s157fa28ff9e90816.jimcontent.com · Web viewElaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014 26 RESUMEN UNIDAD N 5: LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

RESUMEN UNIDAD N°5: LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

DEFINICIÓN: Sean a , b , c ∈ R con a ≠ 0 , la expresión ax 2 + bx + c = 0 se llama ecuación de segundo grado con una incógnita o ecuación cuadrática.

En otros términos, una ecuación cuadrática es aquella en la que el exponente más grande de la

variable, una vez escrita en forma general, es dos.

CONCEPTO: Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática con una incógnita x ,

una vez simplificada, es de la forma: con a ≠ 0 .

Ejemplos: 2 x2 + 3 x + 6 = 0 2 x2 + 6 x = 0 x2 − 9 = 0

En la ecuación: x2 − 5 x + 6 = 0 Coeficiente de x

2 es: a = 1 Coeficiente de x es: b =−5

Coeficiente “c ” o término independiente es c = 6 y la incógnita es: “x ”

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS: La ecuación cuadrática puede ser

clasificada como completa e incompleta, según la cantidad de términos que tenga cuando haya

sido reducida.

1) La ecuación cuadrática es completa cuando los coeficientes de los términos de la

primera y segunda potencia de la incógnita y el término independiente son diferentes de

cero. Es de la forma: ax 2 + bx + c = 0 con a ≠ 0

Ejemplos: 5 x2 + 3 x + 6 = 0 , 7 + 6 y − 9 y2 = 0 , x2 + 5 − 3 x = 0

2) La ecuación cuadrática incompleta es aquella en que los coeficientes b y c sí

pueden anularse (uno de los dos o los dos).

Las formas de la ecuación cuadrática incompleta son:

a) ax 2 + bx = 0 , donde c = 0 Ej.: 3 x2 + 4 x = 0

b) ax 2 + c = 0 , donde b = 0 Esta forma se le llama cuadrática pura Ej.: 5 x2 + 6 = 0

c) ax 2 = 0 , donde b = 0 y c = 0 . Ej.: 2 x2 = 0

PRÁCTICA Nº 1

I. Coloque las siguientes ecuaciones en la forma general, es decir, de la forma: ax 2 + bx + c = 0

1) x2 − 2x − 1 = 2 4) 2 x2 + 9 x = 2 x − 3 7) x2 = 25 − 5 x − 15

2) −3 x2 + 5 x = 6 5) 3 x − x2 = 5 − 3 x28) 5 ( x2 + 2 ) = 7 ( x + 3 )

3) −4 x + x2 + 3 = 8 6) x2 − 4 x + 3 = −1 + 5 x 9) x

2 − x + 3 = −2 − 3 x

02 cbxax

II. Para cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas, señala los valores de a , b , y c

correspondientes a ax 2 + bx + c = 0

1) 2 x2 + 4 x + 1 = 0 3) 3 x − 2 + x2 = 0 5) 5 z2 = 8 z + 2

2) 3127 2 yy 4) 17 w − 8 w2 = −1 6) 19 x − 4 x2 = 3

III.Dadas las siguientes ecuaciones cuadráticas, encuentre los valores de a , b , y c en cada una

de ellas e indica si es completa e incompleta:

1) ( x−2 )2 − 4 = 05)

5 ( x+3 ) − x (4 x−1 ) = 0

2) 3 x ( x+6 ) − ( x−4 ) ( x+4 ) = (3 x+5 )2 + x (3−x )6)

( x−5 ) ( x+3 ) − 2 (3−x ) = 8

3) 3 x ( x−5 ) + ( x−3 ) ( x−2 ) + 18 = 0

4) x (x−3 ) ( x−4 ) = x ( x+2 )2−(6−x )2 − 2 x

IV.Complete la tabla siguiente como un repaso del tema.

Nº Ecuación Cuadrática Valor de a Valor de b Valor de c Completa o Incompleta1 3 x2 + 5 x − 6 = 02 6 x2 = 33 7 y2 − 5 y = 4 y4 x ( x +3 ) = 4 x5 3 (m+1 ) (2m−5 ) = 06 3 z (z −2 ) = (3 z+2 )2

7 2 t ( t −3 ) = (2t +4 )2

RAÍCES: Las raíces de la ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática son los valores

de la incógnita que satisfacen la ecuación, y la ecuación cuadrática tiene dos raíces.

Todas las ecuaciones cuadráticas tienen dos raíces o dos soluciones que pueden ser iguales o diferentes.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS: Resolver una ecuación cuadrática

ax 2 + bx + c = 0 es determinar los valores de la incógnita que satisfacen la ecuación. Estos

valores que satisfacen la ecuación se llaman soluciones o raíces la ecuación cuadrática.

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: Son los procedimientos para resolver la ecuación de segundo

grado o ecuación cuadrática; y resolver una ecuación de segundo grado consiste en determinar las raíces o ceros de dicha ecuación.

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Entre los métodos de resolución podemos mencionar, si son ecuaciones cuadráticas incompletas se pueden resolver por factorización (factor común monomio o por diferencia de

cuadrados) y por extracción de raíces. Pero si son ecuaciones cuadráticas completas,

podemos utilizar los siguientes métodos: por factorización, por completar cuadrados, por la

fórmula general o cuadrática, por ensayo y error, o por el método de aspa simple.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS INCOMPLETAS

1. ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA DE LA FORMA ax 2 + bx = 0

Estas ecuaciones donde c = 0 se resuelven por factor común monomio.

Regla: Llévese la ecuación a la forma general de modo que el segundo miembro sea cero, luego

factorice por factor común monomio, el primer miembro y se obtiene dos factores cuyo producto

es cero, se iguala a cero y se encuentran las raíces.

Observación: Cuando un producto de dos factores es cero, uno de ellos, por lo menos, es

cero.

EJEMPLOS RESUELTOS POR FACTORIZACIÓN (FACTOR COMÚN MONOMIO)

1) x2 = 5 x

Solución: x2 − 5 x = 0 Se lleva la ecuación a su forma general

x ( x − 5 ) = 0 Factor común monomio x

x = 0 ; x − 5 = 0 Se iguala cada factor a cero

x1 = 0 ; x2 = 5 Se despeja x y esas son las raíces

S = { 0 , 5 } El conjunto solución de la ecuación

2) x2 = −3 x

Solución: x2 + 3 x = 0 Se lleva la ecuación a forma general

x ( x + 3 ) = 0 Factor común monomio x

x = 0 ; x + 3 = 0 Se iguala cada factor a cero

x1 = 0 ; x2 = −3 Se despeja x y esas son las raíces

S = { −3 , 0 } El conjunto solución de la ecuación

2. ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA DE LA FORMA ax 2 + c = 0

Estas ecuaciones las podemos resolver por factorización o por extracción de raíces.

EJEMPLOS RESUELTOS POR FACTORIZACIÓN (DIFERENCIA DE CUADRADOS) Y POR EXTRACCIÓN DE RAÍCES



1) 2 x2 − 8 = 0

Solución: Por factorización, tenemos:

2 x2 − 8 = 0 Ecuación en su forma general

22

x2 − 82

= 02 Dividiendo por el coeficiente de x

2

x2 − 4 = 0 Simplificando la expresión

x2 − 4 = 0 Factorizando la diferencia de cuadrados

x +2 = 0 ; x − 2 = 0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x

x 1 = −2 ; x2 = 2 Son las raíces


Solución: Por extracción de raíces, tenemos:


2 x2 = 8 Transponiendo el término independiente al miembro derecho

x2 = 82 Despejando la variable x

x2 = 4 Simplificando

√ x2 = √4 Se extraen las raíces de ambos miembros

x = ±2 Toda raíz cuadrada tiene dos signos: positivo y negativo



2) 5 x2 − 15 = 0

Solución: Por extracción de raíces, tenemos:


5 x2 = 15 Transponiendo el término independiente al miembro derecho

x2 = 155

=3Despejando la variable x y Simplificando

√ x2 = √3 Se extraen las raíces de ambos miembros

x = ±√3 Toda raíz cuadrada tiene dos signos: positivo y negativo

x 1 = −√3 ; x2 = √3 Son las raíces

S = { −√3 , √3 } El conjunto solución de la ecuaciónMaterial de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014 4


3) 2 x2 − 18 = 0

Solución: Por factorización, tenemos:


22

x2 − 182

= 02 Dividiendo por el coeficiente de x

2

x2 − 9 = 0 Simplificando la expresión

( x + 3 ) ( x − 3 )= 0 Factorizando la diferencia de cuadrados

x +3 = 0 ; x − 3 = 0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x


S = { −3 , 3 } El conjunto solución de la ecuaciónPRÁCTICA Nº 2

Resuelva las ecuaciones cuadráticas siguientes, identificando qué forma tiene y aplicando el

método de factorización o extracción de raíces.

1)7 x2 + 14 x = 0 2) 2 x2 + 14 x = 0 3) 3 x2 + 15 x = 0

4)5 x2 − 4 x = 3x + x25) 9 z2 + 3 z = 0 6) ( x + 4 )2 = 8 x + 24

7)(4 x − 1 ) (2 x + 3 ) = ( x + 3 ) ( x − 1 ) 8) ( y − 6 )2 = 36 9) 98 x2 − 18 = 0

10) 3 t2 = 2 t 11) 3 − x2 = 2 x2 + 1 12)√4 x2 − √9 x = 0

13)x2 + 4

3− 10

3x = 2

3(2 + x )

14)y2 − 1

5y = 0

15)23

x2 + x = 0

16) (4 x − 1 ) (4 x + 1 ) = 24 17) (2m +3 ) (2m − 3 ) = 16 18)3 y2 − 27 y = 0

SOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS COMPLETAS: Las ecuaciones completas de

segundo grado se pueden resolver por varios métodos: Por el método de factorización, por el

método de completando cuadrados, por el método de la fórmula general, por el método de ensayo

y error y por el método de aspa simple (estos dos últimos métodos son importantes, aunque no se

contempla en el programa de Matemáticas). Las ecuaciones cuadráticas completas presentan

dos casos: cuando a = 1 y cuando a ≠ 1

1. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR FACTORIZACIÓN

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA DE LA FORMA x2 + bx + c = 0 , CUANDO a = 1

Reglas: Para resolver la ecuación cuadrática por factorización, se procede así:

1) Escriba la ecuación en forma general. Así: ax 2 + bx + c = 0



2) Factorice el miembro izquierdo (o el primer miembro), en factores binomios de primer

grado.

3) Igualar a cero cada factor. Aplique el principio de que si un producto es cero, uno o más

de sus factores es igual a cero.

4) Resuelva cada ecuación de primer grado resultante.

EJEMPLOS POR FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA:

1) x2 − 7 x + 12 = 0

Solución: x2 − 7 x + 12 = 0 Ecuación en su forma general

( x − 4 ) ( x − 3 ) = 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

x −4 = 0 ; x − 3 = 0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x

x 1 = 4 ; x2 = 3 Son las raíces


2) x2 − 9 x + 20 = 0


( x − 4 ) ( x − 5 ) = 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

x −4 = 0 ; x − 5 = 0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x

x 1 = 4 ; x2 = 5 Son las raíces S = { 4 , 5 } El conjunto solución de la ecuación

3) x2 − 2 x = 24

Solución: x2 − 2 x − 24 = 0 Ecuación en su forma general

( x − 6 ) ( x + 4 ) = 0 Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

x −6 = 0 ; x + 4 = 0 Se iguala cada factor a cero y se despeja x

x 1 = 6 ; x2 = −4 Son las raíces S = { −4 , 6 } El conjunto solución de la ecuación

ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETA DE LA FORMA ax 2 + bx + c = 0 , CUANDO a ≠ 1

Las ecuaciones cuadráticas completas, de la forma ax 2 + bx + c = 0 tienen varias formas de

resolverse: por el método de factorización, por el método de ensayo y error, aplicando la

fórmula general, completando cuadrados, o por el método de aspa simple.

EJEMPLOS APLICANDO FACTORIZACIÓN DEL TRINOMIO DE LA FORMA Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014 6

02 cbxx

02 cbxax


1) 2 x2 − 7 x = 15

Sol.: 2 x2 − 7 x − 15 = 0 Ecuación en su forma general

2 ( 2x2 − 7 x − 15 )2

= 0 Se multiplica y divide por el coeficiente de x

2, por 2

(2x )2 − 7 (2 x ) − 302

= 0 El primer término queda elevado al cuadrado, en el segundo

se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.(2 x − 10 ) (2 x + 3 )

2= 0

Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

2 (x − 5 ) (2 x + 3 )2

= 0Factorizando y simplificando uno de los factores

( x − 5 ) (2 x + 3 ) = 0 Se iguala cada factor a cero

x − 5 = 0 ; 2 x + 3 = 0 Se despeja la x

2 x =− 3

x 1 = 5 ; x2 = −3

2 Son las raíces

: S = {− 3

2, 5 }

El conjunto solución de la ecuación

2) 12 x2 = 11 x + 5

Solución: 12 x2 − 11 x − 5 = 0 Ecuación en su forma general

12 (12 x2 − 11 x − 5 )12


2, por 2

(12 x )2 − 11 (12x ) − 6012


se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.(12 x − 15 ) (12 x + 4 )12

= 0Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

3 (4 x − 5 ) 4 (3 x + 1 )12


(4 x − 5 ) (3 x + 1 ) = 0 Se iguala cada factor a cero

4 x − 5 = 0 ; 3 x + 1 = 0 Se despeja la x

4 x = 5 3 x =− 1

x 1 = 54 ;

x2 = − 13 Son las raíces



S = {− 1

3, 5

4 }El conjunto solución de la ecuación

3) 6 x2 = 24 x − 18

Solución: 6 x2 − 24 x + 18 = 0 Ecuación en su forma general

6 (6 x2 − 24 x + 18 )6


2, por 6

(6 x )2 − 24 (6 x ) − 1086


se intercambian los coeficientes, y el tercero se multiplica.(6 x − 18 ) (6 x − 6 )

6= 0

Factorizando el trinomio como el producto de dos binomios

6 ( x − 3 ) (6 x − 6 )6


( x − 3 ) (6 x − 6 ) = 0 Se iguala cada factor a cero

x − 3 = 0 ; 6 x − 6 = 0 Se despeja la x

x = 3;

6 x = 6

x 1 = 3 ; x2 = 1 Son las raíces S = { 1 , 3 } El conjunto solución de la ecuación

Verificación:

Para x1 = 3

Para x2 = 1

6 x2 − 24 x + 18 = 06 (3 )2 − 24 (3 ) + 18 = 06 (9 ) − 72 + 18 = 054 − 72 + 18 = 00 = 0

6 x2 − 24 x + 18 = 06 (1 )2 − 24 (1 ) + 18 = 06 (1 ) − 24 + 18 = 06 − 24 + 18 = 00 = 0

PRÁCTICA Nº 3Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización:

1) x2 + x − 6 = 0 2) x2 + 18 x + 81= 0 3) 2 x2 + 5 x = 15 + 6 x

4) 5 x2 − 45 x − 27= −3 x 5) x2 − 10 x + 21 = 0 6) 10 x2 − 15 x = 14 x + 21

7) x2 + 16 x + 15= 0 8) x2 − 11 x − 12 = 0 9) x2 − 16 x + 39= 0

10) 6 x2 + x − 15 = 5 x2 − 13 x 11) 8 x2 + 32 x − 12= 3 x 12) x2 + 8 x − 33 = 0



13) 12 x2 − 32 x − 8= −3 x 14) 6 x2 − 18 = 0 15) x2 − x − 2 = 0

16)

3 x ( x−5 )+ (x−3 ) (x−2 )+18=0 17)

x+410

=( x+2 )2

20− 3 x−5

518) 7 ( x+5 ) (x−3 )−5 ( x+3 ) ( x−3 )=0

2. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA COMPLETANDO CUADRADOSDe forma general, los procedimientos para completar cuadrado consisten en construir mediantes

operaciones algebraicas, un trinomio cuadrado perfecto (ya sea de la forma x2 + bx + c = 0 o

ax 2 + bx + c = 0 ) a partir de un trinomio que no lo es, y luego reducir el resultado a un binomio al

cuadrado más o menos una constante.

Reglas:

1) Escribe la ecuación cuadrática en su forma general, es decir, en su forma: x2 + bx + c = 0

2) Se transpone el término c al segundo miembro, es decir, el término independiente pasa a la

derecha y con signo contrario

3) Si la ecuación es de la forma: ax 2 + bx + c = 0 se divide cada término por el coeficiente de x2,

es decir, por a

4) Se divide entre 2 el coeficiente que acompaña a x , es decir, por

b2 , buscamos el cuadrado de

esa expresión, es decir ( b2 )

2

5) Sumamos en cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, es

decir, la expresión ( b

2 )2

y obtenemos en el miembro izquierdo un trinomio cuadrado perfecto.

6) Se factoriza el primer miembro del trinomio cuadrado perfecto (en un binomio) y se reduce el

segundo miembro de la ecuación.

7) Se extraen las raíces a ambos miembros y se resuelven las ecuaciones resultantes,

despejando la variable, que por lo general es x .

EJEMPLOS RESUELTOS POR EL MÉTODO DE COMPLETANDO CUADRADOS

1) 6 x2 + 14 x − 12 = 0

Sol.: 6 x2 + 14 x − 12 = 0 Ecuación en su forma general

6 x2 + 14 x = 12 Transponemos el término independiente c

66

x2 + 146

x = 126 Se divide por a , el coeficiente de x

2, es decir, por 6



x2 + 73

x = 126 Se simplifica

x2 + 73

x + ( 76 )

2= 12

6+ (7

6 )2

Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término

x2 + 73

x + 4936

= 126

+ 4936 Se resuelve las potencias

[ x + 76 ]

2

= 72+4936 Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto de la

izquierda y se desarrolla el miembro derecho

√ [x + 76 ]

2

= √12136 Se extraen las raíces a ambos miembros

x + 76

= ± 116

| Se despeja la variable x

x = ± 116

− 76

x1 = 116

− 76

; x2 = −11

6− 7

6

x1 = 11−76

= 46

; x2 = −11−7

6=− 18

6

x1 = 23

; x2 = −3 Son las raíces

: S = {−3 , 2

3 }El conjunto solución de la ecuación

Verificación:

Para x1 = − 3

Para x2 = 2

3

6 x2 + 14 x − 12 = 0

6 (23 )2+ 14 (23 ) − 12 = 0

6 (49 ) + 14 (23 ) − 12 = 0

249

+ 283

− 12 = 0

24+84−1089

= 0

09

= 0

0 = 0

6 x2 + 14 x − 12 = 06 (2

3 )2 + 14 (23 ) − 12 = 0

6 (49 ) + 14 (2

3 ) − 12 = 0249 + 28

3 − 12 = 024 + 84 − 1089 = 009

= 00 = 0

2) x2 + 2 x − 63 = 0

Sol.: x2 + 2 x − 63 = 0 Ecuación en su forma general



x2 + 2 x = 63 Transponer el término independiente c

x2 + 2 x + (1 )2 = 63 + (1 )2 Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente

del segundo término

x2 + 2 x + 1 = 63 + 1 Se resuelve las potencias

( x + 1 )2 = 64 Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo

√ ( x + 1 )2 = √64 Se extraen las raíces a ambos miembros

x + 1 = ± 8 Se despeja la variable x

x = ± 8 − 1x1 = 8 − 1

; x2 = −8 − 1

x1 = 7 ;

x2 = −9 Son las raíces


Verificación:

Para x1 = − 9

Para x2 = 7

x2 + 2 x − 63 = 0(−9 )2 + 2 (−9 ) − 63 = 081 − 18 − 63 = 081 − 81 = 00 = 0

x2 + 2 x − 63 = 0(7 )2 + 2 (7 ) − 63 = 049 + 14 − 63 = 063 − 63 = 00 = 0

3) x2 − 10 x + 16 = 0

Sol.: x2 − 10 x + 16 = 0 Ecuación en su forma general

x2 − 10 x = −16 Transponer el término independiente c

x2 − 10 x + (5 )2 =−16 + (5 )2 Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficiente

del segundo término

x2 − 10 x + 25 = −16 + 25 Se resuelve las potencias

( x − 5 )2 = 9 Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo

√ ( x − 5 )2 = √9 Se extraen las raíces a ambos miembros

x − 5 = ± 3 Se despeja la variable x

x = ± 3 + 5



x1 = 3 + 5 ;

x2 = −3 + 5

x1 = 8 ;

x2 = 2 Son las raíces


Verificación:

Para x1 = 2

Para x2 = 8

x2 − 10 x + 16 = 0(2 )2 − 10 (2 ) + 16 = 04 − 20 + 16 = 020 − 20 = 00 = 0

x2 − 10 x + 16 = 0(8 )2 − 10 (8 ) + 16 = 064 − 80 + 16 = 080 − 80 = 00 = 0

4) x2 − 12 x + 35 = 0


x2 − 12 x = −35 Transponer el término independiente c

x2 − 12 x + (6 )2 =−35 + (6 )2 Se suma a cada miembro el cuadrado de la mitad del

coeficiente del segundo término

x2 − 12 x + 36 = −35 + 36 Se resuelve las potencias

( x − 6 )2 = 1 Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo

√ ( x − 6 )2 = √1 Se extraen las raíces a ambos miembros

x − 6 = ± 1 Se despeja la variable x

x = ± 1 + 6x1 = 1 + 6

; x2 = −1 + 6

x1 = 7 ;

x2 = 5 Son las raíces


PRÁCTICA Nº 4Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de completar cuadrados y verificar

las raíces:

1) 3 x2 − 14 x − 4 = 0 2) x (2x + 5 x ) = 3 ( 4 +x ) 3) x ( x + 1 ) = 30 + 8x



4) x2 − 8x = 65 5) (2 x − 1 ) (20 x +1 )= 256) 2 x2 + 13 x + 14= ( x + 14 )2

7) x2 − 12 x + 35= 0 8) 30 x2 + 3 x = 9 9) 16 x2 = 38 x + 30

10)6 x2 − 24 x = − 18 11) ( x + 5 ) (2 x − 3 )= 2 x − 3 12)´ 3 x ( x − 8 ) + 2 ( x − 7 ) = 2

13)16 x2 = 38 x +3014)

2 x − 53 x − 8

= 2x − 54 x + 3 15)(2 x + 3 )2−4 (x−1 ) ( x + 3 )= x2

3. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA POR LA FÓRMULA GENERALCualquier método que se utilice para resolver una ecuación cuadrática dará siempre los mismos

resultados, pero hay ocasiones en que la ecuación no se puede factorizar, por lo que se aplica la

fórmula general. Se deduce algebraicamente de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 ,

precisamente por el método de completar trinomio cuadrado perfecto, en donde a es el

coeficiente que acompaña a la x2, b es el coeficiente de x y c es el término independiente,

veamos: ax 2 + bx + c = 0 Ecuación en su forma general

ax 2 + bx = −c Se transpone el término independiente c

aa

x2 + ba

x =− ca

Se divide cada término por a el coeficiente de x2

x2 + ba

x + ( b2 a )

2=− c

a+ ( b

2 a )2

Se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente de x

x2 + ba

x + b2

4 a2 = b2

4 a2−ca Se resuelve las potencias

[ x + b2 a ]

2

= b2 − 4 ac4 a2

Se factoriza el primer miembro y se reduce el segundo

√ [x + b2a ]

2

= √ b2 − 4 ac4 a2

Se extraen las raíces a ambos miembros

x +b

2a = ±√ b2 − 4 ac4 a2

Se despeja la variable x

x =− b2 a

± √b2 − 4 ac√4 a2 =− b

2 a± √b2 − 4 ac

2 a Se resuelven las fracciones



Fórmula general de la ecuación cuadrática

Observación: La fórmula general de la ecuación cuadrática nos permite resolver cualquier

ecuación de segundo grado, aún aquellas de difícil factorización.

NATURALEZA DE LAS RAÍCES: En la fórmula general de la ecuación cuadrática, a la expresión

que aparece bajo el signo radical b2 − 4 ac se le denomina discriminante, el cual lo denotaremos

con la letra mayúscula D o con el símbolo matemático y lo utilizamos para determinar la

naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática, las cuales son:

Si b2 − 4 ac >0 (discriminante positivo) es un cuadrado perfecto distinto de cero, las raíces

son reales, racionales y desiguales. Pero si D=b2 − 4 ac >0 no es un cuadrado

perfecto distinto de cero, las raíces son reales, irracionales y desiguales.

Si b2 − 4 ac =0 (discriminante nulo) las raíces son reales, racionales e iguales y su valor

es − b

2 a

Si b2 − 4 ac <0 (discriminante negativo) las raíces no son reales, son complejas

(imaginarias conjugadas) y desiguales.

EJEMPLOS PARA DETERMINAR EL DISCRIMINANTE

1) Determine la naturaleza de las raíces de la ecuación cuadrática: 4 x2 − 4 x + 1 = 0

Solución: Aquí se tiene que: a=4 , b=− 4 , c=1 por lo tanto el valor del discriminante será:

D = b2 − 4 acD = (−4 )2 − 4 ( 4 ) (1 )D = 16 − 16=0

Conclusión: Como el discriminante es nulo, D = 0 , se

deduce que las dos raíces de la ecuación cuadrática son

idénticas, y que el único valor es un número real. En este

caso se dice que las raíces son reales e iguales.

2) Determine la naturaleza de la ecuación cuadrática: 6 x2 − x − 2 = 0

Solución: Aquí se tiene que: a=6 , b=− 1 , c=− 2 por lo tanto el valor del discriminante será:

D = b2 − 4 acD = (−1 )2 − 4 (6 ) (−2 )D = 1 + 48=49

Conclusión: Como el discriminante es D = 49 y D > 0 , entonces las dos raíces son reales y desiguales

3) Determine la naturaleza de la ecuación cuadrática: 2 x2 − 5 x + 4 = 0

Solución: Aquí se tiene que: a=2 , b=− 5 , c=4 por lo tanto el valor del discriminante será:



D = b2 − 4 acD = (−5 )2 − 4 (2 ) (4 )D = 25 − 32=−7

Conclusión: Como el discriminante es D =−7 y D < 0 , entonces las dos raíces son imaginarias

EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL

1) 6 x2 + 14 x − 12 = 0

Sol.: 2 x2 + 3 x − 27 = 0 Se identifica los valores de a=2 , b=3 , c=−27

x = −b ± √b2 − 4 ac2 a

x =−(3 ) ± √ (3 )2 − 4 (2 ) (−27 )

2 (2 ) Remplazando los valores en la fórmula general

x = −3 ± √ 9 + 2164

x = −3 ± √ 2254 Como 225 >0 , tiene raíz cuadrada exacta, entonces las

raíces serán reales, desiguales y racionales

x = −3 ± 154

x1 = −3 + 1 54

; x2 = −3 − 15

4 Buscando las raíces

x1 = 1 24

; x2 = −18

4

x1 = 3 ;

x2 = − 92 Son las raíces

S = {−9

2, 3 }


2) 20 x2 + 3 x = 2

Sol.: 20 x2 + 3 x − 2 = 0 Se identifica los valores de a=20 , b=3 , c=−2

x = −b ± √b2 − 4 ac2 a

x =−(3 ) ± √ (3 )2 − 4 (20 ) (−2 )


x = −3 ± √ 9 + 16040



x = −3 ± √ 16940 Como 169 >0 , tiene raíz cuadrada exacta, entonces

las raíces serán reales, desiguales y racionales

x = −3 ± 1340

x1 = −3 + 1 340

; x2 = −3 − 13


x1 = 1 040

=14

; x2 = −16

40=−2

5 Son las raíces

S = {−25

, 14 }


3) 3 x2 − 4 x + 23 = 0

Sol.: 3 x2 − 4 x + 23 = 0 Se identifica los valores de a=3 , b=− 4 , c=23

x = −b ± √b2 − 4 ac2 a

x =−(−4 ) ± √ (−4 )2 − 4 (3 ) (23 )


x = 4 ± √ 16 − 2766

x = 4 ± √−2606 Como −260 <0 , entonces las raíces serán complejas y

desiguales

x =4 ± √ 4 i2 (65 )


x = 4 ± 2i √ 656

x =2 (2 ± i √ 65 )

2×3

x = 2 ± i √ 653

x1 = 2 + i √653

; x2 = 2 − i √65

3 Son las raíces

S = { 2 − i √653

, 2 + i √653 }




4) x2 + 16 = 0

Sol.: x2 + 16 = 0 Se identifica los valores de a=1 , b=0 , c=16

x = −b ± √b2 − 4 ac2 a

x =−(0 ) ± √ (0 )2 − 4 (1 ) (16 )


x = 0 ± √ 0 − 642

x = ± √−642 Como −64 <0 , entonces las raíces serán complejas o

imaginarias y desiguales

x =± √ i2 (64 )


x = ± i √ 642

x = ± 8 i2

x = ± 4 i

x1 = 4 i ;

x2 = −4 i Son las raíces

S = { − 4 i , 4 i } El conjunto solución de la ecuación

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA

Teoremas de Viéte: si x1 = −b + √b2 − 4 ac

2a y x2 = −b − √b2 − 4 ac

2 a son las raíces de la

ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0 entonces, cumplen o se verifican las siguientes

propiedades:

1) Teorema 1. La suma de raíces: equivale a la razón entre el opuesto del coeficiente del

segundo término y el coeficiente del primero, así:

x1+x2 = −b + √b2 − 4 ac2 a

+ −b − √b2 − 4 ac2 a

x1+x2 =−b + √b2 − 4ac −b − √b2 − 4 ac2 a

x1+x2 = −2b2 a

= −ba

2) Teorema 2. El producto de raíces: equivale a la razón entre el tercer término de la

ecuación y el coeficiente del primero, así:



x1⋅x2 =−b + √b2 − 4 ac2 a ⋅

−b − √b2 − 4 ac2 a

x1⋅x2 =(−b )2 − (√b2 − 4 ac )2

4 a2

x1⋅x2 =b2 − (b2 − 4 ac )4 a2

x1⋅x2 = b2 − b2 + 4 ac4 a2

x1⋅x2 =4 ac4 a2 =

ca

3) Teorema 3. La diferencia de raíces: equivale a la razón entre la raíz cuadrada del

discriminante sobre del coeficiente del primer término, así:

x1−x2 = −b + √b2 − 4 ac2a

− −b − √b2 − 4 ac2a

x1−x2 =−b + √b2 − 4 ac2a −

−b − √b2 − 4 ac2a

x1−x2 = −b + √b2 − 4 ac +b + √b2 − 4ac2a

x1−x2 =2√b2 − 4 ac2a = √b2 − 4ac

a =√ Δa

Estas anteriores propiedades se verifican en una ecuación cuadrática con coeficientes de

naturaleza arbitrarias (reales o complejas)

EJEMPLOS RESUELTOS APLICANDO LAS PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

Determina si los valores 3 y 7 son las raíces de la ecuación x2 − 10 x + 21= 0

Sol.: La suma de las raíces debe ser igual al opuesto del coeficiente del segundo término, así:

x1+x2 = 3 + 7 = 10 y el producto es el término independiente de la ecuación: x1⋅x2 = 3⋅7 = 21

3 y 7 si son las raíces de la ecuación x2 − 10 x + 21= 0

Determina si los valores

43 y −8 son las raíces de la ecuación 3 x2 − 20 x + 32= 0

Sol.: La ecuación se debe dividir por 3 así:

3x2

3− 20x

3+ 32

3= 0

por lo que resulta:

x2 − 20 x3

+ 323

= 0. La suma de las raíces debe ser igual al opuesto del coeficiente del

segundo término, así: x1+x2 = 4

3+ (−8 ) = 4

3−8=4−24

3=−20

3



43 y −8 no son las raíces de la ecuación 3 x2 − 20 x + 32= 0

Si los valores de las raíces son −5 y 7 determina la ecuación cuadrática

Sol.: Teniendo las dos propiedades, tendremos lo siguiente:

x1+x2 = −5 + 7 = 2x1⋅x2 = ( −5 ) (7 ) =−35

Como el coeficiente de x debe ser el opuesto de la suma de las raíces y el término

independiente su producto, podemos concluir lo siguiente;

La ecuación cuadrática es: x2 − 2x − 35= 0

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación cuadrática 2 x2 +6 x + 3 = 0 verifica que se cumplan

los tres Teoremas de Viéte:


x1+x2 = −ba

=− 62=− 3 x1⋅x2 = c

a= 3

2

Δ = b2 − 4 acΔ = (6 )2 − 4 (2 ) (3 ) = 36 − 24=12

x1−x2 = √ Δa

= √122

=2√32

=√3

Si los valores de las raíces son

38 y

34 determina la ecuación cuadrática


x1+x2 = 38

+ 34

=3+2 (3 )

8= 3+6

8=9

8x1⋅x2 = ( 3

8 )( 34 ) = 9

32

Como el coeficiente dex debe ser el opuesto de la suma de las raíces y el término

independiente su producto, podemos concluir lo siguiente;

La ecuación cuadrática es: x2 − 9

8x + 9

32= 0

Para convertir esa ecuación resultante en una ecuación cuadrática entera debemos

multiplicar cada miembro por 32 así:

32 ( x2) −32 ( 98

x ) + 32( 932 )= 32 (0 ) ⇒ 32 x2 −36 x + 9 = 0

PRÁCTICA Nº 5I. Determinar la naturaleza de las raíces o soluciones de las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1) 3 x2 + 2 x − 8 = 0 2) y2 − 9 y = 0 3) 6 x2 − x − 2 = 0Material de Álgebra. Elaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014 19


4) 3 z2 + 5 z + 2 = 0 5) 2 x2 − x + 1 = 0 6) t2− 2 t + 1 = 0

7) x2 − 4 x + 5 = 0 8) 2 x2 − 3 x + 4 = 0 9) 5 m2+ 10m − 1 = 0II. Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula general y determina la

naturaleza de las raíces:

10)2 x2 + 11 x + 15 = 0 11)12 x2 − 16 x − 3 = 0 12)81 x2 − 162 x + 28 = 0

13)x2 − 10 x − 32 = 0 14)55 x2 − 16 x + 1 = 0 15) (5 x + 3 )2= 24 x2 − 21 x − 11

16)6 x2 − x − 2 = 0 17)2 x2 − x + 1 = 0 18)x2 + 3 x + 2 = 0

19)x2 + 2 x

7+ 1

49= 0

20)3 x−1

4− 3

x= 1

21)6 x2 + 4 x

5− 1

30= 0

22)6 x2 − 5 x = 56 23)4 x2 + 11 x − 20 = 0 24) ( x − 3 )2− (2 x + 1 )2= 2 x

III.Determina si los valores dados son las raíces de las ecuaciones respectivas:

25) −4 y 7 son las raíces de x2 + 3 x − 2 =0

26)

12 y

25 son las raíces de 10 x2 − 9 x + 2 =0

27)

23 y

49 son las raíces de 27 x2 + 30 x + 8 =0 28)

−56 y

112 son las raíces de 72 x2 + 54 x − 5 =0

IV. Determina la ecuación cuadráticas para las raíces dadas:

29) 5 y −2 30) −5

2 y 3

10 31)

−12 y

−13

32)

34 y

18

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICASLa ecuación cuadrática es de vital importancia en Matemáticas Aplicadas, Física e Ingeniería, y

en otras áreas, puesto que se aplica en la solución de gran cantidad de problemas técnicos y

cotidianos. Para resolver problemas de aplicación de ecuaciones cuadráticas, debemos

entender la lógica del problema, identificando con una x (generalmente) a una de las variables

que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, es decir, se

debe transformar las frases en ecuaciones de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve

la ecuación. No existe un procedimiento o regla general para operar la parte lógica de este tipo

de problemas, sólo la práctica va dando la habilidad y destreza necesarias para esbozarlos y

resolverlos. Por eso sólo la experiencia mejora los resultados.

1 PROBLEMAS RESUELTOS En los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como

una ecuación de segundo grado.



1) La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos números.

Sol.: primero se asigna la variable x una de las incógnitas del problema; pero como hay 2

incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede

asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo:

Sea x el primer número. Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro

será: 10−x que es el segundo número. La condición final del problema establece que la suma

de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces: x2+(10−x )2= 58 Esta es la ecuación

a resolver y debemos aplicar algunas técnicas de Álgebra Elemental y luego reordenamos para

llegar a la fórmula conocida.

x2+(10−x )2= 58

x2+[ (10 )2−2 (10 ) x+( x )2 ]= 58 Desarrollando el cuadrado de la diferencia de un binomio

x2+100−20 x+x2= 58 Desarrollando el binomio

2 x2−20 x+42= 0 Ordenando y agrupando

x2−10x+21= 0 Dividiendo entre 2 toda la ecuación

( x−3 ) ( x−7 ) = 0 Factorizando el trinomio

x − 3 = 0 ; x − 7 = 0 Se iguala cada factor a cero

x = 3;

x = 7 Se despeja la x y esas son las raíces

Respuesta: los números buscados son 3 y 7.

2) Dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 13

años. Calcula la edad de Pedro.

Sol.: Sea x la edad actual de Pedro

x −13 la edad hace 13 años de Pedro

x +11 la edad dentro de 11 años de Pedro

Como por condición, dentro de 11 años la edad de Pedro será la mitad del cuadrado de la

edad que tenía hace 13 años, eso significa que: x +11 =

( x−13 )2

2

2 ( x + 11)= (x − 13 )2 Desarrollando para eliminar el denominador

2 x +22= x2 −26 x+169 Efectuando las multiplicaciones

2 x +22 − x2 +26 x−169= 0 Pasando todo al primer miembro



−x2+28 x − 147= 0 Reduciendo y simplificando la ecuación

x2−28 x+147= 0 Multiplicando por -1 toda la ecuación

( x−21 ) ( x−7 ) = 0 Factorizando el trinomio

x − 21 = 0 ; x − 7 = 0 Se iguala cada factor a cero

x = 21

; x = 7 Se despeja la x

Respuesta: la solución x = 7 se desecha, ya que x −13 no puede ser negativo, por lo

que se toma como única respuesta, la solución: x = 21 . Es decir, la edad actual de Pedro

es 21 años.

3) El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el

largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.

Sol.: como el problema se trata de las dimensiones de una sala en forma de un rectángulo,

entonces sus dimensiones: Largo y ancho son diferentes. Luego, el problema permite que la

variable x se asigne a cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.

Supongamos que: x ancho de la sala; como el largo es 3 metros mayor que el ancho, así es

que: x + 3 largo de la sala.

El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos, así: x⋅( x + 3 )= Área de la sala

Como las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros, o sea x + 3 y

el largo aumenta en 2 metros, es decir, ( x + 3 )+2 así que, luego del aumento quedan:

x + 3 nuevo ancho de la sala y x + 5 nuevo largo de la sala

( x + 3 ) ⋅ (x + 5 )= Nueva área de la salaSegún los datos del problema, el área se ha duplicado, así es que planteamos la ecuación:

( x + 3 ) ⋅ (x + 5 )= 2⋅x ⋅ ( x + 3 )

x2+5 x +3 x +15= 2 ( x2 +3 x ) Desarrollando el producto de binomio

x2+5 x +3 x +15= 2 x2 +6 x Efectuando las multiplicaciones

x2+5 x +3 x +15 − 2 x2 −6 x= 0 Pasando todo al primer miembro

−x2+2 x+15= 0 Reduciendo y simplificando la ecuación

x2−2 x−15= 0 Multiplicando por -1 toda la ecuación

( x−5 ) ( x+3 ) = 0 Factorizando el trinomio

x − 5 = 0 ; x + 3 = 0 Se iguala cada factor a cero



x = 5

; x =−3 Se despeja la x

Respuesta: la solución x =−3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser

negativo, por lo que se toma como única respuesta que el ancho original es de 5 metros, o

sea x = 5 . Ahora como el largo original era x + 3 entonces 5 + 3=8 metros, por lo tanto el

área original de la sala era de: 8 m⋅5 m = 40 m2

4) Encuentra la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 3 y −2 .

Sol.: Sea S la suma de las raíces y sea P el producto de las raíces, luego teniendo las dos

propiedades de las soluciones, se tiene que:

S= x1+ x2 = 3 + (−2 ) = 3−2=1P=x1⋅x2 = ( 3 ) (−2 ) =−6

Respuesta: como x2 − S x + P= 0 entonces la ecuación de segundo grado es:

x2 − x − 6= 0

5) Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado.

Las dimensiones están en metros.

Sol.: como el problema se trata de las dimensiones de un un

triángulo entonces, se cumple el Teorema de Pitágoras: "El

cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos" (c2=a2+b2

). La hipotenusa es el lado mayor (2 x − 5 ) y los otros dos son los

catetos, se plantea entonces la ecuación:

x2 + 6 x + 9+ x2 − 8 x + 16 = (2 x )2−2 (2 x ) 5+(5 )2 Desarrollando el cuadrado de los binomios

x2 + 6x + 9+x2 − 8 x + 16 = 4 x2−20 x+25 Efectuando las multiplicaciones

2 x2 − 2 x + 25 = 4 x2−20 x+25 Reduciendo términos semejantes

2 x2 − 2 x + 25−4 x2+20 x−25 = 0 Pasando todo al primer miembro

−2 x2+18 x= 0 Reduciendo términos semejantes

2 x2−18 x= 0 Multiplicando por -1 toda la ecuación

2 x ( x−9 ) = 0 Factorizando el binomio

2 x = 0 ; x − 9 = 0 Se iguala cada factor a cero

x = 0

; x = 9 Se despeja la x



Respuesta: la solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería – 4 metros, lo cual no

es posible. La solución es entonces: x = 9 , y de esta manera, el triángulo tendrá los siguientes

catetos: x+3=9+3=12 metros, x−4=9−4=5metros y su hipotenusa será:

2 x−5=2 (9 )−5=18−5=13 metros. El área de un triángulo es base por altura dividido por 2; la

base y la altura son los dos catetos que están a 90°, por lo tanto el área es:

A = base × altura2

=5 ×122

=602

=30 m2

El perímetro de un triángulo es la suma de los lados, es

decir, P = 5m + 12 m +13m=30 m .

6) Hallar dos números cuya suma es 39 y cuyo producto sea 380.

Sol.: Sea x el primer número. Como la suma de ambos es 39, entonces necesariamente el

otro será: 39−x el segundo número.

El producto de los dos números es 380, es decir: x⋅ (39−x )= 380

Luego, 39 x− x2 = 380

−x2+39 x−380= 0 Ordenando

x2−39 x+380= 0 Multiplicando por -1 toda la ecuación y se identifica los valores

de a=1 , b=−39 , c=380

x = −b ± √b2 − 4 ac2 a

x =−(−39 ) ± √ (−39 )2 − 4 (1 ) (380 )


x = 39 ± √ 1521 − 15202

x = 39 ± √ 12 Como 1 >0 , entonces las raíces serán reales y desiguales

x = 39 ± 12

x1 = 39 + 12

; x2 = 39 − 1


x1 = 402

=20 ;

x2 = 382

=19Son las raíces

Respuesta: los números buscados son 19 y 20.



7) Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

Sol.: Cualquier número par puede expresarse de la forma 2 x . Como se trata del producto de

dos números pares consecutivos, entonces el otro número será: 2 x+2

El producto de los dos números es 168, es decir: 2 x⋅ (2 x+2 )= 168

Luego, 4 x2 +4 x= 168

x2+x−42= 0 Dividiendo entre 4 toda la ecuación

( x+7 ) ( x−6 ) = 0 Factorizando el trinomio

x + 7 = 0 ; x − 6 = 0 Se iguala cada factor a cero

x =−7;

x = 6 Se despeja la x

Respuesta: si la solución es x =−7 entonces los números son 2 x = 2 (−7 )=−14 y el otro sería:

2 x +2= 2 (−7 )+2=−14+2=−12 , es decir los números son -12 y -14. Pero si la solución es

x = 6 entonces los números son 2 x = 2 (6 )=12 y el otro sería: 2 x +2= 2 (6 )+2=12+2=14 ,

es decir los números son 12 y 14. Eso significa que el problema tiene dos soluciones.

8) Una ecuación de segundo grado con una incógnita tiene una solución igual a 3 y el término

independiente vale 15. Calcular la ecuación.

Sol.: Por ser 3 una solución de la ecuación, ésta se puede descomponer de la forma siguiente:

( x−3 ) (x− x2) = 0 donde x2 es la segunda solución de la ecuación. Luego, desarrollando

x2−x x2−3x +3 x2=0

Reorganizando la ecuación, se tiene que: x2− (x2−3 ) x +3 x2=0 , el término independiente

3 x2 y vale 15 , entonces: 3 x2= 15

x2 = 15

3= 5

Luego, el producto es: ( x−3 ) ( x− 5 ) = 0

x2−5 x−3x+15= 0

Respuesta: la ecuación es: x2 − 8x+ 15=0 .

9) Determinar el valor de m para la ecuación 2 x2 − 4 x+ m=0 tenga una raíz doble.



Sol.: Una ecuación de segundo grado tiene raíz doble si su discriminante es cero, Δ=b2−4ac = 0

Δ=( 4 )2−4 (2 ) m

16−8m = 0−8m =−16

m =−16−8

= 2

Respuesta: la ecuación 2 x2 − 4 x+ m=0 tiene una raíz doble si m=2 .

10) Si se aumenta en 4 cm

el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2

. Calcular el área y el perímetro del cuadrado inicial.

Sol.: Sea l el lado del cuadrado, entonces el área será: A=l2

Si se aumenta en 4 cm el lado del cuadrado, es: l+4 , y su área será:

(l+4 )2

Al realizar la transformación, el área aumenta en 104 cm2, es decir: l

2+104=(l+4 )2

l2+104 =( l+4 )2

l2+104 =l2+8 l+16l2+104−l2−8 l−16 =0−8 l+88 =0−8 l =−88

l =−88−8

=11

Respuesta: El área del cuadrado es: A=l2= (11 cm)2= 121 cm2

y el perímetro del

cuadrado es: P=4 ×l= 4 ×11 cm= 44 cm

11) Calcula la hipotenusa de rectángulo, sabiendo que las medidas de

sus lados son tres números consecutivos.

Sol.: Sea x el menor de los catetos, sea x+1 el cateto mediano y la

hipotenusa es el lado mayor del triángulo, es decir: x+2

Aplicando el Teorema de Pitágoras, c2=a2+b2

se tiene que: ( x+2 )2=( x+1 )2+ ( x )2

x2+4 x+4=x2+2 x+1+x2

Desarrollando las potencias

x2+4 x+4−x2−2x−1−x2= 0 Pasando todo al primer miembro

−x2+2 x+3=0 Reduciendo términos semejantes



x2−2x−3= 0 Multiplicando por -1 toda la ecuación

( x−3 ) ( x+1 ) = 0 Factorizando el trinomio

x − 3 = 0 ; x + 1 = 0 Se iguala cada factor a cero

x = 3;

x =−1 Se despeja la x

Respuesta: la solución es x =−1 se desecha, ya que entonces un cateto sería negativo, lo cual

no es posible. Luego la solución entonces es: x = 3 , y de esta manera, el triángulo tendrá los

siguientes catetos: el menor x=3 , el mediano x+1=3+1=4 y la hipotenusa será:

x+2=3+2=5 .

12) En un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si

disminuimos en 1 cm cada lado, el área inicial disminuye en

15 cm2. Calcula las dimensiones y el área del rectángulo

inicial.

Solución: Sea x la altura del rectángulo, entonces según la

condición: 3 x será la base, por lo que su área será: 3 x⋅x= A

Si disminuimos en 1 cm cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm2 es decir,

(3 x−1 )⋅ ( x−1 )=A−15 trabajando la ecuación, se tiene que:

(3 x−1 )⋅ ( x−1 )=3x⋅ x−15 Reemplazando el valor de área

3 x2−3 x−x+1=3 x2−15 Efectuando las multiplicaciones

3 x2−3 x−x+1−3 x2+15=0 Pasando todo al primer miembro

−4 x+16=0 Reduciendo términos semejantes

−4 x =−16

x =−16−4

= 4Despejando la variable

Respuesta: la altura es x = 4 , es decir, 4 cm y la base será: 3 x = 3 ( 4cm )=12 cm y el ´área del

rectángulo es: A=3 x ⋅x= 3 x2=3 ( 4 cm )2=3 (16 cm2 )=48 cm2

13) Determinar el valor de k , de modo que las dos raíces de la ecuación x2 − kx + 36=0 sean

iguales.



Solución: Una ecuación de segundo grado tiene las raíces iguales si su discriminante es cero,

Δ=b2−4 ac = 0

(k )2− 4 (1 ) (36 ) = 0

k 2− 144 = 0k 2 = 144√k2 = √144k =±12

Respuesta: en la ecuación x2 − kx + 36=0 para que las dos raíces sean iguales el valor

de k es: k=−12 y k=12 .

14) La suma de dos números 5 y su producto es -84. Hallar dichos números.

Solución: Usando la expresión x2 − S x + P= 0 por las propiedades de las raíces, se tiene que,

la ecuación será: x2 − 5 x − 84= 0

x2−5 x−84= 0 Se identifica los valores de a=1 , b=− 5 , c=− 84

x = −b ± √b2 − 4 ac2 a

x =−(−5 ) ± √ (−5 )2 − 4 (1 ) (−84 )


x = 5 ± √ 25 + 3362

x = 5 ± √ 3612 Como √361 >0 , las raíces son reales y desiguales

x = 5 ± 192

x1 = 5+192

; x2 = 5 − 19


x1 = 242

=12 ;

x2 = −142

=−7Son las raíces

Respuesta: los números buscados son -7 y 12.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. La suma de dos números es 12 y la suma de sus cuadrados es 109. Halle ambos números.



2. Dentro de 20 años la edad de Miguel será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 4

años. Calcula la edad de Miguel.

3. La altura de un triángulo rectángulo es 2 cm menor que la base, su área es de 684 cm 2.

¿Cuáles son las medidas de las dimensiones: la base y de la altura del triángulo?

4. Hallar las dimensiones de un salón de reuniones en forma rectangular, si la altura es igual a lo

que mide su base meno 55 m y su área es de 750 m2. ¿Cuáles son las medidas de las

dimensiones: la base y de la altura del salón?

5. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado.

Las dimensiones están en metros.

6. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea

224

7. Determinar el valor de k , de modo que las dos raíces de la

ecuación x2 − kx + 25=0 sean iguales.

Respuestas: 1) Los números son 5 y 7 2) Miguel tiene 12 años 3) La base es de 38 cm y la altura de 36 cm 4) La base es de 30 m y la altura de 25 m 5) El área es de 24 m 2 y el perímetro es de 24 m 6) Tiene dos soluciones: los pares de números -16 y -14 pero también se cumple para 14 y 16. 7) El valor de k es: k=−10 y k=10 .



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s157fa28ff9e90816.jimcontent.com · Web viewElaborado por la Profa.: Xenia Batista ([email protected]) xeniabatista.jimdo.com 2014 26 RESUMEN UNIDAD N 5: LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS