virtual.usalesiana.edu.bovirtual.usalesiana.edu.bo/.../dossier/12011/547.docx · Web viewsistemas discretos, dedicándose el capítulo nueve al estudio de la transformada Zeta, herramienta

USB – IDSSISTEMAS DE CONTROL Ing. Hernán G. Borja Omonte

INTRODUCCIÓN

En nuestro medio son muchas las dificultades que se presentan para quien desea escribir una obra, más aún si ésta es de un área especializada del conocimiento científico y, si de lo que se trata es de contar con un texto base que sirva como referencia de una materia específica, el problema es aún mayor toda vez que la abundante bibliografía especializada que existe y la información casi inagotable que circula por la red Internet, hacen que quien quiera emular a los grandes autores nacionales y extranjeros, piense dos veces antes de lanzarse en tan arriesgada aventura.

Sin embargo, la idea de escribir un texto base de la materia de Sistemas de Control de la Carrera de Ingeniería de Sistemas de la Universidad Salesiana de Bolivia, fue una idea largamente acariciada y muchas veces fomentada por las autoridades de la universidad, sobre todo porque las características propias de la materia y de la carrera hacen que no se pueda adoptar como texto base ninguno de los excelentes libros existentes en el medio, mas las circunstancias se encargaron de ir postergando la realización de esta idea.

Afortunadamente, en una forma acertada, las autoridades de la Universidad han propuesto la realización del tradicional Dossier en un formato muy parecido al de un texto, lo que inclinó la balanza decididamente para la realización del presente trabajo que es más una compilación de apuntes de clases, pero que, si bien no se equiparará ni de lejos con las obras especializadas del ramo, al menos considero se constituye en un primer paso de una camino largo por recorrer.

El propósito de este trabajo no es otro que dotar a mis queridos estudiantes de Ingeniería de Sistemas de la USB, de una herramienta útil y básica que les pueda servir como referencia primero, como estudiantes de la materia de Sistemas de Control y, segundo, como una ayuda memoria en su vida profesional. Demás está decir que también se busca cumplir con las exigencias de la Universidad.

El trabajo ha sido organizado en diez capítulos que abarcan casi la totalidad del contenido de la materia. El capítulo uno hace una breve introducción a los Sistemas y Señales, conceptos básicos necesarios para la comprensión del resto de los contenidos.

Se hace un recordatorio de los modelos de un sistema a lo largo del capítulo dos, haciendo énfasis en el modelo matemático de un sistema, modelo sobre el cual versa casi la totalidad del resto del contenido del curso. Posteriormente, en el capítulo tres, se hace una recordatorio de los diagramas de bloques, tema ya visto en anteriores cursos, pero que se lo desarrolla como una introducción a los diagramas de flujo, diagramas que se ven con cierto detalle a lo largo del capítulo cuatro y, a partir de los cuales se obtiene la Ecuación de Estado del sistema como otro modelo matemático a partir del cual se puede hacer una análisis sobre todo de la respuesta del sistema, aspectos estos que se los describe en los capítulos cinco y seis.

El capitulo siete está referido a analizar, a partir de lo visto en los anteriores capítulos, la controlabilidad y la observabilidad de los estados del sistema y de la respuesta de éste. En los capítulos ocho al diez, se ve todo lo visto durante los capítulos anteriores pero referido a sistemas discretos, dedicándose el capítulo nueve al estudio de la transformada Zeta, herramienta principal para el análisis de este tipo de sistemas.


Queda por expresar dos aspectos. Primero, el deseo de que este trabajo cumpla su cometido, hecho que compensará con creces los arduos momentos de trabajo y, mis más sinceros agradecimientos a las ahora brillantes profesionales: Lenny Alvarado León, Eliana Dalia Mahey Nogales, Paola Wendy Neme Ballón y Licet Salazar M. Así como a todos mis alumnos de la materia, cuya lista sería de nunca acabar, quienes en su momento en calidad de estudiantes contribuyeron bastante, de muy buena voluntad, en la transcripción de gran parte de este material .

Finalmente, agradecer a las autoridades de la universidad en las personas del Dr. Rvdo. P. Thelian Argeo Corona Cortés, Rector de la USB y del Lic. Eduardo Willy Fernández Salazar, Director de la Carrera de IDS, deseando que nuestro Señor y la Virgen Santísima bendigan sus vidas e ilumine su caminar.

La Paz, febrero de 2011

Hernán Grover Borja Omonte

SISTEMAS Y SEÑALES


DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS.-

Sistema.- Es un conjunto de elementos interrelacionados, con un fin específico, ese fin tiene que ser

útil y que beneficie a la sociedad. Finalmente que sea un fin económico Sistema es un conjunto de componentes en interrelación dinámica organizada en función de

un objetivo determinado. Para lograr los resultados esperados, los criterios de desempeño de un sistema son:La eficiencia: se utiliza para dar cuenta del uso de los recursos o cumplimiento de actividades.La efectividad: es la relación entre los resultados logrados y los resultados que se ha propuesto y el grado de cumplimiento de los objetivos.

La eficacia:es la capacidad de lograr el efecto que se desea o se espera. Conjunto de elementos interrelacionados e interdependientes que forman un todo unitario y

complejo y que tienen un objeto común. Conjunto de elementos que están interrelacionados entre sí. La interrelación forma el

conjunto o elemento del sistema, tiene un fin lícito, útil y económico.

Clasificación de los sistemas.- La teoría general de sistemas tiene principalmente dos aspectos que son: el aporte semántico, que define sistemas y los elementos del sistema, y el aporte metodológico.

El aporte metodológico consiste en la jerarquización de los distintos tipos de sistemas, obteniéndose de esta forma una clasificación:

Primer nivel, estructura estática. Se le puede llamar nivel de los marcos de referencia. Segundo nivel, sistema dinámico simple. Considera movimientos necesarios y

predeterminados. Se puede denominar reloj de trabajo. Tercer nivel, mecanismo de control o sistema cibernético.,El sistema se autorregula para

mantener su equilibrio. Cuarto nivel, "Sistema abierto" o auto estructurado. En este nivel se comienza a diferenciar

la vida. Puede de considerarse nivel de célula. Quinto nivel, genético-social. Está caracterizado por las plantas. Sexto nivel, sistema animal. Se caracteriza por su creciente movilidad, comportamiento

teleológico y su autoconciencia. Séptimo nivel, sistema humano. Es el nivel del ser individual, considerado como un sistema

con conciencia y habilidad para utilizar el lenguaje y símbolos. Octavo nivel, sistema social o sistema de organizaciones humanas. Constituye el siguiente

nivel, y considera el contenido y significado de mensajes, la naturaleza y dimensiones del sistema de valores, la trascripción de imágenes en registros históricos, sutiles simbolizaciones artísticas, música, poesía y la compleja gama de emociones humanas.

Sistema

Sistema

X(t)Y(t)


Noveno nivel, sistemas trascendentales. Completan los niveles de clasificación: estos son los últimos y absolutos los ineludibles y desconocidos, los cuales también presentan estructuras sistemáticas e interrelaciones.

También podemos mencionar a otros tipos de sistemas, como ser: Sistemas Abiertos: Cuando presentan relaciones de intercambio con el medio a través de

entradas y salidas. Los sistemas abiertos intercambian materia y energía regularmente con el medio ambiente; éstos:

1. no pueden sobrevivir aislados.2. Interactúa con el medio que lo está rodeando.3. No tienen retroalimentación.4. Las salidas no pueden volverse entradas de golpe.5. Son bastante estables, mientras no hay perturbaciones.6. Son sistemas sencillos en comprensión y análisis.7. Son sistemas bastante sensibles a la perturbación de su entorno, e incluso a los

parámetros del mismo sistema, un cambio en los parámetros es un cambio total.8. Se los controla en base al tiempo.

Sistemas Cerrados: Estos no presentan intercambio con el medio que lo rodea pues son herméticos a cualquier influencia ambiental. Los sistemas cerrados no reciben influencia al medio que lo recibe; éstos:

1. Sistema más complejo por la retroalimentación.2. Son propensos a la inestabilidad puede entrar a un estado de oscilación o

inestabilidad.3. La realimentación debe ser negativa aunque puede causar que el sistema este en

estado neutro.4. Son sistemas insensibles a la perturbación de su entorno, o cambios a los parámetros

del mismo sistema


Sistemas Abstractos: Cuando están compuestos por conceptos, planes, hipótesis e ideas. Aquí los símbolos representan atributos y objetos que muchas veces existen solo en el pensamiento de las personas

Sistemas físicos o concretos: estos están compuestos por maquinarias objetos y cosas reales. Pueden ser descritos en términos cuantitativos de desempeño. En realidad en ciertos casos el sistema físico por Ejemplo el Hardware, opera en consonancia con el sistema abstracto.

Existen muchas otras clasificaciones de sistemas, entre ellos podemos tener: Pasivos, Activos. Reactivos, Estáticos, Dinámicos, Homeostáticos, Sistemas de una entrada una salida, Sistemas multivariables.

Un importante tipo de sistemas son los:

:


Si el sistema cumple la homogeneidad y la superposición entonces es lineal, caso contrario será no lineal.

Parámetros de los sistemas.-El sistema se caracteriza por ciertos parámetros. Parámetros son constantes arbitrarias que caracterizan, por sus propiedades, el valor y la descripción dimensional de un sistema específico o de un componente del sistema.

Los parámetros de los sistemas son:

Entrada o insumo o impulso (input): es la fuerza de arranque del sistema, que provee el material o la energía para la operación del sistema.

Salida o producto o resultado (output): es la finalidad para la cual se reunieron elementos y relaciones del sistema. Los resultados de un proceso son las salidas, las cuales deben ser coherentes con el objetivo del sistema. Los resultados de los sistemas son finales, mientras que los resultados de los subsistemas con intermedios.

Procesamiento o procesador o transformador (throughput): es el fenómeno que produce cambios, es el mecanismo de conversión de las entradas en salidas o resultados. Generalmente es representado como la caja negra, en la que entran los insumos y salen cosas diferentes, que son los productos.

Retroacción o retroalimentación o retroinformación (feedback): es la función de retorno del sistema que tiende a comparar la salida con un criterio preestablecido, manteniéndola controlada dentro de aquel estándar o criterio.

Ambiente: es el medio que envuelve externamente el sistema. Está en constante interacción con el sistema, ya que éste recibe entradas, las procesa y efectúa salidas. La supervivencia de un sistema depende de su capacidad de adaptarse, cambiar y responder a las exigencias y demandas del ambiente externo. Aunque el ambiente puede ser un recurso para el sistema, también puede ser una amenaza.


DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE SEÑALES.-Señales.- Las señales son el medio a través del cual el sistema interactúa con su entorno. En la figura se visualiza esta interacción: El sistema, está representado por un rectángulo, lo que da a entender que tiene sus fronteras definidas en forma precisa; este sistema recibe del entorno unas Señales de Entrada, representadas por flechas, y entrega a su entorno unas Señales de Salida, también representadas por flechas.

En las aplicaciones típicas de ingeniería, las señales de entrada y salida son variables (físicas o abstractas) que cambian en el tiempo, como por ejemplo, fuerzas, velocidades, temperaturas, etc.

Cuando un sistema recibe una única señal de entrada y produce una única señal de salida, se dice que es un sistema SISO (del inglés Single Input Single Output) , mientras que si recibe varias entradas y produce varias salidas, se dice que es un sistema MIMO (del inglés Multiple Input Multiple Output) .

En primer lugar las señales no tienen gran interés en sí mismas si no nos es posible transmitirlas y recibirlas. Las señales, por tanto, están muy ligadas a la comunicación y su procesamiento es de vital importancia en la llamada era de la información.

Sin embargo, Shannon desarrolló otro concepto de información desprovisto del significado que pueda extraerse o del conocimiento que pueda derivarse de esa información.

Supongamos que una fuente de información envía una serie de símbolos a un receptor. Llamamos X al conjunto de símbolos formado por : X={a1 , a2 , a3 ,..., aN}

Los símbolos se envían a un receptor de acuerdo con sus probabilidades respectivas y hacemos la suposición (no precisamente acertada), de que las probabilidades son independientes unos de otras (fuente de información sin memoria) . Es decir, enviar un símbolo ahí no cambia la probabilidad de enviar el símbolo a continuación. Sabemos que, en general, esto no es cierto ya que por ejemplo si enviamos el carácter â€œqâ€, la probabilidad de que el siguiente símbolo sea el carácter â€œuâ€� � aumenta.

Cada uno de los símbolos ai tiene una probabilidad de ocurrir pi.

Los símbolos pueden ser caracteres del alfabeto, números, bits, puntos, rayas, etc. Shannon defiende que en el caso de una fuente de información sin memoria, la información proporcionada por el símbolo ai depende depende únicamente de su probabilidad pi. Y define que la información del símbolo ai es I(pi)=-log pi. Si se toma el 2 como base del logaritmo la unidad de información se denomina bit. Se observa que la información es una función decreciente de la probabilidad, lo que


implica que un símbolo proporciona más información cuanta más incertidumbre (menos probabilidad) tenga.

El contenido total de información H(X) proporcionado por una fuente de información sin memoria de un conjunto X de símbolos será la suma ponderadas de las informaciones de cada símbolo. A este valor, que representa la información ofrecida por una fuente; Shannon le quiso llamar entropía, pero fue convencido por colegas para llamarle información. El nombre entropía no era descabellado ya que al igual que en la entropía termodinámica (que crecía a medida que aumentaba el desorden), aquí la información aumenta a medida que aumenta la incertidumbre sobre lo que recibimos. Una vez fundamentada su teoría, Shannon fue más allá y dedujo que el valor H(X) era también el número mínimo de bits por símbolo que pueden utilizarse para enviar información con los símbolos de X y que la probabilidad de error en la decodificación sea despreciable.

De esta forma sentó los límites teóricos de la compresión de señales. La mención a los límites teóricos se hace porque Shannon no se preocupa del algoritmo decodificador de símbolos, que en el caso de utilizar un número de bits H(X) será muy complejo.

En un caso real, el límite en el número de bits por símbolo vendrá impuesto por la complejidad del algoritmo (y la capacidad de procesamiento disponible) y no por el valor H(X). De ahí que se hable de límite teórico.

Las señales son funciones que contienen información la cual debe ser decodificada en el sistema o de lo contrario será solo ruido.

Clasificación de las señales.- Señal Continua.

Una señal es continua en tramos o intervalos, esta también aquella que tiene un valor cualquiera para un tiempo t:


Señal Discreta. Existe en determinados valores de la variable o sea para algunos valores de t.

Señal Causal.Solo son consideradas a partir de un determinado instante denominado normalmente t0.


Antes de instante to la función tiene el valor de cero. Se puede causalizar una señal multiplicando con una función que anule la señal para tiempos anteriores a to.

Señales Estacionarias o no estacionarias.Son estacionarias aquellas que tienen un valor promedio constante en función a una determinante.

Señale periódicas y no periódicas.Es periódica aquella donde cada cierto tiempo se repite:

Donde toda señal periódica también es estacionaria. En cambio las no periódicas no se repiten o no tienen repetividad.

Señales pares e impares.Son pares si son simétricas respecto a una recta vertical (generalmente el eje Y) y son impares si son simétricas respecto al origen.

f(t)=f(+ t ) f(x)=f(-x)f(t)=-t(-t) f(x)=-f(-x)

Trataremos con 4 tipos de señales:Ø Analógicas, x(t) : Amplitud y Tiempo continuos.Ø Muestreadas, xs[n] : Tiempo Discreto, Amplitud continua.Ø Cuantizada, xQ(t) : Tiempo Continuo, Amplitud discreta.Ø Digital, xQ[n] : Tiempo y Amplitud discretos.


Clasificación de señales basada en su duración:

Causales: Son 0 para t<0. Se definen sólo para el eje positivo de t. Anticausales: Son 0 para t>0. Se definen sólo para el eje negativo de t. No causales: Se definen para ambos ejes de t. Continuas: Se definen para todo tiempo t. Periódicas: xp(t) = xp(t±nT), donde T es el periodo y n es un entero.

Clasificación de señales basadas en simetrías: Simetría Par: x(t) = x(-t) Simetría Impar: x(t) = -x(-t)

Una señal no simétrica puede siempre expresarse como la suma de una función par xe(t) y una función impar xo(t) :

xe(t) = (x(t)+x(-t))/2 xo(t) = (x(t)-x(-t))/2

Clasificación de señales basada en Energía y Potencia:

Energía de una señal :

Potencia de una señal

Una señal se dice que es de energía si Ex es finito, lo que implica que Px es 0. Ej. Pulsos limitados en el tiempo.

Una señal se dice que es de potencia si Px es finito, lo que implica que Ex es infinito. Ej. Una señal periódica.


Catálogo de algunas señales: Escalón unidad : u(t) Rampa : r(t)=t u(t) Pulso : u(t+1/2)-u(t-1/2) Triangular : tri(t)=r(t+1)-2r(t)+r(t-1) Impulso: También llamada función delta o función de Dirac:

Operaciones con señales: Desplazamiento en el tiempo: x(t-2), desplazamiento a la derecha. Compresión del tiempo: x(2t) Dilatación del tiempo: x(t/2) Reflexión: x(-t)

SISTEMAS DE CONTROL.-

ControlEl control es la función elemental de la ingeniería para medir, evaluar y corregir operaciones de procesos en un sistema que trabaja bajo condiciones dinámicas y en el afan de lograr algún objetivo.

El control se constituye en un medio que colabora a que los dispositivos de un sistema alcancen y trabajen con el rendimiento deseado hacia sus objetivos planificados. Esto debido a que el control puede analizar y determinar rápidamente las causas de errores estableciendo medidas para corregir dichas fallas evitando así su repetición en procesos o actividades que están inmersos en el sistema para que los objetivos sean exitosamente logrados .Cabe mencionar que la palabra control ha sido utilizada con varios y diferentes sentidos, tales como los siguientes:

Control: Como función coercitiva y restrictiva, para inhibir o impedir conductas indeseables, como llegar con atraso al trabajo o a clases, hacer escándalos, etcétera.

Control: Como verificación de alguna cosa, para apreciar si está correcto, como verificar pruebas o notas.

Control: Como comparación con algún estándar de referencia como pensar una mercadería en otra balanza, comparar notas de alumnos etcétera.

Control: Como función administrativa, esto es, como la cuarta etapa del proceso administrativo.

Control: Constituye la cuarta y ultima etapa del proceso administrativo. Este tiende a asegurar que las cosas se hagan de acuerdo con las expectativas o conforme fue planeado, organizado y dirigido, señalando las fallas y errores con el fin de repararlos y evitar que se repitan.

Una vez conocidos los anteriores conceptos es posible unir los mismos y conformar la definición de sistemas de control.

Definición De Sistemas De Control

Se define a un sistema de control como un sistema inmerso en otro (sistema) principal, cuya función elemental es controlar, medir, evaluar, corregir y dirigir al sistema principal al logro de sus objetivos.

Señales internas Y (t)

Sistema de Control


Estos dos sistemas se relacionan por medio de señales las cuales son funciones que contienen información. Dicha información debe ser codificada, decodificada y entendible, tanto por el emisor como por el transmisor.

Un sistema de control estudia la conducta del sistema con el fin de regularla de un modo conveniente para su supervivencia. Una de sus características es que sus elementos deben ser lo suficientemente sensitivos y rápidos como para satisfacer los requisitos para cada función del control. A continuación se mencionan a los elementos básicos de un sistema de control, los cuales son:1. Una variable, la cual constituye el elemento que se desea controlar.2. Los mecanismos sensores que son sencillos para medir las variaciones a los cambios de la variable.3. Los medios motores a través de los cuales se pueden desarrollar las acciones correctivas.4. Fuente de energía, que entrega la energía necesaria para cualquier tipo de actividad.5. La retroalimentación que a través de la comunicación del estado de la variable por los sensores, se logra llevar a cabo las acciones correctivas

Se debe mencionar y resaltar la importancia de conocer al sistema principal antes de establecer en el mismo un sistema de control y su aplicación. Para efectuar esta tarea generalmente es recomendable el empleo de modelos.

Ej. Un auto es un sistema y es conducido por otro sistema que lo controla: el conductorCon los sistemas de control buscamos un fin en común, algo que beneficie a la sociedad además que valga la pena teniendo algún tipo de producción.Un sistema de control gobierna, dirige, controla y conduce a otro sistema. Los sistemas se desenvuelven en base a señales.Así, un sistema de control es otro sistema que controla al sistema principal.

El sistema de control puede manejar al sistema principal d tal forma que puede hacerle hacer cualquier cosa. Es decir el sistema de control MANEJA y puede hasta manipular al sistema principal.Pero no todo el sistema se puede controlar.

Para controlarlo hay que conocer el sistema principal y para conocerlo hay que ANALIZARLO (desmenuzar el sistema en cada uno de sus componentes y examinar cada uno de ellos para saber que hace cada componente y como funciona).Podemos conocer los componentes en base a un buen análisis.Luego de un buen análisis podemos hacer un buen diseño, el DISEÑO sigue una secuencia de pasos bien definidos y establecidos para un fin.

X (t)


Por ultimo luego del diseño es la TRANSFORMACION del sistema que es lo mas difícil.

En conclusión:

SIST. DE CONTROL: ANÁLISIS → DISEÑO → TRANSFORMACIÓN

MODELO DE UN SISTEMA

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE MODELOS.

Modelo.- Modelo es una representación aproximada del sistema real. Modelo es la representación abstracta de la realidad. Es una aproximación a la realidad.

Clasificación de las modelos.- Modelos Matemáticos.- Un modelo matemático se define como una descripción desde el

punto de vista de las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.

Estos modelos son ampliamente usados en áreas como la física, la ingeniería, la economía, etc.; generalmente se trata de ecuaciones que muestra las relaciones existentes entre las variables que afectan un sistema

Modelos mentales: son representaciones presentes en nuestro cerebro; tenemos, por ejemplo, una representación mental de nuestro cuerpo que nos permite controlarlo para caminar, saltar, etc.

Modelos lingüísticos: son representaciones con palabras; este párrafo, por ejemplo intenta explicar con palabras qué es el sistema denominado modelo lingüístico.

Modelos gráficos: en ocasiones empleamos tablas y/o gráficas como modelos; los catálogos de productos de ingeniería suelen contener muchos ejemplos de este tipo de modelo.


Modelos de software: en ocasiones es posible desarrollar programas de computador que representen a sistemas complejos.

Modelos a Escala Modelos Estocásticos Modelos Causales y No Causales: El estado de un sistema causal depende sólo de las

condiciones presentes y pasadas, pero no de las futuras, es decir hay una relación de causalidad. Los sistemas físicos son causales, pero uno puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean. En el curso se estudiarán sólo sistemas causales

Modelos Estáticos y Dinámicos: El estado de un sistema estático depende sólo de las condiciones presentes, y no de las pasadas. En contraposición, el estado de un sistema dinámico depende de lo que haya sucedido en el pasado, generalmente debido a que en el sistema hay algún tipo de almacenamiento de energía. Los sistemas dinámicos también se conocen como sistemas con memoria. Los modelos de sistemas dinámicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia. En el curso se estudiarán sólo sistemas dinámicos.

Modelos Estocásticos y Determinísticos: En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema, pero no es posible predecir el valor que éstas puedan tomar; una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria, y buscar técnicas basadas en la teoría de probabilidades para analizar el sistema. Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocástico, mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinísticos. Éstos últimos serán los que se estudien en este curso.

Modelos de Parámetros Concentrados y Distribuidos: La mayoría de los fenómenos físicos ocurren en una región del espacio, pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenómeno como algo puntual; por ejemplo, para estudiar la atracción entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un único punto (su centro de gravedad).

Modelos Lineales y No Lineales: La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones; realmente se trata de dos propiedades agrupadas bajo un mismo nombre.

ECUACIÓN GENÉRICA DE UN SISTEMA .-

El modelo matemático de todo sistema, en general, es una ecuación diferencial de la forma:

Donde:X(t): Señal de entrada o señal de controlY(t): Señal de salida o respuesta del sistemaA, b, K: parámetros del sistema

Señal De EntradaEntrada o señal de control: es la fuerza de arranque del sistema, que provee el material o la energía para la operación del sistema. Señal De Salida


Salida o respuesta del sistema: es la finalidad para la cual se reunieron elementos y relaciones del sistema. Los resultados de un proceso son las salidas, las cuales deben ser coherentes con el objetivo del sistema. Los resultados de los sistemas son finales mientras que los resultados de los subsistemas con intermedios.

Parámetros Del SistemaEl sistema se caracteriza por ciertos parámetros. Parámetros son datos característicos propios del sistema que determina su comportamiento. Los parámetros se caracterizan, por sus propiedades, el valor y la descripción dimensional de un sistema específico o de un componente del sistema

Para encontrar el modelo o ecuación diferencial del sistema se debe aplicar una ley o leyes de acuerdo al sistema o relaciones que rigen el mismo.

Para encontrar un modelo se debe realizar:1º Se debe definir las variables2º Conocer y/o definir los parámetros 3º Las leyes que rigen en el sistema o que relaciones deben ser encontradas y conocidas

Por ejemplo:

Primero definimos variables y reconocemos parámetrosVi Señal de entrada. Vo Señal de salida.C1, C2, L, R1 Parámetros (constantes).VL i1 i2 i3 Señales internas

Aclaración: El intervalo tomado en las integrales es de 0 a T (tiempo) .

Por la ley de Kirchoff. i1 = i2 + i3 Por la ley de Ohm

i3 =

VoR 1

ObservacionesVA = VL


Entonces tenemos

VC2 = VA – Vo =

1C 2 ò i3 dt

Donde: VA =

1C 2 ò i3 dt

VA =

1RC 2 ò Vo dt + Vo

Como VA = VL tenemos: VA = VL = L d i2 ò VA dt + L i2

i2 =

1L ò VA dt

Otra forma es:

VA = VR + VC2 = Vo +

1C 2 ò i3 dt Vo +

1R ò Vo dt

Tenemos :

VA = Vo +

1RC 2 ò Vo dt

Derivando:

dVA = dVo+

1RC 2 Vo

Integrando i2 tenemos:

i2 =

1L ò [ Vo +

1RC 2 ò Vo dt] dt

i2 =

1L ò Vo +

1RC 2 ò ò Vodt dt

Ahora tenemos que:

VC1 = Vi – VA =

1C 1 ò i1 dt

Entonces derivando:

ddt Vi –

ddt VA =

1C 1 i1

Despejando i1 tenemos:

i1 = C1

ddt Vi – C1

ddt VA

i1 = C1

ddt Vi – C1 [

ddt Vo + 1

1RC 2 Vo ]

Remplazando en:

L

Vi(t) Ri

+Vo(t)-


i1 = i2 + i3

i1 = C1

ddt Vi – C1 [

ddt Vo +

1RC 2 Vo ]

i2 =

1L ò Vo+

1RC 2 ò ò Vo dt dt ; i3 =

VoR

C1

ddt Vi – C1

ddt Vo +

C 1RC 2 Vo =

1L ò Vo +

1RC 2 ò ò Vo dt dt +

VoR

Para llevar a una ecuación diferencial derivamos dos veces:

C1

d2

dt2Vi – C1

d2

dt2Vo +

C 1RC 2

d2

dt2Vo =

1L Vo +

1RC 2 ò Vo

ddt + 1

ddt Vo

C1

d3

dt 3Vi – C1

d3

dt 3Vo +

C 1RC 2

d2

dt 2Vo =

1L

ddt Vo +

1RC 2 Vo

ddt + 1

d2

dt2Vo

Ordenando se tiene:

C1

d3

dt 3Vi = C1

d3

dt 3Vo +

(C 1+C 2 )RC 2

d2

dt2Vo +

1L

ddt Vo +

1RLC 2 Vo

Considerando otro ejemplo, más simple:

Vi = VL +VR= VL + Vo pero: VL = L di( t )

dt =

Vi−VoV L

RL =

ddt Vo +

RL Vo

i(t)=

1Lò0

t(Vi−Vo )dt

; Vo= VR= iR → i =

VoR

la derivada y la integral se contrarrestan

L

+Vo-

Ii

R2R1Vi(t)

I5

I1I2

I4


1L

(Vi−Vo ) =

1R

ddt

Vo

Ejemplo.-

(A) Ii = I1+I5 ; (B) I1= I3+I2; (C) I4=I5+I2; (D) VB=VR1 =I3 R1;

(E) VC1=

1C 1 ò 0

t I 2dt = VA-VB = Vi-VB

VC2=

1C 2ò0

tI 1 dt

= VB-VC= VB-Vo →

I 2C 2

= ddt VB-

ddt Vo

VL= L dI 5( t )

dt = VA-VC = Vi-Vo

I5(t)=

1Lò0

t(Vi−Vo )dt

Usando la formula (C):

I2=I4-I5=

VoR 2

− 1Lò0

t(Vi−Vo)dt

= C2

ddt VB- C2

ddt Vo

ò0

t VoR 2

dt=

1L∬Vidt

+

1L∬Vodt

= C2VB – C2Vo

VB=Vo+

1C 2R 2òVodt− 1

LC 2∬Vidt + 1LC 2∬Vodt

VB=I3*R1; I3=

1R

Vo+ 1C 2 R1 R 2òVodt− 1

LC 2 R 1∬Vidt + 1LC 2 R 1∬Vodt

(E) y (F) : 1

C 1ò I 1 dt=Vi−Vo− 1C 2 R 2ò Vodt+ 1

LC 2∬Vidt− 1LC 2∬Vodt


I 1C 1

= dVidt

− dVodt

− VoC 2 R 2

+ 1LC 2òVidt− 1

LC 2òVodt

En (B):

C1dVidt

−C 1 dVodt

− C 1C 1 R 2

Vo+ C 1LC 2òVidt− C 1

LC 2òVodt= VoR 1

+ 1C 2 R 1 R 2òVodt + 1

LC 2 R 1∬Vodtdt + VoR 2

− 1LòVidt + 1

LòVodt

En conclusión el modelo matemático para este circuito será:

C 1 d3 Vidt 3 +( C 1

LC 2+ 1

L ) dVidt

+ 1LC 2 R1

Vi=C 1 d3 Vodt 3 +( 1

R 1+ 1

R 2+ C 1

R 2C 2 ) d2 Vodt 2 +( 1

C 2 R 1R 2+ 1

L+ C 1

LC 2 ) dVodt

+ 1LC 2R 1

Vo

Ejemplo.-

Obtenga el modelo matemático del siguiente sistema:

R

+ Vi (t) C Vo ( t )

i -

Solución:

Se aplica la ley de Kirchof;: Vi = VR + VC

Donde:Vi = Señal de entrada.VR = Señal interna.VC = Señal de salida porque VC = V0. VC = V0.

t

VR = i R = 1/c ∫0 i (t) dtVi = VR + VC t

VC = V0 = 1 ∫0 i (t) dt = d V0 = 1 i(t) c d t c

VR = i R = i (t) = c d V0

d tVR = R c d V0

d tEntonces: Vi = VR + VC

Vi = R c d V0 + VC


d t

Ejemplo.- Circuito Eléctrico Combinado

El circuito mostrado en la figura, muestra el combinado de un circuito en serie y paralelo, el cual esta comprendido por señales internas, señales de entrada y salida, además de 3 reactivos el cual realizando el análisis correspondiente da a conocer que el modelo matemático que se encontrara será de 3° grado.

En este caso no es necesario utilizar la primera ley de Kirchoft, si no la segunda, la suma de las corrientes de entrada el nodo entrante es igual a la suma de las corrientes del nodo saliente. El cual es planteado de la siguiente forma.

Nodo A, B y C 1) ii = i1 + i5

2) i1 = i2 + i3

3) i4 = i5 + i2

Entonces

Si V0 = VR2 La caída de tensión en i4 R2

Será igual a

Entonces 4) VB = VR1 = i3 R1 Donde i3 sigue siendo señal interna pero:

5) VC1 = (1/C) ∫ i1 dt = VA – VB = Vi / RB

Donde el voltaje en el nodo VC2 = (1/C2) ∫ i2 dt = VB – V0

El voltaje en la bobina es dada por:

VL = L (di5/dt) = Vi – V0 despejamos i5 y se obtiene:

i5 = (1/L)∫ (Vi – V0 ) dt

En la ecuación 3) remplazamos i4 , i5 y hallamos i2

i4 = V0 / R2


i2 = (V0 /R2) – (1/L) ∫ (Vi – V0) dt = C2 (dVB/dt) - C2 (dV0/dt)

luego de VC2 derivamos y obtenemos

i2/C2 = (dVi/dt) – (dV0/dt)Integramos

∫ (V0 /R2)dt – (1/L) ∫∫ Vi dt2 + (1/L) ∫∫ V0 dt2 = C2 VB - C2 V0

Despejamos VB y obtenemos

6) VB = V0 + (1/C2 R2) ∫ V0 dt - (1/L C2) ∫∫ Vi dt2 + (1/ L C2) ∫∫ V0 dt2 = i3 R1

De la ecuación 6) despejamos i3

i3 = (1/V1)V0 + (1/C2 R1R2) ∫ V0 dt - (1/L C2 R1) ∫∫ Vi dt2 + (1/ L C2 R1) ∫∫ V0 dt2

De la ecuaciones 5) y 6) hallamos i1

(1/C1) ∫i1 dt = Vi – V0 – (C2R2) ∫ V0 dt + (1/L C2) ∫∫ Vi dt2 - (1/ L C2) ∫∫ V0 dt2

De donde derivando se obtiene:

(i1/C1) = (dVi/ dt) – (dV0/ dt) – (dV0/C2R2) + (1/ LC2)∫ Vi dt - (1/ L C2) ∫ V0 dt

Ahora remplazamos en 2)

C1(dV1/dt) - C1(dV0/dt) – (C1/ C2R2)V0 + (C1/LC2) ∫Vi dt - (C1/ LC2) ∫V0 dt = (V0/R1) +

(1/C2R1R2)∫V0 dt - (1/LC2R1)∫∫Vi dt2 + (1/LC2R1)∫∫V0 dt2 + (V0/ R2) – (1/L)∫Vi dt + (1/L)∫V0 dt

Derivamos 2 veces para que puedan contrarrestarse la doble integral y se obtiene el modelo matemático. Este modelo es una ecuación integro diferencial si deseamos que sea expresada por una ecuación diferencial

C1(d3 V i

dt2 )−C1(d3 V o

d3 t)−(

C1

C2 R2)(

d2V 0

dt2 )+(C1

LC2)(

dV1

dt)−(

C1

LC2)(

dV0

dt)=( 1

R1)(

d2V 0

dt2 )+( 1C2 R1 R2

)(dV0

dt)−( 1

LC2 R1)V 1+( 1

LC2 R1)V 0+( 1

R2)(

d2 V 0

dt2 )−( 1L

)(dVi

dt)+( 1

L)(

dV0

dt)

Expresamos el modelo matemático encontrado de forma ordenada así:

C1(d3 V i

dt 3 )+[(C1

LC2)+( 1

L)](

dV i

dt)+( 1

LC2 R1)V i=(C1(

d3 C0

dt 3 )+[ 1R1

+ 1C2

+ 1C2 R2

(d2V 0

dt 2 ) ]+[ 1R1 R2C2

+ 1C2

+(C1

LC2)(

dV 0

dt) ]+( 1

LC2 R1)V 0


REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA EN DIAGRAMA DE BLOQUES

DIAGRAMAS DE BLOQUES

Un diagrama de bloques es un modelo gráfico de un sistema, el cual describe la estructura del sistema generalmente en forma funcional. En otras palabras es una representación gráfica de las funciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales y a diferencia de una representación matemática puramente abstracta, un diagrama de bloques tiene la ventaja de indicar en forma más realista el flujo de las señales del sistema real.

Un modelo matemático cualquiera puede representarse en un diagrama de bloques considerando los siguientes elementos o bloques:

Bloque proporcional:

x k y

y = k*x

Bloque derivativo:

x D y

y = DtXBloque integrador:

x I y

y = ò x dt

Nodo de suma o comparación: a

b y = a + b - c -c

Nodo de bifurcación o ramificación: x

x x

Línea (flecha) de flujo de señal

2

3

ddt

1

3

2

3

ddt

1

3

ddt

ddt

iV 0V


x

Diagrama de bloques en el dominio del tiempo.Los diagramas de bloques obtenidos a partir de la ecuación diferencial o modelo matemático del sistema, en el dominio del tiempo, no son de mucho uso, excepto cuando cada bloque se describe en forma funcional y no en base a su modelo matemático.

Pasos a seguir.- Para la obtención de los diagramas de bloques se puede seguir los siguientes pasos:1. Despejar la salida,2. Aplicar la linealidad del operador derivativo.3. Graficar el modelo.

Ejemplo.- Sea el modelo:

Reagrupando los términos respecto a Cambiando la simbología para que se pueda graficar mejor

Luego

Graficando por diagramas de bloques


Simplificando las derivadas y cambiando la simbología

Vi Vo

Ejemplo.-

luego

también

finalmente

aplicando la linealidad de la derivada se obtiene:

V o= ddt ( d

dt ( ddt (−γ 3 V o )+( γ1V i−γ4 V o ))+( γ 2 V i−γ5 V o))

de aquí se puede graficar como sigue:

Señal de salida o respuesta del sistemaSeñal de Control o entrada

Señal de salida o respuesta del sistemaSeñal de Control o entrada


Vi

1 2

d

dt d

dt d

dt Vo

-3 -4 -5

como puede observarse, el diagrama de bloques tiene una forma mucho más ordenada y simplificada que en el anterior ejemplo.

Diagrama de bloques en el dominio de la frecuencia.Este tipo de diagrama es el más empleado, representándose cada bloque por su modelo matemático.

Sin embargo, debe aclararse lo siguiente:

En el dominio del tiempo, esquemáticamente se tiene:

PARAMETROS

En este caso, la respuesta del sistema es igual a la convolución matemática de la señal de entrada con la función g(t) de la representación matemática del sistema. Es decir,

Para llevar el anterior sistema al dominio de la frecuencia, aplicamos la transformada de La Place

De tal manera que esquemáticamente se tiene:

PARAMETROS


En este caso, la respuesta del sistema es igual al producto algebraico de la señal de entrada con la función G(s), denominada también FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DEL BLOQUE O SISTEMA. Es decir,

Y ( s )=X ( s )∗G ( s )

Para obtener y ( t ) a partir de Y ( s ), aplicamos (transformada inversa de La Place).Álgebra de bloques.- Denominada también Reducción de un diagrama de bloques, para ello se puede utilizar la tabla presentada líneas abajo o bien proceder en forma algebraica de tal manera de ir operando matemáticamente con las funciones de transferencia de los bloques. Esto sólo se aplica a diagramas de bloques en el dominio de la frecuencia.

Los siguientes pasos se pueden usar como una aproximación en la reducción de diagramas de bloque empleando una tabla como la siguiente:

Ejemplo:Simplificar o reducir el siguiente diagrama de bloques:


Paso 1: Usando el desplazamiento de un punto suma hacia delante de un bloque

Paso 2: Combinar todos los bloques en paralelo usando la transformación 2

Paso 3: Eliminar el lazo de retroalimentación


Paso 4: Combinar todos los bloques en paralelo usando la transformación 2

Paso 5: Eliminar el lazo de retroalimentación

Paso 6: Eliminar el lazo de retroalimentación logrando la forma canónica para una entrada particular

ejemplo.- para el circuito:


Se llego al siguiente modelo matemático:

L dVidt

=C1d3 Vodt 3 +(

C1 +C2

RC 2) d2 Vo

dt 2 +( 1L

) dVodt

+ 1RC 2 L

Vo

Una la construcción del diagrama de bloques en el dominio del tiempo es:

Renombrando las constantes (por simplicidad) se tiene:

L dVidt

=C1d3Vodt 3 +(

C1 +C2

RC2) d2 Vo

dt 2 +( 1L

) dVodt

+ 1RC2 L

Vo

A B KDespejando Vo de la ecuaciónVo=( L

K)(

dV i

dt)−(

C1

K)( d3 Vo

dt 3 )−( AK

)( d2Vodt 2 )−( 1

LK)( dVo

dt)

Por linealidad de la derivada y por ser las Ki constantes (en caso que no lo fueran el Sistema seria variante en el tiempo).

Una vez despejado la salida Vo, se tiene el diagrama de bloques “en bruto”:

Simplificando analíticamente:

Se hará cambio de notación de diferenciales al operador para tratarlo como si fuera un polinomio:Donde:

d/dt = D

K1 K2 K3 K4


Vo=K1 DV i−K2 D3 Vo−K3 D2 Vo−K 4 DVoFactorizamos DVo=D [ K1 V i−K 2 D2 Vo−K 3 DVo−K4 Vo ]Haciendo operaciones con términos semejantes tenemosVo=D [ ( K1V i−K4Vo )−D ( K 2 DVo+K 3Vo )]Para el diseño del diagrama de bloques se realizará de atrás hacia delante

Dibujando en una forma más ordenada se tiene el siguiente diagrama de bloques:

Vi

K1

ddt

ddt

ddt Vo

K2 K3 K4

Ejemplo.

3d4y – 1 d2y + 3 y = d3x – 1 dx + 1 x dt4 5 dt2 2 dt3 5 dt 7

1) En los diagramas de bloques solo debemos despejar y

y = 3d4y + 1 d2y + d3x – 1 dx + 1 x ; // 2 dt4 5 dt2 dt3 5 dt 7 3

y = -2 d4y + 2 d2y + 2 d3x – 2 dx + 2 x


dt4 15 dt2 3 dt3 15 dt 21

2) Ahora construimos el diagrama de bloques.

2) aplicando la linealidad de la derivada al ejercicio anterior:

y= ddt ( d

dt ( ddt ( d

dt(−2 y )+ 2

3x)+ 2

15y )− 2

15x)+ 2

21x

y = d4y (-2 ) + d3 2x + d2 2y – d 2x + 2 x dt4 dt3 3 dt2 15 dt 15 21

ò

K


REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA EN DIAGRAMA DE FLUJODIAGRAMA DE FLUJO.-

Concepto.-Los diagramas de flujo son representaciones gráficas de un modelo cualquiera, ya sea matemático, programación, transferencia de información, etc.

Representación.-Están representados por: Nodos de suma, Nodos de Bifurcación, señales de entrada/salida y los integradores.

Bloque integrador:

nodo de suma:

nodo de bifurcación:

Bloque proporcional:

1ra Forma Canónica

Dado la ecuación general o modelo del sistema cuyos parámetros no dependen del tiempo, es decir es un sistema invariante en el tiempo y además lineal (cumple la superposición y homogeneidad).

Los Pasos a seguir para encontrar el diagrama de flujo.1.- despejar la salida en su mayor orden de derivación.Y es la señal de salida, Despejándola:

andn xdt n +an−1

dn−1 xdtn−1 +. . .+a1

dxdt

+a0 x=bndn ydt n +. ..+b1

dydt

+b0 y

dn xdt n =

an

bn

dn xdtn +

an−1

bn

dn−1 xdtn−1 −+. .+a1

dxdt

+a0 x−bn−1

bn

dn−1 xdt n−1 +.. .−

b1

bn

dydt

−b0

bny


Sea:

Integrando n veces para que la igualdad no cambie aplicando la linealidad de la integral a ambos miembros de la igualdad.

Recordando en el álgebra:

y=x+x2+x3+ x4+x5

y=x (1+x+ x2+x3+x4 )y=x (1+x ( x+x2+x3 ))y=x (1+x (1+x ) (1+x (1+x ) ) )

Nota no se puede factorizar las integrales entonces decimos: será la aplicación de la linealidad

Nota:- De esta forma nuestra ecuación pasa de ser diferencial a ser integral.- Despejamos Y que representa nuestra salida.- Luego de despejar nuestra salida Y, hacemos un cambio de variable: i=ai/bn; =bi/bn.

Además de “factorizar” una integral, tenemos:

a i

bn=αi

b i

b i

bn=β i

⇒ dn ydtn = dn

dtn (α n x )+ dn−1

dtn−1 (α n−1 x−βn−1 y )+..+ ddt ( αi x−β i y )+( α0 x−β0 y )

y=αn x+ò ( αn−1 x−βn−1 y ) dt +∬ ( α n−2 x−βn−2 y ) dt+. .+∬ . ..ò (α 1 x−β1 y ) d tn−1+. . .. .. . .. .+

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .+∬ . .ò ( α 0 x−β0 y ) dt n

y=αn x+ò [( [α n−1 x−β i y ] )+ò [ ( αn−2 x−βn−2 y )+ò [ .. .+ò [( α0 x−β0 y ) dt ] dt ] dt ] . . .]dt


EjemploSea la Ecuación:

Dibujando el flujo grama o diagrama de flujo para la primera forma canónica del circuito.

Antes de ver la forma de Jordan, llamada también forma canónica de Jordan, recordemos algunos conceptos:

14

d3 xdt 3 −2 d2 y

dt 2 +14

dxdt

=2 x−3 y+d3 ydt 3

d3 ydt3 =4 d3 x

dt 3 +8 d2 ydt 2 −dx

dt+8 x−12 y+1

2d2 xdt 2

d3 ydt3 =

d3

dt 3(4 x )+d2

dt 2 (8 y+12 x)+d

dt(−x )+ (8 y−12 y )

aplicando

∭d3 ydt

=∭ [d3

dt 3 (4 x )+d2

dt 2 (8 y+12

x+ddt

(−x )+(8 x−12 y ))]distribuyendo

y=4 x+ò(8 y+12

x)dt+∬ (−x ) dt 2+∭ (8 x+12 y )dt3

factorizando

y=4 x+ò [(8 y+12 x)+ò [ (− x )+ò [ (8 x−12 y ) ] dt ]dt ]dt


Fracciones ParcialesLa descomposición de polinomios en Fracciones parciales, es posible si son “Fracciones Propias”.

Si la fracción es “Impropia”, se aplica el “Algoritmo de la División”

Es decir:

a. Si n≥m ⇒F( x )=

N (x )

D(x )=C ( x )+

Rn( x )

Dm

( x )

b. Si n<m ⇒F( x )=

N ( x )

D( x )

Ejemplo

Si recordamos de la aritmética:

Sea la fracción:

520

Descomponiendo el Denominador tenemos:

520

= 52∗2∗5

Descomponiendo la fracción en varias fracciones:

520

=12

+ 34

+ c5

Sacando mínimo común divisor y haciendo operaciones algebraicas:

520

=25+4 c20

En consecuencia tenemos lo siguiente: 25+4 c=5⇒ c=−5

Por otra parte en el cuerpo de los números complejos, siempre es posible expresar el polinomio en x

como multiplicatoria:

D( x )=∏i=1

m

(x−x i )

Se pueden presentar los siguientes casos:

- Si Todos los factores son distintos entre sí tenemos:

x i≠x j ∀i≠ j⇒ F ( x )=∑

i=1

m R i

( x−xi )=

R1

( x−x1 )+

R2

( x−x2)+¿⋅¿+

Rm

( x−xm)

- Si todos los factores son iguales:

x i=x j ∀ i≠ j⇒ D( x )=( x−x0 )m

F (x )=∑i=1

m R i

( x−x i )i =

R1

( x−x1)1 +R2

( x−x2 )2 +¿⋅¿+Rm

(x−xm)m

- Siempre a de ser posible tener factores lineales

Descomposición de polinomios en Fracciones Parciales

F (x )=Nn( x )Dm( x )

Fracción propia


Método AlgebraicoAmbos casos se pueden resolver por el método algebraico:

-Sumar las fracciones parciales, para llegar a-

F ' (x )=N ' ( x )P( x )

-Igualar F (x )=F ' (x )

⇒ N (x )=N ' ( x )

-Formar un sistema de ecuaciones donde las incógnitas sonRi .--Resolver el sistema de ecuaciones

⇒ R i=K

Método De Los Residuos.Esta es otra forma de encontrar los numeradores de las fracciones parciales.El teorema de los residuos nos es expresado de las siguientes formas:

Ri= αx→ xi

[ 1(n−i )!

dn−i

dxn−i (( x−x i)n +F (x )) ]= 1

(n−i)!dn −i

dxn−i (( x−x i)n f (x ))|x= x i

Donde: n= La multiplicidad del factor ( x−x i) i = El residuo que se está buscando o que se está evaluando

Ejemplo

Se tiene la fracciónF (x )= 2 x2+3

x3+3 x2+3 x+1

- Factorizando el numeradorF (x )= 2 x2+3

( x+1)3

- Descomponemos la fracciónF (x )=

R1

x+1+

R2

( x+1)2 +R3

( x+1 )3

Al numerador lo descomponemos en tres, y los llamamos Residuos: R1, R2, R3.Sacamos valores para los Residuos de la siguiente manera con:

Ri=1

(n−i )!dn−i

dxn−i (( x+x i)n f ( x ) )|x= xi

Ri : Residuo a encontrar.( x+ xi )

n : Representa el Denominador, en su potencia máxima, o en su mayor multiplicidad.

f ( x ): La función con el numerador ya factorizado.x=xi : El valor en el cual se va a evaluar el residuo.n : La expresión máxima del exponente.


i : La expresión del exponente del residuo.1er. Residuo

i=1 ;n=3R1= 1

(3−1 )!d3−1

dx3−1 (( x+1)3 (2 x2+3 )( x+1)3 )|x=−1

- TenemosR1=

12

d2

dx2 (( x+1 )3 (2x2+3)( x+1 )3 )|x=−1

- Se simplifican los valores que se puedan para hacer mas sencilla la expresión

R1= 12

d2

dx2 (2 x2+3)|x=−1

- Derivamos una vez y tenemosR1=

12

ddx

(4 x )|x=−1

- Como todavía tenemos una diferencial, derivamos una vez masR1= 1

2∗4|x=−1

Nota. Derivamos hasta que la diferencial desaparezca.

- Como tenemos a( x+1)3 entonces x=−1 y evaluamos (reemplazamos en todas las x que

aparezcan) en la expresión que hemos obtenidoR1= 1

2∗4|x=−1=

42

=2

Nota. Si no tenemos ninguna variable (x en este caso) para evaluar la expresión, se obtiene el resultado simplificando y haciendo operaciones algebraicas.

- Finalmente tenemos que el primer residuo es R1=2

2do. ResiduoSeguimos el mismo procedimiento anteriormente explicado

R2=1

(3−2) !ddx (( x +1)3 (2 x2+3)

( x+1)3 )|x=−1=4 x|x=−1=−4

3er. Residuo

R3=1 d0

dx0 (( x+1)3 (2 x2+3 )( x+1)3 )|x=−1

=2(−1)2+3=5

- Por último reemplazamos los residuos obtenidos en la funciónF( x )=

R1

x+1+

R2

( x+1)2 +R3

( x+1)3

y tenemos:F( x )=

2x+1

+ −4( x+1)2

+ 5( x+1)3


Nota.Se puede también obtener los residuos de esta forma:

F( x )=R1

x+1+

R2

( x+1)2 +R3

( x+1)3

- Sacamos mínimo común divisor F(x )=

R1( x2+2x+1)+R2 ( x+1 )+R3

(x+1 )3

- Haciendo operaciones algebraicas obtenemosF( x )=

R1 x2+(2 R1+R2 )x+( R1+R2+R3 )

( x+1)3

- ComoF (x )= 2 x2+3

( x+1)3 , entonces igualando tenemos

R1=22 R1+R2=0⇒ R2=−4R1+R2+R3=3 ⇒ R3=5

-Finalmente reemplazando R1, R2, R3, obtenemos: F( x )=

2x+1

+ −4( x+1)2

+ 5( x+1)3

Método de Jordan

Es una de las más empleadas, al igual que la primera forma canónica vista antes.

a ndydt

+a n−1 dydt

+. .. .+a 1 dydt

+a 0=b n dxdt

+b n−1 dxdt

. ..+b 1 dxdt

+b 0 x

1° Cambiar la relación, en lugar de utilizar las diferencias se usa el operador derivativo así por ejemplo:

dydt

=Dy

a n Dy +a n−1 Dy+ .. ..+a1 Dy +a 0 y=b n Dx+b n−1 Dx+.. .+b 1 Dx+b 0 x

Se asume que el operador derivativo es una variable algebraica de manera que pueda ser tratado como un polinomio.2° Factorizando las salidas y las entradas, para luego despejar la salida.

(a n D+a n−1 D+. ..+a 1 D+a0 ) y=(b n D+b n−1 D+.. .+b 1 D+b 0 ) x

y= b n D+b n−1 D+. ..+b 1 D+b 0

a n D+a n−1 D+. ..+a 1 D+a0x

Verificamos si la fracción algebraica es propia o impropia. Si no es propia se debe realizar la división.

D0

R x


y=Cx + R (D )

a n D+a n−1 D+. . .+a 1 D+a 0x

Se tiene dos casos extremos

Cx+∑i=1

n RiD−Di

x

Cx+∑i=1

n Ri( D−Di )

x

Nota: En algunos casos se pueden dar ambos casos.Todos los elementos de la sumatoria excepto el 1° término se toma como prototipo.

RD−D 0

x=L⇒ DL−D 0 L=Rx

⇒ dL

dt−D 0 L=Rx

⇒ dL

dt=Rx+ D0 L

Realizando la integración tenemos:

ò dLdt

dt=ò (Rx +D 0 L ) dt

L=ò ( Rx+ D0 L )dtLa gráfica resultante será:

x L

Realizando el diagrama para todos los términos de la sumatoria se tiene:

Se toma como derivadasLuego se aplica la primera forma canónica

J

D1

x R1

D1

x R1

D

xR2

D

x R3

C

X


Lo anterior puede ser representado de la siguiente manera:

L= R 0

D−D 0x⇒ x

D− D0R 0=JR 1

dJdt

−D 0 J=x

dJdt

=x+D 0 J

J=ò (x+D 0 )dtLa grafica de la anterior ecuación es:

La gráfica completa es:

X Y

Aplicación Del Método De Jordan

Ejemplo

J= xD− D0

⇒ DJ −D0 J =x


d4 ydt 4 +4 d3 y

dt 3 +6 d2 ydt 2 +4 dy

dt=2 d 4 x

dt 4 +2 dxdt

−x

Cambiamos la notación

( D4+4 D3+6 D2+4 D+1 ) y=(2 D4+2 D−1 ) x

y=2 D4+2 D−1D4+4 D3+6 D2+4 D+1

x

Aplicamos el algoritmo de la división porque es una fracción impropia

D4+4 D3+6 D2 +4 D+1

2 D4+2 D−1 ¿−2 D4−8 D3−12 D2−8 D−2 ¿

¿ −8 D3−12 D2−6 D−3 ¿¿

¿¿2

y=2x+ −8 D3−12 D2−6 D−3D4+4 D3+6 D2+4 D+1

x

Ahora aplicamos Ruffini para poder sacar factores

1 4 6 4 1-1 -1 -3 -3 -1

1 3 3 1-1 -1 -2 -1

1 2 1-1 -1 -1

1 1-1 -1

dydt

=Dty

dxdt

=Dtx

D4 y+4 D3 y+6 D2 y+4 Dy + y=2 D2 x+2 Dx−x


1

y=2x+−8D3+12 D2−6D−3( D+1 ) 4

Descomponemos en fracciones parciales

y=2 x+R1 x

(D+1 )+

R2 x

( D+1 )2+

R3 x

( D+1 )3+

R4 x

( D+1 )4

Aplicamos teorema de los residuos

Para R1 tenemos n=4 ; i=1

R1=1(4−1 ) !

d 4−1

dD4−1 [ ( D+1 )4 (−8 D3−12 D2−6 D−3( D+1 ) 4 )]|D=−1

R1=13 !

d3

dD3(−8 D3−12 D2−6 D−3 )|D=−1

R1=16

d2

dD2(−24 D2−24 D−6 )|D=−1

R1=16

ddD

(−48 D−24 )|D=−1

R1=16

(−48 )=−8


R2=1(4−2 )!

d4−2

dD4−2 [ ( D+1 )4 (−8 D3−12 D2−6 D−3( D+1 ) 4 )]|D=−1

R2=12 !

d2

dD2(−8 D3−12 D2−6 D−3 )|D=−1

R2=12 !

(−48 D−24 )|D=−1

R2=12


R3=1( 4−3 )!

d4−3

dD4− 3 [ ( D+1 )4(−8D3−12 D2−6 D−3(D+1 )4 )]|D =−1

R3=(−8D3−12 D2−6 D−3 )|D=−1R3=1


Como resultado se tieney=2 x+−8 x

D+1+12x

( D+1 )2+−6 x

( D+1 )3+−1 x

( D+1 ) 4

finalmente el diagrama de flujo es:

Ejemplo.-

Sea la ecuación:

Integrando por orden máximo de

donde

aplicando la linealidad de la integral


graficando:

Ejemplo.-

Ordenando de acuerdo a la salida

integrando

factorizando las integrales

graficando:

0

2n nx


2da forma CANONICA

Analizamos la 1ra forma CANONICA.

Sea el diagrama de flujo de la primera forma canónica general:

En la 2da forma CANONICA se aplica lo mismo que en la 1ra forma CANONICA, pero

se realizan los siguientes cambios:

1. Cambia los sumadores por puntos de bifurcación.

2. Cambia los puntos de bifurcación por sumadores.

3. Cambia el sentido de los integradores.

4. Y la obtención de las ecuaciones es de izquierda a derecha.-

5. Los cursores cambian de sentido.

Procediendo como se menciona se llega a:


Ejemplo: Para la ecuación:

EjemploPara cada una de las ecuaciones diferenciales dadas, obtener:

a) Su diagrama de flujo para la primera forma canónica.


b) Su diagrama de flujo para la segunda forma canónica.c) Su diagrama de flujo para la forma de Jordán.d) La ecuación de Estado para la primera forma canónica.e) La ecuación de Estado para la segunda forma canónica.f) La ecuación de Estado para la forma Jordán.

Solución :d3 ydt3 +3 d2 y

dt 2 +3 dydt

+ y=12

d3 xdt 3 −x

d3 ydt3 =

12

d3 xdt3 −x−3 d2 y

dt 2 −3 dydt − y

d3 ydt3 =1

2d3 xdt3 −3 d2 y

dt2 −3 dydt

+(−x− y )

y=12

x+ò(−3 y )dt +∬ (−3 y )dt2 +∭(−x− y )dt 3

y=12

x+ò [(−3 y )dt +ò [ (−3 y )dt 2+ò [ (−x− y )dt ]dt ]dt ]

Solución del inciso a)Diagrama de flujo para la primera forma canónica

Solución del inciso d)Ecuación de estado para la primera forma canónica

y = ℮1 + ½ x ℮1

[y] = [ 1 0 0 ] ℮2 + [ ½] [x]

℮3


℮1 = ℮2 - 3 (℮1 + ½ x) = ℮2 – 3 ℮1 3/2 x ℮1 -3 1 0 ℮1 3/2

℮2 = ℮3 - 3 ℮1 - 3/2 x ℮2 = -3 0 1 ℮2 + 3/2 [x]℮3 = -(℮1 + ½ x)–x => -℮1- ½ x – x = -℮1 -3/2 x ℮3 -1 0 0 ℮3

3/2

Solución del inciso b) Diagrama de flujo para la segunda forma canónica

Solución del inciso e,f)Ecuación de estado para la segunda forma canónica

℮1 = ℮2

℮2 = ℮3

℮3 = x + (-3℮3) - 3℮2 - ℮

℮3 => x -3℮3 - 3℮2 -℮

℮1 0 1 0 ℮1 0 ℮2 = 0 0 1 ℮2 + 0 [x] ℮3 -1 -3 -3 ℮3 1

y = -℮1 + ½ ( x -℮1 -3℮1 - 3℮3)

y = - 3/2 ℮1 - 3/2 ℮2 - 3/2 ℮3 + ½ x

℮1 [y] = [ - 3/2 -

3/2 - 3/2 ] ℮2 + [ ½ ] x ℮3

Solución del inciso c)


Diagrama de flujo para la forma de Jordan

D3y + 3D2y + 3D + y = ½ D3x – x ½ D3 – 1 D3 + 3D2 + 3D + 1 y (D3 + 3D2 +3D + 1) = x ( ½ D3 –1 ) - ½ D3 – 3/2D2 - 3/2D - ½ ½

- 3/2 D2 - 3/2D - 3/2

½ D3 -1y = x D3 + 3D2 + 3D +1

y = ½ x + - 3/2 D2 - 3/2 D - 3/2 1 3 3 1 D3 + 3D2 + 3D + 1 -1 -2 -1 -1 y = ½ x + - 3/2 D2 - 3/2 D - 3/2 1 2 1 0 -1 -1 -1 (D+1)3 1 1 0 -1 -1

1 0 R1 R2 R3

+ + (D + 1) (D + 1)2 (D + 1)3

R1=12

d2

dt2 ((D+1)3(−3

2 D2−32 D−3

2 )( D+1)3 ) |

D=−1

=12

d2

dt2 (−32 D 2−

32 D−

32 ) |

D=−1

R1=12

ddt (−3

2 D−32 ) |

D=−1

R1=12

(−3 )=−32


R2=ddt (( D+1)3

(−32 D2−

32 D−

32 )

( D+1)3 ) |D=−1

=(−3 D−32 ) |

D=−1=3

2

R3=( D+1 )3(−3

2D2−3

2D−3

2 )( D+1)3 |

D=−1

=(−32

D 2−32

D−32 )=−3

2+3

2−3

2=−3

2

y=12 x+

−32 x

(D+1 )+

32 x

( D+1 )2 +−

32 x

(D+1)3

Solución del inciso f)Ecuación de estado para la forma de Jordán

y = - 3/2 ℮1 + 3/2 ℮2 - 3/2 ℮3 + ½ x

℮1

[y] = [- 3/2 + 3/2 - 3/2 ] ℮2 + [½] [x] ℮3

℮1 = -℮1 + ℮2 ℮1 -1 1 0 ℮1 0℮2 = -℮2 + ℮3 ℮2 = 0 -1 0 ℮2 + 0 [x]℮3 = -℮3 + x ℮3 0 0 1 ℮3 1

LA ECUACIÓN DE ESTADO

0 byyak

abllamamos

ey

ee

taby

dtab

ydy

bydtdya

tab

ab

y

y

y t

t

ò ò

ln

/ln

0

0

ktey

0 AeeLo que da como resultado que el sistema entregue una Respuesta no Forzado del Sistema, es decir, lo que el sistema entrega sin que haya señal de control (sin entrada)

S I S y

LEONHARD EULER: EL SHAKESPEARE DE LA MATEMÁTICA

Leonhard Euler (1707-1783) fue el científico más importante de Suiza y uno de los tres matemáticos más grandes de la época moderna (los otros dos son Gauss y Riemann)

:AS I S

zy

M u c h oOJO ! ! !

Ate


ECUACIÓN DE ESTADO.-

¿Qué son variables de estado?Una posible aproximación es pensar en ellas como variables matemáticas auxiliares que permiten representar el comportamiento de sistemas mediante ecuaciones. No obstante existe otra posible interpretación : Los sistemas dinámicos se rigen por ecuaciones diferenciales y de diferencia, este tipo de ecuaciones tiene una única solución únicamente si estable un conjunto de condiciones denominadas condiciones auxiliares , usualmente estas se determinan en el instante de tiempo consideradas como inicial y por tanto se denomina condiciones iniciales.

Resolver la ecuación de estado.-


Teteç

Tt

SEGUNDO MÉTODO

M u c h oOJO ! ! !

La matriz Particionada, esta compuesta por vectores propios , también denominda matriz de matrices.


e At=T−1 eJt Tdonde :T: es la matriz particionada de la matriz AeJt

: es la matriz de Jordan formada por bloques de JordanBloqueJ: son los autovalores de la matriz A o valor porpio

λ i : son los autovalores de la matriz A

Cuando la matriz A tiene autovalores propios y distinguidos, además genera autovalores linealmente independientes, la matriz de Jordan se convierte en D que es la matriz diagonalizada de A

NO SE REQUIERE DE MAGIA PARA RESOLVER

ESTE EJEMPLO

Ejemplo: Sea la ecuación de estado

[ z1

z2 ]=[1 −20 3 ] [ z1

z2 ]+[11] [ x ]

Por el primer método: R(S) = [SI-A]-1

eJt=¿(λ1 1 0 00 λ1 1 00 0 λ1 10 0 0 λ1

. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . 0 .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . 0 ¿)(0 .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .

λ2 1 0 00 λ2 1 00 0 λ2 10 0 0 λ2

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . 0 ¿)¿

¿

¿¿

s[1 00 1 ]−[1 −2

0 3 ]=[ s 00 s ]−[1 −2

0 3 ]=[s−1 20 s−3 ]

−1


Hallamos la matriz inversa de :

[s−1 20 s−3 ]

−1

=>

Aplicando el método de Gaus Jordán

entonces concluyendo tenemos la matriz final:

[R(s)]= [s−1 2

0 s−3 ]−1

=[1 s−1

−2( s−3)( s−1)

0 1s−3 ]

También pude hallarse la matriz inversa partiendo por la matriz adjunta que tiene la siguiente forma :

A−1=

1|A| Aa

Donde:

|A|= matriz determinante de A Aa= matriz adjunta de A

Dada la ecuación diferencial

En una matriz se llaman OPERACIONES ELEMENTALES por filas a lo siguiente:

Multiplicación de todos los elementos de una fila por una escalar K=0.

Intercambio de dos filas entre si.

Suma de múltiplo de una fila a otra fila.

METODO DE GAUSS JORDAN La obtención de una matriz inversa por este método Requiere de los sig. conceptos previos.

s−1 20 s−3

1 00 1

* 1

s−1

1 2s−1

0 s−3

1s−1

0

0 1

* 1

s−3

1 2s−1

0 1

1s−1

0

0 1s−3

* −2

s−1

1 00 1

1s−1

−2(s−3 )(s−1 )

0 1s−3

o

e .

e1

o

e1


su diagrama de flujo es el siguiente:

De acuerdo al diagrama de flujo se calcula los valores para la matriz

Primero se debe asignar a la salida del primer integrador y

a la entrada del primer integrador y así sucesivamente asignar a los demás

integradores, obteniendo la primera ecuación:

Y = e1 + n x

A partir de ésta ecuación se halla: oe1 = e2 + n-1 x + n-1 y = e2 + n-1 x + n-1 (e1 +n x )

de donde se llega a obtener:

oe1 = n-1 e1 + e2 +( n-1 + n-1 n)x

y de esta manera se llega a generalizar:

oen= 0 e1 + ( 0+ 0 n)x

una vez obtenido los valores de la matriz aplicamos la siguiente formula o

e


para el calculo de Y:

Y = Ce+ Dx

Ejemplo:

Sea la ecuación diferencial

1 d 4 y -3 dx + 2y - x = d 3 x + dy - 2x4 dt4 dt 3 dt3 dt

Paso 1: Se debe despejar dy con respecto a su mayor derivada

1 d 4 y = 3 dx - 2y + x + d 3 x + dy - 2x 4 dt4 dt 3 dt3 dt

Para que me quede respecto a su derivada d4y, debo multiplicar a todo la ecuación por 4

d 4 y = 12 dx - 8y + 4 x + 4 d 3 x + dy - 8x dt4 dt 3 dt3 dt

Luego se ordena de la siguiente manera

d 4 y = 4 d 3 x +12 dx + 4 dy - 20 x -8y

[x]


dt4 dt3 dt dt 3Paso 2: Se agrupa las derivadas según el orden que lleva del siguiente modo:

Aplicando la linealidad

d 4 y = 4 d 3 x + d (12x+ 4y) + (-20 x - 8y) dt4 dt3 dt 3

Paso 3: Se hace desaparecer la derivada “d4y” integrando 4 veces para que así quede “y” que es la salida del sistema

∫∫∫∫ d 4 y = ∫∫∫∫ 4 d 3 x dt4+ ∫∫∫∫ d (12x+ 4y) dt4+ ∫∫∫∫ (-20 x - 8y) dt4

dt4 dt3 dt 3

Se simplifica las integrales con las derivadas de la siguiente manera:

Y = ∫ 4x dt + ∫∫∫(12x+ 4y) dt3 + ∫∫∫∫ (-20 x - 8y) dt4

3

Aplicando la linealidad de la integral tenemos:

Y = ∫ (4x + ∫∫((12x+ 4y) +∫( (-20 x - 8y) dt) dt2) dt) 3paso 4: Se procede a graficar del siguiente modo:

Paso 6: En el mismo gráfico se asigna “e” y “é” respectivamente de la siguiente forma:

Se procede a buscar la primera integral y el nodo de suma que se encuentra cerca de la salida “Y”

Se asigna e1 detrás del primer nodo de suma que se encuentra detras de la salida Y.

Luego detrás de la primera integral se le asigna é1

El siguiente nodo de suma tomará el valor de e2


En la siguiente integral se le coloca é2 y así sucesivamente (ver grafico siguiente)

Paso 7: Se procede a obtener la matriz de estado

Y = e1

é1 = e2 + 4xé2 = e3 é3 = e4 + 12x + 4 e1

é3 =

−203 x - 8 e1

Para Obtener la ecuación de estado tenemos las siguientes ecuaciones las cuales sacamos de la 1ª forma canónica que se aplico al diagrama, entonces que:

Con estas ecuaciones encontradas ahora podemos conformar la ecuación de estado, la cual quedara de la siguiente manera:


Esta matriz hallada vendría a ser la matriz de estado

A continuación obtendremos la ecuación de estado para algunos ejemplos reiterando, a modo de repaso, los pasos para la obtención del diagrama de flujo a partir del cual se obtiene la ecuación de estado.

1ª FORMA CANÓNICA.-

Partiendo de la forma general del modelo matemático mediante ecuaciones diferenciales se pueden hallar las 2 formas canónicas y la forma de Jordan que se va ir describiendo a continuación.

Despejar la salida en su mayor orden de derivación:

an dn x( t )dtn +an−1

dn−1 x ( t )dtn−1 +. . .+a1

dx ( t )dt

+a0 x ( t )=bndn y ( t )

dt+bn−1

dn−1 y ( t )dtn−1 +.. .+b1

dy ( t )dt

+b0 y ( t )

an dn x( t )dtn +

an−1

bn

dn−1 x ( t )dtn−1 +. . .+

a1

bn

dx ( t )dt

+a0

bnx( t )−

bn−1

bn

dn−1 y ( t )dtn−1 −. ..−

b0

bn

dy ( t )dt

=dn y ( t )

dtn

Cambio de variable:

ai

bn=αi

;

bi

bn=βi

dn y ( t )dtn =α n dn x ( t )

dtn + dn−1

dt n−1 (α n−1 x−βn−1 y )+. ..+ ddt (α 1 x−β1 y )+( α0 x− β0 y )

Integrando el número de veces de la derivada mayor, quedando sólo y:


y=αn x+ò ( αn−1 x−βn−1 y ) dt +∬ ( α n−2 x−βn−2 y ) dt2+. ..+∬ .. .ò (α1 x−β1 y ) dtn−1+∭ . ..ò (α0 x−β0 y ) dtn

y=αn x+ò [ (α n−1 x−βn−1 y )+ò [ (α n−2 x−βn−2 y )+. ..+ò [ ( α 0 x−β01 y ) dt ] dt ]dt ]dt

Su diagrama será:

Teniendo así el diagrama de la primera forma canónica.

Hallando la forma matricial, es decir la ecuación de estado y la ecuación de salida de la 1ª forma canónica será:

Ejemplo:

1. Sea 3d 3 y – 2d 3 x – 1x + 2y = dx – 1 d 2 y dt3 dt3 2 dt 3dt2

a) Despejamos la salida en su máximo orden de expresión


b) Ordenando la ecuación

c) Aplicando Linealidad

d) Integrando 3 veces, ya que òòòd3y/dt3 = y

e) Factorizando

f) Por último Dibujamos el diagrama:g)

SEGUNDA FORMA CANÓNICA.- También podemos hallar el diagrama de flujo por medio de una segunda forma canónica donde, todo a comparación de la 1º forma canónica se debe invertir es decir un nodo de suma en nodo de bifurcación, la salida en entrada y los nodos los rotamos 180 grados y las flechas cambian de sentido.


La ecuación de estado será:

y=α0 e1+α1 e2+α2 e3 +α 3 A

Pero A es el resultado de lo que se encuentra al otro lado del punto de bifurcación después de ė3, por tanto:

A=x+β2 e3+ β1 e2+ β0 e1

Si sustituimos A en y, tenemos como resultado:

y=( α0+α3 β0) e1+ (α 1+α 3 β1) e2+( α2+α 3 β2 ) e3+α 3 x

Finalmente:

La ecuación de salida de la segunda forma canónica es:

[ y ]=[(α 0+α 3 β0 ) (α 1+α 3 β1) ( α 2+α 3 β2) ] [e1

e2

e3]+[ α3 ] [ x ]

Las ecuaciones de estado en forma matricial de la segunda forma canónica será:

[e1

e2

e3]=[ 0 1 0

0 0 1β0 β1 β2

][e1

e2

e3]+[001 ] [ x ]

Así hallamos la segunda forma canónica.FORMA DE JORDAN.-


Recordando estos procedimientos entonces será mas fácil aplicar la forma de Jordan:

an dn x( t )dtn +an−1

dn−1 x ( t )dtn−1 +. . .+a1

dx ( t )dt

+a0 x ( t )=bndn y ( t )

dt+bn−1

dn−1 y ( t )dtn−1 +.. .+b1

dy ( t )dt

+b0 y ( t )

Cambiando la notación, haciendo cambio de variable:

ddt

=D

P( x )=an Dn x+an−1 Dn−1 x+. . .+a 1 D1 x+a0 x=bn Dn y+bn−1 Dn−1 y+. ..+b1 Dy+b0 y

Factorizando, tratando como polinomio y despejando y:

y=( an Dn+an−1 Dn−1+.. .+a1 D+a0

bn Dn+bn−1 Dn−1+.. .+b1 D+b0)x

Con las fracciones impropias se divide para aplicar el algoritmo de la fracción:

F (x )=Cx+R(D )

an Dn+an−1 Dn−1+. ..+a1 D+a0

x

Cunado ya es fraccion propia:

F (x )=¿ {Cx+∑i=1

n Ri( D−Di)

x ¿¿¿¿

Para el caso (2):R

D−Dox=L

Todas las fracciones parciales tendrán esta forma

DL-DoL=Rx →

dLdt

−DoL=Rx ec. de 1º orden

Aplicando la primera forma canónica:

dLdt

=Rx+DoL →

ò( dLdt )dt=ò ( Rx+DoL )dt

L=ò ( Rx+ DoL ) dt

(2)

(3)

(1)

x R

Do

L

y

C

R1

R22

Rn

D1

D2

Dn

x

x

R

Do

L


La forma completa es:

y=Cx +R1

D−D1x+

R2

D−D2x+ .. .+

Rn

D−Dnx

Gráficamente:

Pero: L=

R1

D−D1x= x

D−D1

⏞J

R1=JR1 → DJ-D1J=x →

ò dJdt

dt=ò ( x−D1 J ) dt

J=ò ( x−D1 J ) dt

Gráficamente:

y

C

R1

R22

Rn

D1

D2

Dn

x

-1

ẻ1e4 e3 ẻ3

-6

e2 ẻ2 ẻ4

-1-1 -1

-1

2

-8

12

e1


El caso (3) se usa para factores lineales iguales.Del ejercicio anterior…

d4 ydt4 + 4 d3 y

dt3 + 6 d2 ydt2 + 4 dy

dt+ y= 2d 4 x

dt4 + 2 dxdt

−x

Del diagrama que se obtenga a partir de esta ecuación diferencial, se podrán hallar las ecuaciones de estado para la forma de Jordan.

En una ecuación de estado las variables de estado son (representadas en el grafico) las salidas de los integradores.

X Y

Donde:


ẻi = Variable de estado

Y = – ẻ1 – 6 ẻ2 – 12ẻ3 – 8ẻ2 + 2x – 6ẻ1 – 6ẻ1

[ Y ] = [−1 −6 12 8 ] [e1

e2

e3e4

] + [2 ] [ X ]

Luego se obtienen las ecuaciones de las variables de estado:

ẻ1 = –e1 + e2

ẻ2 = –e2 + e3

ẻ3 = –e3 + e4

ẻ4 = –e4 + x

Expresando de forma matricial

[e1

e2

e3e4

]=[−1 1 0 00 −1 1 00 0 −1 10 0 0 −1 ] [e1

e2

e3e4

] + [0001 ] [ X ]

Esta es la ecuación de estado de la forma de Jordan expresado de forma matricial

Matriz BMatriz de las variables de estado

Matriz A

Matriz C

Matriz D

Variables de Estado


RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO

Matriz De Transición

DefiniciónLa matriz F(t,t0) de dimensión nxn es llamada matriz de transición de estado, o simplemente matriz de transición.

Para resolver la ecuación de estado:

e.= Ae+Bx

y=Ce+ Dx

Tomaremos el ejemplo de una ecuación diferencial de primer grado:

ay’ + by = cx


Si: x = 0 → podemos hacer :

a dydt

=−by→òyo

ydyy

=ò0

t−ba

dt

ln y|¿−ba t|

0

t

→ y= y0 e−b

at= y0 ekt

Para diferenciar entre variables de estado y fracción exponencialSea W = e = Variable de estado

Entonces:

w.= Aw+Bx

Si x = 0 w.= Aw+0

Como solo hay salida es la respuesta no forzada del sistema.Interesa conocer w y por analogía:

w=w(0 )eAt

Donde:

- eAt es la Matriz de transición- A es la Matriz función exponencial matricial

Y ahora las ecuaciones de estado nos servirán para darnos cuenta de cómo hallar b la ecuación de estado en forma matricial , por el método de la matriz resolverte :

Siendo A= matrizDonde tenemos e

At= matriz de transición

´ e= Ae+Bx´ e− Ae=Bxsi x=0´ e− Ae=0z− A z=0


Entonces :

Fórmula para resolver por el método de matriz resolverte:

R(s) = [SI - A]-1

Donde S = variable compleja I = variable identidad A = Matriz

Otro método para hallar la matriz de transición es el de los auto valores en el cuál tenemos:

Donde T es la matriz particionada de la matriz A.Y donde ejt es una matriz formada por los bloques de Jordan.

ejt =

Donde en su diagonal principal están los autovalores

Anteriormente utilizamos en el método de la matriz resolvente

L -1 [R(s)] = eAt

pues sabemos que

f(x) ------ L------> F(s) <----- L-1------

teniendo que “s” es una variable compleja porque

L−1 [ R( s )]=e At

e At=T−1 e jt T


Entonces tenemos que

f(t) ----------- f. .. .F(s) ---------- F’(s)Restaurando la ecuación para encontrar

Por lo cual una posible forma es utilizar la transformada de Laplace ya que:

es por eso que se define que

Indicado anteriormente.

Metodo matriz resolverte.-Partiendo de la ecuación:

ż=Az+Bx si z=0z=z(0) eAt

donde:

z( 0 )=[z1(0)

z2(0 )

:zn( 0)

]donde se tiene: òy (0 )

y dyy =ò0

tkdt

donde y(0)=condiciones iniciales de estadoln y

yo =kt → y= y (0)ekt

Y esto nos lleva a la formula principal de la matriz de transición:

eAt= ℓ -1[R(s)]= ℓ -1[sI-A]-1

Donde se hallan las matrices A,B,C y D es en las ecuaciones de estado en forma matricial de cualquiera de las formas canónicas.

e At=L−1 {(SI− A )−1}

R( s )=[ SI−A ]


La matriz de transición en forma mas simple de entender, en forma verbal es:Matriz de transición = inversa de Transformada de Laplace de [variable complejas(no es matriz) por la matriz identidad menos la matriz A]inversa de la resta de estas matrices.

Ejemplo

¿¿

z '1

z '2 =

2 31 2

La matriz de Transición por el método de la matriz resolvente.

℮ At = L-1 [R(s)]= L-1[SI-A]-1

Primero resolvemos el sistema [SI-A]-1

[ s−2 −3−1 s−2

1 00 1

]

[s−2 −3−1s−2

1

1 0

0 1s−2

]

[

( s−2)2−3s−2

0

−1s−2

1

1 3s−2

0 1s−2

]

[

( s−2)2−3s−2

0

−1s−2

1

1 3s−2

0 1s−2

]

[1 0

−1s−2

1

s−2( s−2)2−3

3(s−2)2−3

0 1s−2

]

[ 1 00 1

s−2( s−2)2−3

3(s−2)2−3

1( s−2)2−3

s−2(s−2)2−3

]

Aplicamos Laplace

L-1[SI-A]-1 = L-1 [ s−2(s−2 )2−3

3( s−2)2−3

1(s−2 )2−3

s−2( s−2)2−3 ]

Aplicando El Teorema de Residuos para cada elemento de la matriz.s−2

( s−2)2−3 =

0 .5s−3 .7

+ 0 . 5s−0 .3


1( s−2)2−3 =

0 .3s−3 .7

+ −0.3s−0 .3

3( s−2)2−3 =

0 . 9s−3 .7

+ −0 .9s−0 .3

s−2( s−2)2−3 =

0 .5s−3 .7

+ 0 . 5s−0 .3

Remplazando tenemos:

℮ At = [ 0 .5 e3 .7 t +0 .5e0 .3 t 0 . 9 e3 . 7t −0 .9 e0 .3 t

0 .3 e3. 7 t−0 . 3 e0 . 3t 0. 5e3.7 t+0.5 e0.3 t ]Ejemplo

Encontrar la Matriz de Transición Condiciones Iniciales

Z0=A Z +BXSI X = 0 Z = Z[0] e At

Z[0] =

La matriz de transición utilizando la matriz resolvente:

e At = L-1[SI-A]-1

Identificando matrices:

[ Z°1 ¿ ] [ Z° 2 ¿ ]¿¿

¿¿=

[ 2 4 -3 ¿ ] [0 -1 4 ¿ ] ¿¿

¿¿[ z1 ¿ ] [ z2¿ ] ¿¿

¿ ¿+

[ 1 ¿ ] [ 0 ¿ ] ¿¿

¿¿[ X ]

Primero resolvemos el sistema [SI-A]-1

¿¿=

[ S−2−43100 ¿ ] [0 S+1−4010 ¿ ] ¿¿

¿¿

{Z 1[ 0 ]¿ } {Z 1 [ 0 ]¿ }¿ {}


[ S-2 -4 3 . 1 0 0 ¿ ] [ 0 S+1 -4 . 0 1 0 ¿ ] ¿¿

¿¿=

[ 1 -4/S-2 3/S-2 . 1/S-2 0 0 ¿ ] [ 0 1 -4 /S+1 . 0 1/S+1 0 ¿ ]¿¿

¿¿

[1 0 0 . 1/S-2 4/( S+1 )(S-2) 3S-13/ (S +1)(S-1 )(S-2) ¿ ] [0 1 0 . 0 1/S+1 4/ ( S+1 )(S-1 ) ¿ ] ¿¿

¿ ¿

Entonces:

Utilizamos el Teorema de Residuos.

4 -4/3 + 4/3

(S +1)( S−2) S+1 S−2

3S-13 -8/3 + 5 + -7/3

(S+1)( S−1)( S−2) S+1 S−1 S−2 4 -2 + 2

(S +1)( S−1) S+1 S−1

Finalmente reemplazamos los valores encontrados:

=Aplicando fórmulas de Laplace

e At=[e2t −4

3 e−t +43e2t −8

3 e−t+5e t−73 e2t

0 e−t −2 e−t +2 e t

0 0 et ]Y este es el resultado final de la matriz de transiciónPara encontrar la matriz de transición encontramos dos pasos a seguir, y el método directo y otro es el método por autovalores. El ejemplo anterior se resuelve mediante le método directo, para aclarar dudas daremos un ejemplo por el método de autovalores:

Metodo de matriz de los autovalores.-

Para la resolución de la matriz de los autovalores se debe utilizar la matriz de:

(A - l I)x = 0


En la cual: A = Una matriz n*n

l = Autovalor

I = Matriz identidad

De esta matriz se obtiene su determinante esto para determinar cuántos estados tendrá la matriz.En cualquiera de los valores que se asigne a l se obtiene un sistema de ecuaciones para las cuales x1,x2,x3,......xn = 0 deben ser distintos de cero, es decir que la nueva matriz de Xi no debe ser nula.En caso de que dicha matriz sea nula se asigna un a x1 donde toma cualquier valor es decir un autovalor.

Para un segundo valor de la matriz se la iguala a la del primer autovalor es decir (A - l I)X2 = X1. Este proceso se lo realiza hasta obtener una matriz de la mismas dimensiones que A. De esta matriz T se obtiene su inversa o transpuesta T-1. (Para una prueba si se obtuvieron las matrices correctas se utiliza la formula T-1AT = D).Para la matriz ejt se toma en cuenta sus posiciones:

e jt=¿ [a11a12a13 .. .. . .. . . . .a1n ¿ ] [ a21a22 a23 .. . .. .. . ..a2 n ¿ ] [ . . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . . . .. . .. ¿ ] ¿¿

¿¿Y se utiliza la formula:

a jt {t k eλt

k !k= j−i ∀ i≤ j

0 ∀ i> j

Esto para construir la matriz ejt que depende de las dimensiones de la matriz A.

Por ultimo se utiliza la forma formula:

T-1 ejt T

El resultado de la multiplicación de estas matrices da como resultado la matriz de TRANSICIÓN.

Ejemplo:

Hallar eAt de:

[ 0 1 0−1 2 01 0 1 ]

Ax = lx ® ( A - lI ) x = 0

Debemos buscar los autovalores, en primer lugar buscamos A - lI de la cual obtendremos la

ecuación característica.


[ 0 1 0−1 2 01 0 1 ]−[1 0 0

0 1 00 0 1 ]=[−λ 1 0

−1 2−λ 01 0 1− λ ]

Evaluamos determinantes:

[−λ 1 0−1 2−λ 01 0 1−λ ]

- l ( 2 - l ) ( 1 - l) ( 1 - l ) = 0

( -2l + l2 ) ( 1 - l ) + 1 - l = 0

- 2l + 2l2 + l2 - l3 +1 - l = 0

- l3 + 3l2 - 3l + 1 = 0

Por Ruffini( l - 1 ) (l - 1 ) (l - 1 ) = 0

( l - 1 )3 = 0

Tenemos un solo “l” de multiplicidad 3.

Para el 1° Autovalor

l = 1

[−1 1 0−1 1 0

0 0 ]∗[ x1

x2

x3]=[000 ]

(1) - x1 + x2 = 0

(2) - x1 + x2 = 0

x1 = 0

Si x1 es igual a “0” para que se cumpla la igualdad x2 también debe valer “0”.

Con x1 Ù x2 = 0 ; x3 = 1

A x3 le podemos dar un valor cualquiera <= 0. Entonces le damos el valor de 1.

−1 3 −3 1−1 2 −1 1

−1 2 −1 0−1 1 1

−1 1 0−1 1

−1 0


x1[001 ]Para el 2° Autovalor

l = 1 x2 = x3 porque todos los l tiene el mismo valor

[−1 1 0−1 1 01 0 0 ]∗[ x1

x2

x3]=[001 ]

(2) - x1 + x2 = 0

x1 = 0

Si x1 = 0 en (3) en (1) x2 = 1

x1[110 ]Para el 3er Autovalorl=1 x3 = x2

-1 1 0 x1 1

-1 1 0 x2 = 1

1 0 0 x3 0

x1 = 0 Si x1 en (3) es 0, x2 en (1) es 1.

0X3 = 1

0

Entonces nuestra matriz particionada es:

0 1 0 T= 0 1 1


1 0 0

Para encontrar eAt debemos realizar el siguiente calculo TeJtT-1 Trabajamos con e3t debido a que los autovalores del problema no son distinguidos.

Ahora encontramos T-1

Aplicando la matriz T con la matriz identidad.

0 1 0 1 0 00 1 1 0 1 01 0 0 0 0 1

Por conveniencia realizando aplicaciones con filas y columnas invertimos la matriz.

1 0 0 0 0 10 1 1 0 1 0 Multilicamos por -10 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 10 1 1 0 1 00 0 -1 1 -1 0 Multilicamos por 1 y tenemos:

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 00 0 1 -1 1 0

Nuestra matriz inversa T-1 es:

0 0 1 T-1 = 1 0 0

-1 1 0

Como anteriormente aplicamos eJt debido a que solo obtenemos una matriz triangular superior de la matriz y no podemos diagonalizarla debido a que no existen autovalores distinguidos.

Si fuera así aplicamos la matriz:

eDt D = T-1 AT que es una matriz diagonal.Entonces aplicando la siguiente progresión tenemos la triangular superior.

a11 a12 a13.............. a1n

a21 a22 a23.............. a2n

eJt = .


. . . . . . . . . . . . .aij

.an1 an2 an3.............. ann

tK elt con K= j – i V i < j K!

aij =

0 V i>j

et tet t2et

2 eJt = 0 et tet

0 0 et

Ahora multiplicamos la matriz T por la matriz eJt

0 1 0 et tet t2et

2 0 1 1 0 et tet

1 0 0 0 0 et

T eJt

0 et tet

T eJt = 0 et tet tet

et tet t2et

2

Ahora multiplicamos la matriz T eJ t por la matriz inversa de T, es decir T-1

0 et tet 0 0 1

0 et tet tet 1 0 0

et tet t2et -1 1 0 2


T eJt T-1

et - tet tet 0

T eJt T-1 = et - tet - et tet + tet 0

tet - t2et t2et et

2 2

Anulamos terminos semejantes y tenemos:

et - tet tet 0

eAt = - tet tet + tet 0

tet - t2et t2et et

2 2

RESPUESTA GENERAL DEL SISTEMA.-

Como X =0 (

“A” es una matriz con parámetros constantes, no depende del tiempo por que es un sistema lineal invariable en el tiempo.Para la resolución de la ecuación se considera:

Aplicando el método a la ecuación (*)

z¿

− Az=0 con x=0z( t )=eAt z(0 )

Y =C z( t )+D X

Y =C∗e At z( 0)

z¿

= Az+BX //* e− At

e− At z¿

− e− At Az=e− At BX

y(t )=e−α t X ( t )

ddt (e−α t X (t ))=−α e−α t X ( t )+e−α t X ( t)

ddt (e− A t z(t ))=e−A t BX( t )

ò0

tddt (e− A t z(t ))=ò

0

t

e− A t BX( t )

e−A t z(t )

0t =ò

0

t

e−Aτ BX (τ )dτ

e−A t z(t )−e0 z(0 )=ò0

t

e−Aτ BX( τ )dτ

e−A t z(t )=ò0

t

e− Aτ BX ( τ ) dτ

z(t )=z0+ò

0

t

e− Aτ BX( τ )dτ

e− A t


z (t) , se aplica a la siguiente ecuación:

Después de reemplazar z (t), como resultado final se obtiene la ecuación general del sistema:

NOTA: La respuesta no forzada del sistema es:

Sea el siguiente ejemplo:

Z=¿ (−1 −3 ¿ ) ¿¿

¿¿

¿¿

Hallar Y(t) si: X ( t)=3 e−t2

y

( Z0 ¿) ¿¿

¿¿

Se busca eAt =L−1 [ R( s)] => R( s )=|SI− A|

R( S)=¿¿

ddt (e− A t z(t ))=e−A t BX( t )

ò0

tddt (e− A t z(t ))=ò

0

t

e− A t BX( t )

e−A t z(t )

0t =ò

0

t

e−Aτ BX (τ )dτ

e−A t z(t )−e0 z(0 )=ò0

t

e−Aτ BX( τ )dτ

e−A t z(t )=ò0

t

e− Aτ BX ( τ ) dτ

z(t )=z0+ò

0

t

e− Aτ BX( τ )dτ

e− A t

z( t )= e−A t z0+ò0

t

e− A ( t−τ ) BX( τ )dτ

Y (t )= C z(t )+DX

Y (t )= C e− A t z0 +C ò0

t

e− A ( t−τ ) BX( τ )dτ + DX (t )

Y (t )= C e− A t z0


Aplicando la inversa de la matriz en R(S) obtenemos lo siguiente:

1ad−bc

¿ ( a b ¿ )¿¿

¿

Aplicando el teorema de los residuos tenemos:

R( S)=¿ (32

S −1

2

S−2

32

S −3

2

S−2¿)¿

¿

¿¿

Ahora obtenemos eAt=L−1 [ R( s)]

e At=L−1 ¿( 32

S −1

2

S−2

32

S −3

2

S−2¿)¿

¿

¿

Dada la formula y(t )=CeAt Z ( 0)+Cò0

te A (t− Γ )BX ( Γ )dΓ+DX( t ) realizamos los siguientes cálculos

Obtenemos la salida no forzada del sistema dada por α=Ce At Z( 0 )

α=¿ (1 ¿ ) ¿¿

¿¿

Obtenemos la salida forzada del sistema dada por β=Cò0

te A (t− Γ )BX ( Γ )dΓ


β=(1 0 )ò0

t ( 32

−12

e2 t 32

−32

e2t ¿)¿

¿¿¿¿

¿

¿

Evaluando 0 y t obtendremos:

β=(1 0 ) ¿(−9(e−t

2−1 )+ 35

e2 t (e−5 t

2−1) ¿)¿

¿¿

Calculado DX( t )

DX( t )=( 13 )3e

−t2 => DX (t ) =e

−t2

Obteniendo la salida forzada a partir de Y (t )=α+ β+DX (t ) tenemos:

Y (t )=(3−2e2 t )+(9−425

e− t

2− 35

e2 t)+e−t

2 => Y ( t ) =(12−135

e2t−375

e−t

2)Para encontrar la Matriz de transición veremos dos métodos:

1. La 1ª que eAt es igual a la transformada inversa de LaPlace de la matriz resolvente donde esta matriz es igual a [ SI – A ]-1

eAt = L-1 [R(s)] ® R(s) = [ SI – A ]-1

Donde:- A = Matriz- I = Matriz indentidad con dimensiones de A- s = Variable de la transformada de LaPlace complejo

recordemos que: Función nueva enf(t) F(s) otra variable L Plano real f(t) plano Complejo


Sreal W Variable

compleja

γ

Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia S= γ + fw frecuencia. angular

Todo tiene que estar en función de su variable.

2. La matriz de transición es igual a:

eAt = T-1 e Jt TDonde:

- T = Matriz particionada generalizada de A (matriz de matrices)- eJt = Matriz de bloques de Jordan- T-1 = Matriz inversa de T

Cuando los autovalores son distinguidos, es decir son distintos y además de multiplicidad uno; DIAGONALIZANDO es cuando en la diagonal principal solo hay autovalores y los demás elementos son nulos en cada Bloque de Jordan.

Propiedades de la matriz de transición La matriz de transición posee las siguientes propiedades:

a) Propiedad transitiva: 0110 ,,, tttttt FFF , para todo t, t0, t1.

b) Propiedad de inversión: tttt ,, 0

10

FF De manera similar, en los sistemas discretos, la matriz de transición también posee estas propiedades:

a) Propiedad transitiva: 0110 ,,, kkkkkk FFF , para todo k, k0, k1.

b) Propiedad de inversión: kkkk ,, 0

10

FF

0 1 0A= -1 2 0 1 0 1

1RO La matriz I se multiplicara con la matriz S y luego restara la matriz A


S 0 0 1 0 0 S 0 0 S = 0 S 0 × I = 0 1 0 = S*I = 0 S 0 0 0 S 0 0 1 0 0 S

Luego se obtiene lo siguiente

S 0 0 0 1 0 -1 S -1 0 -1

0 S 0 - -1 2 0 = 1 S-2 0 0 0 S 1 0 1 -1 0 S-1

Encontramos la inversa con el método de Jordán

S -1 0 1 0 0 x -1/2 0 -1/S 0 1/S 0 0 1 S-2 0 0 1 0 + 0 -S+2S -1/S 0 -1 0-1 0 S-1 0 0 1 0 -1/S S-1 1/S 0 1

1 0 0 S-2/(S-1)2 1/(S-1)2 0 1 0 0 S-2/(S-1)2 1/(S-1)2 00 1 0 -1/(S-1)2 S/(S-1)2 1 0 1 0 -1/(S-1)2 S/(S-1)2 00 0 S-1 S-2/(S-1)2 1/(S-1)2 1 0 0 1 S-2/(S-1)3 1/(S-1)3 1/S-1

Luego de hacer todas las operaciones la Matriz Inversa es:

1/S-1 – 1/(S-1)2 1/(S-1)2 0R(s) = -1/(S-1)2 1/S-1 + 1/(S-1) 2 0 = L-1 [R(s)] 1/(S-1)2 - 1/(S-1)3 1/(S-1)3 1/S-1

Luego ℮t - t℮t t℮t 0 -t℮t ℮t + t℮t 0 =℮At

t℮t - t2℮t t2℮t/2 ℮t

Segundo Método

0 1 0A= -1 2 0 ℮At = T℮jt T-1

1 0 1

Ecuación característica AX= λ x (A-λ I)x = 0

Det (A-λ I) = 0

0 1 0 λ 0 0 -λ 1 0


-1 2 0 - 0 λ 0 = -1 2-λ 0 1 0 1 0 0 λ 1 0 1-λ

-λ(2-λ) (1-λ) + (1-λ) =02λ+3λ2 – λ3 +1 – λ = 2λ -λ3 + 3λ2 – λ+1 = 0 λ3 -3λ2 +3λ – 1 =0 (λ-1)3 =0 λ = 1 buscando 1 espacio vectorial

Encontramos el auto vectorPrimero valor P´ λ =1

-1 1 0 x1 0 -1 1 0 x2 = 0 1 0 0 x3 0

-x1 + x2 =0 0 0x1 = 0 x2= 0 x3 =ά x1 = 0 con ά=1 x1 = 0

ά 1

Debe cumplirse esta igualdad (A – λ I) X2 = X 1 si se hace esto Encontrando el segundo valor

-1 1 0 x1 0 -1 1 0 x2 = 0 1 0 0 x3 1

-x1 + x2 =0 1 1x1 = 1 x2= 1 x3 =β { x2 = 1 con β=0 x2 = 1

β 0

Por ultimo encontramos el tercer valor

-1 1 0 x1 1 -1 1 0 x2 = 1 1 0 0 x3 0

-x1 + x2 =1 0 0x1 = 0 x2= 1 x3 =Ћ { x1 = 1 con Ћ=0 x1 = 1

Ћ 0


Luego de obtenemos los valores encontramos la matriz de transición la matriz T Cambiando Fila y Columnas para encontrar la matriz de transición

0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1T = 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 -1 1 0

0 1 0 0 0 1T = 0 1 1 T -1 = 1 0 0 1 0 0 -1 1 0

J= T-1AT

Luego de encontrar la matriz de transición diagonal izando

1 1 00 1 10 0 1

℮t t℮t t2℮t/2℮At = 0 ℮t t℮t

0 0 ℮t

Luego

0 1 0 ℮t t℮t t2℮t/2 0 0 1℮At = 0 1 1 0 ℮t t℮t 1 0 0 1 0 0 0 0 ℮t -1 1 0 1 x 2

Multiplicando 1 con 2

0 ℮t t℮t 0 0 1 0 ℮t t℮t +℮t 1 0 0 ℮t t℮t 1/2t2℮t -1 1 0 Despues de multiplicar las dos matrices multiplicamos con la terceraMultiplicando estas dos últimas matrices el resultado de ℮At es.

℮t - t℮t t℮t 0℮At = -t℮t t℮t +℮t 0 t℮t –t2℮t/2 t2℮t/2 ℮t

Matriz De Transición Por Autovalores

Para la resolución de la matriz de los autovalores se debe utilizar la matriz de:


(A - l I)x = 0

En la cual: A = Una matriz n*nl = AutovalorI = Matriz identidad

De esta matriz se obtiene su determinante esto para determinar cuántos estados tendrá la matriz.

En cualquiera de los valores que se asigne a l se obtiene un sistema de ecuaciones para las cuales x1,x2,x3,......xn = 0 deben ser distintos de cero, es decir que la nueva matriz de Xi no debe ser nula.

En caso de que dicha matriz sea nula se asigna un a x1 donde toma cualquier valor es decir un autovalor.

Para un segundo valor de la matriz se la iguala a la del primer autovalor es decir (A - l I)X2 = X1. Este proceso se lo realiza hasta obtener una matriz de las mismas dimensiones que A. De esta matriz T se obtiene su inversa o transpuesta T-1. (Para una prueba si se obtuvieron las matrices correctas se utiliza la formula T-1AT = D).

Para la matriz ejt se toma en cuenta sus posiciones:

e jt=¿ [a11a12a13 .. .. . .. . . . .a1n ¿ ] [ a21a22 a23 .. . .. .. . ..a2 n ¿ ] [ . . .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . . . .. . .. ¿ ] ¿¿

¿¿Y se utiliza la formula:

a jt {t k eλt

k !k= j−i ∀ i≤ j

0 ∀ i> j

Esto para construir la matriz ejt que depende de las dimensiones de la matriz A.

Por ultimo se utiliza la forma formula:T-1 ejt T

El resultado de la multiplicación de estas matrices da como resultado la matriz de transición.

Ejemplo

Hallar eAt de:

[ 0 1 0−1 2 01 0 1 ]


Ax = lx ® ( A - lI ) x = 0

Debemos buscar los autovalores, en primer lugar buscamos A - lI de la cual obtendremos la ecuación característica.

[ 0 1 0−1 2 01 0 1 ]−[1 0 0

0 1 00 0 1 ]=[−λ 1 0

−1 2−λ 01 0 1− λ ]

[−λ 1 0−1 2−λ 01 0 1−λ ]

Evaluamos determinantes:

- l ( 2 - l ) ( 1 - l) ( 1 - l ) = 0

( -2l + l2 ) ( 1 - l ) + 1 - l = 0

- 2l + 2l2 + l2 - l3 +1 - l = 0

- l3 + 3l2 - 3l + 1 = 0

Por Ruffini

( l - 1 ) (l - 1 ) (l - 1 ) = 0

( l - 1 )3 = 0

Tenemos un solo “l” de multiplicidad 3.

Para el 1° Autovalorl = 1

[−1 1 0−1 1 0

0 0 ]∗[ x1

x2

x3]=[000 ]

(1) - x1 + x2 = 0

(2) - x1 + x2 = 0

x1 = 0

−1 3 −3 1−1 2 −1 1

−1 2 −1 0−1 1 1

−1 1 0−1 1

−1 0


Si x1 es igual a “0” para que se cumpla la igualdad x2 también debe valer “0”.Con x1 Ù x2 = 0 ; x3 = 1A x3 le podemos dar un valor cualquiera <= 0. Entonces le damos el valor de 1.

x1[001 ]Para el 2° Autovalor

l = 1 x2 = x3 porque todos los l tiene el mismo valor

[−1 1 0−1 1 01 0 0 ]∗[ x1

x2

x3]=[001 ]

(2) - x1 + x2 = 0

x1 = 0

Si x1 = 0 en (3) en (1) x2 = 1

x1[110 ]Para el 3er Autovalorl=1 x3 = x2

-1 1 0 x1 1

-1 1 0 x2 = 1

1 0 0 x3 0

x1 = 0 Si x1 en (3) es 0, x2 en (1) es 1.

0X3 = 1

0

Entonces nuestra matriz particionada es:

0 1 0 T= 0 1 1


1 0 0

Para encontrar eAt debemos realizar el siguiente calculo TeJtT-1 Trabajamos con e3t debido a que los autovalores del problema no son distinguidos.

Ahora encontramos T-1

Aplicando la matriz T con la matriz identidad.

0 1 0 1 0 00 1 1 0 1 01 0 0 0 0 1

Por conveniencia realizando aplicaciones con filas y columnas invertimos la matriz.

1 0 0 0 0 10 1 1 0 1 0 Multilicamos por -10 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 10 1 1 0 1 00 0 -1 1 -1 0 Multilicamos por 1 y tenemos:

1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 00 0 1 -1 1 0

Nuestra matriz inversa T-1 es:

0 0 1 T-1 = 1 0 0

-1 1 0

Como anteriormente aplicamos eJt debido a que solo obtenemos una matriz triangular superior de la matriz y no podemos diagonalizarla debido a que no existen autovalores distinguidos.

Si fuera así aplicamos la matriz:

eDt D = T-1 AT que es una matriz diagonal.

Entonces aplicando la siguiente progresión tenemos la triangular superior.


a11 a12 a13.............. a1n

a21 a22 a23.............. a2n

eJt = .. . . . . . . . . . . . .aij

.an1 an2 an3.............. ann

tK elt con K= j – i V i < j K!

aij =

0 V i>j

et tet t2et

2 eJt = 0 et tet

0 0 et

Ahora multiplicamos la matriz T por la matriz eJt

0 1 0 et tet t2et

2 0 1 1 0 et tet

1 0 0 0 0 et

T eJt

0 et tet

T eJt = 0 et tet tet

et tet t2et

2

Ahora multiplicamos la matriz T eJ t por la matriz inversa de T, es decir T-1


0 et tet 0 0 1

0 et tet tet 1 0 0

et tet t2et -1 1 0 2

T eJt T-1

et - tet tet 0

T eJt T-1 = et - tet - et tet + tet 0 tet - t2et t2et et

2 2

Anulamos terminos semejantes y tenemos:

et - tet tet 0

eAt = - tet tet + tet 0 tet - t2et t2et et

2 2

Ejemplo

Sea la ecuación de estado

Z=(1 2 30 1 −11 0 2 )¿ ( z1 ¿ ) ( z2 ¿ ) ¿

¿¿

X(t)

Con : X(t) = et ^ Z(0)

(0 ¿ ) ( 0 ¿ ) ¿¿

¿¿

Y = (1 1 0)

( z1 ¿ ) ( z2 ¿ ) ¿¿

¿¿+

14 X(t)

Utilizando la formula de la matriz inversa que es la siguiente:


[ SI – A]−1

Multiplicando S con la matriz de identidad y restando con la matriz, se obtiene lo siguiente, todo eso elevado a la -1.

(s−1 −2 −30 s−1 1

−1 0 s−2 )−1

=>

Para resolver una matriz inversa aumentar la matriz identidad y operar hasta que la primera matriz se vuelva identidad.

(s−1 −2 −3 1 0 00 s−1 1 0 1 0

−1 0 s−2 0 0 1 )(−1) ˜

( 1 0 −(s−2 ) 0 0 −10 s−1 1 0 1 0

s−1 −2 −3 1 0 0 )−(s−1)

(1s−1 )

(1 0 −(s−2 ) 0 0 −1

0 1 1s−1

0 1s−1

0

0 −2 s2−3 s−1 1 0 s−1)

(2 ) ˜

(1 0 −( s−2) 0 0 −1

0 1 1s−1

0 1s−1

0

0 0 s2−3 s−1s−1 1 2

s−1 s−1 ) s−1s3−4 s2+2 s+3

(1 0 −( s−2) 0 0 −1

0 1 1s−1

0 1s−1

0

0 0 1 s−1s3−4 s2+2 s+3

2s3−4 s2+2 s+3

(s−1 )2

s3−4 s2+2 s+3)−( 1

s−1 )Como ya conseguimos que la primera matriz se vuelva una matriz identidad ahí paramos en operar


(1 0 0 (s−1 ) (s−2 )

s3−4 s2+2 s+32 (s−2 )

s3−4 s2+2 s+33 ( s−5 )

s3−4 s2+2 s+3

0 1 0 −1s3−4 s2+2 s+3

s2−3 s−1s3−4 s2+2 s+3

−( s−1 )s3−4 s2+2 s+3

0 0 1 s−1s3−4 s2+2 s+3

2s3−4 s2+2 s+3

(s−1 )2

s3−4 s2+2 s+3)

s3−4 s2+2 s+3 => Sabemos que esta ecuación tiene al menos una raíz real

Para factorizar el denominador que es un polinomio utilizaremos el método de Ruffini

1 -4 2 3 -1 5 -7 -1 1 -5 7 -4

1 -4 2 3 -1/2 9/4 -17/8 -1/21 -9/2 17/4 7/8

1 -4 2 3 -0.6 2.76 -2.86 -0.61 -4.6 4.76 0.14

1 -4 2 3 -0.65 3.02 -3.26 -0.651 -4.6 4.76 0.14

1 -4 2 3 -0.62 2.86 -3.02 -0.621 -4.62 4.86 -0.0

X 0 -1 -1/2 -0.6 -0.65 -0.62f(x) 3 -4 0.2 0.14 -0.26 -0.02

Como ya encontramos el valor de S3

que es -0.62 ahora encontraremos el valor para S2

y S.

S =

−b±√b2−4 ac2 a


S =

−4 . 62±√(−4 . 62 )2−4 (1 ) (4 . 86 )2 (1 )

S =

−4 . 62±√21 .34−19 .442

S =

−4 . 62±√1 .902

S =

−4 . 62±1 .382

S1 = 3

S2 = 1.62

s3−4 s2+2 s+3 = (s+ 0.62)(s-3)(s-1.62)

R(s) =

(1 0 0 (s−1 ) (s−2 )

s3−4 s2+2 s+32 (s−2 )

s3−4 s2+2 s+33 ( s−5 )

s3−4 s2+2 s+3

0 1 0 −1s3−4 s2+2 s+3

s2−3 s−1s3−4 s2+2 s+3

−( s−1 )s3−4 s2+2 s+3

0 0 1 s−1s3−4 s2+2 s+3

2s3−4 s2+2 s+3

(s−1 )2

s3−4 s2+2 s+3)

Por el teorema de los residuos

( s+0. 62 ) (s−1 ) (s−2 )(s+0 .62 ) ( s−3 ) ( s−1. 62 )

¿|¿

s=−0 . 62=(1. 62 ) (−2. 62 )(3 . 62 ) (−2 . 24 )

= 4 . 248 .11

=0 .52 ¿

4 . 248 .11

=0.52

(2 ) (1 )(3.62 ) (1.38 )

=−0 . 40

(0 .62 ) (−0 .38 )(2. 24 ) (−1 .38 )

=0 .08 ……….a

2 (−2. 62 )(−3 .62 ) (−2 .24 )

=−0 .65

2 (1 )(3.62 ) (1. 38 )

=0 .40

2 (−0 . 38 )(2. 24 ) (−1 .38 )

=0 .25 ………b

−18 .11

=−0 .12

−15. 00

=−0. 20

−1−3 .09

=−0 .32………… …..d

−6 .248. 11

=−0 . 77

−15

=0 .20

−1. 76−3 .09

=0.57 …………… ….c


1. 248 . 11

=0. 15

−15

=0 .20

−3 .24−3 .09

=1. 05 ………………..e

1.628 .11

=0 .20

−25

=−0 .40

−0 .62−3 .09

=0. 20………… ……f

−1. 628 .11

=−0 . 20

25

=0 . 40

0 .62−3 .09

=−0 .20……………..g

28 .11

=0. 25

25

=0 . 40

2−3 .09

=−0 .65………………h

2. 628 .11

=0 .32

45

=0 .80

0 .38−3 .09

=−0 .12------------------i

(0 . 52

s+0 . 62+ 0 . 40

s−3+ 0 . 08

s−1. 62−0. 65s+0 .62

+ 0. 40s−3

+ 0 .57s−1 . 62

−0 . 77s+0. 62

+ 0 . 20s−3

+ 0 .57s−1. 62

−0 . 12s+0 .62

−0 . 20s−3

+ 0. 32s−1.62

0. 15s+0 .62

− 0 .20s−3

+ 1.05s−1 . 62

0 .20s+0 .62

− 0 . 40s−3

+ 0. 20s−1 .62

−0 .20s+0 .62

+ 0 . 40s−3

− 0. 20s−1 .62

0 . 25s+0. 62

+ 0 .40s−3

− 0 . 65s−1 . 62

0 .32s+0 .62

+ 0 . 80s−3

− 0. 12s−1.62

)( 0 .52 e−0. 62 t+0. 40 e3 t+0 .08e1. 62 t −0 .65 e−0. 62 t+0.40 e3 t+0. 25e1.62 t −0. 77e−0 .62 t +0 .20e3 t+0. 57e1.62 t

−0 .12e−0 .62 t−0 .20 e3 t +0 .32e1. 62 t 0 .15 e−0. 62 t−0 .20 e3 t+1 .05 e1 . 62t 0 .20 e−0. 62 t−0 .40 e3 t +0 .20 e1. 62 t

−0. 20e−0.62 t+0 . 40e3 t−0 .20 e1 .62 t 0 .25 e−0 . 62t +0 .40 e3t −0 .15 e1. 62 t 0.32 e−0. 62 t+0. 80e3t −0 .12 e1. 62t )La formula de la respuesta general del sistema es la siguiente:

Y( t) = CeAt

Z( 0)+ Cò0

t

eA ( t−T )

B X( T )dT + D X( t )

Primer paso:

1.- CeAt

Z( 0) = CeAt

Z(0) = 0

Segundo paso hallar la integral de convolucion multiplicada por la matriz C.

2.- Cò0

t

eA ( t−T )

B X(T )dT

ò0

t ( 0 . 52 e−0 .62( t−T )+0 . 40 e3 (t−T )+0 .08 e1.62( t−T ) −0 . 65e−0. 62( t−T )+0 . 40e3( t−T )+0 .25 e1. 62( t−T ) −0 . 77e−0.62( t−T )+0 .20 e3( t−T )+0 . 57 e1 .62( t−T )

−0 .12 e−0.62( t−T )−0.20 e3( t−T )+0 .32e1. 62( t−T ) 0.15 e−0. 62( t−T )−0.20 e3( t−T )+1. 05 e1. 62( t−T ) 0 .20 e−0 . 62( t−T )−0 . 40 e3(t−T )+0.20 e1. 62( t−T )

−0 .20 e−0.62( t−T )+0 .40 e3(t−T )−0 .20e1. 62 (t−T ) 0 .25 e−0 . 62( t−T )+0 .40 e3 (t−T )−0 .65 e1. 62( t−T ) 0 . 32 e−0 . 62( t−T )+0 .80 e3( t−T )−0 .12 e1 .62 (t−T ) )


ò0

t ( 0. 52 e−0.62 t e0.62 T +0 .40 e3t e3T +0 .08 e1.62t e1.62T −0 . 65 e−0.62 t e0 .62 T +0 . 40 e3t e3T +0. 25 e1.62( t−T ) −0 .77 e−0 .62t e0.62 T +0 .20 e3 t e3 T+0 .57 e1.62 t e1.62 T

−0 .12 e−0.62 t e0 .62 T −0 .20 e3 t e3T +0.32 e1 . 62t e1.62T 0. 15e−0. 62 t e0 .62 T −0 .20 e3t e3T +1 . 05 e1 .62 t e1 .62T 0. 20e−0. 62 t e0 .62T −0 .40 e3 t e3 T +0 .20 e1 .62 t e1 .62 T

−0 . 20 e−0.62 t e0. 62 T +0 .40 e3t e3T −0 .20 e1. 62 t e1.62T 0 . 25e−0 . 62t e0.62 T +0 . 40 e3t e3 T−0. 65 e1.62 t e1.62 T 0 .32e−0 .62 t e0 .62T +0. 80e3 t e3T −0 .12 e1.62 t e1.62 T )ò0

t ( 0 . 52 e−0 . 62t e0.62 T +0 . 40 e3t e3 T +0 . 08e1 .62t e1 . 62T −0 .77 e−0 .62t e0.62 T +0 .20 e3 t e3 T+0 .57 e1.62 t e1.62 T

−0 .12 e−0.62 t e0 .62T −0 .20 e3 t e3T +0. 32e1.62t e1.62T +0 .20 e−0 .62 t e0 . 62T +0. 20 e3t e3T +0 . 57 e1.62t e1. 62 T

−0 . 20 e−0.62 t e0.62 T +0 . 40 e3t e3T −0 .20e1.62 t e1.62 T +0 . 32e−0 .62 t e0 . 62T +0 .80 e3 t e3T −0 .12 e1. 62 t e1.62 T)eT d(T )

(1 1 0 ) (−0. 25e−0. 62 tò

0

t

e1.62T dT +0. 60 e3tò0

t

e−2 T dT+0 .65 e1.62 tò0

t

e−0. 62 T dT

0 .08 e−0.62 tò0

t

e1 .62T dT +0 . 32 e1.62 tò0

t

e−0 .62 T dT

0 .12 e−0 .62tò0

t

e1 .62 T dT +0 . 20 e3 tò0

t

e2T dT−0.32 e1 . 62tò0

t

e−0 .62T dT)

(1 1 0 ) (−0. 25 e−0. 62 tò

0

t

e1. 62T dT +0. 60e3tò0

t

e2 T dT +0. 65e1.62 tò0

t

e−0.62 T dT

0 .08 e−0 .62 tò0

t

e1. 62 T dT +0 .89 e1. 62 tò0

t

e−0. 62 T dT ) (1 1 0 )

(−0 . 251 . 62

e−0 .62 t (e1. 62T )|0t + 0 . 60

2e3 t( e2 T )|0

t − 0 .650 .62

e1. 62t (e−0 .62T )|0t

0 . 081. 62

e−0 . 62t (e1. 62 T )|0t − 0 . 89

0 . 62e1. 62 t( e−0 . 62T )|0

t ) (1 1 0 ) (

−0. 15 e−0. 62 t (e1 . 62t−1 )+0 .30 e5 t−0 .20 e3 t−1. 5 e t+1 . 05 e1 .62 t

0 .05 et−0 . 05 e−0. 62 t−1 . 44 et+1 . 44 e1 .62 T )

(1 1 0 ) (−1 .20et +0 . 15e−0 . 62t +0 . 30e5 t−0 .20 e3 t +1. 05e1.62 t

−1.39e t−0 .05 e−0 . 62t +1 . 44 e1. 62 T ) = (−2 . 59 et +0 .10 e−0 .62t +2 . 49 e1 . 62t +0 .30 e5 t−0 .20e3 t )Tercer paso:Donde la matriz D, es ¼

3.- D X( t) = 14

e t

Reemplazando en la formula de la respuesta general del sistema obtenemos lo siguiente:

Y( t) = (−2 . 59et +0 .10 e−0 .62t +2 . 49e1 . 62t +0 .30e5 t−0 .20 e3 t ) +

14

e t

Y( t) = (−2 . 34 e t+0.10 e−0. 62 t+2. 49 e1.62 t+0. 30 e5t−0. 20 e3t )


CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD DEL SISTEMA

Sistemas Controlables

ControlabilidadLa noción de controlabilidad de un sistema está asociada con la posibilidad de hacer que sus variables de estado tomen cualquier valor deseado, no importa cual sean las condiciones iniciales, en un tiempo finito.

DefiniciónUn sistema dinámico es controlable en t1 si para cualquier estado x(t1) y cualquier estado deseado Xd

es posible encontrar una entrada u(t) que aplicada entre t1 y t2 produce x(t2) = Xd, con t2 < .Considérese el circuito de la figura, en el que la variable de entrada es v(t) y la variable de salida es vx(t). Es claro que para escribir las ecuaciones de estado de ese circuito podemos escoger como variable de estado la tensión en el condensador vC(t).


Debido a la simetría del circuito, si las condiciones iniciales son nulas (vC(0)=0), la tensión en el condensador siempre será cero, sin importar que valor tome la fuente v(t). Por lo tanto, no es posible modificar a nuestro antojo el valor de la variable de estado, y en consecuencia el sistema es no controlable.

Las definición indicada no brinda por si sola un mecanismo fácil para determinar si un sistema es controlable o no. No obstante, podemos aplicar un test de controlabilidad para determinar si un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo es o no controlable.

Test de controlabilidad Para determinar si un sistema es o no controlable, con A una matriz nxn y B una matriz nxp, se construye la matriz de controlabilidad V y se verifica su rango:

V = [B AB A2B A3B......... An-1B ]

El sistema es controlable sí y solo si rango (V) = n

a) La definición mencionada es realmente la definición de controlabilidad de estado, dado que se refiere a la posibilidad de obtener cualquier estado. Existe una definición semejante para la controlabilidad de salida.

b) El test de controlabilidad pone de manifiesto que la controlabilidad solo depende de las matrices A y B, es decir, solo depende de la ecuación de estado y no de la ecuación de salida.

c) Para determinar la controlabilidad de un sistema no es necesario resolver la ecuación diferencial. Se realiza un análisis cualitativo de la ecuación.

d) Si un sistema es controlable, entonces con un esquema de control por Realimentación de variable de estado como el de la figura siempre es posible encontrar una matriz K real para que la matriz A tenga los valores propios deseados.

e) El test es igualmente válido para sistemas continuos y discretos

Z0 Z1

El intento de saber si nuestro sistema es controlable mediante el análisis de las ecuaciones de estado, conduciendo a un sistema de un estado inicial cualquiera a otro estado (que depende tanto de las condiciones iniciales como del tiempo).

X(Z0,t)


Z= AZ +BZ= AZ +BXX

Y= CZ + Dxa) Cuando existe controlabilidad de un estado “Controlable”b) Si todos los estados Zi son controlables Entonces el estado será “Completamente Controlable”c) Si un estado no depende del tiempo decimos que es “Totalmente Controlable”

Criterios De Controlabilidad

Primer Criterio.- Denominado Criterio de Lambdas en su evaluación de vectores propios para luego dar paso a los autovalores:a) Cuando la matriz A tiene li distinto de cero, tengo vectores propios distintos.b) Cuando la matriz A tiene li son repetidos

F= T - 1 * B

Para hallar la matriz F seguimos los pasos:- det (A-lI)= 0; hallamos el determinante de la resta de matrices cuyo resultado será igualado a

cero.- Hallamos autovalores; las raíces halladas serán evaluadas y así obtener un sistema de

ecuaciones.- Hallamos autovectores; Del sistema de ecuaciones hallamos los autovectores matrices columna

conformando una matriz T- Hallamos la matriz de Transición T y T - 1 ; Es decir una nueva matriz que hallaremos

su inversa.Segundo Criterio.- Consiste en determinar el rango de una matriz llamada Q= es una matriz de matrices. Solo permite analizar la controlabilidad completa

Q= (B AB A2B ...... An-1B)

Si rango de Q = n Sistema completamente controlable

Ejemplo 1.- Dada la ecuación:

0 1 0-1 2 01 0 1

Z =Z1

Z2

Z3

101

X(t)+

Z1

Z2

Z3

Y = ( 1 1 1) + 1/4 X(t)

-l 1 0-1 2-l 01 0 1-l

Criterio 1:

Det =(1-l) (l-1)2 =0

l1=1l2=1l3=1Para l1=1

X1=

Para l2=1X1=

Para l3=1X1=T= T-1 =

Criterio 2:Q= (B AB A2B ...... An-1B)

=1 0 -10 -1 -21 2 2

El sistema es completamente ControlableRango de Q=3

0 0 11 0 0-1 0 0

101

F= T-1 * B11-1

El sistema es completamente Controlable = =


ObservabilidadAl observar la estrategia de control por Realimentación de Variable de Estado surge la cuestión de cómo medir las variables de estado ya que es posible que estas no tengan sentido físico, o que no sean medibles.

Para solucionar este problema se plantea la utilización de un estimador de estado, u observador de estado, que es un elemento que intenta estimar el estado del sistema a partir de mediciones de las entradas y salidas al sistema (se supone que éstas sí tienen sentido físico y son medibles), tal como se observa en la figura en la x que es la estimación que el observador hace del estado x.

La noción de observabilidad de un sistema esta asociada con la posibilidad de determinar el estado del sistema a partir de mediciones de sus entradas y salidas durante un tiempo finito, es decir, con la posibilidad de construir un observador.

DefiniciónUn sistema dinámico es observable en t1 si es posible conocer el estado x(t1) a partir de mediciones de las entradas u(t) y las salidas y(t) durante el periodo comprendido entre t1 y t2 ,con t2 <.

Ejemplo 1.- Considerese nuevamente el circuito de la figura 1, en el que la variable de entrada es v(t), la variable de salida es vx(t) y la variable de estado la tensión en el condensador vC(t).Es claro que a partir de mediciones de v(t) y vx(t) ( que son iguales) no es posible conocer las condiciones iniciales del condensador y en consecuencia el sistema es no observable.

La definición mencionada no brinda por si sola un mecanismo fácil para determinar si un sistema es observable o no. No obstante, podemos aplicar un test de observabilidad para determinar si un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo es o no observable.


Criterio de ObservabilidadPara determinar si un sistema es o no observable, con A una matriz nxn y C una matriz qxn, se construye la matriz de observabilidad S y se verifica su rango:

Anotaciones

a) El test de observabilidad pone de manifiesto que la controlabilidad solo depende de las matrices A y C.

b) Para determinar de un sistema, no es necesario resolver la ecuación diferencial. Se realiza un análisis cualitativo de la ecuación.

c) Si un sistema es observable, entonces puede contruirse un observador como el que se sugiere en la figura 2 , sin estudio de este dicho observador.

d) El test es igualmente válido para sistemas continuos y discretos.

Ejemplo: Tomemos nuevamente el circuito de la figura 1. Para escribir las ecuaciones que rigen el sistema, nótese que el equivalente Thevenin del circuito visto por el condensador es una resistencia de valor R, de tal manera que:

Concepto.- Esta relacionada con la ecuación de estado de salida es decir mediante la aplicación de una señal de control, conociendo la respuesta de salida en un tiempo finito puedo conocer el estado de mi sistema.

0 1 0-1 2 0 1 0 1Z =

Z1Z2Z3

101

X(t)+

Z1Z2Z3

Y = ( 1 1 1) + 1/4 X(t)

-10-12-0101-

Criterio 1:

Det =(1-) (-1)2 =0

1=12=13=1

Para 1=1X1=

001

Para 2=1X1=

Para 3=1X1=1

10

010

0 1 00 1 11 0 0

T=El sistema es completamente Observable


Criterios De Observabilibidad

Primer Criterio- Cuando la matriz A tiene li distinto de cero, tengo vectores propios distintos.- Cuando la matriz A tiene li son repetidos

Construimos una matriz evaluando cada elemento = 0 entonces ese estado es observable:

GT = (CT)T;

Pa ra h a l l a r l a ma t r i z G se g u i mos l o s pa s os :

- det (A-l)= 0

- Hallamos autovectores

- Hallamos autovalores

- Hallamos la matriz de Transición T

Segundo CriterioSolo permite determinar la observabilidad completa del sistema.

Ejemplo.- Dada la ecuación:

CCACA2

CAn-1

P =

Si el rango de P=n El sistema será completamente observable


Controlabilidad De La Salida

Ejemplo prácticoSea la ecuación de estado:

Analizar la controlabilidad de las salidas utilizando el siguiente criterio:

1° Construir la matriz R conformada por las matrices:R = ( CB CAB CA2B D )

2° Luego encontrar el rango de la matriz R, para eso podemos encontrar la determinante de la matriz que resulta de la multiplicación de la matriz R por la matriz RT, (R*RT) y ver si el rango es = n.

Entonces calculando la matriz RPaso 1

a) multiplicar las matrices C y BC B CB

(2x3) (3x2) (2x2)

b) multiplicar las matrices C, A y B


C A B

* * (2x3) (3x3) (3x2)

C A CA

* =(2x3) (3x3) (2x3)

luego

CA B CAB

* =(2x3) (3x2) (2x2)

c) multiplicar las matrices C, A2, B C A A B

* * * (2x3) (3x3) (3x3) (3x2)

primero se debe calcular la matriz A2 = A*A A A A2

* = (3x3) (3x3) (3x3)

luego calculando C*A2

C A2 CA2

* = (2x3) (3x3) (2x3)


luego calculamos C*A2*B CA2 B CA2B

* = (2x3) (3x2) (2x2)

d) Construyendo la matriz R = ( CB CAB CA2B D )

R = (2x8)

Paso 2

a) Encontrando la matriz transpuesta de la matriz R (RT)

RT = (8x2)

b) multiplicando la matriz R por RT (R*RT)

* = (2x8) (8x2) (2x2)

Paso 3


a) Encontrando la determinante de la matriz R*RT =

Det R*RT = = (328 * 337) -3202 = 8136

Por lo que la determinante de R*RT es diferente de 0

b) Por tanto el rango de la matriz R*RT es 2 (r=2)

c) Es decir que la salida es controlable además que el rango de la matriz es igual al numero de salidas.

r= 2 => salidas controlables

Ejemplo.-

1 2 -1 Z1 1 Z = 0 1 0 Z2 + 0 1 -4 3 Z3 1

Z1 Y (t) = ( 1 1 1 ) Z2 + 3/2 X(t) Z3

EL 1er CRITERIO

Por autovalores:

1- 2 -1 0 1- 0 = (1- )( 1- )( 3- ) + ( 1- ) 1 -4 3- 2 = (1- ) (3- ) + 1- 2 3 = 3- 7 -5 - + 1- 3 2 = - -5 - 8 +4

1 = 22 = 1 3 = 2

Para 1 = 2

1-2 2 -1 -1 2 -1 X1 0


0 1-2 0 = 0 -1 0 X2 = 01 -4 3-2 1 -4 1 X3 0

-X1 + 2X2 - X3 = 1 - X2 = 0 => X2 = 0 X1 - 4X2 + X3 = -1

Para : -X1 - X3 = 0 - X3 = X1

Si parametrizamos:

X1 = => Con = 1 1

X3 = - => Con = -1 => X1 = 0 -1

Para 2 = 1

1- 1 2 -1 0 2 -1 X1 00 1-1 0 = 0 0 0 X2 = 01 -4 3-1 1 -4 2 X3 0

2X2 - X3 = 0 => X1 = 0 X1 - 4X2 + 2X3 = 0

Si parametrizamos:

X2 = 0X3 = 2 => Con = 1 => X2 = 1 0Para 3 = 2

1-2 2 -1 -1 2 -1 X1 1 0 1-2 0 = 0 -1 0 X2 = 0 1 -4 3-2 1 -4 1 X3 -1

-X1 + 2X2 - X3 = 1 - X2 = 0 => X2 = 0 X1 - 4X2 + X3 = -1

Si parametrizamos:

X3 = -2

X1 = -2 => Con =1 => X3 = 0X2 = 0 1 1 0 -2T = 0 1 0 -1 2 1

Ahora hallamos la inversa T:

-1 1 0 -2 1 0 0 1 0 -2 1 0 0T = 0 1 0 0 1 0 => 0 1 0 0 1 0


-1 2 1 0 0 1 0 2 -1 1 0 1

1 0 -2 1 0 0 1 0 0 -1 4 -2 0 1 0 0 1 0 => 0 1 0 0 1 0 0 0 1 -1 2 -1 0 0 1 -1 2 -1 -1 -1 4 -2 T = 0 1 0 -1 2 -1

-1f = T * B

-1 4 -2 1 -1 -3T * B = 0 1 0 0 => f = T * B = 0 -1 2 -1 1 --------- -2

EL 2do CRITERIO

2Q = ( B AB A B)

1 2 -1 1 0A * B = 0 1 0 = 0 = 0 1 -4 3 1 4

2 1 2 -1 1 2 -1 0 8 -4 1 -4 A * B = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 0 = 0 1 -4 3 1 -4 3 10 -14 8 1 18

Rango de Q:

1 0 -4 1 0 Q = 0 0 0 0 0 = 0 El sistema no es controlable. 1 4 18 1 4

Ejemplo:Determinar la Controlabilidad del siguiente sistema

(Z¿

¿) ( Z¿

¿) ( Z¿

¿) ¿¿

¿¿

El sistema es completamente controlable.


Y = (1 1 1 ) ¿ (Z 1 ¿ ) (Z 2¿ )¿¿

¿

CB=(1 1 1 )

(1 ¿ ) (0 ¿ )¿¿

¿¿=2

CAB=(1 1 1 ) ( 1 2 10 2 −1

−2 0 −1 ) ¿ (1 ¿ ) (0 ¿ ) ¿¿

¿

Primeramentente sacamos la matriz cuadrada de A para luego multiplicarla con C y B:

[ 1 2 10 2 −1

−2 0 −1 ]2

=[−1 6 −22 4 −10 −4 −1 ]

Seguimos multiplicando CA2B

CA 2 B=(1 1 1 ) (−1 6 −22 4 −10 −4 −1 ) ¿ (1 ¿ ) (0 ¿ ) ¿

¿¿

Aplicando el criterio:

R=(2⋮−2⋮−3⋮1/4 )

Como la matriz R es triangular debemos multiplicarla por su transpuesta para obtener una matriz cuadrada y así hallar su rango.Si su determinante es distinto de 0 entonces es controlable; caso contrario el sistema es no controlable.

Det(RRt)

R=(2 −2 −3 14 ) (

2−2−31

4)=273

16


CUANDO EL SISTEMA NO ES UNIVARIABLE

X (t ) Y ( t )

X (t ) Y ( t )

Y ( t )La ecuación será:

(Z1

¿

Z2

¿

Z3

¿

Z4

¿ )4 ∗ 1

=(a11 a12 a13 a 14

a 21 a 22 a23 a 24

a 31 a 32 a33 a 34

a 41 a 42 a 43 a 44)

4∗4

¿ (Z 1 ¿ ) (Z 2 ¿ ) ( Z 3 ¿ )¿¿

¿

( y 1 ¿ ) ( y 2 ¿ ) ¿¿

¿¿Por lo tanto el criterio general de la salida es que tenga rango = m o sea al número de salidas. Es decir:

(rango) = m

Ejemplo

Hallar si el sistema es controlable en sus salidas.

(Z1

¿.

Z2

¿

Z3

¿

Z4

¿ )=(1 2 0 00 2 1 11 0 −2 31 −1 −1 −1

)¿ (Z 1 ¿ ) (Z 2¿ ) ( Z 3 ¿ )¿¿

¿

Aplicando el criterio tenemos:

R=(CB⋮CAB⋮CA 2 B⋮⋯⋮CA N−1 B⋮D )

SISTEMA


CB=(10−1

010

212

1−10 )(

1011

1001 )=(4

01

2−1−1 )

CAB=( 10−1

010

212

1−10 )(

1 2 0 00 2 1 11 0 −2 31 −1 −1 −1

)(10111001 )=(4

53

957 )

CA2 B=(10−1

010

212

1−10 )(

1 6 2 22 3 −1 42 −1 1 −9

−1 1 2 −3)(1

011

1001 )=(−9

1−17

−153−17 )

CA3 B=(10−1

010

212

1−10 )(

5 12 0 105 6 1 −4

−6 11 6 12−2 3 0 10

)(1011

1001 )=(47

69

35−1−3 )

R=(401

2−1−1

⋮⋮⋮

453

957

⋮⋮⋮

−91−17

−153−17

⋮⋮⋮

4769

35−1−3

⋮⋮⋮

200

1−12 )

R=(401

2−1−1

453

957

−91−17

−153−17

4769

35−1−3

200

1−12 )

(4249−9−15473521

0−155136−10−1

1−137−17−179−302

)


R=(3862255805

2499938

80538732 )

el determinante es:

(3862255805

2499938

80538732 )

det =179079233<>0

Como el determinante es diferente de 0 entonces las salidas son controlables.

Ejemplo.-Analizar la observabilidad del sistema dado por la ecuación:

Z¿

=(1 2 −10 1 01 −4 3 ) (Z1

Z2

Z3) +(1

01 ) X ( t)

Y = (1 1 1 ) (Z1

Z2

Z3)+1

4X (t )

1er CRITERIO

T T g = (C*T) T

T 1 0 -2 g = ( 1 1 1) 0 1 0 -1 2 1

0 T T --------------

El sistema no es observable porque es cero.


g = ( 0 3 -1 ) = 3 ----------- -1

2do CRITERIO

C C = ( 1 1 1 ) 1 2 -1 P = C*A A = 0 1 0 2 1 -4 3 C*A

1 2 -1C*A = ( 1 1 1 ) 0 1 0 = ( 2 -1 2 ) 1 -4 3

2 2 8 -4C*A = ( 1 1 1 ) 0 1 0 = ( 6 -5 4 ) 4 -14 8

2 1 2 -1 1 2 -1 2 8 -4A = 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 1 -4 3 1 -4 3 4 -14 8

1 1 1 1 1P = 2 -1 2 2 -1 = ( (-4) + 12 +(-10)) - ((-6) + (-10) + 8) 6 -5 4 6 -5 = (-14 + 12) - (-16 + 8) = -2 + 8 = 6 6 es distinto de cero entonces es observable.


SISTEMAS DISCRETOS

SISTEMAS DISCRETOS.-

Los sistemas discretos son sistemas dinámicos que a diferencia de los sistemas continuos cambian de estado en instantes periódicos de tiempo marcados por un reloj, por ejemplo: los sistemas digitales y sistemas secuenciales son casos particulares de sistemas discretos.

Señales Discretas.- Estas señales se caracterizan por estar definidas solamente para un conjunto numerable de valores de la variable independiente, se representan matemáticamente por secuencias numéricas.

Señales Digitales.- Las señales digitales son discretas en tiempo y amplitud, estas señales se obtienen a partir de la cuantización de las señales discretas resultantes del muestreo de las señales analógicas.

MUESTREO DIGITALIZADORCUANTIFICADORMANTENIMIENTO PC

RETENEDOR

X(t)

S / H CODIFICADOR

DECODIFICADORPROCESO ACTUADORY(t)

RETROALIM

ENTACIÓN


Muestreo.- El muestreo es un proceso de transformación de una señal en tiempo continuo en una de tiempo discreto. El muestreador convierte una señal analógica en un tren de pulsos de amplitud modulada.

Entre los tipos de operaciones tenemos:

– Muestreo periódico: instantes espaciados uniformemente tk=kT. Método convencional.– De orden múltiple: el patrón de los tk se repite periódicamente, tk+r - tk cte. para todo k.– De tasa múltiple: distintos períodos de muestreo en distintas trayectorias de realimentación.– Aleatorio: instantes de muestreo aleatorios, o tk variable aleatoria.

El Muestreador y retenedor son necesarios en el convertidor A/D. Comercialmente es una sola unidad S/H, matemáticamente modelo por separado.En la práctica, la duración del muestreo es muy corta comparada con el período de muestreo T. Cuando la duración del muestreo es despreciable, el muestreador se puede considerar como un “muestreador ideal”.

Mantenimiento.- El mantenimiento tiene como objetivo garantizar el correcto funcionamiento del sistema durante el tiempo que dure su explotación. Para ello, lo mantendrá actualizado incorporando las posibles modificaciones que surjan en la evolución natural del propio sistema en lo referente al entorno, la legislación, la organización de la empresa o las propias necesidades cambiantes de los usuarios. A consecuencia de los sucesivos cambios que se introducen en el sistema, éste se degrada, por lo que es aconsejable la revisión a fondo y su reorganización cada cierto período de tiempo, variable según el tipo de aplicación.

Cuantificador.- Se llama cuantificación al proceso de discretizar la señal en amplitud. Básicamente éste se lleva a cabo de la siguiente manera: se divide el rango total de la señal en M franjas de tamaño a. M es el número de niveles de cuantificación y a es llamado el paso del cuantificador.La característica de un cuantificador se representa por medio de una curva entrada – salida. Los niveles de cuantificación se eligen en función de la aplicación y del receptor. El muestreo y la cuantificación generan muchos errores que degradan la bondad de los cálculos. La compensación de dicha degradación es compleja respecto a analógicos.

Digitalizador.- Es un aparato que convierte en bits de información cualquier fuente de datos no digital.

CODIFICADOR

A0

A1

A2...

AM-1

O0

O1

O2...

ON-1M entradas Solo una ALTA a la vez

Código de salidaDe N bits


Proceso.- Es un conjunto de actividades o eventos que se realizan o suceden con un determinado fin. Existen varios tipos de procesos como ser:

– Proceso de compilación.- Que consiste en la traducción de un programa fuente escrito en lenguaje de alto nivel en su correspondiente programa objeto escrito en lenguaje máquina, dejándolo listo para la ejecución con poca o ninguna reparación adicional.

– Proceso distribuido.- Consiste en la conexión en paralelo de varias computadoras compartiendo memoria, buses y terminales con el fin de ganar seguridad en el servicio, debido a que el sistema operativo va repartiendo el trabajo solicitado entre las distintas computadoras e incluso ante el fallo o caída de una de ellas no se interrumpe el servicio por parte del resto.

– Proceso off – line y on – line.- Que consisten en conectar directamente los dispositivos lentos a la computadora (on line) o hacerlo a través de dispositivos más rápidos (off - line).

– Proceso por lotes.- Consiste en ir solicitando la ejecución de procesos que no precisan conversación con el usuario y estas peticiones van situándose en una cola, siendo el sistema operativo el que da entrada a un conjunto de ellos para su ejecución.

Codificador.- Un codificador es un circuito digital que genera un código de tres bits que depende de cual de las líneas de entrada esté activada.

Los tipos de codificadores son:

– Codificador de 3 a 8 líneas.- Circuito digital que genera un código de tres bits que depende de cuál de las líneas de entrada esté activada.

– Codificador de prioridad.- Tipo especial de codificador que detecta cuando dos o más entradas son activadas al mismo tiempo y genera un código que corresponde a la entrada con mayor prioridad.

– Codificador octal a binario.- Lleva a cabo la función opuesta acepta ocho líneas de entrada y produce un código de salida de tres bits que corresponde a la entrada activada.

PC.- Aparato doméstico que se utiliza para diversas tareas como la contabilidad casera, la planificación de menús, los sistemas de control de iluminación y temperatura, los sistemas de alarma y seguridad, el ocio, entretenimiento, etc.Asimismo la gran difusión de los paquetes integrados de software estándar ha supuesto la incorporación al trabajo en el hogar de sus aplicaciones: procesador de textos, hoja electrónica de cálculo, base de datos, software de comunicaciones, etc.Mediante la conexión de la computadora a la red telefónica se incorporan otra inmensa cantidad de posibilidades como los sistemas de correo electrónico, acceso a bases de datos de información general, uso de software de res, realización de operaciones bancarias, etc.

Nentradas

MsalidasDECODIFICADOR

A0

A1

A2..AN-1

O0

O1

O2..OM-1

2Ncódigos de entrada

Solo una salida es alta por cada código de entrada


Actuador.- Es un dispositivo controlado eléctricamente que controla una variable física.A menudo, la señal analógica que proviene del convertidor digital – analógico (DAC) está conectada a algún circuito o dispositivo que sirve como actuador para el control de la variable física. Por ejemplo en un tanque de agua el actuador puede ser una válvula controlada en forma eléctrica que regula el flujo de agua caliente hacia el tanque, de acuerdo con el voltaje analógico proveniente del DAC. La rapidez del flujo cambia en formas proporcional de acuerdo con ese voltaje analógico 0 V no produce ningún flujo mientras que 10 V produce la máxima rapidez de flujo.

Decodificador.- es un circuito lógico que acepta un conjunto de entradas que representan números binarios y que activan solamente la salida que corresponde a dicho dato de entrada. En otras palabras un decodificador mira a sus entradas determina que número binario está presente y activa correspondiente a dicho número.

Los decodificadores que existen son:– Decodificador activo en ALTO (BAJO).- Decodificador que produce un estado lógico

ALTO (BAJO) en la salida cuando se presenta una detección.– Decodificador BCD a decimal.- Decodificador que convierte una entrada BCD en una salida

decimal equivalente.– Decodificador de 1 a 10 – Decodificador de 4 a 10

Los decodificadores se emplean todas las veces que es necesario activar una salida o grupo de éstas cuando se presenta una combinación específica de niveles de entrada. Estos niveles frecuentemente son proporcionados por las salidas de un contador o registro. Cuando las entradas del decodificador provienen de un contador al que llegan pulsos de manera continua, las salidas del decodificador se activan en forma secuencial y se pueden emplear para temporizar o poner señales en secuencia para apagar y encender dispositivos en instantes específicos.

Retenedor.- El circuito de retención mantiene el valor del pulso de la señal muestreada durante un tiempo específico. Entre los retenedores tenemos:

– Retenedor de orden cero (ZOH): la forma más sencilla, produce una onda en forma de escalera y se suele emplear en sistemas de CD por su rapidez.


– Retenedor de primer orden (FOH), y superiores: mantiene el valor de la muestra anterior, y mediante extrapolación predice el valor de la siguiente.

o Proyecta la pendiente de salida en la muestra actual.o Si la señal no cambia mucho, la predicción es buena.

– Retenedor poligonal (1er orden con interpolación): es mucho más exacto.o Proyecta también la pendiente desde el punto de la muestra actual con la amplitud de

la muestra anterior.o La mejoría en la exactitud se logra a expensas de un retardo de un periodo de

muestreo.o Desde la estabilidad de los sistemas en lazo cerrado, ese retardo no es deseable, por

ello no se suele emplear en aplicaciones de control.

Toda señal continua puede ser digitalizada mediante un proceso de muestreo que no otra cosa que sacar o tomar muestras de las señales continuas en diferentes tiempos o lo que se le conoce como “Discretización en el tiempo”

Tomar muestras en determinado tiempo y medir es solo un proceso de modulación. En la salida del muestreo voy a tener la misma señal pero discretizada.

Luego que se realiza el muestreo se debe de realizar el mantenimiento

Estos dos bloques

SEÑAL DISCRETIZADA


(mantenimiento y muestreo) vienen juntos. El muestreo se lo realiza hasta estabilizarla mientras la señal sea procesada.

El Siguiente Paso Es La Cuantificación

La

cuantificación es una cantidad bien definida que se va ha manejar ya sea más o menos de lo que es a esto se lo denomina error cuantificado. El error de cuantificación será menor mientras el número de divisiones sea más pequeño.

Luego de la cuantificación viene el digitalizador

Convertir los niveles en una secuencia donde cada uno de los valores se convierte en 0 y1

El proceso siguiente es el de la computadora o PC quien emite la señal de roles

La

PC entrega código binario, luego pasa a la

siguiente etapa que es de retener

s/h


Hay dos tipos de retenedores:

Orden 0 Orden 1

El decodificador está dado por un voltaje que se encuentra en forma continua

SISTEMAS DE ADQUISICIÓN DE DATOS (SAD).-

El presente sistema permite introducir datos a la PC a partir de un proceso.

Señal FísicaSensor Transductor S / A CAD PC

Nos permite medir una señalBloqueo o muestreo

Conversor Analógico/DigitalPrimeramente se debe medir o cuantificar la señal


Donde:

Sensor: (Palabra formada sobre el lat. sentio, sentir, para indicar el agente de este verbo latino).m. Dispositivo que detecta una determinada acción externa, temperatura, pensión, etc., y la transmite adecuadamente.

Transductor: (de trans y el lat. ductor, oris, que lleva).m. Dispositivo que transforma el efecto de una causa física, como la presión, la dilatación, la temperatura, la humedad, etc., en otro tipo de señal, normalmente eléctrica.

S/A: Bloqueo o muestreo de cuantificación

CAD: (Convertidor Analógico Digital o ADC por sus siglas en ingles, acrónimo de Analogue to Digital Converter), circuito electrónico que convierte una señal analógica en digital. Se utiliza en equipos electrónicos como ordenadores o computadoras, grabadores digitales de sonido y de video, también en equipos de comunicaciones. La señal analógica, que varia de forma continua en el tiempo, se conecta a la entrada del dispositivo y esta se somete a un muestreo (cuantificación discreta o asignación de un valor numérico a una determinada intensidad de la señal) a una velocidad fija, obteniéndose así una señal digital a la salida del mismo. Por otro lado esta señal se puede volver a convertir en analógica mediante un convertidor digital analógica.

PC: Encargada de efectuar el sincronismo de los tiempos.

Para señales multivariables

sensor

sensor

sensor

MUX

SELECCION

S / H CAD PC

X1

X2.....Xn

SensorSeñal Fisica


Un Sistema de Adquisición de Datos no es mas que un equipo electrónico cuya función es el control o simplemente el registro de una o varias variables señales físicas de un proceso cualquiera, de forma general puede estar compuesto por los siguientes elementos.

Sensor.- Los sensores tienen la función de identificar el tipo de señal que se esta introduciendo al sistema entre las señales físicas más importantes a registrar tenemos: temperatura, humedad, presión, concentración, iluminación, flujo, posición, nivel, peso, etc. Diversas pueden ser las variables ambientales, industriales, biológicas, químicas, etc.

Luego del sensor se tiene un Transductor

Transductor.- Los transductores tienen un rol vital en todo SAD ellos tienen la función de convertir la variable física que se desea registrar en una magnitud eléctrica (voltaje, corriente, resistencia, capacidad, Inductancia, etc.).

A continuación del transductor viene el Sample and Hola (S/H)

Sample and Hold: Dispositivo electrónico con dos posibilidades de trabajo modo Sample y modo Hold. Modo Sample: La señal pasa a la salida del dispositivo tal y como esta en la entrada del mismo. Modo Hold: La salida se mantiene en el nivel de voltaje que existía en la entrada en el momento que la señal hold fue activada.

Señal FisicaSensor Transductor

Señal Fisica Sensor Transductor S/H


Cuando utilizar sample and hold: El sample and hold debe ser utilizado cuando la señal de voltaje que entra a un conversor A/D varia en un nivel suficiente como para que el conversor cambie 1/2 bit menos significativo en un tiempo menor que el que el conversor necesita para hacer la conversión.

Sample and Hold.

Si se cumple la siguiente expresión entonces tenemos que usar Sample & Hold:

Ecuacion del Sample and Hold.

Despues del S/H tene mos un CAD (Conversor Analogico Digital)

CAD (Conversor Analogico Digital).- Dispositivo electrónico que convierte una señal eléctrica continua (generalmente voltaje) en un código digital equivalente.

Luego del CAD tenemos una Pc

PC.- Es la que se encarga de que tanto como el bloque de S/H y del CAD trabajen sincronizadamente. El esquema presentado solo es aplicable a sistemas uní variables para que este se aplique a sistemas multivariables se adiciona otro dispositivo llamado multiplexor y el sistema tiene la siguiente forma.

Señal FisicaSensor Transductor

S/H CAD

Señal FisicaSensor Transductor S/H CAD PC

S/T

S/T

S/T

S/T

MUX

Selector

S/H CAD PC


Se debe tomar en cuenta que en los sistemas multivariables cada señal tiene que tener su propio sensor y si es posible su propio transductor

En este caso la PC también sincronizara el trabajo con el multiplexorLos Multiplexores

Los multiplexores ya sean analógicos o digitales son dispositivos que nos permiten multiplexor varias entradas en una única salida. Ellos nos permiten que para registrar varias señales diferentes podamos utilizar un único conversor A/D y con ello disminuir de forma considerada el costo e un SAD. Generalmente los multiplexores se pueden dividir por el tipo de salida en simples y diferenciales o por el número de entradas en de 2, 4, 8 ó 16 entradas. El hecho de existir una gran variedad de multiplexores nos obliga a hacer una correcta selección según las exigencias de nuestro sistema, sobre la base de disminuir los costos del mismo. Los multiplexores diferenciales de mayor costo que los de salida simple, son usados normalmente cuando son utilizadas para multiplexor señales de naturaleza diferentes por ejemplo: temperatura, presión, concentración, etc. Los amplificadores de salida simple se recomiendan cuando se multiplexor señales de naturaleza semejante: por ejemplo cuando registramos la temperatura en diferentes puntos. En esencia la diferencia entre los multiplexores de salida simple y diferencial está en que para los últimos, la señal de referencia (tierra ) es también multiplexada lo cual no ocurre para los multiplexores de salida simple. En la medida que aumenta el número de entradas de un Multiplexor también aumenta su costo y el número de terminales de control que el mimo necesita, por lo cual es también muy necesario utilizar en una aplicación un Multiplexor con el número de entradas que se requiera.


Diagrama de diferentes tipos de multiplexores.

Multiplexor # de entradas Tipo de salidaHI3-0506A-5 16 Simple HI1-0506A-5 16 Simple HI1-0506A-2 16 SimpleHI3-0507A-5 8 Diferencial HI1-0507A-5 8 Diferencial HI1-0507A-2 8 DiferencialHI3-0508A-5 8 SimpleHI1-0508A-5 8 SimpleHI1-0508A-2 8 SimpleHI3-0509A-5 4 DiferencialHI1-0509A-5 4 DiferencialHI1-0509A-2 4 Diferencial

Tabla Multiplexores más utilizados

PC Registro CDA Retenedor ActuadorProceso


SISTEMA DE DISTRIBUCIÓN DE DATOS (SDD).-

Un sistema de distribución de datos consiste en registros, un demultiplexor, convertidor digital-analógico y circuitos de retención.

Este sistema convierte la señal en forma digital (números binarios) en otra en forma analógica. La salida del convertidor D/A se alimenta al circuito de retención. La salida del circuito de retención se alimenta al actuador analógico, el cual, a su vez, controla directamente la planta que se está considerando.

En los anexos se describe cada componente individual involucrado en el sistema de procesamiento de la señal.

Para un sistema univariable se tiene el siguiente diagrama de bloques

Donde la Pc es la que sincronizará el trabajo entre el Registro y el CDA

Registro.- Es un dispositivo que permite almacenar información normalmente es información temporal.

CDA: Convertidor Analógico Digital (DAC), dispositivo para convertir los datos digitales en

señales de corriente o de tensión analógica, También conocidos como DAC (acrónimo de Digital to

Analogue Converter) se utilizan profusamente en los reproductores de discos compactos (CD’s), en

los reproductores de sonido y de cintas de video digitales, también en los equipos de procesamiento

de señales digitales de sonido y video. La mayoría de los DAC utilizan alguna forma de red

reostatica. Los datos digitales se aplican a los reóstatos en grupos de bits. Las resistencias varían en

proposiciones definidas; el flujo de corriente de cada uno esta directamente relacionado con el valor

binario del bit recibido.

Elemento de fuerza que actúan directamente sobre el proceso

PC REGISTRO CDA

ACTUADOR

PROCESODEMUX

SELECCIÓN

ACTUADOR

ACTUADOR

Y1

Y2......YN

PC Reg CDADEMUX

Selector

R/A

R/A

R/A

PROCESO

Y(t)


PARA UN SISTEMA MULTIVARIABLE.-

CDA Convertidor digital-analógico.- Un convertidor digital-analógico, también denominado decodificador, es un dispositivo que convierte una señal digital (datos codificados numéricamente) en una señal analógica. Dicho convertidor es necesario como una interfaz entre un componente digital y uno analógico.

Retenedor Actuador.-Es donde se retiene y se trabaja o se actúa sobre la señal

Proceso.- Es la parte final donde se procesa la señal finalPara un sistema multivariable se adiciona un demultiplexor

Demultiplexor.- El demultiplexor, el cual está sincronizado con la señal de muestreo de entrada, separa los datos digitales de la salida compuesta, del controlador digital en los canales originales. Cada uno de los canales está conectado a un convertidor D/A para producir la señal de salida analógica para ese canal.

El retenedor y el actuador (R/A) van hacia el proceso donde todos actúan sobre el proceso o son parte del mismo, pero con cada uno realizando determinada función.


LA TRANSFORMADA ZETA

TRANSFORMADA Z.-

Es una transformada equivalente a la transformada de La Place pero en tiempo discreto. En realidad es la misma transformada de La Place, pero aplicada a señales discretas mediante un cambio de variable apropiado. Así, se aplica a funciones o señales discretas

Z [ f (nT )]=F (Z )=∑n=0

∞

f (nT )Z−n

(unilateral)

Ejemplo:f ( nT )=e−anT hallar F( Z )

f ( z )=∑n=0

∞e−anT Z−n=1+eaT Z−1+e−2 aT Z−2+. .. .. . .. .. ..

f ( z )=limn →∞

[1+(eat Z )−1 +(eat Z )−2+( eaT Z )−3 +.. . .. .. . ..+(eaT Z )−n]Si :

S=[1+(eat Z )−1+(eat Z )−2+( eaT Z )−3 +.. .. . .. .. .+( eaT Z )−( n−1)+(eaT Z )−n )] // ∗(eaT Z )−1

(eaT Z )−1S=(eat Z )−1+(eat Z )−2+(eaT Z )−3+ .. .. . .. .. .+( eaT Z )−( n−1)+(eaT Z )−n+(eaT Z )−( n+1)

[1¨−(eaT Z )−1] S=1−(eaT Z )−( n+1)⇒ S=1−(eaT Z )−(n+1)

1−(eaT Z )−1=

1−(eaT Z )−( n+1)

1−e−aT Z−1

la transformada Z sería:

F (Z )=limn→∞ (1−(eaT Z )−( n+1)

1−e−aT Z−1 )⇒ limn→∞(1

1−e−aT Z−1 )− limn →∞(( eaT Z )−(n+1 )

1−e−aT Z−1 )como : lim

n →∞((eaT Z )−( n+1)

1−e−aT Z−1 )=0⇒ F ( Z)=limn→∞ (1

1−e−aT Z−1 )Transformada inversa.-

Existen varios métodos para encontrar la transformada inversa, pero en la materia usaremos el

método de fracciones parciales. La que se descompone como:

F (Z )

Z


Ejemplo:

X (Z )=(1−eaT )( z−1)( z−e−aT )

⇒ X1( Z)=X ( Z)

Z=

(1−e−aT )( z−1)( z−e−aT)

por fracciones parciales tenemos :X (Z )

Z=

R1

( z−1)+

R2

( z−eaT )donde :

Ri=limz → zi

[1(n−i )!dn−i

dZn−i (( Z−Z i )n X1 (Z )]R1 =( z−1)

(1−e−aT )( z−1)( z−e−aT )

|z=1 =1

R2 =(z−e−aT )(1−e−aT )( z−1)( z−e−aT )

|z=e−aT =−1

X ( Z)

Z =1( z−1)

+−1( z−eaT )

⇒ X (Z ) =[1(z−1)−

1( z−eaT ) ]Z

X ( z )=z( z−1)

−z( z−eaT)

/z

X ( Z )=11−Z−1

−11−e−aT Z−1

; 11−Z−1

= paso unitario

X ( kT )=1−e−akT

Ejemplos de Transformada Z y transformada inversa de Z

Ejemplo.-

Hallar la Transformada Z de: sen (wkT)

Por Euler:

eθ−e−θ

2i⇒ sen( wkT )= ewkT−e−wkT

2 i

Z [ sen(wkT )]=Ζ [ ewkT −e−wkT

2i ]por la propiedad 2 de la tabla 2.2 que se refiere a la linealidad tenemos que:


Z [ax1 ( t )+bx2 ( t )]=aX1 Z+bX 2 Z

Z [ewkT

2 i ]−Z [e−wkT

2 i ]⇒ 12 i (11+e−wT Z−1 )−1

2i (11−e−wT Z−1 )

obtenida de la tabla 2 .2 : la propiedad 4=12 i (11+e−wT Z−1 )−1

2 i (11−e−wT Z−1 )operación auxiliar :eθ=cosθ +isenθ ⇒ por la propiedad de Euler tenemos que :

cosθ=eθ+e−θ

2; senθ=e−θ−e−θ

2i

Si: Z [ ewkT−e−wkT

2i ]=Z [ ewkT

2i−e−wkT

2i ]= 12 i

Z (ewkT )− 12 i

Z (e−wkT )

por propiedad 4 de la tabla 1.2 tenemos que :12 i

Z ( e−(−wkT )Z−1)−12 i

Z ( e−wkT )

X ( Z )=12i [ (1−e−( wT ) Z−1 )−(1+ewT Z−1

1−e−wT Z−1−ewT Z−1+e−wT Z−1 .ewT Z−1 ]= 12 i [ Z−1 (ewT−e−wT )

1−Z−1(ewT +e−wT )+Z−2 ]Z−1( ewT −e−wT

2 i )1−2 Z−1( ewT −e−wT

2 )+Z−2= Z−1 senwT

1−2 Z−1 coswT +Z−1

Ejemplo para hallar la transformada inversa de Z

X (Z )=2 Z3+Z

( Z−2)2 (Z−1)⇒

X ( Z )

Z= 2Z2+1

(Z−2)2( Z−1)

Mediante fracciones parciales tenemos:


R1

Z−2+

R2

( Z−2 )2 +R3

Z−1⇒[−1

Z−2+9

(Z−2 )2 +3Z−1 ]∗Z

X (Z)=[−ZZ−2

+9Z(Z −2)2 +3 Z

Z−1 ] dividido entre Z

−11−2 Z−1 +31

1−Z−1 +9 Z−1

(1−2 Z−1 )2

Operación auxiliar

[9 Z(Z−2 )2 ]dividido entre Z2⇒

9ZZ2

(Z−2)2

Z2

=[9 Z−1

(Z−2Z2)

2 ]=9Z−1

(1−2Z−1)2

Entonces tenemos :Y (kT )=−2k +3(k )+9 k 2k−1

Ejemplo.-

y (k+2)= y (k+1 )+ y (k )z2Y (z )−z2 y( 0 )−zy( 1)=zY ( z)−zy( 0)+ y( z )

( z2−z−1)Y( z)=( z2−z )Y ( 0)+ zY (1 )

Y( z)=z2 Y( 0)+( y(1 )−Y (0))

( z−1 .618)( z+0 .618 )

Y( z)

z=

y(0 ) z+( y( 1)− y(0 ))( z−1 . 618)( z+0 . 618)

=

1. 618 y( 0)+( y(1 )− y( 0))

2. 263z−1. 618

+

−0 . 618 y(0)+( y(1 )− y( 0))

−2 . 236z+0 .618

⇒1.618 y(0 )+( y(1)− y(0))

2.263=α

⇒−0 . 618 y(0)+( y(1)− y(0 ))−2 .236 =β

Y( z)=α zz−1. 618

+ β zz+0 .618

y(k )=α 1. 618k + β (−0. 18 )k


y (k+2 )= y ( k+1)+ y (k )z2Y ( z )−z2 y( 0)−zy( 1 )=zY ( z )− zy( 0 )+ y( z)

z2Y ( z)−zY ( z )−Y ( z )=z

Y ( z )=zz2−2−1

=0 .72z−1 .61

+0 . 272+061

Y ( z )=z( z−1. 68 )(z−0 .68 )

=0. 72z−1. 61

+0 . 272+061

y(k )=0 .72(1 .61 )+0 .27 (−0 . 6 )k1 → ∀ k=1

Tren de impulsos.-Esta señal nos permite discretizar una señal continua procediendo de la siguiente manera:

La suma de varios impulsos desplazados en el tiempo, unitariamente espaciados.

Demostrando la fig. 1

Es la periorisidad de la señal.


Discretización de una señal continúa

= multiplicación de funciones

como

Transformada unitaria de La Placeentonces

reemplazando

luego


Ejemplo.-

Sabiendo que

Resolviendo una demostración de la tabla de transformada Z.

(4)

luego

resolviendo

donde

entonces

Restando (1) y (2)


Finalmente

Ejemplo.- Demostrar la equivalencia entre las transformadas de La Place y Zeta siguientes:

resolviendo


Donde S

Restando (1) y (2), tenemos

después

introduciendo


Multiplicamos y dividimos por 2 para llegar a

Dentro los sistemas discretos, los cuales pueden ser manipuladas por computadoras, discretizamos y digitalizamos una señal continua, de tal manera que la computadora pueda entender o descifrar.

Tratar a los sistemas discretos de manera digital

Señal digital

En esta etapa determinamos los errores (maximos, minimos).

Nota.- Existe otra manera de resolver este tipo de ejercicios, ya sea por el método anterior o el siguiente que es aplicando propiedades

SISTEMA DISCRETO

X(Kt) y(Kt)


MODELO MATEMÁTICO DE UNSISTEMA DISCRETO

MODELO MATEMÁTICO DE UN SISTEMA DISCRETO.-

a0 X ( kT )+a1 X ( kT −1)+. .. . .. ..+an X ( kT −n)=b0 Y( kT )+b1 Y( kT −1)+. . .. .. . .+bn Y ( kT −n)

Donde:

X(kT-i) y Y(kT-i) son la entrada y salida en la enésima iteraciónPasos para encontrar la salida YkT

Aplicar la tabla 2.3 Cuando se reemplaza con la tabla se despeja Y(Z)

Después se halla la transformada inversa y finalmente se obtiene la salida YkT

Nota.- ver la tabla en anexos.

Ejemplo:

Y ( k+2 )+3 Y ( k+1)+2Y ( k )=0 con Y (0 )=0 ∧ Y ( 1)=1

Z2Y ( Z )−Z2Y (0 )−ZY (1 )+3 (ZY ( Z )−ZY ( 9))+2Y ( Z )=0

Z2Y ( Z )−0−Z+3 ZY ( Z )−0+2 Y ( Z)=0

Z2Y ( Z )+3 ZY ( Z )+2Y ( Z )=0+ZY ( Z )(Z2+3 Z+2)=Z

Y ( Z )=ZZ2+3Z +2

⇒ Z(Z +2)( Z+1)

Aplicando la inversa tenemos:

M u c h oOJO ! ! !

Combinamos la letra Z por W

Donde la Z es la transformada o variablesE s una ecuación Matricial


Y ( z )

Z=

R1

Z +2+

R2

Z+1

R1=( Z+2)Z( Z+2 )(Z +1 )

|−2=2

R2=( Z +1)Z( Z+2 )(Z +1 )

|−1=−1

Y (Z )=2Z+2

−1Z+1

⇒2 1Z+2

−1Z+1

Y (Z )=−(−1 )K +2(−2 )K

Ejemplo 2:

Y ( K +2)+(a+b )Y (K +1)+abY ( K )=0 con Y ( 0)=1 ∧ Y (1)=1Z2Y ( Z )−Z2 Y (0 )−ZY (1 )+[(a+b )ZY ( Z)−ZY (0) ]+( ab)Y (Z )=0

Z2Y ( Z )−0−Z+(a+b)ZY ( Z )−0+abY ( Z )=0Z 2 Y (Z )+(a+b )ZY (Z )+abY ( Z)=Z

Y ( Z ) ( Z2+(a+b )Z +ab )=Z

Y ( Z )=ZZ2 +(a+b )Z+ab

⇒Y ( z )=Z( Z+a )( Z +b )

R1

(Z +a)+

R2

(Z +b )=

aa−bZ +a +

bb−aZ+b

Y ( K )=aa−b

(−a )K +bb−a

(−b )K ∀ a≠b

ANALOGÍA DE LAS ECUACIONES DE ESTADO DE FUNCIONES CONTINUAS Y DISCRETAS.-

Z.=AZ ( t )+BX( t )

Y ( t ).

=CZ ( t )+DX ( t )

W.

n=AW ( t )+BX ( t )

Y ( t ).

=CW ( t )+DX ( t )

D

B

A

C y(t)

x(t)

w(t)w(t)ò

Diagrama de Bloques para la función en tiempo continuo

D

B

A

C y(k)

x(k)

w(k)w(k+1)

Z-1 I

Diagrama de Bloques para la función en tiempo discreto


A partir de la ecuación matricial obtenemos un diagrama de bloques

TIEMPO CONTINUO

TIEMPO DISCRETO

W ( k+1)= AW (k )+BX ( K )

Y (k )=CW (k )+DX (K )

Despejando Y ( z ):

ZW ( z )−ZW (o )= AW (z )+BX ( z )Y ( z )=CW (z )+ DX ( z )

Donde A y B son matrices

M u c h oOJO ! ! !

1

0)(

)1(k

ii

ik xAB


Realizamos iteraciones en:

W ( k+1)= AW (k )+BX ( K )Y (k )=CW (k )+DX (K )

Con K=0

W ( 1)= Aw(0)+Bx(0 )

W ( 2)=Aw( 1)+Bx(1)= A2 w(0 )+ Bx( 0) +Bx( 1)

W ( 3)=Aw( 2 )+Bx( 2 )= A3 w(0 )+A2 Bx( 0) + A Bx( 1)+Bx( 2 )

W (4 )= Aw( 3)+Bx( 3)= A4w(0) +A3 Bx( 0) +A2 Bx( 1)+ A Bx( 2 )+Bx( 3)

Generalizando las iteraciones se tiene:

W ( k )= Ak w( 0) + ∑i=0

k−1

AB( k−1−i) x( i )

= [ Z( t)=e( At ) Z( 0 )+ò0

t

e A (t−τ )Bx( τ )dτ

W ( t)=e( At ) w(0 )+ò0

t

e A (t−τ ) Bx( τ )d τ

W (K +1)=Aw(K )+BX (K )

ZW( Z )−Zw( 0)= AW ( Z )+BX ( z )

Despejando W(z)

ZW ( z )− AW ( z )=ZW (o )+BX ( z )

(Z −A )W ( z )=ZW (o )+BX ( z )

No es correcto despejar de esa manera, lo correcto es:


W ( z )=[ ZI− A ]−1 (ZW (o)+BX ( z ))

Donde B es la matriz de constantes

Aplicando la transformada tenemos:

W ( k )=Z−1 [( ZI− A )−1 Z ] W (o )+Z−1 [(ZI− A )−1 BX (z )]

Obteniendo una equivalencia con la matriz de Convolución Discreta:

Ak=Z−1 [( ZI−A )−1 Z ]

Por ultimo a continuación se obtiene la solución para encontrar la respuesta general del sistema en el tiempo discreto:

Ejemplo:

Ejercicio de Aplicación para encontrar la Respuesta General del Sistema

[ W 1(k+1 )¿ ]¿¿

¿¿

¿¿

Ak= Z-1[(zI-A)-1z]


[ z −1 1 00. 16 z+1 0 1 ]∗1/ z [1 −1/ z 1 /z 0

0 .16 z+1 0 1 ]∗−0 .16

[1 −1/ z 1/ z 0

0 z ( z+1)+0 . 16z

−0 . 16z

1 ]∗zz ( z+1 )+0 .16

[1 −1/ z 1/ z 0

0 1 −0 . 16z ( z+1 )+0 .16

zz ( z+1 )+0 .16 ]∗1/ z

[1 0 z ( z+1)z ( z∧2+z+0 . 16 )

1z( z+1 )+0. 16

0 1 −0 .16z ( z+1)+0 . 16

zz( z+1 )+0. 16 ]

Ak= Z-1=

{[ ( z+1)( z∧2+z+0 .16 )

1z∧2+z+0 . 16

−0.16z∧2+z+0 .16

zz∧2+z+0 . 16

]∗z}


{[( z+1)( z∧2+z +0 . 16 )

1z∧2+z+0 .16

−0. 16z∧2+ z+0 . 16

zz∧2+z+0 .16

]∗z}[( z+1 )( z+0. 8 )( z+0. 2)

1( z+0 .8 )( z+0 .2 )

0 . 16( z+0. 8 )( z+0. 2)

z( z+0 .8 )( z+0 .2 ) ]

[z ( z+1)( z+0. 8 )( z+0. 2)

z( z+0 .8 )( z+0 .2 )

0 . 16 z( z+0. 8 )( z+0. 2)

z∧2( z+0 .8 )( z+0 .2 ) ]

z( z+1)( z+8)( z+0 .2)z

=z+1( z+8 )( z+0. 2)

=R 1A+0 . 8

+R 2 ¿ A +0 . 2 ¿¿

¿R 1=z+0.8∗z+1( z+8 )( z+0. 2)

==−0 .33=−1¿3 ¿¿

¿ ¿R 2=z+1

z+0 . 8òz=−0 .8 =0. 80. 6

=1 .33=4¿3 ¿¿

¿ ¿ α=

−13 z

z+0. 8+

43 z

z+0 . 2∗

z∧−1

z∧−1=

43

1+0 .2 z∧−1usandoN º 18 ¿ ¿¿


Y (k )=[−13

(−0 .8 )∧k +43

(−0 .2 )∧k −53

(−0 .8)∧k+53

(−0 .2)∧k ] [1−1]Y (k )=−1

3(−0. 8 )∧k+4

3(−0 .2 )∧k+5

3(−0.8 )∧k−5

3(−0 .2)∧k

Y (k )=1 .33 (−0. 8 )∧k−0 .33 (−0.2)∧kRESPUESTA GENERAL DEL SISTEMA.-

Y(k) = CZ-1[(zI-A)-1z] W(o)+ CZ-1[(zI-A)-1BX(z)] + D X(k)


CZ-1[(zI-A)-1BX(z)]

[ 1 .1(-0 .8) k+2 .5 ( -0.2 ) k+1.38*1 k-0 .8( -0.8 )k+0.5( -0.2) k+0.38*1 k ][10 ]=1 . 1(-0 .8 ) k+2 .5 (-0 .2 ) k+1. 38*1 k

[ ( zI− A )∧(−1 )] B

[ z ( z+1)(z+0 . 8 )( z+0. 2)

z( z+0 .8 )( z+0 .2 )

0 .16 z(z+0 . 8 )( z+0. 2)

z∧2( z+0 .8 )( z+0 .2 ) ]¿ [ 1 ¿ ] ¿

¿¿

¿

¿


Ahora obtenemos el resultado final remplazando en la formula general, teniendo en cuenta que la matriz D es 0 de tal manera que

tenemos lo siguiente:

Y(k) = CZ-1[(zI-A)-1z] W(o)+ CZ-1[(zI-A)-1BX(z)] + D X(k)

Y ( k )=1. 33(−0. 8)∧k−0. 33(−0. 2)∧k +1 .1(-0. 8) k +2.5(-0 .2) k +1.38*1 kY ( k )=2. 43(−0 .8 ) k+2.17(−0.2) k+1.38∗1 k

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BIBLIOGRAFÍA:

John S. Bay

Fundamentals of Linear State Space Systems

México WCB/McGraw-Hill 1999


K. Ogata Ingeniería de control moderna México Prentice - Hall 1996

K. Ogata Sistemas de control en tiempo discreto. México Prentice - Hall 1996

Chi-Tsong Chen

Linear System Theory and DesignEEUU

Oxford University Press

1999

C. Kuo

Sistemas de control automático

México Prentice - Hall 1996

C. Kuo Sistemas de control digital. México CECSA 1997

C. Dorf Sistemas modernos de control México Addison - Wesley 1989

Wilson J. Rugh

Linear System Theory México Prentice Hall 1995

WEBGRAFIA:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/Ingenieria/2001619/docs-curso/contenido.html

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/http://www.wikipedia.com/monografias/http://monografias.com/

http://monografias.com/

http://www.wikipedia.com/monografias/

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/Ingenieria/2001619/docs-curso/contenido.html

Documents

virtual.usalesiana.edu.bovirtual.usalesiana.edu.bo/.../dossier/12011/547.docx · Web viewsistemas discretos, dedicándose el capítulo nueve al estudio de la transformada Zeta, herramienta