Elaborado por: Mario Enrique Zuniga

Propiedades Fundamentales De Las Relaciones De Orden:

Tricotomía:Para todo par de números (X, Y), una y solamente un de las siguientes condiciones se cumple:X<Y X=Y X>YTransitividad: si X<Y y Y<Z entonces X<ZPropiedad aditiva: si A<B y X<Y entonces (A+X) < (B+Y)

Propiedad multiplicativa: si X<Y y A>0 entonces AX<AYSi X<Y y A<0 entonces AX>AYPropiedad cancelativa: si (A+X) < (B+Y) y A=B entonces X<Y

Propiedades De La Desigualdad:Propiedad aditiva: si A=B y C=D entonces (A+C) = (B+D)Propiedad multiplicativa: si A=B y C=D entonces AC=BDPropiedad cancelativa: si (A+C) = (B+D) entonces A=B

Propiedades geométricas:1. El conjunto de todos los puntos existentes se llama espacio.2. Un conjunto A se llama convexo, si para cada dos puntos P y Q del conjunto, todo

segmento PQ está en A.3. En todo triangulo, la suma de sus ángulos internos el 180 grados.4. “postulado de la recta”: dados dos puntos distintos cuales quiera, hay exactamente una

recta que los contiene.5. Todo plano contiene al menos tres puntos que no están alineados.6. El espacio contiene al menos cuatro puntos que no están en un plano.7. Si dos puntos de una recta están en un plano, entonces también la recta está en el

plano.8. “el postulado del plano”: tres puntos cualesquiera están al menos en un plano, y tres

puntos cuales quiera no alineados están exactamente en un plano.9. Si dos planos se intersecan, su intersección es una recta.10.Se da una recta "L” y un plano que la contiene, los puntos del plano que no están en la

recta “L” forman dos conjuntos tales que: Cada uno de los conjuntos es convexo Si P está en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmento PQ

intersecta a la recta “L”.11.Los puntos del espacio que no están en un plano dado forman dos conjuntos tales que:

Cada uno de los conjuntos es convexo.

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Folleto Introductorio

a La Geometría De

Olimpiadas

Si P está en uno de los conjuntos y Q en el otro, entonces el segmento PQ intersecta al plano.

12.La medida del ángulo X se representa como m X.13.Dos ángulos con la misma medida se llaman ángulos congruentes.14.Dos ángulos son opuestos por el vértice, si sus lados forman dos pares de rayos

opuestos.15.Sea AB un rayo de la arista del semiplano H. para cada número r entre 0 y 180, hay

exactamente un rayo AP, con P en H, tal que m PAB = r.16.Si D está en el interior del BAC, entonces m BAC = (m ABD + m DAC)17.Si las medidas de dos ángulos suman 180 grados, entonces son suplementarios.18.Si dos ángulos forman un par lineal entonces son suplementarios.19.Un ángulo recto es un ángulo cuya medid es 90.20.“el postulado LAL”: toda correspondencia LAL es una congruencia.21.“el postulado ALA”: toda correspondencia ALA es una congruencia.22.“el postulado LLL”: toda correspondencia LLL es una congruencia.23.“el postulado LAA”: toda correspondencia LAA es una congruencia.24.Un punto B se llama punto medio del segmento AC, si B esta entre A y C y AB=BC.25.Todo segmento tiene exactamente un punto medio.26.El punto medio de un segmento biseca al segmento.27.Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersección es un punto.28.Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces la intersección es un

punto.29.Dada una recta y un punto fuera de ella, hay exactamente un plano que contiene a

ambos.30.Dadas dos rectas que se intersectan, hay exactamente un plano que las contiene.31.Todo segmento de recta es congruente con sigo mismo.32.Si las medidas de dos ángulos suman 90 grados, entonces son complementarios.33.Si dos ángulos son complementarios entonces ambos son agudos.34.Todo ángulo es congruente consigo mismo.35.Dos ángulos rectos siempre son congruentes.36.Si dos ángulos son a la vez congruentes y suplementarios, entonces ambos son rectos.37.Los suplementos de ángulos congruentes son congruentes.38.Los complementos de ángulos congruentes son congruentes.39.Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.40.Si dos rectas que se cortan forman un ángulo recto, entonces forman cuatro ángulos

rectos.41.Si B esta entre A y C, entonces:

Entonces A, B y C son puntos distintos de una misma recta. (AB+BC) = AC

42.Los puntos de un conjunto están alineados o son coloneales si existe una recta que los contiene a todos.

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43.Los puntos de un conjunto son coplanarios si existe un plano que los contiene a todos.44.Si dos rallos tienen el mismo origen o extremo, pero no están en la misma recta,

entonces su reunión es un ángulo. Los dos rayos se llaman lados del ángulo y el extremo común se llama vértice.

45.Si A, B y C son tres puntos cuales quiera no alineados, entonces la reunión de los segmentos AB, AC y BC se llama triangulo. Los puntos A, B y C se llaman vértices, y los segmentos AB, AC y BC se llaman lados. Además posee tres ángulos que se nombran: A B C

46.Si AB y AC son rectas o segmentos y forman un ángulo recto entonces son perpendiculares y lo representamos así: AB AC

47.Todo ángulo tiene exactamente una bisectriz.48.Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos

lados son congruentes.49.Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos

ángulos son congruentes.50.Un lado de un triángulo se dice estar comprendido por los ángulos cuyos vértices son

los extremos del segmento.51.Un ángulo de un triángulo se dice estar comprendido por los lados del triángulo que

están a los lados del ángulo.52.Si D está en el interior del BAC, y BAD ≅ DAC, entonces AD biseca al BAC, y

AD se llama bisectriz del BAC.53.Un triángulo con dos lados congruentes se llama isósceles. El otro lado es la base.54.Un triángulo con sus tres lados congruentes se llama equilátero.55.Todo triángulo equilátero tiene sus tres ángulos congruentes.56.Un triángulo para el cual dos lados cualesquiera no son congruentes se llama escaleno.57.Los triángulos escalenos no tienen ángulos congruentes.58.Se A, B, C, D cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos no están

alineados, y los segmentos AB, BC, CD y DA se intersecan solamente en sus extremos, entonces la reunión de los cuatro segmentos se llama cuadrilátero. Los cuatro segmentos se llaman lados, y los puntos A, B, C y D se llaman vértices. Los ángulos DAB, ABC, BCD y CDA se llaman ángulos del cuadrilátero. Si los cuatro ángulos del cuadrilátero son rectos, entonces el cuadrilátero se llama rectángulo. Si los cuatro ángulos son rectos y los cuatro lados son congruentes, entonces el cuadrilátero es un cuadrado.

59.Una mediana de un triángulo es un segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto a dicho ángulo.

60.En un plano, y por un punto dado de una recta dada, pasa una y solamente una recta perpendicular a la recta dada.

61.“teorema de la mediatriz”: la mediatriz de un segmento en un plano, es el conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.

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62.Se dan un segmento AB y una recta L en el mismo plano. Si dos puntos de L equidistan de A y de B, entonces L es la mediatriz de AB.

63.Desde un punto externo dado, hay al menos una recta perpendicular a una recta dada.64.Desde un punto externo dado, hay a lo sumo una recta perpendicular a una recta dada.65.Ningún triangulo tiene dos ángulos rectos.66.Si M esta entre los puntos A y C de una recta L, entonces M y A están al mismo lado

de otra recta cualquiera que contenga a C.67.Si M esta entre los puntos B y C; y A es un punto cualquiera fuera de la recta BC,

entonces M está en el interior del BAC.68.En un plano dado, la mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento

en su punto medio.69.Un triángulo rectángulo es un triángulo en el cual un de los ángulos es recto. El lado

opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados son los catetos.70.Si A = (B+C) y C > 0, entonces A>B.71.“Teorema del ángulo externo”: un ángulo externo de un triángulo es mayor que cada

uno de sus ángulos internos no contiguos.72.Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces los otros ángulos son agudos.73.“teorema de la hipotenusa y el cateto”: se da una correspondencia entre dos triángulos

rectángulos, si la hipotenusa y un cateto de un triángulo son congruentes con las partes correspondientes del segundo triangulo, entonces la correspondencia es una congruencia.

74.Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor.

75.El segmento más corto que une un punto a una recta es el segmento perpendicular a la recta y que tiene como extremo el punto dado.

76.La distancia entre una recta y un punto de la misma se define como cero.77.La suma de las longitudes de dos lados cuales quiera de un triángulo es mayor que la

longitud del tercer lado.78.Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, con dos lados de un

segundo triangulo, y el ángulo comprendido en el primer triangulo es mayor que el ángulo comprendido en el segundo, entonces el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo triangulo.

79.La altura de un triángulo es el segmento perpendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto.

80.Si una recta es perpendicular a dos rectas que se intersecan en su punto de intersección, entonces es perpendicular al plano que contiene las dos rectas. (Rectas en R3 sobre un plano).

81.Por un punto dado de una recta dada, pasa un plano perpendicular a la recta dada.82.Si una recta y un plano son perpendiculares, entonces el plano contiene toda recta

perpendicular a la recta dada en su punto de intersección con el plano dado.83.Por un punto dado de una recta dada pasa solamente un plano perpendicular a la recta

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84.“El teorema del plano bisecante perpendicular”: el plano bisecante perpendicular de un segmento es el conjunto de todos los putos equidistante de los extremos del segmento.

85.Dos rectas perpendiculares al mismo plano son coplanarias.86.Por un punto dado, pasa un plano y solamente uno, perpendicular a una recta dada.87.Por un punto dado, pasa una recta y solamente una, perpendicular a un plano dado.88.El segmento más corto desde un punto a un plano que no lo contiene, es el segmento

perpendicular.89.Una recta y un plano son perpendiculares, si se interseca y si, además, todo recta en el

plano que pasa por el punto de inter sección es perpendicular a la recta dada. Cuando la recta L y el plano E son perpendiculares, entonces escribimos L E o E L. si P es el punto de intersección, entonces decimos que L E en P.

90.La distancia a un plano desde un punto que no está situando en él es la longitud del segmento perpendicular desde el punto al plano.

91.Dos rectas paralelas están exactamente en un plano.92.Dos rectas en un plano son paralelas, si ambas son perpendiculares a la misma recta.

(En R2)93.Sea L una recta y P un punto que no está en L. entonces, hay al menos una recta que

pasa por P y es paralela a L.94.Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos alternos internos son

congruentes, entonces las rectas son paralelas.95.Se dan dos rectas cortadas por una secante. Si dos ángulos correspondientes son

congruentes entonces las rectas son paralelas.96.Si dos rectas paralelas son cortadas por una secante, entonces todos los ángulos

correspondientes son congruentes.97.Si dos rectas son cortadas por una secante, los ángulos internos a un mismo lado de la

secante son suplementarios.98.en un plano, si dos rectas son paralelas a una tercera recta entonces son paralelas

entre sí.99.En un plano, si una recta es perpendicular a una de dos rectas paralelas, entonces

también es paralela a la otra.100.Se da una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos

correspondientes son congruentes, entonces los ángulos correspondientes de tercer par también son congruentes.

101. En todo triangulo rectángulo los ángulos opuestos a los catetos son complementarios.

102.Cada diagonal descompone a un paralelogramo en dos triángulos congruentes.103.En un paralelogramo dos lados opuesto cualesquiera son congruentes.104.Si dos rectas son paralelas, entonces todos los puntos de cara recta equidistan de la

otra recta.105.En un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes.

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106.En un paralelogramo, dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios.107.Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.108.Si ambos pares de lados opuestos de un cuadrilátero son congruentes, entonces el

cuadrilátero es un paralelogramo.109.Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el cuadrilátero

es un paralelogramo.110.Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan, entonces el cuadrilátero es un

paralelogramo.111.El segmento entre los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer

lado y tiene la mitad de su longitud.112.Si el paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces tienen cuatro ángulos rectos y el

paralelogramo es el rectángulo.113.En un rombo, las diagonales son perpendiculares entre sí.114.Si las diagonales de un cuadrilátero se bisecan y son perpendiculares, entonces el

cuadrilátero es un rombo.115.La longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo

es la mitad de la longitud de la hipotenusa.116.“El teorema del triángulo 30-60-90”: Si un ángulo agudo de un triángulo rectángulo

tiene medida 30 grados, entonces la longitud del lado opuesto a dicho ángulo, es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

117.Si la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto tiene medida 30.

118.Si tres o más recta paralelas determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes en cualquier otra secante.

119.Dos rectas son paralelas si están en el mismo plano y no se intersecan.120.Se dan dos rectas L1 y L2 cortadas por una secante T en los puntos P y Q. Sea A un

punto de L1 y B un punto de L2 tal que A y B están en lados opuestos de T, entonces, el APQ y el PQB son ángulos alternos internos.

121.Un cuadrilatero es convexo si dos cualesquiera de sus vertices no estan en lados opuestos de una recta que contiene a un lado del cuadrilatero.

122.Un trapecio es un cuadrilateroque tiene dos lados paralelos.123.Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual ambos pares de lados opuestos son

paralelos.124.Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí.125.Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.126.Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre sí.127. A toda región poligonal le corresponde un número positivo único.128. 128. Si R es una región, entonces representamos el área de esta región como

“aR”.

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129.Si dos triángulos son congruentes, entonces la región triangular determinada por ellos tiene la misma área.

130.Supongamos que la región R es la reunión de dos regiones R1 y R2. Suponga que R1 y R2 se intersecan a lo sumo en un número infinito de segmentos y puntos. Entonces aR = aR1 + aR2.

131.El área de una región cuadrada es e cuadrado de la longitud de su lado.132.El área de un rectángulo el producto de su base y su altura.133.El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de sus catetos.134.El área de un triángulo es la mitad del producto de cualquiera de sus bases y la altura

correspondiente a dicha base.135.El área de un trapecio es la mitad del producto de su altura y la suma de sus bases.136.El área de un paralelogramo es el producto de una base cualquiera y la altura

correspondiente.137. Si dos triángulos tienen la misma base “b” y la misma altura “h”, entonces tienen

áreas iguales.138.Si dos triángulos tienen la misma altura, entonces la razón de sus áreas es igual a la

razón de sus bases.139.“Teorema de Pitágoras”: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es

igual a la suma de los cuadrados de los catetos.140. “El teorema del triángulo rectángulo isósceles”: en un triángulo rectángulo isósceles,

la hipotenusa es √2 veces el largo de un cateto.141.Si la base de un triángulo isósceles es √2 veces el largo de cada uno de sus dos

lados Congruentes, entonces el ángulo opuesto a la base es un ángulo recto.142.En todo triángulo de 30-60-90, el cateto más largo es (√3)/2 veces el largo de la

hipotenusa.143.En todo triángulo de 30-60-90, el cateto más corto es la mitad de la longitud de la

hipotenusa.144.Si a/b = c/d = e/f = g/h entonces (a+c+e+g)/(b+d+f+h) = a/b145.“Teorema fundamental de la proporcionalidad”: si una recta paralela a un lado de un

triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos que son proporcionales a dichos lados.

146.Sea dada una correspondencia entre dos triángulos. Si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.

147.Si una recta paralela a un lado de un triángulo interseca a los otros dos lados en puntos distintos entonces determina un triángulo semejante al triangulo dado.

148. Si el triángulo ABC es semejante al triangulo DEF y el triángulo DEF es semejante al triangulo

149. XYZ entonces el triángulo ABC es semejante al triangulo XYZ. (Representamos una semejanza con el símbolo ~ .

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150.“El teorema de la semejanza LAL” Sea dada una correspondiente entre dos triángulos. Si dos pares de lados correspondientes son proporcionales y los ángulos comprendidos son congruentes, entonces la correspondencia es una semejanza.

151.En un triangulo rectángulo cualquiera, la altura correspondiente a la hipotenusa divide a triangulo en otros dos triángulos que son semejantes entre si y semejantes al triangulo original.

152.“Teorema de Thales” en la figura siguiente L1ǁL2ǁL3 (paralelas) por tanto AB/DE = BC/EF = AC/DF

152.“Teorema de la bisectriz”: en la figura anterior de la derecha m BAF =m FAC; es decir que AF biseca al BAC por tanto AB/AC = BF/FC.

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¿Cómo Demostrar El Teorema De Pitágoras?

A continuación se presenta cuatro diferentes demostraciones del famoso teorema de Pitágoras.

1. Con Un Cuadrado Y Cuatro Triángulos Rectángulos

Se presenta esta como la primera forma pues es la que parece más fácil, lo que facilita el proceso de entendimiento del alumno.Comenzaremos con dibujar un cuadrado Q con lado M= a+b y con vértices W, X, Y, Z; luego dibujamos un punto en cada lado del cuadrado talque el punto este a distancia n de cada vértice así:

W R Z RZ=SY=DX=QW=a y WR=ZS=YD=XQ=bPuesto que WXYZ es un cuadrado todos sus ángulos sonRectos por todo lo anterior se tiene que los RZS, SYD,

Q DXQ y QWR son todos congruentes (por propiedad LAL)Ahora sabemos que QR=RS=SD=DQ y diremos que son igual

S a “c” es decir QR=c por ser partes correspondientes deTriángulos congruentes.

DX YSabemos que el XDY mide 180 grados además en el DXQ el x es recto y por tanto XQD y

XDQ suman 90 grados (son complementarios). Tenemos entonces que:m XDY= 180=m XDQ+ m QDS + m YDS m XDQ + m XQD + m QDS=180m QDS + 90= 180 m QDS=90. Del mismo modo se prueba que m RQD=m SRQ=mDSR=90Por lo anterior el DQRS es un cuadrado. Ahora podemos expresar el área del cuadrado mayor de dos formas 1. Como la suma del área de los 4 triángulos más el área del cuadrado pequeño de lado c, 2. Como el cuadrado de uno de sus lados.4[(1/2)ab] + c2 = (a+b)2

2ab + c2 = a2 + 2ab + b2

C2 = a2 + b2

2. Con triángulos semejantes. (Supuesta demostración de Pitágoras).

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En la figura ABC es un triángulo rectángulo con ángulo recto en A y AF es la altura correspondiente a la hipotenusa del ABC por lo tanto ABC ~ FBA ~ FAC. De lo anterior tenemos que:AB/BF = BC/AB = AC/ FA y AB/FA = BC/ AC = AC/FC (diremos que: AC=a, AB=b, BC=c)AB/BF = BC/AB (AB)(AB)=(BF)(BC) (AB)2=(BF)(BC)BC/AC = AC/FC (AC)(AC)=(BC)(FC) (AC)2=(BC)(FC)Sumando ambas igualdades tenemos que: (AC)2 + (AB)2 = (FC)(BC)+(BC)(BF)(AC)2 + (AB)2 = (BC)[(BF)+(FC)] (AC)2 + (AB)2 = (BC)(BC) (AC)2 + (AB)2 = (BC)2 Entonces remplazando cada segmento tenemos que a2+b2 = c2

3. Demostración de Leonardo da Vinci

El diseño inicial, con el triángulo y los cuadrados de catetos e hipotenusa, es modificado por Leonardo da Vinci al añadir dos triángulos iguales al ABC: el ECF y el HIJ.

Partiendo del triángulo rectángulo ABC con los cuadrados de catetos e hipotenusa, Leonardo añade los triángulos ECF y HIJ, iguales al dado, resultando dos polígonos, cuyas superficies va a demostrar que son equivalentes:

1. Polígono ADEFGB: la línea DG lo divide en dos mitades idénticas, ADGB y DEFG.2. Polígono ACBHIJ: la línea CI determina CBHI y CIJA.

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Comparemos los polígonos destacados en gris, ADGB y CIJA:

De inmediato vemos que tienen tres lados iguales: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ Asimismo es inmediata la igualdad entre los ángulos de los siguientes vértices:

o A de ADGB y A de CIJAo B de ADGB y J de CIJA

Se concluye que ADGB y CIJA son iguales. De modo análogo se comprueba la igualdad entre ADGB y CBHI.

Todo ello nos lleva a que los polígonos ADEFGB y ACBHIJ tienen áreas equivalentes. Pues bien, si a cada uno le quitamos sus dos triángulos –iguales- las superficies que restan forzosamente serán iguales. Y esas superficies no son sino los dos cuadrados de los catetos en el polígono ADEFGB, por una parte, y el cuadrado de la hipotenusa en el polígono ACBHIJ, por la otra. El teorema de Pitágoras queda demostrado.

[editar] Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos

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La demostración de Pitágoras de su teorema se basaba muy probablemente en proporciones, y una proporción es un número racional. ¿Sería realmente válida como demostración? Ante

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esto, Euclides elabora una demostración nueva que elude la posibilidad de encontrarse con números irracionales.

Euclides baso su demostración en el simple hecho geométrico de que a igual base y altura, el área del paralelogramo duplica a la del triángulo.

Se tiene el triángulo ABC, rectángulo en C (Véase La Figura Euclides), y se construye los cuadrados correspondientes a catetos e hipotenusa. La altura CH se prolonga hasta J. Seguidamente se traza cuatro triángulos, iguales dos a dos:

Triángulos ACK y ABD: son iguales, pues siendo AD=AC, y AK=AB, necesariamente BD=CK. Sus tres lados son iguales.

Triángulos ABG y CBI: análogamente, AB=BI, y BG=BC, así que AG=CI. Sus tres lados son asimismo iguales.

Abundando en las anteriores consideraciones, nótese que un giro con centro en A, y sentido positivo, transforma ACK en ABD. Y un giro con centro en B, y sentido también positivo, transforma ABG en CBI. (Véase La Figura Euclides) que:

1. Las paralelas r y s comprenden al triángulo ACK y el rectángulo AHJK, los cuales tienen la misma base, AK. Por tanto AHJK tiene doble área que ACK, (véase Figura)

2. Las paralelas m y n contienen a ABD y ADEC, cuya base común es AD. Así que el área de ADEC es doble de la de ABD.

Pero siendo ACK=ABD, resulta que el rectángulo AHJK y el cuadrado ADEC tienen áreas equivalentes. Haciéndose razonamientos similares con los triángulos ABG y CBI, respecto al cuadrado BCFG y al rectángulo HBIJ respectivamente, se concluye que éstos últimos tienen asimismo áreas iguales. A partir de lo anterior, surge de inmediato que:

"la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa".

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