FUNCIONES

Grado 9 grupo: 1 docente: José Fernando Cárdenas H.

Estándar de competencia: Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos

Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

DBA: Propone y desarrolla expresiones algebraicas en el conjunto de los números reales y utiliza las propiedades de la igualdad y de orden para determinar el conjunto solución de relaciones entre tales expresiones. (DBA 2)

Indicador de desempeño: Determina y describe relaciones al comparar características de gráficas y expresiones algebraicas o funciones.

SABERES: Funciones, representación en forma tabular de una función, representación gráfica de una función, dominio y rango de una función, función lineal, ecuación de la recta.

Instrucciones: Lee con atención la siguiente guía y trata de comprender los conceptos y ejemplos que en ella se encuentran, te servirá de ayuda para resolver la actividad que debes desarrollar al final del documento, así mismo puedes apoyarte y ver los vídeos en el blog del docente.

Ejes cartesianos

Para representar pares de valores se utilizan los ejes cartesianos.El eje horizontal se denomina “eje de abscisas (x)” y sobre el representamos la primera variable.El eje vertical se denomina “eje de ordenadas (y)” y sobre el representamos la segunda variable.El punto de cruce de ambos ejes se denomina “origen de ordenadas”. Concepto de función y sus elementos

El significado de la palabra función la utilizamos frecuentemente en nuestras vidas. El sueldo de una persona depende del número de horas que trabaje, si trabaja más horas ganará más dinero; el precio de una bolsa de naranjas depende de la calidad de las mismas, a mayor calidad mayor precio, el costo de la estadía en un hotel depende del número de días que pases alojado allí, a más días mayor será el costo.

En lugar de utilizar las palabras: relacionar, depender, etc., en matemáticas, en el caso de las horas trabajadas, las naranjas, etc. diríamos que el precio está en función  (depende) de las horas, o en función de la calidad, o en función del número de días.

Una función es una relación matemática que representa la correspondencia entre 2 variables.

Por ejemplo, kilómetros recorridos y consumo de gasolina: todos sabemos que existe una relación entre los kilómetros recorridos y el consumo de gasolina, mientras más kilómetros ande un vehículo entonces mayor será su consumo de gasolina.

El valor de una variable (consumo de gasolina) viene determinado por el valor que toma la otra (kilómetros recorridos). A la primera variable se le denomina variable dependiente (y) y a la segunda variable independiente (x).

Veamos la siguiente relación: es sólo un ejemplo cualquiera, no es que siempre vamos a utilizar ésta “fórmula” que vemos.

y=(8∗x)÷100

Nota: (El asterisco representa el signo de multiplicar y las letras “x” e “y” las variables)

Si le vamos dando valores a la variable independiente (x), obtenemos valores para la variable dependiente (y). Para cada valor de “x” obtenemos un valor de “y”. De esta manera generamos una tabla de valores para ambas variables.

 

(Tomado de: aulafacil.com)

Los valores que toman ambas variables se pueden representar en una gráfica.

En el eje de abscisas representamos la distancia recorrida y en el eje de ordenadas el consumo de gasolina.

La representación gráfica facilita el estudio de la relación que hay entre las 2 variables.

Viendo el gráfico se observa claramente la relación linealmente creciente entre consumo de gasolina y distancia recorrida.

ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN

En toda función vamos a definir los siguientes conceptos:Dominio: todos los valores que toma la variable independiente “x”Recorrido o Rango: todos los valores que toma la variable dependiente “y”En esta tabla de la página anterior, el dominio va de 100 a 600 (los kilómetros recorridos), mientras que el recorrido o rango va de 8 a 48 (los litros de la gasolina).Las funciones pueden ser continuas o discontinuas.Función continua es aquella que se representa con una línea sin interrupción, mientras que la función discontinua sí tiene puntos de cortes.

Las funciones pueden ser también: crecientes, si al aumentar la variable independiente también lo hace la variable dependiente; y decrecientes, si al aumentar la variable independiente decrece la variable dependiente.

Es posible que una función presentes intervalos crecientes y decrecientes.

En una función podemos determinar valores máximos (es aquel punto en el que la función cambia de creciente a decreciente) y valores mínimos (es aquel punto en el que la función cambia de decreciente a creciente), el valor más alto y el más bajo de todos se llaman máximo absoluto y mínimo absoluto.

¿Cómo escribimos una función?

De un modo muy sencillo: 

Estamos diciendo que y está en función de x.

Observación: Si quieres tener ideas claras en Matemáticas, procura resolver el mayor número posible de ejercicios y problemas.

Tenemos la siguiente igualdad: y=2x  , Si x vale 3 ¿cuál será el valor de y?

Respuesta: y = 6

Solución

En la igualdad, 2 y x se multiplican, luego y valdrá: y=2×3=6 

En la igualdad: y=3 x−2 para x=2¿cuánto vale y? 

 Respuesta: y = 4 (verifícala)

En el problema anterior ¿cuál es el valor de f (3)? (quiere decir que debes reemplazar la ”x” por 3)

 Respuesta: f (3) = 7 

Solución

Sabemos que podemos escribir f(x) como si fuera y (y es una función de x) 

 Cuando x vale 3 podemos escribir: y=f (3 )=3× .−2=7

En y=−2x+14  ¿cuánto vale f (5)?

 Respuesta: 4 Solución

Representación de los valores de X e Y en el eje de Coordenadas Cartesianas

Para colocar un punto en un eje de coordenadas, necesitas saber el valor de las dos variables x e y.

Una vez conocidas, no tienes más que colocar en el eje correspondiente el valor de cada una de ellas.

A partir de estos dos valores, trazas dos rectas paralelas a los ejes y el lugar donde éstas se corten señalará el punto que buscamos, (así como aprendiste a ubicar puntos en el plano cartesiano en años anteriores).

Ejemplo:

Supongamos la igualdad: y=3 x+1. Coloca el punto en un eje de coordenadas cuando x = 1.

 Respuesta: Cuando x vale 1, y vale 4:

LA FUNCION LINEAL

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, tiene la siguiente forma. y=mx+bo lo quees lomismo f ( x )=mx+b

siendo m≠0.

m es la pendiente de la función. b es la ordenada (en el origen) de la función, (el intercepto de la recta con el eje “y”, es

decir, el punto por dónde la recta corta al eje “y”).

La gráfica de una función lineal es siempre una recta.

Observa que la recta pasa por puntos como:

(1, 1) lo que quiere decir que, si “x” es 1, entonces “y” es 1;

o por el punto (2, 3) lo que quiere decir que si “x” es 2 entonces “y” es 3.

Ejemplo 2: dada la función lineal y=3 x+4, encontrar su pendiente y su intercepto con el eje “y”.

SOLUCIÓN: si comparamos la fórmula de la función lineal: y=mx+b, con la fórmula del ejemplo: y=3 x+4, podemos concluir que el valor de la pendiente “m” es 3 y que el valor del intercepto con el eje “y” es 4 (b = 4).

Pendiente e intercepto con el eje “y”:

La pendiente es el coeficiente de la variable, es decir, m.

Geométricamente, cuanto mayor es la pendiente, más inclinada es la recta. Es decir, más rápido crece la función.

Si la pendiente es positiva, la función es creciente. Si la pendiente es negativa, la función es decreciente.

Ejemplo:

Vamos a representar la gráfica de la función y=2x−3

Hacemos una tabla para calcular dos puntos de la gráfica, (se pueden calcular más puntos si se desea):

Representamos la recta a partir de los puntos (4,5) y (−2,−7):

Puntos de corte con los ejes

Una función lineal siempre corta al eje Y en un punto. También, corta al eje X en un punto.

El punto de corte con el eje Y es el punto de la recta que tiene la primera coordenada igual a 0:

El punto de corte con el eje X es el punto de la recta que tiene 0 en la segunda coordenada. Se calcula igualando a 0 la función y resolviendo la ecuación obtenida.Ejemplo

Calculamos los puntos de corte de la función del ejemplo anterior,

Corte con el eje Y:

Es el punto

Observad que la segunda coordenada es la ordenada.

Corte con el eje X:

Es el punto:

Ejemplo: Calcular los puntos de corte con los ejes y representar la función. ¿Cuál es la pendiente de la recta?

Solución: reordenamos o escribimos la ecuación así: y=−2x+4 y la comparamos con la fórmula y=mx+b, dónde “m” es el valor de la pendiente y “b” el valor del intercepto con el eje y.

La pendiente de la recta es m=−2. Como es negativa, es una recta decreciente.

La recta corta al eje Y cuando  x=0, por tanto, lo hace en el punto (0, 4)

La recta corta al eje X cuando  y=0. Tenemos que resolver una ecuación:

El punto de corte es

Como tenemos dos puntos de la recta, podemos representar su gráfica:

ACTIVIDAD:

1) Representa de forma gráfica la recta que pasa por los puntos (1,2) y (−3,4). (sugerencia: realiza un plano cartesiano y ubica en él las coordenadas dos los puntos dados)

https://youtu.be/AoZpzAoC1Qg

2) En la función lineal y=−2x+4 La pendiente y el intercepto con el eje “y” son respectivamente: (sugerencia: compara la ecuación de la recta y=mx+b, dónde “m” es la pendiente y “b” el intercepto con el eje “y” con la ecuación que te acaban de dar y deduce quien es “m” y quien es “b”, poniendo especial atención a los signos)

https://youtu.be/FivdryOMLZ8

A) 2 y 4B) -2 y 4C) 4 y -2D) -4 y 2

3) Dos puntos de la recta Y = -2x + 4 pueden ser: https://youtu.be/khDsV8TN1EU

A) (1, 3) y (1,1)B) (3,9) y (-5, O)C) (2, -4) y (3,1)D) (0, 4) y (1, 2)

(SUGERENCIA: reemplaza el primer número de cada punto en el lugar de la “x” y obtén el valor de “y”, si este resultado coincide con el segundo número del punto, pues ya puedes concluir que ese punto es de la recta dada)

4)  La gráfica que representa la función Y = -2x + 4 es: (sugerencia: dale un valor a “x” y encuentra el valor de “y”, luego ubica el punto en el plano cartesiano, luego das otro valor a la “x” y encuentras otro valor de “y” y lo ubicas en el plano cartesiano, con estos dos puntos ya los puedes unir y observar tu recta. También te puedes ayudar si observas quien es el intercepto con el “y”) https://youtu.be/PD45s3U9WA0

A) d)B) b)

C) a)D) c)

5) Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, -6) y (-2,-3) https://youtu.be/OHeJmzh-qpA A) y=x−5B) y=−x−5C) y=x+5D) y=x+1

(sugerencia: remplaza las coordenadas de un punto de los que te dieron en una de las ecuaciones, si obtienes una igualdad, entonces esa es la ecuación pedida)

6) Toda función lineal es creciente (sugerencia: lee el documento, allí está escrita la respuesta)

A) VERDADEROB) FALSO

7) Se tiene una expresión lineal de la forma y= -6x +18. El punto de intersección en el eje X es: (sugerencia: debes reemplazar en la ecuación dada la coordenada “y” por cero, y encontrar el valor de “x”) https://youtu.be/FnauclNt3do A) X= --3B) X= 3C) X= --6D) X= 18

8) Dada la función lineal f(x)=4x+5, ¿Cuál es la ordenada o intercepto con el eje “y” en el origen? https://youtu.be/vnYOilE2T1Y También puedes usar el vídeo anterior.

A) -5B) 4C) 5D) -4

9) Una recta es creciente cuando su pendiente “m” es: https://youtu.be/zdAffTpV8tI A) PositivaB) CeroC) Negativa

10) Una recta es decreciente cuando su pendiente “m” es: A) NegativaB) CeroC) Positiva

11) Una recta es constante cuando su pendiente “m” es: A) CeroB) NegativaC) Positiva

12) Una recta interseca al eje X en el punto (–6 , 0) y tiene pendiente igual a 1. ¿Cuál es su ecuación?

A) y = x+6B) y = x – 6C) y = x – 5D) y = 6x+1

Felicitaciones por tu esfuerzo. Estás invirtiendo tiempo y dedicación en tú futuro.

En la próxima guía de la función lineal aprenderemos a hallar la ecuación de una línea recta cuando conocemos algunos datos, como, por ejemplo: dos puntos, un punto y la pendiente, etc.