LICEO TÉCNICO BICENTENARIO JUANITA FERNANDEZ SOLARDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

MATEMÁTICA - GUÍA DE APRENDIZAJE PRIMERO MEDIO – ETAPA 6

INSTRUCCIONES GENERALESEstimada estudiante, en la plataforma de Aula Virtual del establecimiento encontrarás una guía de aprendizaje, la que debes desarrollar para alcanzar los aprendizajes esperados para esta etapa. Esta etapa es formativa, por lo que no se envía guía evaluada, sin embargo, los contenidos abordados en esta etapa serán considerados en la evaluación de síntesis. El desarrollo de esta guía NO la debes enviar a tu respectivo profesor de matemática, ya que, los avances se medirán a través de formularios online compartidos en las clases o a través de tu correo institucional.CORREOS ELECTRÓNICOS PARA CONSULTAS

Patricio Undurragapatricioundurraga@liceotecnicolosangeles.cl Valeria Artigasvaleriaartigas@liceotecnicolosangeles.clErick Ferreiraerickferreira@liceotecnicolosangeles.cl César Tapiacesartapia@liceotecnicolosangeles.cl

FECHA DE TÉRMINO ETAPA 609 de Noviembre de 2020

PÁGINAS DEL TEXTO ESCOLAR A UTILIZARPáginas del texto escolar para apoyar el trabajo con el material de estudio enviado: 200 – 209

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Objetivo: Aplicar propiedades de semejanza y de proporcionalidad a modelos a escala y otras situaciones de la vida diaria.Comprender los criterios de semejanza en figuras geométricasRAZÓN ENTRE SEGMENTOS

La razón (r ) entre dos segmentos AB y CD es la razón entre la longitud de AB y la longitud de CD, es decir

r= ABCD

En palabras más simples, una razón es una comparación entre dos cantidades mediante una división.Ejemplos:

La razón entre las medidas de AB

y CD

es: r= ABCD

=35

.

En cambio, la razón entre las medidas de CD y AB es de 53 . La razón entre las medidas de AB y EF es: r= ABEF=3

2. En cambio, la razón entre las medidas de EF y AB es de 23 .

Ejercicio resuelto: Si AB mide 5 cm, ¿cuánto debe medir CD, si está en la razón 13 con AB?Supongamos que la longitud de CD mide x, entonces la razón entre ambos segmentos la expresamos como:

r=CDAB→ 13= x5→3∙ x=1 ∙5→x=5

3

Por lo tanto, CD mide aproximadamente 1,7 cmSEGMENTOS PROPORCIONALES

Si las medidas de un par de segmentos están en la misma razón que las medidas de otro par, entonces los pares de segmentos son proporcionales entre sí.En palabras más simples, una proporción es una igualdad entre dos o más razones.2

Como entonces son segmentos proporcionales

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Ejemplo:PQ=1cm; RS=3cm; EF=2cm;GH=6 cm

PQRS

=13

EFGH

=26=13

SEMEJANZA DE FIGURASDos figuras son semejantes (~) cuando tienen la misma forma. Además, se debe cumplir que: sus ángulos interiores correspondientes son congruentes y la razón entre las medidas de sus lados correspondientes es constante.Ejemplo:Para que el cuadrilátero ADCB sea semejante con el cuadrilátero EHGF, se debe cumplir:

1. Los ángulos correspondientes tienen la misma medida: = ’ , = ’ , = ’ , = ’.2. La medida de los lados correspondientes son proporcionales. La constante de proporcionalidad k recibe el nombre de razón de semejanza.ABEF

= BCFG

= CDGH

= ADEH

=k

Actividad: 1.- Un fotógrafo ha tomado una foto con forma rectangular, como se aprecia en la imagen. Luego quiere obtener otra fotografía que sea semejante a la que tomo inicialmente. Si la otra fotografía quiere que de ancho mida 6 cm, para que sea semejante a la fotografía original, ¿cuál debe ser la medida de su otro lado?

Borrador de la fotografía semejante a la original

3

6 cm

x

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Para que ambas fotografías sean semejantes se deben cumplir dos condiciones:1) Los ángulos correspondientes deben tener la misma medida. Esto se cumple, ya que, como son rectángulos tienen la característica de que sus ángulos miden todos 90º2) Las medidas de los lados correspondientes son proporcionales. Para que esto se cumpla, las medidas de los lados correspondientes deben tener la misma razón de semejanza96=12x→9 ∙ x=12 ∙6→x=12 ∙6

9→x=8

Por lo tanto, el largo de la fotografía debe medir 8 cm para que sea semejante a la original

2.- Explica si los siguientes polígonos son semejantes o no. Argumenta tu afirmación.¿Son semejantes? …. Si …. No ¿Son semejantes? ….. Si ….. No Explica: Explica:

3.- Calcula la medida del lado que falta en los siguientes polígonos semejantes. a) Calcula la medida del lado FE.

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b) Calcula la medida de los lados SD y ND.

c) Calcula la medida del lado B’C ’

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOSLos criterios de semejanza de triángulos establecen condiciones suficientes para decidir si dos triángulos son o no semejantes.Criterio Lado, Ángulo, Lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si dos lados correspondientes tienen medidas proporcionales y el ángulo comprendido por ellos tienen igual medida.Si se cumple que: = ’ ; ABDE= AC

DF Se tiene que ∆ABC ~ ∆DEF.

Criterio Lado, Lado, Lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si los tres pares de lados correspondientes tienen medidas proporcionales.Si se cumple que: ABA ' B '= BC

B' C '= CAC ' A ' Se tiene que ∆ABC ~ ∆A’B’C’

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Criterio ángulo, ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos interiores correspondientes tienen igual medida.Si se cumple que: α=α' =' Se tiene que ∆ABC ~ ∆A’B’C’

Actividad: 1) Determina qué criterio permite explicar la semejanza entre cada par de triángulos. Justifica tu respuesta. a) Criterio: LALJustificación: Las medidas de los lados correspondientes son proporcionales: 1612=86=1 ,3. Además, el ángulo comprendido entre estos segmentos son iguales, por ser opuestos por el vértice: ∠PQN=∠SQR

b) c)

2) A partir de la figura, demuestra que ΔOPQ ~ ΔRPS. ¿Cuál es la razón de semejanza de los triángulos? Criterio: LAL Justificación: Las medidas de los lados correspondientes son proporcionales. 1012= 12

14,4=0 ,83 Por

ende, la razón de semejanza es 0,83Además, el ángulo comprendido entre estos segmentos es el mismo (lo comparten)3) Teniendo en cuenta que los triángulos son semejantes, calcula cada valor desconocido6

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4) Resuelve los siguientes problemas (considerando que los triángulos son semejantes)a. Si la persona mide 1,6 m, ¿cuál es la altura del edificio?

b. Existe un método para calcular la altura de un objeto, el cual consiste en colocar un espejo en el piso y ubicarse en un lugar desde el cual se vea, en el espejo, la parte más alta del objeto. En la figura, ¿cuál es la altura del árbol?

c) Una torre de alta tensión da una sombra y a la misma hora un árbol proyecta una sombra, formándose dos triángulos semejantes (ΔABC ~ ΔADE), como se muestra en la imagen. ¿Cuál es la altura de la torre?

d) Determina la altura del faro, si AB es su sombra a las 9:00 y AD es la sombra del poste de 6 m de alto, a la misma hora.7

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