1s09e85a3b31fd5e07.jimcontent.com/download/version... · Web viewEste módulo pretende suplir las necesidades de nuestros estudiantes, que en su mayoría son de estratos 1 y 2 y no

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CONTROL DIGITAL

DOCENTE:

AGUSTÍN SOTO OTALORA

INGENIERO ELECTRÓNICO

ESP. AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL

MAGISTER EN INGENIERÍA DE CONTROL INDUSTRIAL

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA INGENIERÍA ELECTRÓNICA

CONTROL DIGITAL 38

CAPÍTULO I 37

NEIVA - 2013

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

AGUSTÍN SOTO OTÁLORA

PRÓLOGO

Este módulo de control digital no es un libro, es la recopilación de apuntes que durante 5 años que he venido dictando esta asignatura como docente en el programa de Ingeniería Electrónica de la Universidad Surcolombiana.

Para ello se han tomado como guía muchos libros que aparecen como referencia al final de cada capítulo.

Este módulo pretende suplir las necesidades de nuestros estudiantes, que en su mayoría son de estratos 1 y 2 y no tienen la capacidad económica para adquirir un ejemplar, aunque la biblioteca de la Universidad tiene el número que recomienda el ministerio de educación nacional, no es suficiente.

El objetivo que se ha perseguido al redactar este módulo es que el estudiante tenga a mano desarrollado todo el contenido curricular del curso CONTROL DIGITAL, cosa que es difícil encontrar en un solo libro, aunque en la actualidad hay muy buenos textos.

El módulo de control digital intenta exponer, en forma razonada y clara la teoría y práctica del control digital al emplear en el control de procesos un computador o un microprocesador en los lazos de control.

Los ochos capítulos desarrollados en este módulo tienen la particularidad que no tiene ningún libro hasta ahora y es que se hace un desarrollo tanto analítico y por mat-lab de todos los problemas de análisis como de diseño.

AGUSTÍN SOTO OTÁLORA

1. ECUACIONES EN DIFERENCIA Y TRANSFORMADA Z1.1 ECUACIONES EN DIFERENCIA

Una ecuación en diferencias es una ecuación que relaciona varias secuencias con ellas mismas desplazadas (o sea, una ecuación de recurrencia).

1.1.1 DIFERENCIA FINITA

Sea una función para k Z, se llama primera diferencia, o diferencia finita de primer grado de a la expresión dada por

, gráficamente es

FIGURA 1.1

De esta manera vemos que corresponde al incremento que sufre cuando la variable k se incrementa en una unidad.

Ejemplo:

Si

hallar la diferencia de primer orden.

Solución:

Como se observa, a partir del resultado del ejemplo anterior, es otra función que depende de la misma variable k, por tanto se puede hablar de la segunda diferencia de (o primera diferencia de ). Esta se escribe:

y así sucesivamente para diferencias de orden mayor.

EJERCICIOS

Hallar la primera y segunda diferencia de cada una de las siguientes funciones.

1.

2.

3.

1.1.2. ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA DE PRIMER ORDEN

Una ecuación que relacione los valores de una función con una o varias de sus diferencias finitas, se llama ecuación de diferencia finita en .

En adelante se llamará simplemente ecuaciones de diferencia. El orden de estas ecuaciones lo determina la diferencia de mayor grado que se encuentre en la ecuación.

Ejemplos:

1.

2.

3. 1.1.3. MODELAJE DE SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO MEDIANTE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

Como los sistemas de tiempo discreto que se usan aquí no son tomados del mundo físico real (la naturaleza) sino que son una invención del hombre, normalmente no parten de un modelo físico, como ocurría en los sistemas de tiempo continuo, sino que directamente se representan mediante algún tipo de modelo matemático.

Lo más normal es que los sistemas de tiempo discreto se representen gráficamente mediante diagramas de bloques, donde los elementos fundamentales son: multiplicación por una constante, sumador y retardo. Así, un sistema de tiempo discreto puede representarse mediante un diagrama de bloques con estos elementos básicos y de él se puede obtener la ecuación en diferencias correspondiente. Se asume que uk es la entrada, yk es la salida y n es el orden del sistema de tiempo discreto.

Ejemplo: Obtener un modelo matemático para los voltajes de nodo Vk (k= 1, 2, 3, …, N) en la red de resistencias R-2R.

FIGURA 1.2

Solución: Planteando la ecuación de suma de corrientes en l nodo k-1 (voltajes de nodo) se obtiene:

O mejor

para k=2, 3, 4, …, N

Que es la ecuación en diferencias que modela a los voltajes de nodo para la red R-2R. En el nodo N se tiene la restricción impuesta por la ecuación

Ejemplo: Obtener la ecuación en diferencias que modela al sistema de tiempo discreto de la siguiente figura:

FIGURA 1.3

Solución:

Del diagrama de bloques se obtiene:

Y reorganizando queda la ecuación de diferencias así:

Ejemplo: Obtener la ecuación en diferencias que permite modelar al sistema de tiempo discreto representado por el diagrama de bloques de la siguiente figura:1.4

FIGURA 1.4

Solución:

Del diagrama de bloques se tiene que:

quedando la ecuación de diferencias así:

1.1.4. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE DIFERENCIA FINITA

Una función es una solución de la ecuación de diferencia finita si está definida para todo k= 0, 1, 2, 3,... y satisface la ecuación dada. , .

Ejemplo: Probar que es una solución de la ecuación de diferencia:

Solución:

o sea que la función cumple con la ecuación de diferencia dada en el ejemplo.

Existen dos clases de soluciones para una ecuación de diferencia finita: la solución particular y la solución general.

Se llama solución particular a aquella que no tiene constantes arbitrarias y cumple con la definición anterior de solución, como en el caso del ejemplo.

Se llama solución general a aquella que teniendo una o varias constantes arbitrarias, cumple con la definición anterior de solución.

Ejemplo: , donde C es una constante arbitraria, es también una solución de .

EJERCICIOS.

Dada la función averiguar si es la solución de la ecuación correspondiente

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

1.1.5. ECUACIÓN DE DIFERENCIA LINEAL DE PRIMER ORDEN

Se llama ecuación de diferencia lineal de primer orden con coeficientes constantes en Yk a toda expresión de la forma:

con a0, a1 constantes y una función tal que k = 0, 1, 2, 3, …

Ejemplos:

1.

2.

La ecuación en diferencia de orden n es

Se recalca que estas ecuaciones son aplicables si y sólo si el valor de la función en un período cualquiera, está relacionado o depende del valor de dicha función en el período inmediatamente anterior, además la variable independiente debe tomar los valores enteros 0, 1, 2, 3, …

Hasta aquí siempre se ha considerado el intervalo [k, k+1] y sus valores correspondientes de Yk y Yk+1 en los extremos de este intervalo. Sin embargo, se puede presentar otra notación, considerando el intervalo [k-1, k], cuyo valor de serán Yk-1 y Yk respectivamente, por tanto

y la ecuación de diferencia lineal de primer orden con coeficientes constantes se escribirá:

Donde a0, a1 son constantes y es una función que depende de k relacionada con . El manejo de estas ecuaciones es idéntico al de las anteriores, simplemente que Yk de la primera ecuación corresponde a Yk-1 de la segunda y Yk+1 de la primera ecuación corresponde a Yk de la segunda.

Ejemplo: En un instante cualquiera, una señal es igual a las tres cuartas partes de la recibida en el periodo anterior aumentada en 0.2. Plantear una ecuación de diferencia que relacione dos señales consecutivas.

Solución:

ó también:

A manera de ejemplo, consideremos una interesante población de caníbales a la cual se le toma muestras de la población cada 15 años, esta crece la mitad en este periodo. Además el muestreo ha demostrado que dichos caníbales siempre se comen (literalmente) el 80% de la población que había hace dos periodos de muestreo, es decir, 30 años y que además, caníbales inmigrantes de otros pueblos llegan a esta población.

Este es un típico problema de sistemas discretos y queremos modelarlo mediante un ecuación de diferencia, para ello suponemos un periodo de muestreo de 15 años y llamaremos a la salida, es decir, el periodo en que queremos conocer la población de caníbales, donde k puede tomar valores de 0, 1, 2, 3,… etc., y la asumimos como la entrada, es decir los caníbales inmigrantes de otros pueblos, así la población de caníbales en cualquier periodo k (recordar que un periodo son 15 años) , está dada por:

Donde y representan la población de caníbales de hace uno y dos periodos respectivamente.

Se puede organizar la ecuación de tal forma que:

O también

Las anteriores ecuaciones de diferencia modelan el sistema discreto propuesto.

1.1.6. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE DIFERENCIA

Uso de la tabla

Un método para resolver una ecuación de diferencia, no muy práctico pero interesante para conocer la dinámica del sistema es la construcción de una tabla en la cual se van registrando las salidas y entradas para los respectivos periodos en el tiempo conforme éste avanza. Para explicar este método, retomemos el ejemplo de la población de caníbales y calculemos cual sería la oblación en 60 años, es decir 4 periodos de muestreo, suponiendo que en un instante inicial la población existente son los 2 caníbales que cada periodo llegan, inmigrantes de otros pueblos que se toman como entrada al sistema. Conociendo la ecuación de diferencia:

Construimos nuestra tabla así:

k

0

2

0

0

2

1

5

2

0

2

2

7.9

5

2

2

3

9.85

7.9

5

2

4

10.45

9.85

7.9

2

Tabla 1

De la tabla anterior, se llega a la conclusión de que la población de caníbales en 60 años es de 10.45.

Como se puede observar, este método es muy conveniente para mirar la dinámica del sistema, pero que tal si la pregunta fuera cual es la población en 1000 años?. La construcción de la tabla para resolver esta inquietud es muy tediosa, de ahí que mejor se empleen métodos matemáticos para resolver este tipo de ecuaciones de diferencia

SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN DIFERENCIA

SOLUCIÓN ECUACIÓN HOMOGÉNEA

FIGURA 1.5

Caso 1: Si todas las raíces ri son diferentes, la solución general es:

De las condiciones iniciales se determinan las constantes ci:

k= 0, 1, 2, …,n -1

Si todas las ri son diferentes, el conjunto de ecuaciones resultante de esta matriz siempre se puede resolver. Es posible que algunas raíces así como algunas constantes sean complejas conjugadas, pero para condiciones iniciales reales, la solución siempre será real.

Caso 2: en caso de que se presenten raíces reales repetidas con multiplicidad m, se tiene que adicionar a la solución y a la matriz, términos como:

Ejemplo:

Resolver la siguiente ecuación homogénea:

Con condiciones iniciales y[0]=1, y[1]=3, y[2]=0.

La ecuación característica tiene las siguientes raíces:

r1=3, r2 = r3 =2

La solución general está dada por:

ó

Las constantes se calculan de:

De donde c1=-8, c2=9 y c3=4.5. Obteniéndose la solución:

Caso 3: En el caso de tener raíces conjugadas complejas, se puede probar que para condiciones iniciales reales, las constantes ci son también conjugadas complejas. Esto resultará en una solución real.

Por ejemplo si:

,

,

De la solución general:

Se tiene que:

Ejemplo: Supóngase la ecuación de diferencia de segundo orden:

Esta ecuación tiene como ecuación característica asociada a cuyas raíces son:

Lo que implica una solución homogénea de la forma:

Así:

Dependiendo de a, la solución puede tener diferentes formas:

Si <1, las raíces son complejas y significa que:

Por tanto:

De donde:

Las raíces se pueden escribir como:

R=1

La solución es donde depende de las condiciones iniciales.

·

Si a=1 se tiene una raíz que se repite: , de donde la solución es:

·

Si a= -1 las raíces son: , de donde la solución es:

· Si a>1 entonces tenemos raíces reales y se puede aplicar el caso 1.

La ecuación no homogénea

La solución de la ecuación general se obtiene mediante la adición de una solución particular a la solución de la ecuación homogénea, dicha solución particular no necesariamente satisface las condiciones iniciales. Una solución particular puede encontrarse con el método de variación de parámetros o el método de parámetros indeterminados. Este último método propone una solución particular semejante al lado derecho de la ecuación pero con un parámetro indeterminado .

Algunas de las soluciones propuestas dependiendo del lado derecho de la ecuación se muestran en el siguiente cuadro:

Lado derecho de la ecuación en un instante k

Solución propuesta

Polinomio p(k) de grado m

(-1)K

a(-1)K

Tabla 2

Si a ó son raíces de multiplicidad m de la ecuación característica, entonces la

solución propuesta debe ser multiplicada por .

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación:

Con condiciones iniciales y[0]=1, y[1]=3, y[2]=0.

El lado derecho de la ecuación es una serie de potencias y por tanto seleccionamos una solución particular de la misma serie de potencias. Así, se puede seleccionar:

Sustituyendo:

Lo que resulta en:

De donde

Por tanto .

Teniendo en cuenta que la solución a la ecuación homogénea ya fue calculada en el ejemplo anterior, la solución general es:

ó

Ahora calculamos las constantes ci

Resultando

Retomando ahora el problema de caníbales y conociendo su ecuación de diferencia dada por:

Podemos encontrar la solución de la anterior ecuación y de esa forma conocer la población de caníbales en cualquier periodo k sin necesidad de construir una tabla. Para ello, empezamos por la solución a la ecuación homogénea y por tanto necesitamos conocer las raíces de la ecuación característica:

Cuyas raíces son: o expresadas de otra forma:

y

De donde:

Lo que implica una solución homogénea de la forma:

Ahora solucionamos la ecuación particular

El lado derecho de la ecuación es una entrada paso de la forma 2(1[k]) y por tanto la solución propuesta tendrá la forma (1[k]), así en la ecuación:

Se sustituye la solución propuesta y por tanto:

De donde

Por consiguiente la solución total será:

Teniendo en cuenta las raíces complejas la solución se puede escribir como:

Ahora con condiciones iniciales y[0]=2, y[1]=5 se tiene que:

Así tenemos que:

De las anteriores ecuaciones se obtiene que:

Y así:

De donde la solución total estará dada por:

1.2 DEFINICIÓN DE LA TRANSF_Z

Sea x(t) : Señal en tiempo continuo

x(kT) : Señal en tiempo discreto

Principio del formulario

Final del formulario

La transformada z se define de la siguiente manera:

Z[x(kT)] = X(z) =

= x(0) + x(T) z -1 + x(2T) z -2 + ··· + x(kT) z –k + ···

1.3 TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES ELEMENTALES

1.3.1 ESCALÓN UNITARIO

x(kT) =1, kT 0 , y x(kT) = 0, kT 0

Reemplazando en la definición

;donde

Ec. (1)

Si multiplicamos la ecuación (1) en ambos miembros por Z-1

Ec. (2)

Si restamos la ecuación (2) - (1)

La anterior relación se obtiene por Matlab de dos formas:

Utilizando la definición de la transformada Z

>> syms z k %se crean las variables simbólicas z,k

>> f=symsum(z^(-k),k,0,inf);

>> pretty(f) %se arregla la presentación

z

------

-1 + z

Utilizando el comando ztrans


>> g=1^(k); %se crea la función a transformar

>> f=ztrans(g); %se calcula la transformada z


z

------

-1 + z

Para graficar la señal escalón unitaria discreta por Matlab, se hace:

% GENERACIÓN DE ESCALÓN UNITARIO DISCRETO

x = ones (1,11); % define once valores de 1's

v = [0 10 0 2]; % define valores de ejes

axis (v);

plot (x,'ro') % grafica círculos de color rojo

xlabel ('k') % asigna rotulo al eje x

ylabel ('x(k)') % asigna rotulo al eje y

title (‘ESCALON UNITARIO DISCRETO’)

FIGURA 1.6

1.3.2 RAMPA UNITARIA

% GENERACIÓN DE LA RAMPA UNITARIA DISCRETA

k = 0:10; % define valores de k

x = k; % función rampa para x

axis([0 10 0 10]); % define ejes

grid % rejilla para grafica

plot(k, x,'ro') % grafica x en función de k

xlabel('k'); % rotulo para eje x

ylabel('x(k)'); % rotulo para eje y

title('RAMPA UNITARIA DISCRETA')

FIGURA 1.7

Ec. (1)

Si multiplicamos la ecuación (1) en ambos miembros por z-1

Ec. (2)


Del ejercicio anterior se tiene que




>> f=symsum(z^(-k)*k,k,0,inf);


z

---------

(-1 + z)2



>> g=k; %se crea la función a transformar



z

---------

(-1+z)2

1.3.3 POTENCIAL: a k (a = constante)

%GENERACION DE LA FUNCION POTENCIAL x(k) = 2 k

k=linspace(0,5,20); % define valores de k

x=2.^ k; % función potencial

grid % rejilla para gráfica

plot(k, x,'ro') % gráfica x en función de k



title('POTENCIAL DISCRETA')

FIGURA 1.8

Ec. (1)

Si multiplicamos la ecuación (1) en ambos miembros por

Ec. (2)




>> syms z k a %se crean las variables simbólicas z, k, a

>> f=symsum(z^(-k)*a^(k),k,0,inf);


z

- -----

a - z


>> syms z k a %se crean las variables simbólicas z, k, a

>> g=a^(k); %se crea la función a transformar



z

------------

a (-1 + z/a)

1.3.4 EXPONENCIAL: e -akT (a = constante)

%GENERACION DE LA FUNCION EXPONENCIAL x(k) = e -2k

k = linspace (1,5,20); % define valores de k con

% espaciamiento lineal

x = exp(-2* k); % función exponencial

grid % rejilla para gráfica

plot(k, x,'bo') % gráfica x en función de k



title('EXPONENCIAL DISCRETA')

FIGURA 1.9

Ec. (1)

Si multiplicamos la ecuación (1) en ambos miembros por

Ec. (2)




>> syms z k a T %se crean las variables simbólicas z k a T

>> f=symsum(z^(-k)*exp(-a*k*T),k,0,inf);


z exp(a T)

---------------

-1 + z exp(a T)


>> syms z k a T %se crean las variables simbólicas z k a T

>> g=exp(-a*k*T); %se crea la función a transformar



z

--------------------------

/ z \

exp(-a T) |-1 + ---------|

\ exp(-a T)/

1.3.5 SENOIDAL : sen(wkT)

%GENERACION DE LA FUNCION SENO:

x(k) = sen(wkT)

k = linspace(1,20); % define valores de k con espaciamiento lineal

x = sin(k); % función exponencial

grid % rejilla para grafica

plot(k, x,'bo') % grafica x en función de k


ylabel('x(k) =seno(k)'); % rotulo para eje y

title('SENOIDAL DISCRETA')

FIGURA 1.10

X(z) = Z[x(k)] = Z[sen(wkT)]

Por al ecuación de Euler:

Sen(wkT) = (1/2j) ( e jwkT - e – jwkT), reemplazando,

Z[sen(wkT)] = Z[(1/2j)( e jwkT - e – jwkT)],

aplicando la transf_z de la exponencial,

reemplazando las exponenciales :

1.4 PROPIEDADES Y TEOREMAS.

1.4.1 MULTIPLICACIÓN POR UNA CONSTANTE

Z[a x(k)] = a Z[x(k)] = a X(z)

1.4.2 LINEALIDAD

Si x(kT) = a f(kT) + b g(kT), entonces,

X(z) = a F(z) + b G(z)

1.4.3 MULTIPLICACIÓN POR a k

Si y(kT) = a k x(kT), entonces,

Z[a k y(kT)] =a k x(kT) z – k

x(kT) (a -1 z) – k = X(a -1 z)

1.4.4 TEOREMA DE TRASLACIÓN

Si y(kT) = e - akT x(kT), entonces,

Z[e - akT x(kT)] = e -akT x(kT) z – k

x(kT) (e aT z) – k = X(e aT z)

1.4.5 TEOREMA DEL CORRIMIENTO

Corrimiento hacia atrás:

Z[x(k-n)T] = z – n Z[x(k)] = z – n X(z)

Corrimiento hacia adelante:

Z[x(k+n)T] = z n [ X(z) – x(kT)*z –k ]

= z n X(z) - z n x(0) - z n-1 x(1) - z n-2 x(2) - ········· - z x(n-1)

Ejemplo:

Z[x(k+3)T] = z 3 X(z) - z 3 x(0) - z 2 x(1) - z x(2)

1.4.6 SUMA DE FUNCIONES

Sea y(k) = x(h) , para k = 0,1, 2, ······

y(k) = x(0) + x(1) + x(2) + ········ + x(k-1) + x(k)

y(k-1) = x(0) + x(1) + x(2) + ········ + x(k-1), restando estas dos expresiones,

y(k) - y(k-1) = x(k), sacando Transf._Z,

Y(z) – z – 1Y(z) = X(z), entonces despejando Y(z) se tiene que:

.4.7 TEOREMA DEL VALOR INICIAL

Si el límite lim X(z) existe, entonces el valor inicial de x(k) = x(0) es igual a:

1.4.8 TEOREMA DEL VALOR FINAL

El valor final de x(k), o sea, cuando (Si X(z) es estable) , es:

Este se aplica si el sistema es estable.

EJEMPLO 1-1

Encontrar la transformada Z de una función escalón de amplitud 4 y desfase en atraso de 3 periodos de muestreo.

Solución:

x(kT) = 4*u(kT- 3T), asumiendo T = 1 por simplicidad,

x(k) = 4u(k-3)

Z[4u(k-3)] = 4Z[u(k-3)] = 4 z - 3Z[u(k)]

aplicando teorema de corrimiento en atraso

X(z) = 4 z -3 (1/ (1-z – 1)) = 4 / (z 3 – z 2)

EJEMPLO 1-2

Obtener la transformada Z de y(k) = 5 k – 2 para k = 1, 2, 3, .... e igual a cero para k 0.

Solución:

Sea x(k) = 5 k, entonces y(k) = x(k – 2) = 5 k – 2

Z[y(k)] = Z[5 k – 2] = Z[x(k -2)] = z – 2 Z[x(k)] = z - 2 Z[5 k ] = z – 2 * 1/(1 – 5 z – 1)

Z[5 k – 2] = 1 / (z 2 – 5 z)

EJEMPLO 1-3

Obtener la transformada Z de y(k) =k e – 5k para k = 1, 2, 3, .... e igual a cero para k 0.

Solución:

Sea x(k) = k, entonces, X(z) = z – 1 / (1 – z – 1) 2 , y además, y(k) = e – 5k x(k ) ,

Aplicando teorema de traslación,

Z[y(k)] = Z[k e – 5k ] = X(e 5k z )] , reemplazando , en X(z) se tiene:

EJEMPLO 1-4

Determinar el valor inicial x(0) de una señal si su transformada Z es igual a :

Aplicando el Teorema de valor inicial,

EJEMPLO 1-5

Determinar el valor final x(∞) de una señal si su transformada Z es igual a:

EJEMPLO 1-6

Obtener la transformada Z de la figura dada. Tiempo de muestreo = 1.0

FIGURA 1.11

Si x(k) = (1/3)k (rampa de pendiente 1/3)

y(k) = x(k) – x(k- 3), entonces,

Y(z) = z[y(k)] = z[(1/3)k] –z - 3z[(1/3)k]

1.5 TRANSFORMADA Z INVERSA

Con la transformada Z inversa se obtiene la señal discreta en los instantes de muestreo x(kT). Los siguientes son los métodos más utilizados para obtener la transformada Z inversa.

1.5.1 MÉTODO DE DIVISIÓN DIRECTA

El método consiste en arreglar la función X(z) en términos de z – 1 tanto el numerador como el denominador, dividir algebraicamente el numerador entre el denominador y su cociente mediante comparación con la definición de X(z) encontrar la señal x(kT).

x(0) + x(1) z – 1 + x(2) z –2 + x(3) z – 3 + ······ + x(k) z – k

EJEMPLO 1-7

Obtener la transformada Z inversa x(k) de:

multiplicando numerador y denominador por z – 2,

dividiendo numerador entre denominador, se tiene,

X(z) = 5 z – 1 + 15 z – 2 + 14.2 z – 3 + 11.8 z – 4 + ···

Comparando con la definición de X(z), se obtiene que:

X(0) = 0, x(1) = 5, x(2) =15, x(3) = 14.2, x(4) = 11.8, ···

Si se quiere obtener más muestras de la señal, es mejor aplicar Matlab de esta forma:

% EJEMPLO 1-6: DE TRANSFORMADA Z INVERSA

x = [1 zeros(1,40)]; % para k = 40 muestras

num = [0 5 10]; % coeficientes del numerador

den = [1 -1 0.16]; % coeficientes del denominador

y = filter(num,den,x) % obtención de las 40 muestras

k = 0:40;

plot(k,y,'ro',k,y,'-')

xlabel('k')

ylabel('y(k)')

Los 40 resultados obtenidos de x(0) hasta x(39) son:

0 5.0000 15.0000 14.2000 11.8000 9.5280 7.6400

6.1155 4.8931 3.9146 3.1317 2.5054 2.0043 1.6035

1.2828 1.0262 0.8210 0.6568 0.5254 0.4203 0.3363

0.2690 0.2152 0.1722 0.1377 0.1102 0.0882 0.0705

0.0564 0.0451 0.0361 0.0289 0.0231 0.0185 0.0148

0.0118 0.0095 0.0076 0.0061 0.0048 0.0039

Cuya representación gráfica es la siguiente:

FIGURA 1.12

1.5.2 MÉTODO DE FRACCIONES PARCIALES

Consiste el método en expandir la función X(z) en fracciones parciales con el fin de que queden términos más simples y luego encontrar a cada fracción la transformada Z inversa.

EJEMPLO 1-8

Obtener la transformada Z Inversa de:

Para representar esta función en fracciones parciales usamos el comando Matlab residue que encuentra los valores del vector r, del vector p y del término independiente k según la siguiente expresión:

Usando Matlab:

num = [5 26 44 29];

den = [1 6 11 6];

[r, p, k] = residue(num,den)

% Los resultados son:

r = [-2 -5 3], p = [-3 -2 -1], k = 5,

por tanto, las fracciones parciales quedan :

Multiplicando por z-1 :

Si se supone que:

v(k) = ak

Z[a k – 1] = Z[v(k -1)] = z – 1 Z[v(k)] = z - 1 Z[a k ] = z – 1 * 1/(1 – a z – 1)

entonces ,

x(k) = -2(-3) k – 1 -5(-2)k – 1 +3(-1)k – 1 + 5δk

donde δk es el delta kronecker (delta de Dirac en control continuo) cuya transformada Z es igual a 1.

1.5.3 MÉTODO DE LOS RESIDUOS

El método plantea que:

x(kT) = (residuos de X(z) z k - 1 en el polo z = zi )

x(kT) = k1 + k2 +······· + km

(a) Si X(z) z k – 1 tiene un polo simple en z = zi , entonces, el residuo es :

(b) Si X(z) z k – 1 tiene un polo múltiple en z = zi de orden q, entonces,

el residuo es:

EJEMPLO 1-9

CASO POLO SIMPLE.

Se halla

tiene tres polos simples en z=2, z=3, z=1

Calculo de

POR MATLAB

num=[0 0 1 0];% coeficientes del numerador hay que colocar los ceros para hallar Xz1

den=[1 -6 11 -6];% coeficientes del denominador

Xz=tf(num,den,-1); % función de transferencia en términos de z

pole(Xz)% obtención de polos

% la función tiene polos simple en z =2, z=3 z=1

% se debe reconstruir la función para aplicar el

% comando limit de Matlab

syms z

Xz1 = sum(num.*[z^3 z^2 z 1])/sum(den.*[z^3 z^2 z 1])

% a) cálculo del residuo para k1,k2,k3 plos simples

syms z k

k1 =limit ((z-2)*Xz1*z ^(k-1),z,2)

k2=limit((z-3)*Xz1*z^(k-1),z,3)

k3=limit((z-1)*Xz1*z^(k-1),z,1)

%X(k)=k1+k2+k3

CASO POLO MULTIPLE.

X(k)=K1+K2

Hallamos K1 que corresponde al polo simple

Ahora hallamos K2 que corresponde al polo múltiple

Ahora resolvamos el mismo ejercicio por MAT-LAB

% EJEMPLO 1-9 : PROGRAMA EN MATLAB

num=[0 3 -9 0]; % coeficientes del numerador

den=[1 -1.8 1.05 -0.2];% coeficientes del denominador

Xz=tf(num,den,-1); % función de transferencia en

% términos de z

pole(Xz) % obtención de polos

% la función tiene un polo simple en z = 0.8 y un polo

% doble en z = 0.5

% se debe reconstruir la función para aplicar el

% comando limit de Matlab

syms z

Xz1 = sum(num.*[z^3 z^2 z 1])/sum(den.*[z^3 z^2 z 1]);

% a) cálculo del residuo para el polo simple

syms z k

k1 =limit ((z-0.8)*Xz1*z ^(k-1),z,0.8)

% k1 = -220/3*4^ k/(5^ k)

% b) cálculo del residuo para el polo doble

h=diff((z-0.5)^2*Xz1*z^(k-1),1) % primera derivada

k2=limit(h,z,0.5)

%K2=1/3*(220+150*k)/(2^k)

x(k) = k1 + k2 = -220/3*4^ k/(5^ k) + 1/3*(220+150*k)/(2^k)

1.5.4 UTILIZANDO MATLAB PARA HALLAR Z INVERSA

Para calcular una transformada Z inversa se utiliza el comando iztrans


>> g=z/(z-1); %se crea la función a transformar

>> f=iztrans(g);%se calcula la transformada z inversa



>> g=z/(z-1)^2; %se crea la función a transformar

>> f=iztrans(g); %se calcula la transformada z inversa

>> pretty(f) %se arregla la present

>> syms z k a %se crean las variables simbólicas z,k

>> g=z/(z-a); %se crea la función a transformar

>> f=iztrans(g); %se calcula la transformada z


1.6 ECUACIONES EN DIFERENCIA

Considérese un sistema discreto LTI (Lineal e invariante en el tiempo) dado por la ecuación en diferencias:

x(k) + a1 x(k-1) + a2 x(k-2) +··· +an x(k-n) = b0 u(k) + b1 u(k-1) + b2 u(k-2) +····+bn u(k-n)

donde u(k) es la entrada al sistema y x(k) es la salida.

La forma de solucionar esta ecuación en diferencia consiste en calcular la transformada Z, luego aplicar las condiciones iniciales dadas y por último obtener la transformada Z inversa. Se debe recordar que:

Z[x(k-n)T] = z – n Z[x(k)] = z – n X(z), y,

Z[x(k+n)T] = z n [ X(z) – x(kT)*z –k ] =

z n X(z) - z n x(0) - z n-1 x(1) - z n-2 x(2) - ········· - z x(n-1)

EJEMPLO 1-10

Resolver la siguiente ecuación en diferencias.

x( k +2) + 5x(k +1) + 6x(k) = 0

Condiciones iniciales: x(0) = 0, x(1) = 1

Solución :

a) Aplicando Transf._Z, se tiene:

[z 2 X(z) - z 2 x(0) - z x(1)] + 5[z X(z) - z x(0)] + 6 X(z) = 0

b) Sustituyendo condiciones iniciales:

[z 2 X(z) - z 2 (0) - z (1)] + 5[z X(z) - z (0)] + 6 X(z) = 0

= z 2 X(z) - z + 5z X(z) + 6 X(z) = 0

despejando X(z):

(fracciones parciales)

c) Obtener la transf_z inversa :

Sabiendo que, z[ ak ] = 1/ (1 – a z – 1), entonces ,

Por tanto su Transf._Z inversa es:

x(k) = (-2)k – (-3)k

EJEMPLO 1-11


a) Aplicando Transf._Z, se tiene: x(k) + 5x(k-1) + 6x(k-2) = u(k), donde u(k) es el escalón unitario

Solución :

X(z) + 5 z – 1 X(z) + 6 z - 2 X(z) = U(z), pero U(z) = 1 / (1 – z- 1)

Despejando X(z) :

b) Obtener la transf_z inversa:

% Aplicando Matlab para encontrar las fracciones parciales

Xz = zpk([0 0 0 ], [1 -2 -3], 1, -1);

Xz = tf(Xz)

pole(Xz)

% tiene polos simples en : -3.0000 -2.0000 1.0000

[num,den]=tfdata(Xz,'v')

[r,p,k]=residue(num,den)

% r = -6.7500 2.6667 0.0833

% p = -3.0000 -2.0000 1.0000

% k = 1

Con base en lo anterior,

Multiplicando por z-1 :

Sabiendo que, z[ak] = 1/ (1 – a z – 1), entonces ,

x(k) = (-3)k + 6.75(-3)k - 1 + (-2)k - 2.6667(-2)k – 1 + (1)k – 0.0833(1)k – 1 + δk

= (-3)k + 6.75(-1/3)(-3)k + (-2)k – 2.6667(-1/2) (-2)k + 1 - 0.0833 + δk

x(k) = -5/4*(-3)k + 7/3*(-2)k + 0.9167 + δk

EJEMPLO 1-12


x (k + 2) + 0.5x (k + 1) + 0.2x(k) = u(k + 1) + 0.3u(k), (1)

Condiciones iniciales:

x(k) = 0, para k 0 y u(k) = 0, para k 0 y además,

u(0) = 1.5, u(1) = 0.5, u(2) = -0.5, u(k) =0 para k = 3, 4, 5, ·······

Solución :

a) Aplicando Transf._Z, se tiene:

[ z 2 X(z) – z2 x(0) – z x(1) ] + 0.5[ z X(z) – z x(0)] + 0.2 X(z)

= [z U(z) –z u(0)] + 0.3 U(z) (2)

b) Sustituyendo condiciones iniciales:

Como no se conoce x(1), se debe encontrar reemplazando k por -1 en la ecuación (1),

x(-1+2) + 0.5x(-1+1) + 0.2x(-1) = u(-1+1) + 0.3u(-1), entonces,

x(1) + 0.5 x(0) + 0.2 x(-1) = u(0) + 0.3 u(-1),

de las condiciones iniciales, x(0)=0, x(-1)= 0, u(0) = 1.5, u(-1) = 0,

reemplazando se tiene que,

x(1) = 1.5

encontrado x(1) se sustituyen condiciones iniciales en (2),

[ z 2 X(z) – z (1.5) ] + 0.5[ z X(z) ] + 0.2 X(z) = [z U(z) - z (1.5)] + 0.3 U(z) (2)

Despejando X(z):

k=0

= 1.5 + 0.5 z – 1 - 0.5 z – 2 , reemplazando,

Para obtener la señal discreta por Matlab:

% OBTENER DIEZ VALORES DE LA SEÑAL

num = [0 1.5 0.95 -0.35 -0.15];

den = [1 0.5 0.2 0 0];

u = [1 zeros(1,10)];

xk = filter(num,den,u)

k = 0:10;

stem(xk, k) % grafica la señal muestreada

Valores x(k) dados por Matlab:

x(0)= 0, x(1)= 1.5000, x(2)= 0.2000, x(3)=-0.7500, x(4)= 0.1850, x(5)= 0.0575

x(6)= -0.0658, x(7)= 0.0214, x(8)= 0.0025, x(9)= -0.0055, x(10)= 0.0023

Ejemplo 1-13 canibales

Considerando la transformada Z de una secuencia desplazada en el tiempo, la TZ de (1) será,

De esta manera, se tiene que,

De donde,

Ahora bien, definiendo la transformada Z de la función de excitación (entrada),

Considerando (3) en (2),

Ahora bien, para que la función racional (4) sea una fracción propia, y se puede realizar su descomposición en fracciones parciales, se transformara (4) como sigue:

Donde y serán numero complejos conjugados, considerando el orden del polinomio de z.

Realizando la descomposición a través de MatLab se tiene,

>> num = [2 0 0 ];

>> den = [1 -2.5 2.3 -0.8];

>> [r ,p, k] = residue(num,den);

r =

6.6667

-2.3333 - 1.8810i

-2.3333 + 1.8810i

p =

1.0000

0.7500 + 0.4873i

0.7500 - 0.4873i

k =

[]

Donde la estructura [r, p, k] corresponde a los coeficientes –r-, los polos de la fracción racional –p-, y los términos enteros –k-.De esta manera se tiene que la expresión (5) se transforma en:

Determinando la transformada inversa Z de la expresión (7) se tiene:

M-FILE asociado

function y = tz(x)

num = [2 0 0 ];

den = [1 -2.5 2.3 -0.8];

[r ,p, k] = residue(num,den);

y = (r(1))*(p(1).^x) + (r(2))* (p(2).^x) + (r(3))*(p(3).^x);

end

EJECUCION EN EL WORKSPACE

>> x = 0:1:15;

>> tz(x)

FIGURA 1.13

TRANSFORMADA Z MODIFICADA.

Los comportamientos entre los puntos de muestreo pueden ser investigados utilizando la transformada Z modificada. Esta es la transformada Z ordinaria, solamente retrasada mT segundos, la cual es una fracción del periodo de muestreo, ya que 0

Aplicando el teorema de corrimiento hacia atrás se tiene:

Ejemplo 1.14

Hallar la Z modificada de

La transformada Z modificada se puede calcular de dos formas:

Por tablas

Matemáticamente

Por la forma matemática se tiene

con un polo de F(s)

F(Z)=lim Z*F(Z,m)

m=0

La transformada Z modificada también se utiliza cuando la función de transferencia de un sistema, presenta un tiempo muerto o retardo .

Asumiendo que la función de transferencia del sistema está dada por:

En donde no contiene tiempo muerto y es el tiempo muerto, el procedimiento para evaluar la transformada z de esta función es el siguiente:

Sea

En donde T es el periodo de muestreo y N es la parte entera del cociente:

Reemplazando en la función de transferencia de la planta se tiene:

Aplicando la transformada z

El termino se define como la transformada z modificada de y se denota por . Entonces:

En donde

EJEMPLO

Hallar la transformada z de la función

Asumir que el periodo de muestreo es T=1s.

SOLUCION

Por tabla transformada de Z modificada, se tiene:

Ahora con N=1 y y utilizando la ecuación

Se tiene:

Por MATLAB se tiene:

sys=tf(5,[1 6 9])

set(sys,'outputdelaY',0.3)

gpz=c2d(sys,1,'impulse') %%1 es el periodo de muestreo

zpk(gpz)

Mat-lab me entrega,

0.4286 (z+0.02134)

------------------

(z-0.04979)^2

Hay que multiplicar por el retardo Z-N que en este caso es: Z-1

89TABLA DE LA TRANSFORMADA Z MODIFICADA

EJERCICIOS CAPÍTULO I

1) Clasifique los sistemas definidos por cada una de las relaciones entrada salida

especificaciones.

a) d)

b) e)

c)

2) Resuelva la siguiente ecuación es diferencias:

Donde x(k)=0 para k<0 y

3) Considere la ecuación en diferencias

Donde x(k) es la salida y x(k)=0 para y donde u(k) es la entrada y está dada por

u(k)=0, u(k)=0, k=3, 4, 5, u(0)=1 u(1)=0.2142 u(2)=-0.2142

u(0)=1u(1)=0.2142 u(2)=-0.2142

determine la salida x(k).

4) Obtenga la transformada z de la curva x(t) que se muestra en la figura

5) Dada la transformada z

Determine los valores inicial y final de x(k). También encuentre x(k), la transformada z inversa de X(z), en una forma cerrada

6) Obtenga la transformada z inversa de en una forma cerrada.

7) Resuelva la siguiente ecuación en diferencias:

Donde x(0)=1 y x(1)=2. La función de entrada u(k) está dada por

u(k)=1,k= 0, 1, 2, …

Resuelva este problema tanto de manera analítica como por MATLAB.

8) Desarrollar por fracciones parciales y por series de potencias

9) Deducir la transformada z para

10) Encuentre f(kT) si

11) Para cada F(z), encuentre f(kT) usando fracciones parciales

a)

b)

c)

12) Repita el punto anterior usando Matlab.

BIBLIOGRAFIA BASICA

SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO.

AUTOR: Katsuhito Ogata.

EDITORIAL: Pearson

SISTEMAS DE CONTROL DIGITAL

AUTOR: BENJAMIN C. KUO

EDITORIAL: CECSA

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA

SISTEMAS Y SEÑALES

AUTOR: LUIS BENIGNO GUTIERREZ ZEA

EDTORIAL: UNIVERSIDAD PONTIFICIA BOLIVARIANA TOMO I Y II

DIGITAL CONTROL using digital signal processing.

AUTOR: FARZAD NEKOOGAR

EDITORIAL: Prentice Hall

SENALES Y SISTEMAS.

AUTOR: ALAN V. OPPENHEIM

EDITORIAL: Pearson

MATLAB.

AUTOR: MAYH WORKS

EDITORIAL: Prentice Hall

MATEMATICAS AVANZADAS PARA CONTROL(APUNTES).

AUTOR: P.H.D JOSE ALDEMAR MUNOZ H.

3

2

1

+

=

-

+

k

Y

Y

k

k

3

=

k

Y

0

1

=

-

+

k

k

Y

Y

C

k

k

Y

k

+

+

=

2

*

)

1

(

k

Y

Y

k

k

=

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1

k

Y

k

+

=

1

1

1

3

1

-

=

-

+

k

k

Y

Y

2

3

1

1

+

+

=

k

k

Y

k

k

k

Y

Y

Y

+

=

+

1

1

k

k

Y

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

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=

2

1

1

3

2

1

=

+

+

k

k

Y

Y

)

1

2

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3

1

-

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-

k

k

Y

1

2

1

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+

k

k

Y

Y

k

k

e

Y

=

k

k

k

Y

e

Y

Y

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1

(

1

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=

-

+

]

[

0

1

1

k

f

Y

a

Y

a

k

k

=

+

+

]

[

k

f

1

3

5

1

+

=

+

+

k

Y

Y

k

k

k

k

k

Y

Y

2

2

1

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-

+

k

k

k

n

k

n

n

k

n

U

Y

a

Y

a

Y

a

Y

a

=

+

+

+

+

+

-

+

-

+

0

1

1

1

1

K

k

k

Y

Y

k

f

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=

D

-

1

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[

]

[

1

1

0

1

k

f

Y

a

Y

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k

k

=

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-

]

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1

k

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2

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0

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.

0

1

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=

+

k

k

Y

Y

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k

m

k

k

k

n

k

n

k

k

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u

b

u

b

u

b

u

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y

a

y

a

y

a

y

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-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

=

+

+

+

+

L

L

2

2

1

1

0

2

2

1

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2

.

0

75

.

0

1

+

=

-

k

k

Y

Y

]

[

k

y

]

[

k

u

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[

k

y

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[

]

2

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.

0

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1

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5

.

1

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[

k

u

k

y

k

y

k

y

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-

-

=

]

1

[

-

k

y

]

2

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-

k

y

]

[

]

2

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8

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0

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5

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1

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k

u

k

y

k

y

k

y

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-

+

-

-

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2

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0

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1

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=

+

+

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+

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u

k

y

k

y

k

y

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2

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1

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k

u

k

y

k

y

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y

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-

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å

å

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-

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i

k

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=

n

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k

i

i

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y

0

³

k

,

]

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n

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k

i

i

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ú

ú

ú

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ê

ê

ê

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ú

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ú

ú

ú

ú

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ê

ê

ê

ë

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-

-

-

n

n

n

n

n

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c

c

c

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r

r

r

r

r

y

y

y

y

M

L

M

M

M

M

L

L

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

1

1

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3

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]

2

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]

1

[

]

0

[

k

i

m

k

i

k

i

r

k

kr

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1

,

,

,

-

L

0

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[

12

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1

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16

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2

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7

]

3

[

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-

+

+

+

-

+

k

y

k

y

k

y

k

y

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12

16

7

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-

+

-

r

r

r

k

k

k

kc

c

c

k

y

2

2

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[

3

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+

=

]

[

k

f

y

=

k

k

kc

c

c

k

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[

3

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+

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ú

ú

ú

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ù

ê

ê

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ê

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3

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9

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c

c

c

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k

k

k

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0

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f

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(

1

Re

f

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i

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r

c

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0

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0

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f

f

f

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-

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+

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j

k

k

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k

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i

k

i

i

e

R

R

e

R

R

r

c

r

c

)

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2

0

0

1

1

f

f

+

=

+

+

+

k

R

R

r

c

r

c

k

k

i

i

k

i

i

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1

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2

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2

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+

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k

y

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ay

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2

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a

a

r

r

k

k

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c

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2

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]

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]

1

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k

f

k

f

k

f

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(

)

k

k

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c

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a

c

k

y

1

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2

2

2

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-

+

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0

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-

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a

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2

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1

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j

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2

2

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-

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a

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)

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f

j

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÷

÷

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ö

ç

ç

è

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a

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)

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cos(

2

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[

0

0

f

f

+

=

k

R

k

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0

0

,

f

R

1

2

1

=

=

r

r

k

k

c

c

k

y

1

)

(

]

[

2

1

+

=

1

2

1

-

=

=

r

r

k

k

c

c

k

y

)

1

)(

(

]

[

2

1

-

+

=

k

]

[

k

f

D

n

k

k

a

k

n

a

k

f

k

a

k

k

n

cos

0

1

a

a

+

k

å

=

n

i

i

i

k

0

a

k

a

×

a

k

n

i

i

i

a

k

÷

ø

ö

ç

è

æ

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=

0

a

)

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0

0

f

f

a

+

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ø

ö

ç

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k

a

k

k

n

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i

i

]

[

1

k

]

[

1

k

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j

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k

k

k

y

k

y

k

y

k

y

)

1

(

]

[

12

]

1

[

16

]

2

[

7

]

3

[

-

=

-

+

+

+

-

+

k

k

y

)

1

(

]

[

-

=

a

2

3

2

1

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[

k

k

k

y

+

+

=

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k

k

k

k

k

)

1

(

)

1

(

12

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1

(

16

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1

(

7

)

1

(

1

2

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-

×

-

-

×

+

-

×

-

-

×

+

+

+

a

a

a

a

k

k

k

k

k

)

1

(

)

1

(

12

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1

(

)

1

(

16

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1

(

)

1

(

7

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1

(

)

1

(

1

2

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-

×

-

-

-

×

+

-

-

×

-

-

-

×

a

a

a

a

k

k

)

1

(

)

1

(

36

-

=

-

×

-

a

36

1

-

=

a

k

k

k

kc

c

c

k

y

)

1

(

36

1

2

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3

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3

2

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-

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+

=

k

k

k

kc

c

c

k

y

2

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(

3

)

1

(

36

1

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3

2

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+

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-

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ú

ú

û

ù

ê

ê

ê

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ú

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1

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2

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1

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1

36

/

107

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/

37

c

c

c

,

36

279

1

-

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c

,

36

316

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c

,

36

156

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-

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c

2

3

2

1

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[

k

k

k

f

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k

+

+

=

=

]

2

[

]

[

8

.

0

]

1

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5

.

1

]

2

[

+

=

+

+

-

+

k

u

k

y

k

y

k

y

0

8

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0

5

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1

2

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-

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r

j

r

r

4873

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0

75

.

0

,

2

1

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.

0

)

487

.

0

(

)

75

.

0

(

2

2

=

+

=

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s

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576

.

0

14

.

33

75

.

0

487

.

0

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1

=

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ö

ç

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æ

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576

.

0

1

)

894

.

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.

0

2

)

894

.

0

(

j

e

r

-

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k

j

k

k

j

k

e

c

e

c

k

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.

0

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2

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576

.

0

(

1

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894

.

0

(

)

894

.

0

(

]

[

-

+

=

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k

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2

[

]

[

8

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0

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1

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5

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1

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2

[

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+

+

-

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k

u

k

y

k

y

k

y

2

2

2

1

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1

2

(

3

2

2

1

)

1

(

3

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1

(

2

1

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1

[

k

k

k

k

k

k

k

k

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+

+

=

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

+

=

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2

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0

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.

1

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+

-

a

a

a

666

.

6

=

a

666

.

6

)

894

.

0

(

)

894

.

0

(

]

[

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576

.

0

(

2

)

576

.

0

(

1

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+

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-

k

j

k

k

j

k

e

c

e

c

k

y

666

.

6

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576

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0

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.

0

(

2

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0

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+

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k

R

k

y

k

666

.

6

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2

2

0

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f

R

666

.

6

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576

.

0

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.

0

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+

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f

R

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.

4

cos

2

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f

R

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1

)

576

.

0

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f

R

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3

2

0

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R

994

.

5

2

0

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R

k

k

k

k

k

k

f

k

f

k

f

6

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3

2

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3

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1

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[

2

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+

+

-

+

+

=

-

+

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.

3

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.

5

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.

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ø

ö

ç

è

æ

-

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f

666

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6

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82

.

3

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0

cos(

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894

.

0

(

994

.

5

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[

+

+

=

k

k

y

k

å

¥

=

-

0

)

(

k

k

z

kT

x

å

¥

=

-

=

0

*

)

(

)

(

k

k

z

kT

x

z

X

1

)

(

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kT

x

k

k

k

k

k

k

z

z

z

z

s

z

z

z

X

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¥

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-

¥

=

-

+

+

+

+

+

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å

å

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3

2

1

0

0

1

*

1

)

(

)

1

(

4

3

2

1

1

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-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

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k

k

z

z

z

z

z

s

z

K

k

k

k

z

s

s

z

-

-

-

-

=

-

1

1

k

k

z

z

s

-

-

-

-

=

-

1

)

1

(

1

1

1

1

-

-

-

=

-

-

z

z

s

k

k

1

1

1

1

1

lim

lim

1

1

-

-

=

-

¥

-

-

=

-

-

¥

®

¥

®

z

z

S

k

k

k

1

)

(

-

=

z

z

z

X

creta

señal dis

para k

, ···

,

,

,

para k

,

kT,

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0

3

2

1

0

0

<

=

î

í

ì

=

å

¥

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=

0

k

- k

z

*

kT

Z[kT]

Z[x(kT)]

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[

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f

k

k

kz

z

z

z

s

-

-

-

-

+

+

+

+

+

=

K

3

2

1

3

2

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1

(

4

3

2

1

)

1

(

3

2

+

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

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k

k

z

k

z

z

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k

k

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z

z

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k

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-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

+

+

+

=

-

K

K

3

2

1

)

1

(

4

3

2

1

3

2

)

1

(

3

2

k

k

z

z

z

z

z

s

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

=

-

K

3

2

1

1

)

1

(

1

)

1

(

3

2

1

-

-

=

+

+

+

+

+

-

-

-

-

-

z

z

z

z

z

z

k

K

2

1

)

1

(

1

1

*

1

-

=

-

-

-

=

-

z

Tz

z

z

z

s

k

(

)

(

)

2

2

1

1

1

1

)

(

-

=

-

=

-

-

z

Tz

z

Tz

z

X

creta

señal dis

para k

, ···

,

,

,

para k

,

,

a

x (k)

k

0

3

2

1

0

0

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î

í

ì

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å

¥

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0

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(

k

- k

k

z

a

z

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k

k

z

a

z

a

z

a

az

s

-

-

-

-

+

+

+

+

+

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K

3

3

2

2

1

1

1

-

az

)

1

(

1

3

3

2

2

1

1

+

-

+

-

-

-

-

-

+

+

+

+

+

=

k

k

k

k

k

z

a

z

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z

a

z

a

az

s

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K

k

k

k

k

k

k

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z

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-

-

-

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-

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+

+

+

+

+

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-

K

K

3

3

2

2

1

)

1

(

1

3

3

2

2

1

1

1

)

1

(

1

1

1

)

1

(

+

-

+

-

+

-

=

-

k

k

z

a

az

sk

]

[

]

1

[

]

[

2

k

f

k

f

k

f

D

-

+

D

=

D

®

1

1

1

)

1

(

1

-

+

-

=

-

+

-

+

az

z

a

sk

k

k

1

)

0

(

1

1

1

1

1

1

lim

lim

1

1

1

1

1

1

-

+

-

=

-

+

-

=

-

+

-

=

-

-

¥

-

-¥

-

¥

-

-

-

¥

®

¥

®

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z

a

a

az

z

z

a

a

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z

z

a

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sk

k

k

k

k

a

z

z

z

a

z

az

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sk

z

a

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-

=

-

-

=

-

-

=

-

-

=

-

+

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=

-

-

¥

®

1

1

1

1

1

)

0

(

1

lim

1

1

a

z

z

az

z

X

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=

-

=

-

1

1

1

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(

creta

señal dis

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, ···

,

,

,

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,

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0

3

2

1

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í

ì

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¥

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0

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(

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aT

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k

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z

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+

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1

-

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z

e

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1

(

)

1

(

3

3

2

2

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+

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-

-

-

-

-

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-

+

+

+

+

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k

k

aT

aT

aT

aT

aT

z

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z

e

z

e

z

e

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[

2

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k

k

k

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k

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aT

aT

aT

k

akT

aT

aT

aT

k

k

aT

z

e

z

e

z

e

z

e

z

e

z

e

z

e

z

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-

-

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-

-

-

-

+

+

+

+

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K

K

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3

2

2

1

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1

(

2

3

3

2

2

1

1

1

1

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

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-

+

-

+

-

-

-

K

K

aT

aT

z

e

z

e

sk

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1

1

1

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1

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1

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-

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-

+

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e

z

e

sk

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K

K

aT

1

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)

0

(

)

0

(

1

1

1

1

1

lim

lim

1

1

1

1

1

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1

(

)

1

(

-

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-

-

=

-

-

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-

-

-

-

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-

-¥

-

-

+

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+

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®

¥

®

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e

z

e

z

e

z

z

e

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z

e

z

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sk

aT

aT

aT

aT

aT

K

K

aT

k

k

aT

aT

aT

k

k

e

z

z

z

e

z

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s

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-

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¥

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=

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1

1

1

1

1

1

lim

aT

aT

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z

z

z

e

z

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=

1

1

1

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(

creta

señal dis

para k

, ···

,

,

,

para k

,

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kT

x (k)

0

3

2

1

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sen(

<

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1

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·

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·

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j

z

e

j

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j

T

j

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w

k

k

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2

1

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-

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z

T

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z

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w

w

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k

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1

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1

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X

z

z

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(

lim

)

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lim

)

0

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0

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x

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®

®

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k

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(

)

1

(

lim

)

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lim

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(

1

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z

k

x

x

z

k

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®

¥

®

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¥

)

1

)(

1

(

)

1

(

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(

1

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1

1

5

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-

-

-

-

-

-

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z

e

z

z

e

z

X

k

k

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(

ln

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k

k

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0

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1

)(

1

(

)

1

(

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1s09e85a3b31fd5e07.jimcontent.com/download/version... · Web viewEste módulo pretende suplir las necesidades de nuestros estudiantes, que en su mayoría son de estratos 1 y 2 y no