x) – 40

y) 4 – 3 =

z) 5 – 2 =

aa) (– 3) – 2 =

ab) (– 4) – 3 =–

ac) 25

ad) 16

ae) – 27

af)

ag)

ah)

ai)

aj)

ak) 14´69…

al) 8

am) – 25

an) – 64

añ)

añ)

SUMA Y RESTA DE POTENCIAS

Para sumar y restar potencias, se calcula el valor de cada potencia por separado y se suman o se restan los resultados obtenidos, según corresponda.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN

1º Curso

a) 32 + 53 = 134

b) 103 – 52 = 975

c) 103 – 43 + 23 = 944

d) 3 + 24 – 05 – 16 = 18

e) 10 + ( 33 – 42) = 21

f) 152 – (82 – 43) = 225

g) (12 – 8)3 + 52 – (6 – 3)3 = 62

h) (23 – 14 + 5)2 – (13 – 23)2 = 119

i) 103 – (52 – 24)3 = 271

2º Curso

a) 23 – 24 = – 8

b) 32 – 52 – ( – 2)3 = – 8

c) 24 – 23 + (– 3)3 – 32 = – 28

d) – 32 – (– 5)2 + (–2)3 + 42 = – 26

e) 43 – (10 – 12)3 + (2 – 4)2 = 76

f) – 52 – (32 – 24)2 – (92 – 102 + 15)3 = –10

g) 42 –[– 52 – (11 –14)3]3 = 8

h) 52 –[ 32 + (– 42 + 32)2 + (12 – 42)3]2 = – 11

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS

Multiplicación de potencias con distinta base y distinto exponente.

Para multiplicar potencias con distinta base y distinto exponente se calcula el valor de cada potencia por separado y se multiplican los resultados obtenidos.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN1º Curso

a) 42 . 23 = 128

b) 52. 34 . 15 = 2025

c) 24 . 32. 102 = 14400

d) 32 . 103 . 4= 36000

e) 104 . 52 . 23 = 2000000

f) 62 . 104 . 23 . 15= 2880000

2º Curso

a) 23 . (– 3)2 = 72

b) – 22 . 33 = – 108

c) 5 . (– 1)3 . (– 2)2 = – 20

d) – 32 . (– 2)4 = – 144

e) (– 2)3 . 32 . 4 . 13 = – 288

f) 13 . (– 3)5 . (– 2)4 . (– 5)2= – 97200

Multiplicación de potencias con igual base.

El resultado de multiplicar dos o más potencias con la misma base es equivalente a otra potencia que tiene: como base, la misma; y como exponente, la suma de los exponentes.

a m. a n = a m + n 4 3 . 4 5 = 4 3 + 5 = 48

Recuerda : Cuando una potencia tiene exponente par, se puede cambiar el signo de la base. Si el exponente es impar, no se puede cambiar.

a par = (– a) par a impar ≠ (– a) impar

3 2 = (– 3) 2 3 3 ≠ (– 3) 3

9 = 9 27 ≠ (– 27)

Ejercicio: Reducir a una única potencia las siguientes operaciones con potencias.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN1º Curso

a) 23 . 24 = 27

b) 32 . 3 . 34 = 37

c) 154 . 152 . 153 = 159

d) 103 . 102 . 10 . 105 = 1011

e) (2 . 3)5 . 62 . 6 = 68

f) (4 . 3)3 . (2 . 6)2 . 12 = 126

g) 203 . (10 . 2)12 . (80 : 4) = 2016

2º Curso

a) (– 4)3. (– 4)2 = (– 4)5

b) (– 3)3. (– 3)4. (– 3) = (– 3)8 = 38

c) (3 + 4)3 . (5 + 2)4 . 7 = 78

d) (– 5 – 4)3 . (– 16 + 7) 2 . (– 9) = (– 9)6 = 96

e) (– 2)4 . 23 . 2 = 28

f) (– 2)3 . 24 . (– 2)2 = (– 2)9

g) (– 6 + 3)3 . (9 : 3) 4 . 32 = (– 3)9

h) 43 . 4-5 . 4 = 4-1

i) 28 . (– 2)-6 . (– 2) = (– 2)3

j) 6-5 . 64 . 6-3 . 6 = 6-3

A veces resulta útil escribir un número como el resultado de una potencia. Por ejemplo:

4 = 22 8 = 23 16 = 24 … Para ello es aconsejable partir de la descomposición del 9 = 32 27 = 33 81 = 33 … número en su producto de factores primos 16 = 42 64 = 43 … 25 = 52 125 = 53 … 125 5 125 = 53 36 2 36 = 22 . 32 = 62

… 25 5 18 2 100 = 102 1000 = 103 … 5 5 9 3 1 3 3 1

Expresa los números como potencias con la misma base y, a continuación, reduce la expresión a una sola potencia. 1º Curso

a) 22 . 8 = 25

b) 5 . 125 . 625 = 58

c) 34 . 81 . 27 = 311

d) 10 . 1000 . 100 = 106

e) 36 . 216 . 67 = 612

2º Curso

a) (– 8) . 22 . 16 = (– 2)9

b) 34 . (– 27) . (– 3)2 = (– 3)9

c) 100 . (– 1000) . 104 = (– 10)9

d) 36 . (– 216) . (– 6)4 = (– 6)9

Multiplicación de potencias con igual exponente.

El resultado de multiplicar dos o más potencias con el mismo exponente es equivalente a otra potencia que tiene: como exponente, el mismo; y como base, el producto de las bases.

a n . b n = (a . b) n 5 3 . 2 3 = (5 . 2) 3 = 10 3

Ejercicio: Reducir a una única potencia las siguientes operaciones con potencias.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN1º Curso

a) 43 . 33 = 123

b) 25 . 35 . 65 = 365

c) 53 . 23 . 83 = 803

d) (32 . 42) . 125 = 127

e) 25. 43. 65. 33 = 128

f) 36 . 24 . 34 . 65 = 611

g) 85 . 126 . 24 . 26 . 35 . (20 + 4)7 = 2419

h) (23 + 22)3 . 64 . 35. 45 . 24 . 144= 1214

2º Curso

a) (– 5)3 . 33 = (– 15)3

b) 4 5 . (–2)5 . (– 1)5 = 85

c) (– 2)6 . 56 . (– 1)6 . (– 3)6 . 26 = (– 60)6 = 606

d) – 22 . 25 – 27

e) (– 2)2 . 25 27

f) – 32 . (– 3)4 . (– 3)4 = – 310

g) 23 . 24 . (– 5)7 = (– 10)7

h) 44 . (– 4)3 . 32 . (– 3)5 = 127

i) – 32 . (– 5)2 . 22 = – 302

j) – 44 . (– 3)4 . (– 2)4 = – 244

k) 63 . (–2 . 3)4 . (– 2)5 . 22 = (– 12)7

l) (– 8) . 53 . (–2 . 5)2 . 10 (– 100)3

m) 2-4 . 5-4 . 6-4 = 60-4

n) 5-3 . (– 3)-3 . 22 . (– 2)-5 = 30-3

DIVISIÓN DE POTENCIAS

División de potencias con distinta base y distinto exponente.

Para dividir potencias con distinta base y distinto exponente se calcula el valor de cada potencia por separado y se dividen los resultados obtenidos.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN1º Curso

a) 63 : 22 = 54

b) 80

c) (4 + 2)3 : 32 = 24

d) 20

e) 12

f)96

2º curso

a) – 24

b) – 80

c) – 40

d) 40

e) – 54

f) – 18

g) – 192

División de potencias con igual base.

El resultado de dividir dos potencias con la misma base es equivalente a otra potencia que tiene: como base, la misma; y como exponente, la resta de los exponentes.

a m : a n = a m – n 4 8 : 4 5 = 4 8 – 5 = 43

Ejercicio: Reducir a una única potencia las siguientes operaciones con potencias.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN1º Curso

a) 54 : 53 = 5

b) 129 : 125 = 124

c) 812 : 84 : 85= 83

d) 75

e) 93

f) 66

g) (7 + 3)8 : (9 + 1)2 = 106

h) 55

i) 32

j) 64

k) 123

2º curso

a) 63

b) – 2

d) – 12

l) (– 5)6 = 56

m) 26

n) – 1

o) 4-5

p) 63

q) (– 5)5

r) (– 7)-7

s) 36

t) 1

u) 1

División de potencias con igual exponente.

El resultado de dividir dos potencias con el mismo exponente es equivalente a otra potencia que tiene: como exponente, el mismo; y como base, el cociente entre las bases.

a n : b n = (a : b) n 10 3 : 2 3 = (10 : 2) 3 = 5 3

Ejercicio: Reducir a una única potencia las siguientes operaciones con potencias.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN1º Curso

a) 243 : 33 = 83

b) 425 : 65 = 75

c) 1205 : 245 = 55

d) (18 + 6)7: (6.2)7= 27

e) 100 : 52 = 22

f) 83

g) 98

h) 28

i) 28

j) 28

k) 63

2º curso

a) 25

b) (– 5)5

c) (– 2)3

d)(– 1)5 = – 1

e) 83

f) 25

g)– 183

h) 23

i) (– 4)-3

j) (– 2)-2 = 2-2

k) (– 2)-6 = 2-6

POTENCIA DE UNA POTENCIA

El resultado de elevar una potencia a otra potencia es equivalente a otra potencia que tiene: como base, la misma; y como exponente, el producto de los exponentes.

( a n ) m = a n . m (7 3) 2 = 7 3 . 2 = 7 6

Ejercicio: Reducir a una única potencia las siguientes operaciones con potencias.

EXPRESIÓN SOLUCIÓN1º Curso

a) (63)5 = 615

b) (44)3 = 412

c) (23)4 . 23 = 215

d) (52)3 . (54)2 . 5 = 515

e) (63)2 . 46 = 246

f) (52)6 . (34)3 . 212 = 3012

g) (124)5 : (122)3 = 1214

h) 104

i) (203)6 : (59)2 = 418

j) 122

k) (23.24. 2)3 = 224

l) (36 . 46 . 26)5 = 2430

m) (156 : 56)4 = 324

n) (304 : 64)3 . (52)3 = 518

o) 320

2º curso

a) (23)6 = 218

b) [(– 2)4]3 = (– 2)12 = 212

c) (– 24)3 = – 212

d) (– 32)2 . [(– 2)2]2 = 64

e) [23 . (– 2)4. 2] 2 = 216

f) [(-3)5 . 34 . (– 3)3]4 . [(– 3)2]4 = (– 3)56

g) 614 : ( – 62)5 = – 64

h) [(– 30)4 : 54]3 : [26 . (– 3)6]2 = 1

i) (4-5)3 =4-15

j) [(– 7)-3]4 =(– 7)-12 = 7-12

k) [(– 2)-5]-4 = (– 2)20

l) (6-3 . 64 . 6-5)-4 =616

m) 186 : [(– 6)2]3 . 3-4 =32

n) 1-28 = 1

o) 4-26

p) 1