Capıtulo 4

Ajuste de Weibull

Para poder analizar los datos de fallas, lo primero que se debe hacer es ajustar los datos a una

distribucion de Weibull. A continuacion se presentan algunas definiciones, ası como tambien una guıa

paso a paso para generar el ajuste a partir de una planilla Excel.

4.1. Distribucion de Weibull

La distribucion de Weibull se define como se indica en la ecuacion 4.1,

f(t) =β

η

(

t− t0

η

)β−1

· e

(

t−t0η

)β

(4.1)

donde

β es el parametro de forma,

η es el parametro de escala,

t0 (tambien denotado γ) es el parametro de localizacion (o vida intrınseca).

4.2. Ajuste de Weibull

Para lograr un buen ajuste de Weibull de manera sencilla mediante una planilla Excel, lo primero

que se debe hacer es ordenar los datos en una matriz de manera que en la primera columna quede el

numero de dato (i) y en la segunda el MTTF.

A partir de lo anterior, se debe generar una columna que estime la probabilidad acumulada de falla

(F (t)) a partir de los rangos medianos:

Fi =i− 0, 3

N + 0, 4(4.2)

donde

Fi es la estimacion de la probabilidad acumulada de falla para el instante de la ocurrencia i,

11

N corresponde al numero total de datos.

En la Tabla 4.1 se muestra un ejemplo hasta el paso indicado arriba.

Tabla 4.1: Ajuste de Weibull: ordenamiento y determinacion de rangos medianos.

Una vez que se tiene lo anterior, se procede a incorporar una columna para estimar la confiabilidad

(R = 1−F ) y luego las columnas para realizar la regresion lineal y determinar los parametros de Weibull

que mejor se ajustan a los datos.

Las columnas para realizar la regresion lineal son las siguientes:

x = ln(MTTF − t0)1,

y = ln(−ln(R))

Una vez que se tienen las columnas de x e y, se procede a generar algunas columnas auxiliares para

determinar el coeficiente de correlacion lineal. Las columnas a agregar son:

xy = x · y,

x2 = x2,

y2 = y2

En la Tabla 4.2 se muestra un ejemplo hasta las columnas auxiliares.

1En la planilla Excel se define una celda con el valor de t0, que inicialmente sera nulo (t0 = 0).

12

Tabla 4.2: Ajuste de Weibull: incorporacion de columnas para realizar regresion lineal.

A partir de los datos de la Tabla 4.2 se pueden determinar la pendiente2,m, y el punto de interseccion

con el eje Y , n, de la recta asociada a los puntos x e y mediante las ecuaciones 4.3 y 4.4.

m =N ·

∑

i xi · yi − (∑

i xi) · (∑

i yi)

N ·∑

i x2

i − (∑

i xi)2

(4.3)

n =

∑

i yi −m · (∑

i xi)

N(4.4)

Una vez definida la recta con los parametros anteriormente indicados, se procede a determinar el

coeficiente de correlacion de la recta como se indica en la ecuacion 4.5.

r2 =

N ·∑

i xi · yi −∑

i xi ·∑

i yi√

N · x2i − (∑

xi)2·

√

N ·∑

i y2

i − (∑

yi)2

2

(4.5)

Ademas de lo anterior, se define el valor de η (Ecuacion 4.6) para que la solucion quede completa

una vez que se resuelva la iteracion con Solver.

η = e−n/β (4.6)

donde n se calcula de acuerdo a la Ecuacion 4.4.

Teniendo lo anterior en la planilla Excel, basta con aplicar Solver para llegar a una buena correlacion,

la que a su vez determinara el valor de t0. El procedimiento es el siguiente:

Abrir el Solver de Excel (Herramientas/Solver3).

2Se puede designar para esta celda la misma que para β, que es justamente la pendiente de la recta encontrada.3Si no aparece el Solver en Herramientas, entonces se debe cargar. Para cargar Solver se debe ingresar, en la misma

planilla, a Herramientas/Complementos y marcar la casilla de Solver.

13

Figura 4.1: Planilla Excel lista para aplicar Solver. Las celdas pintadas con verde corresponden a la celda objetivo

(r2) y la celda a modificar (t0 o γ).

Fijar como celda objetivo aquella en que se encuentre la formula para calcular el r2 (ver Figura

4.2).

Abajo de la definicion de la celda objetivo, marcar en ”Maximo” (ver Figura 4.2).

Figura 4.2: Definicion de celda objetivo en Solver. Se puede apreciar que la celda seleccionada, correspondiente al

coeficiente de correlacion de la recta, tiene un valor no tan cercano al esperado. Notese ademas que en el valor de la

celda objetivo esta marcado el maximo, pues se busca maximizar el coeficiente de correlacion.

14

Definir la celda a cambiar como aquella en que se encuentra el valor de t0 (el que se definio ini-

cialmente como cero). Ver Figura 4.3.

Figura 4.3: Definicion de celda a modificar. En este caso corresponde a t0, que como se menciono anteriormente se

define inicialmente como cero. Notese que al modificar el valor de t0 se modificara automaticamente la columna de

los valores de x, con lo que cambia la correlacion y todos los valores asociados.

Agregar las siguientes restricciones (ver Figura 4.4):

• t0 ≤MTTF1 (para asegurar que t0 no supere el mınimo tiempo antes de falla).

• r2 ≤ 1 (para que el coeficiente de correlacion sea lo mas cercano a 1 posible).

15

Figura 4.4: Definicion de restricciones. Se definen las dos restricciones anteriormente mencionadas: que el coeficiente

de correlacion sea menor o igual que 1 y que el valor de t0 sea menor que el menor tiempo hasta la falla. Dado que

Solver no tiene la opcion de menor que, sino solo menor o igual, y considerando que si t0 = MTTF1 la solucion se

indefine, puede ser necesario (como resulta en este ejemplo en particular) definir una celda auxiliar (en amarillo)

como aux = MTTF1 − 1 y luego definir la segunda restriccion como t0 ≤ aux.

Resolver el problema con Solver y obtener los parametros buscados (β, η y t0, revisando que

el valor del coeficiente de correlacion sea aceptable). En la Figura 4.5 se muestra el resultado

obtenido.

16

Figura 4.5: Resolucion del problema. Se presiona el boton ”Resolver” y se acepta el resultado obtenido. Por la

configuracion de la planilla, se actualizan todos los valores y se obtiene un ajuste de Weibull de tres parametros,

donde t0 queda definido (variable sobre la que se itero), β es igual al valor de la pendiente de la recta que ya se

calculo (ver Ecuacion 4.3) y η se define como se indica en la Ecuacion 4.6.

Como se puede ver en la Figura 4.5, los resultados obtenidos son los siguientes:

β = 0, 6397 (4.7)

η = 6901 [h] (4.8)

t0 = 366 [h] (4.9)

Por otro lado, el coeficiente de correlacion lineal obtenido, r2, es de 0, 975, que es un valor

aceptable.

Con los parametros de las ecuaciones 4.7 a 4.9 se tiene definida la distribucion de Weibull que

siguen las fallas.

17